Chứng minh N là trung điểm của EF c Chứng minh S2FDC 16 SAMC.SFNA Bài 6 : Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với... Vậy giá trị nhỏ nhất của M là..[r]
Trang 1đề thi học sinh giỏi -MễN : TOÁN Lớp : 8
Đề số 1 Bài 1 : a) Phõn tớch đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhõn tử
b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A B biết
A = 10x 2 – 7x – 5 và B = 2x – 3
Bài 2 : Cho x + y = 1 và x y 0 Chứng minh rằng
2
0
x y
Bài 3 : Cho a 2 – 4a +1 = 0 Tớnh giỏ trị của biểu thức P = a4 a22 1
a
2
2
a
Bài 5 : Cho tam giỏc ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N Chứng minh N là trung điểm của EF
c) Chứng minh S 2
FDC 16 S AMC S FNA Bài 6 : Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuụng gúc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D Tỡm tỉ số BD
DC
Hết HƯỚNG DẪN
Bài 1 : a) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 = x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2
x
Với x Z thỡ A B khi 7 Z 7 ( 2x – 3)
2x 3
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; 2 ; 1 thỡ A B ( 0,25 đ)
( 1)( 1)
= 4 4 ( do x+y=1 y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
= 2 2 (0,25đ)
= 2 2 (0,25đ)
Trang 2= 2 2 = (0,25đ)
2 2
( 1) ( 1)
xy x y
= = (0,25đ)
2 2
( ) ( )
xy x y
2 2
( 2 )
xy x y
= 2(2 2 ) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
3
x y
x y
Bài 3 : (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0 a 2 – a + 1 = 3a a2 a 1=3 (0,25đ)
a
P = a4 a22 1 a2 a 1.a2 a 1 = 3 (0,25đ)
a
Mà a2 a 1 a2 a 1 2a = 3+2 = 5
Suy ra P = 3 5 = 15 (0,25đ)
2 2
2008( 2 2008)
2008
a
2
2008 2 .2008 2008
2008
a
2
2007 2 2008 2008
2008
a
2
2007 ( 2008) 2007
a a
Dấu “=” xảy ra a – 2008 = 0 a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007 khi a = 2008 (0,25đ)
2008
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : DF DC ( Do AM//DF) (1)
DE BD ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2) DE DF BD DC BC 2 ( MB = MC) ( 0,25đ)
DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành
Ta có NE AE (0,25đ)
NF FA DM DM AE (0,5 đ)
NE NF => NE = NF (0,25đ)
Câu c : ( 0,75đ) AMC và FDC đồng dạng
2
AMC FDC
FNA và FDC đồng dạng
( 0,25đ)
2
FNA FDC
Trang 3 và
2
AMC FDC
2
FNA FDC
FDC FDC
2
ND FD
2
DM DC
4
1 16
S2
FDC 16 SAMC.SFNA (0,25đ)
0
4
16
Bài 6 : ( 1 đ)
Kẻ MI // BC ( I AD) MI =
2
BD
Ta có : MI MH ( Do MI // BC)
( 1)
2
( 0,25đ)
MAH và ACH đồng dạng ( g-g)
( ABC vuông cân tại A nên AB = AC )
2
AH = 2 MH ( 0,25đ)
AMC vuông , ta có AH2 = MH HC
4MH2 = MH.HC HC = 4 MH
( 0,25đ)
2
BD
( 0,25đ)
§Ò sè 2
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
2
10
x
x x
a) Rút gọn M
1 3 6
6 4
3
2
x x x
x
x
2
10
x
x
1 ) 2 ( 3
6 )
2 )(
2 (
2
x x
x x x
x
2
6
x
6
2 ) 2 )(
2
(
x
1
b)Tính giá trị của M khi = : = x x = hoặc x = -
