Hướng dẫn học sinh lớp 10 khai thác một số ứng dụng của định lí sin và côsin trong tam giác

Lý do chọn đề tài: Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chư

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I Lý do chọn đề tài:

Với xu thế đổi mới phương pháp giáo dục hiện nay của bộ giáo dục, trong quá trình dạy học để thu được hiệu quả cao đòi hỏi người thầy phải nghiên cứu tìm hiểu kỹ chương trình, đối tượng học sinh; đưa ra các phương pháp phù hợp với kiến thức, với các đối tượng học sinh cần truyền thụ Như luật giáo dục có viết:“ Phương pháp giáo dục cần phát huy tính tích cực, tự giác, tự học, tự sáng tạo của từng học sinh Giúp học sinh nắm vững kiến thức và có hứng thú trong học tập ” Trong chương trình Hình học 10 nội dung của định lí côsin và định lí sin chiếm

vị trí rất quan trọng, chúng có rất nhiều ứng dụng trong giải toán ở các chương trình lớp 10,11 và 12, vì thế các định lí này được ví như những viên ngọc quý trong hình học sơ cấp Là giáo viên trực tiếp giảng dạy môn toán ở trường THPT

Lê Lợi, trong quá trình giảng dạy, tôi luôn nghiên cứu tìm tòi các phương pháp mới phù hợp với từng bài dạy và các đối tượng học sinh để truyền thụ các kiến thức, đặc biệt là trong việc dạy học các định lý, tôi luôn hướng dẫn học sinh nắm vững các kiến thức đã học bằng cách cho học sinh thấy được ứng dụng của định lý thông qua hệ thống bài tập áp dụng tương thích, từ đó giúp học sinh thấy được giá

trị của nội dung định lí Với những kinh nghiệm trên tôi đã chọn đề tài: “Hướng

dẫn học sinh lớp 10 khai thác các ứng dụng của định lí sin và côsin trong tam giác ” nhằm mục đích nâng cao chất lượng học tập của học sinh lớp 10 , tạo hứng

thú cho các em tiếp cận và giải quyết các kiến thức có liên quan đến hai định lí này ở chương trình lớp 11, 12

II Đối tượng nghiên cứu:

Học sinh lớp 10 với trình độ không quá yếu

III Phương pháp nghiên cứu:

- Lựa chọn các ví dụ các bài tập cụ thể phân tích tỉ mỉ giả thiết của bài toán, hướng dẫn học sinh vận dụng năng lực tư duy, kỹ năng, kiến thức đã học để từ đó đưa ra nhiều cách giải của một bài toán

- Qua kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn; Tìm hiểu tài liệu tham khảo, sách giáo khoa và sách bài tập hình học lớp 10; báo Toán học và Tuổi trẻ, tham khảo ý kiến của đồng nghiệp

IV Thực trạng của đề tài:

- Thực tế giảng dạy cho thấy nhiều học sinh lớp 11, lớp 12 khi giải quyết các bài tập hình học không gian cổ điển, các em thường không biết ứng dụng định lí sin và côsin để tính các yếu tố trong tam giác, bởi vì đa số các em không nắm vững bản chất, ý nghĩa và các ứng dụng của định lí

- Đây là hai định lí quan trọng có ứng dụng cao, đòi hỏi sự tư duy, phân tích của các em Các ứng dụng của định lí sin và côsin rất rộng và khó, hơn nữa khi giảng dạy nhiều giáo viên chưa thực sự phát huy hết mặt mạnh của học sinh Nhiều em còn nắm kiến thức rất mơ hồ, áp dụng máy móc kiến thức, ý thức học tập chưa cao nên chưa thấy được ứng dụng to lớn của hai định lí này

B NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I Các biện pháp :

1 Trong quá trình giảng dạy học sinh, giáo viên cần chú trọng gợi động cơ học

tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức Từ đó kích thích các em học tập tốt hơn

2 Giáo viên cần nắm rõ đặc điểm, tình hình từng đối tượng học sinh để có biện pháp giảng dạy cho phù hợp với từng đối tượng, song song với việc bồi dưỡng học sinh khá giỏi cần giúp đỡ học sinh yếu kém Việc này cần thực hiện ngay trong từng tiết học, bằng biện pháp rèn luyện tích cực, phân hoá nội tại thích hợp

