HƯỚNG dẫn học SINH TÍNH THỂ TÍCH vật THỂ NHỜ ỨNG DỤNG của TÍCH PHÂN

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ NHỜ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Người thực hiện: Mai Thị Bích Chức v

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT MAI ANH TUẤN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ

NHỜ ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

Người thực hiện: Mai Thị Bích Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc lĩnh vực: Toán

MỤC LỤC

Mục lục Trang 2

1 Mở đầu Trang 3

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến

2.2 Thực trạng vấn đề

2.3 Giải pháp thực hiện

2.3.1 *) Tính thể tích vật thể

4

6

2.3.2*) Tính thể tích khối tròn xoay 10

2.4 Hiệu quả của sáng kiến 13

3 Kết luận

4 Tài liệu tham khảo

14

1 MỞ ĐẦU.

1.1 Lý do chọn đề tài.

Tích phân và ứng dụng của tích phân là một chương trong nội dung sách giáo khoa giải tích lớp 12, là chuyên đề ôn thi THPT Quốc gia với nhiều kiến thức và ứng dụng thực tế quan trọng

Trong thực tế cuộc sống và khoa học kĩ thuật, người ta cần phải tính thể tích của những vật thể phức tạp Chẳng hạn thể tích của 1 khoang tàu, một hồ nước

có sức chứa bao nhiêu

Có nhiều học sinh hỏi tôi rằng, chúng em học toán có quá nhiều công thức, nhiều tính toán nhưng sử dụng trong thực tế thì ít Và qua đề tài này, tôi muốn cho các em thấy được toán học ra đời là để giải quyết những bài toán thực tiễn trong cuộc sống hằng ngày Chính từ bài toán tính diện tích, thể tích, chiều dài cung là tiền thân của sự ra đời phép tính tích phân

1.2 Mục đích nghiên cứu

Từ mong muốn đó; trong quá trình giảng dạy cùng với sự tham khảo ý kiến của đồng nghiệp; tôi đã mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích vật thể nhờ ứng dụng của tích phân ” Qua sáng kiến này tôi mong muốn một phần nào giúp các em học sinh trong quá trình ôn thi THPTQG có được một tài liệu để tự học và qua đó giúp các em có thêm niềm tin, hứng thú trong học tập, biết sáng tạo để giải quyết những bài toán mới lạ, biết quy lạ về quen và thấy được vẻ đẹp, sự gần gũi của toán học

1.3 Đối tượng nghiên cứu:

Trong khuôn khổ bài viết tôi chỉ hệ thống lại một số dạng toán về tính thể tích 1.4 Phương pháp nghiên cứu Với đề tài này, khi mà nội dung vấn đề không phải quá mới mẻ, tôi chỉ mong muốn đây như là một tài liệu giúp các em ôn tập và bổ sung thêm kiến thức cơ bản đồng thời tự luyện về dạng bài toán này

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN.

2.1 Cơ sở lý luận

Trước hết chúng ta ôn tập lại một số công thức tính thể tích của vật thể nhờ úng dụng của tích phân

2.1.1 Thể tích vật thể: [1]

Một vật thể trong không gian

Gọi B là phần của vật thể

giới hạn bởi 2 mp (P) và (Q)

Chọn hệ trục toạ độ Oxyz

có Ox vuông góc với (P) và (Q)

Gọi a, b (a < b) là giao điểm

của (P) và (Q) với Ox

Gọi một mp tùy ý vuông

góc với Ox tại x (xa;b)

cắt B theo thiết diện có

diện tích là S(x) Giả sử S(x)

liên tục trên a; b Khi đó thể tích của vật thể B được tính bởi công thức

( )

b

a

V  �S x dx (1)

2.1.2 Thể tích của khối tròn xoay: [1]

Một hình phẳng quay quanh một trục nào đó tạo nên một khối tròn xoay

Bài toán 1

Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị

hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn  a b; , trục

Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b quanh trục

Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là:

 

2

b x a

V �f x dx (2)

Chú ý: Cho hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên

đoạn  a b; , trục Oy và hai đường thẳng y = a, y = b quay quanh trục Oy ta được khối tròn xoay có thể tích là: 2 

b y a

V �g y dy (3)

Bài toán 2.