2
1
x
2
1
2
1
2 1
2
1
2
1 2
1
2 3
1 3
2
2 1
2
1 2
1
2 5
1 5 2
Bài 2: Cho a, b, c và x, y, z là các số khác nhau và khác 0, đồng thời thoả mãn
I M
D
H
C B
A
N
E
A
B F
Trang 4và Chứng minh rằng
0
z
c
y
b
x
a
1
c
z b
y a
x
1
2
2 2
2 2
2
c
z b
y a x
z
c y
b
x
xyz
cxy bxz ayz
c
z
b
y
a
c
z b
y a
ab
xy
2
bc
yz
2
ac
xz
2 22 22 22
c
z b
y a
abc
xyc
2
abc
yza
2
acb
xzb
2
Mà ayz + bxz + cxy = 0 2ayz + 2bxz + 2cxy = 0 (Do abc 0)
2 2
2
2
2
c
z b
y
a
x
Bài 3: Cho biểu thức: A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2
a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử
b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0
a Ta có : A = ( b2 + c2 - a2)2 - 4b2c2 = ( b2 + c2 - a2)2 - (2bc)2 = ( b2 + c2 - a2-2bc)( b2 + c2 -
a2+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)
b.Ta có: (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b+c +a) >0 ( BĐT trong tam giác) (b-c -a) <0 ( BĐT trong tam giác) (b+c -a) >0 ( BĐT trong tam giác) Vậy A< 0
Bài 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau : B =
1
) 1 ( 3
2
3
x x x x
1
) 1 ( 3
2
3
x x x
x
1 ) 1 (
) 1 ( 3
x x
x
x
) 1 )(
1 (
) 1 ( 3
x x
x
1
3
2
x
Do x2 +1>0 nên B = 3 Dấu ''='' xãy ra x = 0
1
3
2
Vậy GTLN của B là 3x = 0
Bài 5 : Cho hình vuông ABCD Hai điểm I,J lần lượt thuộc hai
cạnh BC và CD sao cho góc IAJ =450 Đường chéo BD cắt
AI và AJ tương ứng tại H và K Tính tỉ số
J
I HK
Giải: Từ giả thiết góc HAJ = góc HDJ =450, suy ra tứ giác AHJD
nội tiếp, từ đó góc AHJ =1v.Vậy tam giác AHJ vuông cân tại H
2
2
AJ
AH
2
2
AI AK
Từ (1) và (2) suy ra AHK ~ A JI Do đó
J
I
HK
2
2
AJ
AH
§Ò sè 3
C©u 1
=
H
=
K
=
A
=
D
=
B
=
C
=
J
=
I
Trang 5Cho T=( 3 1)22 4 : ( 4)2 2 5 1.
2 ( 1) ( 2)
a/ Rút gọn T b/ Tìm x để T đạt giá trị lớn nhất
HD*TXĐ x 1.
2 ( 1) ( 2)
2
:
2
2
( 1)( 2 2) 1
x
1 (x 1) 1
b/ Để T đạt giá trị lớn nhất thì (x 1) 2 1 nhỏ nhất mà (x+1)2 +1>1
Vậy x=-1 thì T=1 là lớn nhất
) 1 ( ) 1 (
2 2
xz y
xz y yz x
yz x
Thỡ : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)
HD Từ GT (x 2 -yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y2 - xz)
x2y- x3yz-y2z+xy2z2 = xy2 -x2z - xy3z +x2yz2
x2y- x3yz - y2z+ xy2z2 - xy2 +x2z + xy3z - x2yz2 = 0
xy(x-y) +xyz(yz +y2- xz - x2)+z(x2 - y2) = 0
xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0
xyxyz(xyz) xzyz
Do x - y 0 nờn xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)
Bài 3: Tỡm nghiệm nguyờn của phương trỡnh sau: x2-4xy+5y2=16
HD
Ta cú: x2-4xy+5y2=16x2-4xy+4y2+y2 = 16 (x-2y)2+y2 = 16
Vỡ x, y Z nờn (x-2y) Z
Tổng hai bỡnh phương của hai số nguyờn bằng 16 thỡ chỉ cú 2 khả năng xảy ra
a)
(x-2y)2=0 x=8; y=4
y2=16 x=-8; y=-4
b) y2=0 x=4; y=0
(x-2y)2=16 x=-4; y=0
Vậy phương trỡnh cú 4 nghiệm nguyờn: (4;0); (-4;0); (8;4); (-8;-4)
