Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện

Mục đích của đề tài * Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này.. •Hình chóp có m

A ĐẶT VẤN ĐỀ I.Lí do chọn đề tài

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp

Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức

ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc

đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh

Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôi thấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cách tính thể tích và hay mắc phải số sai lầm Nguyên nhân là do các em không nắm vững lí thuyết, việc luyện tập còn ít

Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào

để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợp với nhiều đối tượng Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trình giảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp

Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích

môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối

đa diện”.

II Mục đích của đề tài

* Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tính thể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này

* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huy tính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh

* Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suy luận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duy toán học cho học sinh

* Là tài liệu cho cho học sinh và các đồng nghiệp tham khảo

III Nhiệm vụ của đề tài

* Đưa ra hệ thống lí thuyết và các công thức có liên quan đến bài toán tính thể tích

khối đa diện

* Các phương pháp tính thể tích khối đa diện

* Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải

* Đưa ra một số bài tập tham khảo

IV Đối tượng nghiên cứu

1

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A, 12B – Năm học 2012 - 2013 của Trường THPT Lê Văn Linh.

V Phương pháp nghiên cứu:

- Qua nghiên cứu tài liệu: Đọc kỹ sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan

- Qua kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Lê Văn Linh

- Điều tra tình hình học sinh khi làm bài

- Dùng phương pháp kiểm nghiệm học sinh thông qua việc ra đề kiểm tra

- Qua trao đổi và học hỏi các thầy cô giáo trong trường và đồng nghiệp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.Cơ sở lí luận:

1 Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi

một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

2 Khái niệm về thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện (H) là một số thực

dương, kí hiệu V(H) và thỏa mãn các tính chất sau:

+) Nếu (H) là 1 khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1

+) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1)=

2 (H )

+) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì V(H) = V(H1)+

2 (H )

* Chú ý: Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

3 Các công thức tính thể tích khối đa diện:

3.1 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là: V = Bh

* Chú ý:1, Trong trường hợp đặc biệt nếu khối đa diện là khối hộp chữ nhật hoặc

khối lập phương thì:

+) Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc

+) Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a la: V= a3

2, B: Diện tích đáy,

h: chiều cao( là khoảng cách giữa hai đáy)

3.2 Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

4 Các kiến thức có liên quan

4.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a và b: Là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song sng với a và b

Chú ý: Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng còn lại

4.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α)

là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α)

Chú ý: * Nếu d vuông góc với mp(α) thì ta nói rằng góc giữa d và (α) bằng 900

* Nếu d không vuông góc với (α) và cắt (α) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và (α) như sau:

+) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O

+) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α) là điểm H

+) Khi đó góc giữa d và (α) là φ và ϕ = AOHˆ

4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β)

+) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng

+) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α) đường thẳng a và trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c

+) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b

4.4 Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H là hình chiếu vuông góc của O lên a)

+) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α) là độ dài đoạn OH ( trong

đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α)

Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) chứa O, vuông góc với (α) và cắt (α) theo

giao tuyến d Trong (β) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H Khi đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α)

+) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α)

+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN

( M ∈a, N ∈b, MN ⊥a, MN ⊥b)

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một

trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳng còn lại, bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó

3

+) Thực tế thời gian học chớnh khúa dành cho phần này rất ớt, với chương trỡnh chuẩn hỡnh học 12 chỉ phõn phối cú 2 tiết lớ thuyết và 1 tiết bài tập Sỏch giỏo khoa mới chỉ nờu cụng thức tớnh thể tớch, nờu một vớ dụ và đưa ra một số bài tập.

+) Học sinh khụng nắm vững lớ thuyết, thời gian luyện tập ớt

Chớnh vỡ thế nờn khi gặp bài toỏn tớnh thể tớch khối đa diện đa số học sinh rất lỳng

tỳng khi làm bài, chưa phõn loại và định hướng được cỏch giải, hoặc mắc phải một

số sai lầm Dẫn đến kết quả thi kiểm tra ở lớp ở trường, thi đại học rất thấp

III Giải phỏp và tổ chức thực hiện.

trong đú : B là diện tớch đỏy,

h là chiều cao của hỡnh chúp( tức là khoảng cỏch từ đỉnh của hỡnh chúp tới mặt phẳng đỏy)

+) Thể tớch của khối lăng trụ là:

V = B h

trong đú : B là diện tớch đỏy,

h là chiều cao của hỡnh lăng trụ ( là khoảng cỏch giữa 2 đỏy)

Việc ỏp dụng cụng thức thụng thường yờu cầu:

a) Xỏc định đường cao ( cú thể bài toỏn cho sẵn đường cao, hoặc cú thể phải dựng, hoặc cú khi phải kẻ đường cao phụ,…)

b)Tớnh độ dài đường cao và diện tớch mặt đỏy

*Để xỏc định đường cao ta lưu ý :