Thể tích khối tròn xoay có được khi quay nhiều đồ thị hàm số quanh một trục

 

y f x 

y

x

O

Ta tiến hành chia phần thể tích V thành các phần thể tích V V1 , , 2 mà mỗi phần được tính bằng các công thức (2) hoặc (3)

   ,  ;

f x �g x x�a b g x  �f x , x� a b;

   

b a

V   ���f x g x dx�� 2  2 

b a

V   ���g x  f x dx��

   ,  ;

f y �g y y�a b g y  �f y , y� a b;

   

b a

V   ���f y g y dy��

   

b a

V   ���g y  f y dy��

     

     

, ; ; , ;

f x g x x a c



� �



     

     

, ; ; , ;

f x h x x a c

g x h x x c b



� �



       

V ���f x g x dx��  ���g x f x dx��

       

V ���f x h x dx��  ���g x h x dx��

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Mặc dù ứng dụng của tích phân là một chuyên đề lớn trong nội dung ôn thi,

đã được khai thác trong nhiều tài liệu của các tác giả, các nhà sách, nhưng chỉ trong ít năm trở lại đây, trong đề thi THPT Quốc gia, đề minh họa hoặc đề khảo sát THPT của các Sở mới xuất hiện dạng toán ứng dụng của tích phân để tính thể tích của vật thể gắn với thực tế gần gũi quen thuộc trong cuộc sống

Là dạng quen thuộc, đòi hỏi phải nắm vững lý thuyết cơ bản để vận dụng mới giải quyết được vấn đề Vì vậy với tài liệu này, tôi- với tuổi nghề chưa nhiều, mong muốn giúp các em củng cố tốt hơn lý thuyết để vận dụng linh hoạt trước nhiều dạng toán mới lạ và cũng để bản thân tôi nâng cao năng lực chuyên môn

2.3 Một số giải pháp:

2.3.1 *) Tính thể tích của vật thể nhờ công thức

( )

b

a

V �S x dx (1)

Bài toán 1: [2]

Có một cốc thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là 6cm, chiều cao trong lòng cốc là 10cm đang đựng một lượng nước Tính thể tích lượng nước trong cốc, biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì ở đáy mực nước trùng với đường kính đáy

A 240 cm 3 B 240 cm  3 C 120 cm 3 D 120 cm  3

Phân tích bài toán:

Để tính lượng nước trong cốc ta coi phần nước nghiêng trong cốc là vật thể B Trước hết cần gắn hệ tọa độ Cần quan tâm đến các đường vuông góc với nhau

để chọn hệ tọa độ hợp lí Sau đó cần xác định thiết diện được cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox và tính được diện tích S(x) của thiết diện đó

y z

x O

h A

α α

S(x)

Lời giải: Chọn đáp án A

Đặt R 6(cm), h 10(cm) Gắn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ

Một mặt phẳng tùy ý vuông góc với trục Ox tại điểm x ( � � 6 x 6) cắt vật thể theo thiết diện có diện tích là S x 

Ta thấy thiết diện đó là một tam giác vuông,

giả sử là tam giácABC vuông tại B

như trong hình vẽ

Ta có S x  S ABC 1 .

2 AB BC

tan

2BC 



Vậy thể tích lượng nước trong cốc là

5 36

6

x



Bài toán 2: [3]

Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên

Các tứ giác ABCD CDPQ, là các hình vuông

cạnh 2,5cm Tứ giác ABEF là hình chữ nhật

có BE 3,5cm Mặt bênPQEF được

mài nhẵn theo đường parabol  P

có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF

Thể tích của chi tiết máy bằng

A 395 3

24 cm B 50 3

3 cm C 125 3

8 cm D 425 3

24 cm

Lời giải: Chọn đáp án D

Gọi hình chiếu của P Q, trên AF và BE là R vàS Vật thể được chia thành

hình lập phương ABCD PQRS. có cạnh 2,5cm, thể tích 3

1

125 8

V  cm và phần còn

lại có thể tích V2 Khi đó thể tích vật thể 1 2 2

125 8

V V V   V

Gắn hệ trục Oxyz sao cho O trùng vớiF , Ox trùng với FA, Oy trùng với tia

Fy song song với AD ( hình vẽ) Khi đó Parabol  P đi qua điểm 1;5

2

P � �� �

� � và O(0; 0) do đó có phương trình 5 2

2

y x Cắt vật thể bởi mặt phẳng vuông góc với Ox và đi qua điểm M x ;0;0, 0 � �x 1

ta được thiết diện là hình chữ nhật MNHK có cạnh là 5 2

2



2



MK do

đó diện tích   25 2

4

S x  x

Áp dụng công thức thể tích vật thể ta có

1 2 2

0

25 25

4 12

V � x dx

=> 125 25 425 3

8 12 24

V    cm

Bài toán 3: [3]

Từ một khúc gỗ hình trụ có đường kính 30cm, người ta cắt khúc gỗ bởi một mặt phẳng đi qua đường kính đáy và nghiêng với đáy một góc 450 để lấy một hình nêm ( hình minh họa dưới đây)

Kí hiệu V là thể tích của hình nêm (Hình 2) Tính V

A 2250 cm3 B 225 3

4 cm



C 1250 cm3 D 1350 cm3

y

O

z

x

Hình 1 Hình 2

Lời giải: Chọn đáp án A

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó hình nêm có đáy là nửa hình tròn có

phương trình: y = 225 x x2 ; � [ 15;15] 

Một một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x với

x  [-15; 15]

Cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích là S(x)

Dễ thấy NP = y

MN = NP.tan450 = y = 225 x x2 ; � [ 15;15] 

S x  MN NP x

=>

15 15

15 15

1

2

Bài tập tương tự:

Bài 1: [4]

Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015 Nền sân là một Elip  E có

trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng

vuông góc với trục lớn của  E và cắt  E tại M và N (hình a)

thì ta được thiết diện luôn là

một phần của hình tròn có

tâm I( phần tô đậm trong hình b)

với MN là dây cung và MIN�  90 0

Để lắp máy điều hòa không khí

cho sân vận động thì các kỹ sư Hình a Hình b

cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể

Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?

A 57793m3 B 115586m3 C 32162m3 D 101793m3

Bài 2: Một chiếc thùng đựng nước hình trụ có bán kính đáy 20cm, bên trong

đựng một lượng nước Biết rằng khi

nghiêng thùng sao cho đường sinh

của hình trụ tạo với mặt đáy góc

45° cho đến khi nước lặng, thì mặt

nước chạm vào hai điểm A và B

nằm trên hai mặt đáy như hình vẽ

bên Hỏi thùng đựng nước có thể

tích là bao nhiêu cm3?

A 16000  B 12000  C 8000  D 6000 

2.3.2 *) Thể tích của khối tròn xoay:

Bài toán 1:

Một thùng đựng rượu (có dạng khối tròn xoay như hình vẽ) có đường kính

đáy là 30cm, đường kính lớn nhất của thân thùng là 60cm, các cạnh bên hông của thùng có hình dạng của một parabol Thể tích của thùng bia hơi gần nhất với kết quả nào dưới đây? (giả sử độ dày của thùng bia không đáng kể)

A 70(lít) B 62(lít) C 64 (lít) D.60(lít)

Phân tích bài toán:

Với dạng bài tập này, ta thực hiện gắn hệ tọa độ( nếu chưa có), cần chọn hệ tọa độ hợp lí để việc tính toán đơn giản nhất Tiếp đến dựa vào đề bài để tìm các hàm số Tiếp đến xác định khối tròn xoay được sinh ra khi đồ thị các hàm số đó quay quanh trục nào (Ox hay Oy) Dựa vào công thức (2); (3) để tính thể tích

Lời giải: Chọn đáp án C.

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

Ta có phương trình parabol phía trên trục hoành đi qua các điểm

( 30;15); (30;15); (0; 20)

2 20

180

x

y  

Thể tích thùng bằng thể tích

khối tròn xoay tạo thành khi

quay quanh trục hoành

hình phẳng giới hạn bởi các đường

2

180

x

y    y x  x

Vì vậy

2

30 2

3 30

20 d 20300 (cm ) 63,8 180

x



Bài toán 2:

Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm trong hình vẽ bên quanh trục Ox

ta được khối tròn xoay có thể tích là:

A V  3  2 B V   2

C 2 2

3

V   D V  2  2

Lời giải: Chọn đáp án D.

