Hướng dẫn học sinh lớp 9 khai thác một số ứng dụng của hệ thức viét 1

Một trong những chuyên đề mà tôi tâm quan tâm tìm hiểu là chuyên đề “Hướng dẫn học sinh khai thác một số ứng dụng của Hệ thức Viét ".. Hy vọngrằng hệ thống bài tập về "Một số ứng dụng củ

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài:

Hiện nay nhiệm vụ bồi dưỡng học sinh khá, giỏi ở các trường THCS là rất quan

trọng đòi hỏi người giáo viên nói chung và giáo viên dạy toán nói riêng phải trăntrở rất nhiều Chúng ta không chỉ dạy cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bảntrong sách giáo khoa mà còn phải hướng dẫn học sinh biết vận dụng kiến thức cơbản đó để khai thác cách giải cho những bài tập nâng cao khác

Là một giáo viên dạy toán THCS, trong những năm qua tôi đã đặt ra cho mìnhmột nhiệm vụ là phải nghiên cứu tìm ra những phương pháp thích hợp cho giảngdạy những vấn đề cụ thể phù hợp với đối tượng thực tế Một trong những chuyên

đề mà tôi tâm quan tâm tìm hiểu là chuyên đề “Hướng dẫn học sinh khai thác một

số ứng dụng của Hệ thức Viét " Tôi đã tham khảo rất nhiều tài liệu viết về các ứngdụng của Hệ thức Viét, phần nào các tác giả đã đưa ra những bài toán tương đối đadạng, tuy nhiên còn tản mạn trong nhiều cuốn sách khác nhau Để giáo viên có tàiliệu giảng dạy và bồi dưỡng học sinh khá, giỏi tôi mạnh dạn lựa chọn ra một số bàitoán giúp cho học sinh khắc sâu kiến thức và nắm chắc chuyên đề trên Hy vọngrằng hệ thống bài tập về "Một số ứng dụng của Hệ thức Viét " phần nào có thể làmtài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh lớp 9 dạy và học, rèn luyện cho họcsinh năng lực từ những kiến thức quen biết, nhận dạng và đưa những dạng bài tậpchưa biết cách giải về dạng quen biết đã biết cách giải, có được hệ thống bài tập để

ôn luyện cho học sinh thi học sinh giỏi cũng như thi vào THPT Rất mong được sựquan tâm, góp ý của các đồng nghiệp

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài này là giúp học sinh nắm chắc Hệ thức Viét, biết cách khai

thác các ứng dụng của Hệ thức Viét để giải toán vì đây là nội dung quan trọng trong chương trình toán THCS và THPT

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Các ứng dụng của hệ thức Viét trong chương trình toán THCS

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu nội dung hệ thức Viét trong SGK và SBT

- Nghiên cứu ứng dụng của Hệ thức Viét để giải các dạng toán trong các đề thi vào

10, Đề thi học sinh giỏi

- Nghiên cứu khả năng tư duy, khả năng nhận thức của học sinh

2 NỘI DUNG

2.1 Cơ sở lý luận của sáng kiến kinh nghiệm

- Trong chương trình giáo dục phổ thông, môn Toán có vị trí đặc biệt quan trọng vì

nó có khả năng to lớn góp phần thực hiện nhiệm vụ đào tạo ra những con người

“làm chủ tri thức khoa học và công nghệ hiện đại, có tư duy sáng tạo, có kỹ năngthực hành giỏi, có tác phong công nghiệp, có tính tổ chức kỉ luật, có sức khoẻ và lànhững con người thừa kế xây dựng CNXH vừa hồng vừa chuyên”

- Các kiến thức và phương pháp toán học là công cụ thiết yếu giúp học sinh học tậptốt các môn học khác

- Môn Toán có khả năng to lớn phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chấttrí tuệ, giúp học sinh biến những tri thức thu nhận được thành của bản thân mình,thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh vực học tập hiệnnay và mãi mãi về sau.