Câu 4 (2 điểm): Một người đi xe máy từ Sơn Động đến Bắc Giang cách nhau 80km Một
nửa giờ sau một người đi xe ô tô từ Sơn Động đến Bắc Giang trước người đi xe máy 10 phút Tính vận tốc của mỗi xe, biết vận tốc của xe ô tô gấp 1,5 lần vận tốc xe máy
Trang 6HD Gọi vận tốc của người đi xe máy là x km/h (x > 0)
=> vận tốc của người đi xe ô tô là 1,5x km/h
thời gian người đi xe máy là: 80 (h) , thời gian người đi xe ô tô là: ( h)
x
80
1,5x
theo bài ra ta có pt: 80- = (ô tô đi trước 0,5 (h) + đến sớm 10 phút) = (h)
x
80
1,5x
2 3
2 3
giải pt trên được x= 40 Vậy vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h, vận tốc của người đi
xe ô tô là 60 km/h
Bài 4: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Đường thẳng vuụng gúc với AB tại B và đường thẳng vuụng gúc với AC tại C cắt nhau tại G
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC
b) ABC ~ AEF c) BDF = CDE
d) H cỏch đều cỏc cạnh của tam giỏc DE
Giải
a)BG AB, CH AB, nờn BG // CH
Tương tự BH AC, CG AC nờn BH//CG
Tứ giỏc BGCH cú cỏc cặp cạnh đối song
song nờn nú là hỡnh bỡnh hành
Do đú hai đường chộo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm
M của BC
b) Do BE và CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC
nờn cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng
Hai tam giỏc vuụng ABE và ACF cú chung gúc A nờn
chỳng đồng dạng
AF
AE
AF
AC
AE AB
Hai tam giỏc ABC và AEF cú gúc A chung (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABC ~ AEF
c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy ra
d) Ta cú BDF = CDE 90 0 - BDF = 90 0 - CDE 90 0 - BDF = 90 0- CDE
ADB - BDF = ADC - CDE ADF = ADE
Suy ra: DH là tia phõn giỏc gúc EDF Chứng minh tương tự ta cú FH là tia phõn giỏc gúc
EFD Suy ra H là giao điểm ba đường phõn giỏc của tam giỏc DEF Vậy H cỏch đều ba cạnh của tam giỏc DEF
Đề số 4
Bài 1
a) Chứng minh rằng phân số 3n 1 là phân số tối giản nN ;
+ +
=
H
=
A
=
B
=
C
=
G
=
D
=
E
=
F
Trang 7b) Cho phân số A n2 4 (nN) Có bao nhiêu số tự nhiên n nhỏ hơn 2009 sao cho phân
n 5
+
= +
số A cha tối giản Tính tổng của tất cả các số tự nhiên đó
Lời giải a) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1) 3(5n + 2) – 5(3n + 1) M d hay 1 M d d = 1
Vậy phân số 3n 1 là phân số tối giản
+ +
n 5
+
29
n + 5 phải chia hết cho một trong các ớc dơng lớn hơn 1 của 29
Vì 29 là số nguyên tố nên ta có n + 5 M 29
n + 5 =29k (k N) hay n=29k – 5
Theo điều kiện đề bài thì 0 ≤ n = 29k – 5 < 2009
1 ≤ k ≤ 69 hay k{1; 2;…; 69}
Vậy có 69 số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện đề bài
Tổng của các số này là : 29(1 + 2 + … + 69) – 5.69 = 69690
Bài 2 Cho a, b, c ≠ 0 và a + b + c ≠ 0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1 1
+ + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c có hai số đối nhau Từ đó suy ra rằng :