Ta có:

2

1 1

1 1

�   

�

   �    �

�   

�

Đặt x = sint; ;

2 2

� �� ��

� �� ���

sin 2

8 cos 4 1 cos 2 4 2 2

2 0

t

Bài toán 3:

Quay hình phẳng (H) như hình được tô đậm

trong hình vẽ bên quanh trục Ox ta được

khối tròn xoay có thể tích:

A 46

9

V  

B 46

15

V  

C 23

9

V   D

13

V  

O

20 15 y

x

A

C

B

Lời giải: Chọn đáp án B.

Xét hệ phương trình:

2 2 4

3

�



�

Do (H) đối xứng nhau qua Oy nên

3 3 46

2 4 3 2 4 3 2 4

3 5 0 15

V   �� x  x ��dx   x x dx ��x  ��  

Bài toán 4 :

Một bác thợ gốm làm một cái lọ có dạng khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y  x1 và trục Ox; quay quanh trục Ox; biết đáy lọ và miệng lọ có đường kính lần lượt là 2dm và 4dm, khi đó thể tích của lọ là:

A 8 dm 3 B 15 3

3 dm C 14 3

3dm D 15 3

2dm

Lời giải: Chọn đáp án D.

Do đường kính đáy lọ là 2dm nên bán kính đáy lọ là 1 dm Tương tự, bán kính miệng lọ là 2 dm Ta có

Vậy 5 2

3 2

15 1

2

V  x dx  dm

�

Bài tập tương tự:

Bài 1:[4] Cho hình phẳng H được giới hạn bởi

các đường y  x 2,y x  2,x 1 Tính thể

tích V của vật thể tròn xoay khi quay hình

phẳng H quanh trục hoành

A. 27

2

V  

B. 9

2

V  

C.V  9  D. 55

6

V  

1 O

y

x

1 2

Bài 2: [4] Bên trong hình vuông cạnh a , dựng hình sao bốn cánh đều như hình

vẽ bên (các kích thước cần thiết cho như ở trong hình) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình sao đó quanh trục xy.

A 5 3

48a



B.5 3

16 a



C 3

6a



D 3

8a



Bài 3: [4] Cho đường tròn nội tiếp hình vuông cạnh a (như hình vẽ bên) Gọi S là

hình phẳng giới hạn bởi đường tròn và hình vuông

(phần nằm bên ngoài đường tròn và bên trong hình

vuông) Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay S

quanh trục MN

A V a3

6



 B V a3

12





C V a

3

3



 D V a3

Bài 4: Trên mặt phẳng Oxy, cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường

 P y x:  2; P' : y 4 ; x2  d :y 4

Thể tích của khối tròn xoay khi quay (H)

quanh trục Ox bằng:

A 9

5



B 4

5



C 7

5



D 2 

2.4 Kết quả thực nghiệm

Với đề tài này tôi mong muốn sẽ khuyến khích tính tự học, tự tìm tòi của mỗi học sinh, và còn nhiều bài tương tự trong các đề thi thử, mong rằng các em học sinh sẽ giải quyết tốt dạng toán này

3 KẾT LUẬN.

Trong thời gian có hạn đề tài của tôi không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Tôi rất mong được sự bổ sung và góp ý của đồng nghiệp để đề tài này được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

4 TÀI LIỆU THAM KHẢO :

[1] Sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản và nâng cao - NXB Giáo dục Việt Nam [2] : Đề khảo sát THPT Sở GDDT Thanh Hóa 2020-2021

[3] Đề thi được tham khảo từ Internet : https://toanhocbactrungnam.vn ;

[4] Đề thi thử của các trường THPT và từ bạn bè, đồng nghiệp.

(KHẢO SÁT THPT NINH BÌNH – BẠC LIÊU LẦN 4 NĂM 2019)

(ĐỀ KHẢO SÁT SỞ GD&ĐT NAM ĐỊNH)

( ĐỀ KHẢO SÁT THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ)

( ĐỀ KHẢO SÁT THPT PHẠM VĂN ĐỒNG – PHÚ YÊN )

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 5 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Mai Thị Bích