3 Bằng cách cho học sinh nhắc lại nội dung của định lí và một số hệ quả rút ra từ mỗi định lí, trên cơ sở đó giáo viên hướng dẫn học sinh vận dụng năng lực tư duy,

kỹ năng giải toán thông qua các dạng bài tập và lựa chọn các ví dụ cụ thể, phân tích tỉ mỉ kiến thức đã học để từ đó đưa ra nhiều cách giải cho bài toán

II Nội dung định lí côsin và định lí sin trong tam giác:

Ta đã biết tam giác hoàn toàn xác định khi biết ba cạnh, hoặc hai cạnh và một

góc xen giữa, hoặc biết một cạnh và hai góc kề; Có nghĩa là khi biết các yếu tố góc cạnh như trên thì các góc cạnh còn lại sẽ xác định như thế nào? Rõ ràng các góc cạnh còn lại và các góc cạnh đã biết sẽ có một mối liên hệ! Các mối liên hệ đó người ta gọi là các hệ thức lượng giác trong tam giác Một trong các hệ thức đó là định lý Côsin và định lí Sin trong tam giác

1 Định lí côsin: Trong tam giác ABC bất kỳ với BC = a, CA = b, AB = c ta có:

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA

b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosB

c2 = a2 + b2 – 2.a.b.cosA

* Ứng dụng:

2 Định lí sin: Trong tam giác ABC bất kì với BC = a, AC = b, AB = c và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , ta có: a b c 2R sin A  sin B  sin C  * Ứng dụng:

a2 = b2 + c2 – 2.b.c.cosA

2 2 2

cosA=

2bc

 

b  c a

cos A 0

0

A 90

b  c a

b  c a

cos A 0

0

A 90

cos A 0

0

A 90

2R sin A sin B sin C 

b sin A a

sin B



a sin B sin A

b



a 2Rsin A

a R

2 sin A



A

B

C

a

III Một số ứng dụng của định lý cơsin và định lí sin trong tam giác

(Trong phần này ta quy ước BC = a, CA = b, AB = c là các cạnh của tam giác ABC và A,B,C là các gĩc của tam giác ABC )

Ứng dụng 1: Tính các yếu tố cạnh, gĩc và bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC biết b=8; c=5 ; A = 600

Tính a ; B; C Giải

Áp dụng định lí cosin và hệ quả của nĩ trong tam giác ABC ta cĩ :

a2  b2  c2 2bc.cos A  64 25 2.8.5.cos60   0  49   a 7

2 2 2

a + c - b 49 + 25 - 64 5

84 52 '

Chú ý: Cĩ thể tính các gĩc B,C bằng cách: Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta cĩ

0

sin B

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC biết A=1200

; B =450 ; R =2 Tính 3 cạnh a,b,c Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC ta cĩ

a 2R a 2R.sin A 2.2.sin1200 2 3

b 2R b 2R.sin B 2.2.sin 450 2 2

C 180 120 45 15 c 2R sin C 2.2.sin15 4 6 2

4



Nhận xét: Cĩ thể tính cạnh c bằng cách

C 180 120 45 15 c a b 2ab cos C 12 8 2.2 3.2 2 6 2

4



Hoặc:

0 0

a c a sin C 2 3 sin15

sin A  sin C   sin A  sin120  

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thõa mãn: a= 3, b= 4, c= 6 Tìm cơsin của gĩc cĩ số

đo lớn nhất

Giải

Ta có:

2 2 2

16 36 9 43 osA

b c a  

C

2 2 2

9 36 16 29 osB

   

a c b  

C

ac

2 2 2

9 16 36 11 os

C C

ab

Nhận thấy cosA>0 ,cosB>0 nên các góc A và B nhọn cosC<0 nên góc C tù

Vậy: Góc số đo lớn nhất là góc C và os 2 2 2 9 16 36 11

C C

ab

Ví dụ 4: Cho các cạnh của ABC thõa mãn hệ thức :