2009 2009 2009 2009 2009 2009
Lời giải
+ +
0
+ +
+ +
+ +
ộ + = ờ
ờ + = ờ
ờ + = ở
ộ = -ờ
ờ = -ờ
ờ = -ở
Từ đó suy ra : 20091 20091 20091 20091 12009 20091 20091
2009 20091 2009 2009 12009 2009 20091
20091 20091 20091 2009 20091 2009
Bài 3:Tỡm GTNN của B = 3x + y - 8x + 2xy + 16. 2 2
HD : B = 3x + y - 8x + 2xy + 16 = 2(x - 2) + (x + y) + 8 2 2 2 2 8
Trang 8 MinB = 8 khi : {x - 2 = 0
x + y = 0) { x = 2
y = - 2)
Bài 4: Để thi đua lập thành tích chào mừng ngày thành lập đoàn TNCS Hồ Chí Minh (26/3) Hai tổ công nhân lắp máy được giao làm một khối lượng công việc Nếu hai tổ làm chung thì hoàn thành trong 15 giờ Nếu tổ I làm trong 5 giờ, tổ 2 làm trong 3 giờ thì làm được 30% công việc Nếu công việc trên được giao riêng cho từng tổ thì mỗi tổ cần bao nhiêu thời gian
để hoàn thành
Bài 5: Cho tam giỏc ABC cú 3 gúc nhọn, cỏc đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H Đường thẳng vuụng gúc với AB tại B và đường thẳng vuụng gúc với AC tại C cắt nhau tại G
a) Chứng minh rằng GH đi qua trung điểm của BC
c) BDF = CDE
d) H cỏch đều cỏc cạnh của tam giỏc DEF
Giải
a)BG AB, CH AB, nờn BG // CH
Tương tự BH AC, CG AC
nờn BH//CG
Tứ giỏc BGCH cú cỏc cặp cạnh đối song
song nờn nú là hỡnh bỡnh hành
Do đú hai đường chộo cắt nhau tại trung
điểm của mỗi đường.Vậy GH đi qua trung điểm
M của BC
b) Do BE và CF là cỏc đường cao của tam giỏc ABC
nờn cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng
Hai tam giỏc vuụng ABE và ACF cú chung gúc A nờn chỳng đồng dạng
AF
AE
AF
AC
AE AB
Hai tam giỏc ABC và AEF cú gúc A chung (2)
Từ (1) và (2) suy ra ABC ~ AEF
c) Chứng minh tương tự ta được: BDF ~ BAC, EDC ~ BAC, suy ra
d) Ta cú BDF = CDE 90 0 - BDF = 90 0 - CDE 90 0 - BDF = 90 0- CDE
ADB - BDF = ADC - CDE ADF = ADE
Suy ra: DH là tia phõn giỏc gúc EDF Chứng minh tương tự ta cú FH là tia phõn giỏc gúc EFD Suy ra H là giao điểm ba đường phõn giỏc của tam giỏc DEF Vậy H cỏch đều ba cạnh của tam giỏc DEF
Ví dụ 3 Đơn giản biểu thức :
A
Lời giải
Đặt S = a + b và P = ab Suy ra : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = S2- 2P
=
H
=
A
=
B
=
C
=
G
=
D
=
E
=
F
Trang 9a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = S3- 3SP.
+
Ta có : A =
=
Hay A = 13 3 31
Ví dụ 4 Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ
thuộc vào giá trị của x :
S(x)
-Lời giải
Cách 1
S(x)
(a b)(b c)(c a)
(a b)(b c)(c a)
-=
0 (a b)(b c)(c a)
Vậy S(x) = 1x (đpcm)
Cách 2
Đặt P(x) = S(x) – 1 thì đa thức P(x) là đa thức có bậc không vợt quá 2 Do đó, P(x) chỉ có tối đa hai nghiệm
Nhận xét : P(a) = P(b) = P(c) = 0 a, b, c là ba nghiệm phân biệt của P(x)
Điều này chỉ xảy ra khi và chỉ khi P(x) là đa thức không, tức là P(x) = 0 x
Trang 10Suy ra S(x) = 1 x ®pcm.