•Hỡnh chúp đều cú chõn đường cao trựng với tõm của đỏy nờn chiều cao của hình

chóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy

•Hỡnh chúp cú cỏc cạnh bờn bằng nhau thỡ chõn đường cao trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp mặt đỏy

•Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy thì chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên đó

•Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường

cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

•Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao

tuyến của mặt phẳng đó và đáy

•Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao

tuyến của hai mp đó

•Hình lăng trụ : chiều cao là khoảng cách từ 1 đỉnh tới mặt đáy còn lại nên tương

tự như hình chóp

* Để tính độ dài đường cao ta thường áp dụng:

•Các hệ thức lượng trong tam giác: Định lí Cosin, Sin, đặc biệt là các hệ thức

lượng trong tam giác vuông

•Dựa vào định lí Talets,…

*Để tính diện tích mặt đáy cần lưu ý:

Đáy là một trong các hình sau thì diện tích được tính như sau:

+) ∆ABC vuông tại A thì S = AB AC = AH BC ( AH là đường cao) ,

+) ABC đều cạnh a thì S = ,

+) ABCD là hình vuông cạnh a thì S = a2,

+) ABCD là hình chữ nhật cạnh a, b thì S = a.b,

+) ABCD là hình thoi thì S = AC BD , …

Sau đây là một số hình vẽ minh họa cho các hình đặc biệt:

Hình chóp tam giác đều

S

H

C

B A

S

Hình chóp có một mặt bên

(SBC) vuông góc với mặt đáy

Hình chóp có hai mặt bên kề nhau (SAC)

và (SAB) vuông góc với đáy SA là đờng cao

Vớ dụ 1: Cho hỡnh chúp S.ABC, đỏy ABC là tam giỏc vuụng cú cạnh huyền

nhau và bằng β Tớnh thể tớchcủa khối chúp.

* Phõn tớch: Bài toỏn này rất ngắn gọn, giả thiết của bài toỏn ớt , tuy nhiờn giả

thiết thứ 2 khú xỏc định hơn, đũi hỏi học sinh phải cú kĩ năng xỏc định gúc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Yờu cầu của bài toỏn tớnh thể tớch của khối chúp tam giỏc: Học sinh phải xỏc định đường cao, tớnh diện tớch tam giỏc đỏy, ỏp dụng đỳng cụng thức

Lời giải:

Trước hết gọi H là hỡnh chiếu vuụng gúc của S xuống mp(ABC), hỡnh chúp đó cho

cú cỏc cạnh bờn hợp với đỏy những gúc bằng nhau ⇒ãSAH =ãSBH =SCHã = β nờn từ

đú suy ra rằng HA=HB=HC, tức là chõn đường cao H phải trựng với tõm đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC

Mặt khỏc ∆ABC là tam giỏc vuụng tại A, nờn H chớnh là trung điểm của cạnh huyền BC

C

B A

S

A B

S

H

C

B S

Dựa vào hình vẽ này ta có BC=2a,

ta có:·SAH =SBH· =SCH· = α , như vậy nhìn vào

hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định

vị được điểm H

Hình vẽ trên sai do học sinh không vận dụng

hết các điều đã cho trong giả thiết ( các cạnh bên tạo

với đáy một góc bằng nhau và đáy là tam giác vuông )

Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việc tính toán

Chú ý: Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính

là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a,

BD Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D'.

Khi đó hãy tính thể tích của S AB'C'D'.

* Phân tích: Bài toán này các giả thiết đầu xác định được ngay trên hình, tuy nhiên

giả thiết cuối cùng đòi hỏi học sinh phải xác định các điểm B’, C’, D’ cho đúng, Vẽ hình thì phải vẽ đáy là hình bình hành, lấy tâm O, từ O dựng đường vuông góc với mặt đáy, trên đường thẳng đó lấy S, nối S với các đỉnh Đây là bài toán tính thể tích của khối chóp tứ giác, vẽ hình xong thì có thể gợi ý cho học sinh nhiều cách tính tuy nhiên lựa chọn cách nào cho đơn giản nhất Sau khi phân tích ta chọn cách tính trực tiếp, xác định h và B

* Lời giải : Do SC (AB’C’D’) nên đường cao của hình chóp S AB'C'D' là SC’

Tính diện tích đáy : Tứ giác AB’C’D’ có AC’ B’D’

nên S = dt(AB'C'D')= 1 ' ' '

2AC B D

AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a

Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:

K B' D'

O

C' S

D

C

B A

Mặt khác do K là trực tâm của ∆SAC nên K là trọng tâm của tam giác SAC

*Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:

Vẽ hình sai, thường là học sinh lấy điểm B’, C’, D’ tùy ý vì không nắm chắc giả thiết của bài toán

Công thức trên chỉ đúng đối với khối chóp tam giác, trong khi đó học sinh lại áp dụng đối với khối chóp tứ giác Bài này học sinh muốn sử dụng công thức này phải chia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác.