4  2 2 2 4 2 2 4

c  a b c a a b b  (1) Tính góc C

Giải

c a b c a a b b c a b a b

2 2 2 2 2 2

2 2 2

0 0

0



0

2

         os  

120

0

2

         os 

Nhận xét: Có thể giải bài toán bằng cách : Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn 2

c

ta có

 2 22 4 2 2 4 2 2

Δ'  a b a a b b a b  0

Khi đó phương trình (1) có hai nghiệm c2 a2b2ab hoặc c2 a2 b2 ab

Ví dụ 5: Cho tam giác ABC có : : 3 : 2 : 6 2

2

a) Tính các góc của tam giác

b) Cho a2 3 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Giải

2

t



6 2

3 , 2 ,

2

Áp dụng định lí côsin ta có

2 2 2

0 2



2 2 2

0 2



C = 1800 – (A + B) = 150

b) Áp dụng định lí sin, ta có: 2 3 0 2

2sin 2sin120

a R

A

Ví dụ 6: Giả sử:

2

2

1

2 1 1

   

  



  



(x >1)

Chứng minh a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và tính số đo góc A

Hướng dẫn:

- Chứng minh:

 



  



  



với mọi x> 1 Suy ra a, b, c là 3 cạnh 1 tam giác

- Ta có: 2 4 3 2

a x  x  x  x ; 2 2

4 4 1

2 1

bc x x  x Suy ra: 2 2 2

a b c bc Mà 2 2 2

2 os

a b c  bcC A Vậy: os 1 120

2

o

C A   A

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có 2 đường trung tuyến BM=6, CN=9 và hợp với

nhau 1 góc 1200 Tính các cạnh của tam giác ABC

Giải

+) Trường hợp 1: · 0

BGC 120 

Áp dụng định lí côsin trong tam giác GBC

Với GB 2BM 4, GC 2CN 6

    ta có:

BC GB GC 2GB.GC.cos120 16 36 2.4.6 76

2

 

  BC 762 19

A

B

G

N

Tương tự áp dụng định lí cơsin trong tam giác GBN và tam giác GCM ta cĩ :

BN GB GN 2GB.GN.cos60 16 9 2.4.3 13 AB 2 13

2

 

 

CM CG GM 2GC.GM.cos60 36 4 2.2.6 2 7 AB 4 7

2

 

  +) Trường hợp 2: · 0

BGC  60 HS giải tương tự

Nhận xét : Ở bài tập này học sinh thường khơng xét hai trường hợp

Ví dụ 9: (THTT Tháng 7/2009) Cho tam giác ABC vuơng tại B Kéo dài AC

về phía C một đoạn CD=AB=1 Cho · 0

30

CBD Tính độ dài đoạn thẳng AC

Giải

Đặt AC=x (x>0)

Áp dụng định lí cơsin trong tam giác ABD Ta cĩ

 2  

BD AB AD 2AB.AD.cosA 1 1 x 2 1 x

x

        (1)

Áp dụng định lí sin trong tam giác BCD ta cĩ :

2

x

Từ (1) và (2) suy ra :  2  1 2  3   

1 1 x 2 1 x x 2 x 2 0

x x

         Vậy : AC  3 2

Ứng dụng 2 : Chứng minh các hệ thức liên quan đến các yếu tố trong tam

giác

Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta cĩ:

a) a = c cosB+ b.cosC

b) bc cosA+ ab.cosC + ac.cosB =

2 2 2 2

a b c

c) 2abc(cosA + cosB) = (a+b)(c +b–a)(c+a–b)

d)

2 2 2

2 2 2

tan

tan



A c a b

B c b a

Giải

1

1

B

A

C

0

30

a) Thế: os 2 2 2

2

C B

ac

 

2 2 2 os

2

C C

ab

 

 vào vế phải ta có:

cosB+ b.cosC=

2 2 2 2 2 2

2

 a c b a b c a

a

(ĐPCM)

2bc.cosA  b  c  a ; 2 2 2

2ab.cosC  a  b  c ;

2 2 2 2ac.cosB  a  c  b

Thế vào vế trái ta được: ta được:

bc cosA+ab.cosC+ac.cosB

2 2 2 2 2 2 2 2 2

1

b c a a b c a c b

 

c) Áp dụng định lí côsin, ta có:

2abc(cosA+cosB) = 2abc

2 2 2 2 2 2



2 + ba2 + ac2 + bc2 - a3 -

b3

= (a + b) (c2 – (a + b)2 = (a + b)(c + b – a)(c + a – b) (đpcm) d) Áp dụng định lí sin và côsin, ta có:

tan

tan

A

B =

2 2 2

2 2 2

.