VÝ dô 9 Cho x 1 3 TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau :
x
2
1
x
3
1
x
4
1
x
5
1
x
Lêi gi¶i
2 2
2
ç
3 3
3
2
ç
+
-Lêi gi¶i
Ta cã :
(x + 1)(x 1)
-§Ò sè 5
Bài 1 :( 1,5 điểm)
a) Phân tích đa thức x 3 – 5x 2 + 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A B biết
A = 10x 2 – 7x – 5 và B = 2x – 3
Bài 2 : (1,5 điểm) Cho x + y = 1 và x y 0 Chứng minh rằng
2
0
x y
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
Trang 11b) Chứng minh rằng :
2 2
3
c) Cho a 2 – 4a +1 = 0 Tính giá trị của biểu thức
P = a4 a22 1
a
Bài 4 : ( 1,0 điểm) Tìm a để M có giá trị nhỏ nhất
M = với a o
2
2
a
Bài 5 : (2,5 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh
BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt AB và AC lần lượt tại E và F.
a) Chứng minh DE + DF = 2AM
b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N Chứng minh N là trung điểm của EF
c) Chứng minh S 2
FDC 16 S AMC S FNA Bài 6 : ( 1 điểm) Cho tam giác ABC vuông cân tại A, vẽ trung tuyến CM, vẽ AH vuông góc với MC( H thuộc MC), AH cắt BC tại D Tìm tỉ số BD
DC
Hết HƯỚNG DẪN CHẤM
Bài 1 : ( 1,5 điểm)
a) ( 0,75đ) x3- 5x2 + 8x - 4 = x3 -4x2 + 4x – x2 +4x – 4 ( 0,25 đ )
= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) ( 0,25 đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2 ( 0,25 đ)
x
Với x Z thì A B khi 7 Z 7 ( 2x – 3) ( 0,25 đ)
2x 3
Mà Ư(7) = 1;1; 7;7 x = 5; -2; 2 ; 1 thì A B ( 0,25 đ)
( 1)( 1)
= 4 4 ( do x+y=1 y-1=-x và x-1=- y) (0,25đ)
= 2 2 (0,25đ)
= 2 2 (0,25đ)
2 2
( 1) ( 1)
xy x y
= = (0,25đ)
2 2
( ) ( )
xy x y
2 2
( 2 )
xy x y
Trang 12= 2(2 2 ) Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
3
x y
x y
Bài 3 : ( 2,5 điểm)
a) ( 0,75đ) Gọi 3 số nguyên liên tiếp là n-1; n; n+1 ( n Z )
Ta có ( n-1)3 +n3 + ( n+1)3 = 3n3+6n (0,25đ) = 3n3 -3n +9n = 3n(n2 -1) +9n
= 3n (n-1) (n+1) +9n (0,25đ)
Vì 9 9 3n (n-1) (n+1) + 9n 9 (0,25đ)
3 ( 1)( 1) 9
n
b) (1đ) Ta có (x+1)2 0 2( x+1)2 0 2x2+4x+2 0
3x2+3x+3 x 2-x+1 3(x2+x+1) x 2-x+1 (*)
Tương tự, ta có từ (x-1)2 0 3(x2-x+1) x 2+x+1 (**) (0,25đ )
Vì x2-x+1 = ( x- )1 2 + > 0 (0,25đ)
2
3 4
Chia 2 vế của bất đẳng thức (*) cho x2-x+1
ta có (0,25đ)
2 2
Chia 2 vế của bất đẳng thức (**) cho x2-x+1
ta có suy ra đccm (0,25đ)
2 2
1 3 1
c) (0,75đ) Ta có a2 - 4a + 1 = 0 a 2 – a + 1 = 3a a2 a 1=3 (0,25đ)
a
P = a4 a22 1 a2 a 1.a2 a 1 = 3 (0,25đ)
a
Mà a2 a 1 a2 a 1 2a = 3+2 = 5
Suy ra P = 3 5 = 15 (0,25đ)
2 2
2008( 2 2008)
2008
a
2
2008 2 .2008 2008
2008
a
2
2007 2 2008 2008
2008
a
2
2007 ( 2008) 2007
a a
Dấu “=” xảy ra a – 2008 = 0 a = 2008
Vậy giá trị nhỏ nhất của M là 2007 khi a = 2008 (0,25đ)
2008
Bài 5 :(2,5đ)
Câu a ( 0,75đ): Lý luận được : DF DC ( Do AM//DF) (1)
DE BD ( Do AM // DE) (2) ( 0,25đ)
Từ (1) và (2) DE DF BD DC BC 2 ( MB = MC) ( 0,25đ)
DE + DF = 2 AM ( 0,25đ)
Câu b ( 1 đ) : AMDN là hình bành hành