Ví dụ 3: ( Đề thi Đại học khối A - 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và MD Biết SH vuông góc với mp(ABCD) và SH = Tính thể tích khối chóp S.CDMN

* Phân tích: Gỉa thiết và kết luận của bài toán rất cụ thể và dễ xác định Chỉ lưu ý

học sinh khi vẽ hình: vẽ đáy là hình bình hành, lấy M, N, xác định giao điểm H, Từ

H dựng đường thẳng vuông góc với đáy trên đó lấy điểm S, nối S với các đỉnh

Yêu cầu: Đây là bài toán tính thể tích khối chóp tứ giác, cần xác định chiều cao và đáy

S

* Lời giải: Do SH ⟘ (ABCD) ,

suy ra SH là chiều cao của hình cóp S.CDMN

SCDMN = SABCD– SAMN – SBCM

= a2 -

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, đường chéo

BC' của mặt bên (BCC'B') hợp với mặt bên (BAA'B') một góc α Tính thể tích khối lăng trụ.

*Phân tích: Bài toán đơn giản, giả thiết ít, tuy nhiên xác định giả thiết thứ 2 học

sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa đường và mặt phẳng

Yêu cầu của bài toán: Đây là bài toán tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều, đáy

là tam giác đều, chiều cao là độ dài cạnh

bên, từ đó ta có lời giải sau

NH

I

C'

B' A'

C

B A

mặt phẳng và việc đầu tiên là phải xác định hình chiếu của BC' trên mặt phẳng (BAA'B') Để xác định hình chiếu của BC' trên mặt phẳng (BAA'B') ta xác định hình chiếu của điểm C' lên mặt phẳng (BAA'B') Ta để ý đến trung điểm I của cạnh A'B' Lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên BB' ⊥ mp(A'B'C')

=> BB' ⊥ IC' (1)

Tam giác A'B'C' là tam giác đều nên A'B' ⊥ IC' (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : IC'⊥ mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể

từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B') Vậy

*Nhận xét: Học sinh thường mắc phải sai lầm sau: Xác định góc giữa đường thẳng

BC’ và (BAA'B'), vì thế dẫn đến tính toán sai, cụ thể :

Nối BA' Góc giữa đường chéo BC' với mặt bên (BAA'B') là góc C BA· ' ' Vậy ta có: C BA· ' ' = α

B' A'

C

B A

Từ đó suy ra:

0

(180 ) sin

*Lưu ý: Nếu lăng trụ đứng thì chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên,

Nếu khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c thì V = a.b.c

Nếu khối lập phương cạnh a thì V = a3

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là những hình thoi và cạnh

đều bằng a, hình thoi có góc đỉnh A bằng 60 0 Tính thể tích hình hộp

* Phân tích :Bài toán này giả thiết xác định đơn giản,

Yêu cầu bài toán tính thể tích khối hộp: lăng trụ này có đáy là hình thoi, còn lại phải xác định chiều cao của hình hộp

Từ giả thiết của bài toán, phân tích dự đoán, xác định đúng chân đường vuông góc

* Lời giải :

1) Kẻ A'H ⊥ mp(ABCD), dễ thấy rằng các tam giác AA'D, AA’B, A’DB và BAD đều nên tứ diện A'ABD là tứ diện đều, do đó H trùng với tâm của tam giác đều ABD

11

O A'

H

B'

C' D'

D

C

B A

2 2

* Nhận xét: Ở bài này học sinh thường vẽ hình sai, do xác định chân đường

vuông góc H sai vị trí và dẫn đến không định hướng được cách tính đoạn A’H

Ví dụ 6: ( Đề thi đại học khối B - 2010)

Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có AB= a, góc giữa hai mặt phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 60 0 Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ đã cho và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a

• Phân tích: GT của bài toán yêu cầu học xác định đúng góc giữa 2 mặt phẳng: Xác

định giao tuyến của 2 mp, chọn 2 đường thẳng nằm trong 2 mp lần lượt vuông góc với giao tuyến tại 1 điểm trên giao tuyến , từ đó suy ra góc giữa 2 mp

Yêu cầu của bài toán: ở yêu cầu thứ nhất thì học sinh cần phải xác định được đường cao của lăng trụ

Yêu cầu thứ 2 thì học sinh phải nhớ được cách xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác: xác định trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác đáy, xác định trung trực của 1 cạnh bên, cắt nhau tại đâu thì đó là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện Tính bán kính là khoảng cách từ 1 đỉnh tới tâm

• Lời giải:+) Thể tích khối lăng trụ:

(A’BC) và (ABC) có giao tuyến là BC

Gọi D là trung điểm của BC,