sin osA

.

a a c b

a c b

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC có a=4, b=5, c=6 Chứng minh: sinA–2sinB+sinC=0 Giải

Gọi R là bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Từ định lí sin, ta có: sin A a , sin B b , sin C c

sin A 2 sin B sin C a 2b c 4 10 6 0

Ví dụ 2: Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta đều có

a.sin(B–C) + b.sin(C–A) + c.sin(A–B) = 0 (4)

Giải

Áp dụng định lí sin, ta có

VP(4) = 2R.[sinA.sin(B – C) + sinB.sin(C – A) + sinC.sin(A – B) ]

= 2R [sin(b+c).sin(B–C) + sin(A+C).sin(C–A) + sin(A+B).sin(A–B) ]

= R [cos2C – cos2B + cos2A – cos2C + cos2B – cos2A] = 0 (đpcm)

Ví dụ 3: Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

CotA CotB CotC

abc

 

Áp dụng định lí sin, côsin và công thức tính diện tích tam giác ta có:

2 2 2 t

4

Co A

S

 

2 2 2 t

4

Co B

S

 

2 2 2 t

4

Co C

S

 

 (*) thế vào vế trái suy ra:

CotA CotB CotC  =

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

          

Lại có: .

4

a b c S

R

 vậy VT=

2 2 2 a b c

R abc

  = VP (ĐPCM)

Chú ý: Các hệ thức (*) được gọi là là định lý “côsin suy rộng trong tam giác ”

hay định lí cotang trong tam giác Nó cho ta mối liên hệ về hệ thức lượng giác góc của tam giác với 3 cạnh cùng diện tích của nó Lớp các bài toán áp dụng nó khá rộng

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC chứng minh rằng: 2 2

Δ

1 sin 2 sin 2

ABC

Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác ABC, ta có:

1

sin 2 sin 2

4 a Bb A 1  2  2

2 sin sin 2 2 sin sin 2 4

2 sin AsinB sinAsinB + cosA.cosB 2 sin sin sin

2

Δ

1

 R a b C ab C S ABC

Ví dụ 5: (Bài tập 23-SGK HH10-NC) Gọi H là trực tâm tam giác ABC không

vuông Giả sử R, R1, R2, R3 tương ứng là bán kính đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, HBC, HAC, HAB Chứng minh rằng R1 = R2 = R3 = R

Giải

Áp dụng định lí sin trong tam giác HBC ta có 1 · ( )

2 sin

BC

BHC

Do · µ 0

180

BHC A  , nên từ (a) suy ra 1 µ ( )

2sin

BC

A

Mà theo định lí sin trong tam giác ABC ta có 2 sinµ

a R

A

Vậy từ (b) suy ra R1 = R

Lý luận tương tự trong các tam giác HAC, HAB ta có R2 = R3 = R

Suy ra R1 = R2 = R3 = R (ĐPCM)

Nhận xét: Đây là bài tập có ứng dụng trong các bài toán liên quan đến đường tròn

ở chương phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

Ứng dụng 3: Nhận dạng tam giác theo cạnh, góc và các yếu tố khác

Ví dụ 1: Tam giác ABC có đặc điểm gì, nếu các góc của nó thoả mãn hệ thức

sin

2 osA sin

C c

B 

Giải

Áp dụng định lí sin và côsin, ta có: sin 2 osA

sin

C c

c

b c a 2R 2

2R

 

  c2 b2    c2 a2 a b Vậy tam giác ABC cân tại C

Ví dụ 2: Nhận dạng tam giác ABC biết:

3 3 3 2

1

os cos

4

a



  





Giải

- Từ:

3 3 3

2 b c a 2 2 2

b c a

 

2 2 2

2 os

a b c  bc C A Suy ra:

1

2

o

C A  A

- Từ: os cos 1

4

C A C suy ra: cos 1 60

2

o

C  C

Vậy tam giác ABC đều

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC thõa mãn: a3

= b3+ c3 Chứng minh tam giác ABC nhọn

Giải

Ta có: a3= b3+ c3 nên a là cạnh lớn nhất  A là góc lớn nhất Lại có:

a3= b3+ c3  2 2 2 2 2 2 2 2

0

Vậy tam giác ABC là tam giác nhọn

Tổng quát: Nếu tam giác ABC thõa mãn: an

= bn+ cn (n>2, nN) thì tam giác ABC

có 3 góc nhọn

Ví dụ 4: Gọi a, b, c là độ dài các cạnh của tam giác ABC và a2

, b2, c2 là độ dài tương ứng của các cạnh của tam giác A’B’C’

a) Hãy xác định dạng của tam giác ABC

b) So sánh góc bé nhất của tam giác ABC và góc bé nhất của tam giác A’B’C’

Giải

a) Do a2, b2, c2 là độ dài ba cạnh của tam giác A’B’C’ nên

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

0

0 ( ) 0

      

Áp dụng định lí côsin ta có:  

0 0

0

90

2 osA>0 osA>0 2accosB>0 cosB>0 90 2abcosC>0 cosC>0 90

 

A

C

Vậy tam giác ABC nhọn

b) Không mất tính tổng quát ta giả sử 2 2 2

a  b c a b c  A và A’ lần lượt là hai góc bé nhất của tam giác ABC và A’B’C’:

2

b c a bc b c a

b c a b c a

bc

2

b c



osA' cosA (do a b c) A' A

c

      (do A, A’ cùng nhọn)

4 Ứng dụng 4: Chứng minh các bất đẳng thức liên quan đến cạnh và góc

trong tam giác

Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta luôn có

2(a.cosA + b.cosB + c.cosC)  a b c

Giải

Trước hết ta chứng minh a c osA+b.cosB  c (*)

Áp dụng định lí cosin, bất đẳng thức (*) tương đương với

2

b c a a c b

a b c a b a c a a b b c b abc

(luôn đúng Do (a - b)2 0 , a + b + c > 0, c – a – b < 0)

Lập luận tương tự, ta có

osC + a.cosA b (***)

c c



 Cộng theo vế các bất đẳng thức (*), (**) và (***) ta được điều phải chứng minh

Ví dụ 8: Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C thoả mãn hệ thức

sin B + sin C 2sin A Chứng minh rằng 0

A 60

Giải

Áp dụng định lí sin, từ giả thiết ta thu được b2

+ c2 = 2a2

Từ đây áp dụng định lí côsin ta được

2 2 2 2

b

osA=

c a a

c

bc bc

2 2

2 2

2

0 1

2

5 Ứng dụng 5: Giải các bài toán đại số

a ab b  b  bc c  a ac c với mọi a, b, c >0

Giải

Từ 1 điểm O lấy OA= a, OB= b, OC= c

sao cho: AOB BOC·  ·  60o Áp dụng định lý côsin cho các tam giác OAB, OBC, OCA

ta có: · 2 2 2 2 2 2 os AB OA OB  OA OB C AOBa b ab · 2 2 2 2 2 2 os AC OA OC  OA OC C AOCa b ab · 2 2 2 2 2 2 os BC OB OC  OB OC C BOCb  c bc Lại có: 2 2 2 2 2 2 ABBCAC a ab b  b  bc c  a ac c Dấu bằng xảy ra  A, B, C thẳng hàng  a= c= 2b Ví dụ 2: Cho các số thực dương x,y,z thõa mãn hệ phương trình : 2 2 2 2 2 2 y x xy 25 3 y z 9 3 z xz x 16                  Tính giá trị của biểu thức P=xy+2yz+3xz Phân tích: Đối với bài toán này nếu chúng ta cứ loay hoay tính toán thì sẽ mất nhiều thời gian Nhưng nếu nhạy cảm một chút ta có thể thấy có thể vận dụng định lí côsin và định hướng cách giải như sau: Lấy các điểm O,A,B,C trên mặt phẳng sao cho · 0 · 0 · 0 AOB 150 , AOC 120 , BOC    90 Đặt: OA=x , OB= y 3, OC=z Áp dụng định lí côsin vào các tam giác OAB,OBC,OAC

ta có: 2 2 2 2 y 2 y 2 2 2 2 AB x xy , BC z , AC x xz z 3 3        

Từ hệ đã cho suy ra AB=5, BC=3, AC=4

hay tam giác ABC vuông tại C và SABC 6

Mặt khác:

ABC OAB OAC OBC

B

C

B

C

O

A

y 3

x

0

150

z

0

120