- Môn Toán có khả năng đóng góp tích cực vào việc giáo dục cho học sinh tư tưởngtrong cuộc sống và lao động xây dựng cơ sở của thế giới quan khoa học, giáo dụclòng yêu nước, yêu CNXH, rèn luyện nhiều đức tính quý báu như lao động cần cù,sáng tạo, cái đẹp của những ứng dụng phong phú của toán học, cái đẹp của nhữnglời giải hay

Trong chương trình toán lớp 9 phương trình bậc hai và hệ thức Viét là chủ đềkiến thức hết sức quan trọng nó xuất hiện nhiều trong kỳ thi học sinh giỏi, thi vàoTHPT và thi vào các trường chuyên nhưng kiến thức ở trong sách giáo khoa chỉgiúp học sinh chăm chỉ, khả năng tư duy chưa thật sáng tạo giải được những bàitoán ở mức độ không quá khó Vì vậy việc trang bị cho học sinh phương pháp tưduy, kỹ năng tìm tòi lời giải là một vấn đề hết sức quan trọng đối với mỗi giáo viêndạy toán vì thế tôi đã hướng dẫn học sinh tham khảo các tài liệu nâng cao, học kỹcác kiến thức mở rộng về phương trình bậc hai và hệ thức Viét để học có thêmcông cụ giải toán, góp phần nâng cao chất lượng học sinh khá giỏi

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Thực tế trong quá trình giảng dạy tôi đã phát hiện ra khi đứng trước một vấn đề

kiến thức mới học sinh thường chỉ biết vận dụng trực tiếp kiến thức đã học mà chưa biết khai thác triệt để nội dung kiến thức đó vì vậy khi gặp những bài toán đòihỏi cần phải có sự tư duy sáng tạo học sinh học sinh thường bó tay Vì vậy việc

hướng dẫn học sinh khai thác triệt để nội dung kiến thức cơ bản là một vấn đề vô

cùng quan trọng Đặc biệt Hệ thức Viét là một trong những chủ đề kiến thức trọng tâm của chương trình toán THCS và ứng dụng của nó vô cùng phong phú học sinh còn phải sử dụng rất nhiều trong chương trình THPT.Từ thực trạng trên để giúp họcsinh nắm vững và khắc sâu các kiến thức về phương trình bậc hai và hệ thức Viét tôi xin trình bày kinh nghiệm khi hướng dẫn học sinh khai thác "Một số ứng dụng của hệ thức Viét "để góp phần nâng cao chất lượng dạy và học trong trường THCS,đặc biệt là khi bồi dưỡng học sinh khá giỏi và ôn thi vào lớp 10 THPT

2.3 Các sáng kiến kinh nghiệm hoặc các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Giải pháp thứ nhất

Khơi dậy trong các em tình yêu đối với Toán và sự cần thiết phải học bộ môn Toán trong mỗi tiết học và trong các hoạt động ngoại khóa

2.3.2 Giải pháp thứ hai

Tổng hợp các kiến thức lý thuyết cơ bản về Hệ thức Viét thông qua bài học

‘Hệ thức Viét và ứng dụng’ trong SGK giáo viên tóm tắt kiến thức cơ bản theo các nội dung sau

a Hệ thức Viét: Nếu phương trình 2

0( 0)

ax bx c  a có hai ngiệm x x1 , 2thì

- Nếu phương trình ax2 bx c  0(a 0)có các hệ số a b c   0thì phương trình có hai nghiệm x 1 1 và 2

c x a



c Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :x2  Sx P  0 (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

2.3.3 Giải pháp thứ ba:

Hướng dẫn học sinh khai thác các ứng dụng của hệ thức Viét

Ứng dụng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

1 Dạng đặc biệt: Phươngtrình có nghiệm là 1 hoặc -1

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau( Bài tập 26 trang 53SGK)

Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải

a) Phương trình 35x2  37x  2 0 có các hệ số a b c   35 37 2 0    nên có hai nghiệm x 1 1; 2

2 35

x 

b) Phương trình 7x2  500x 507 0  có các hệ số a b c    7 500 507 0   nên có hai nghiệm x 1 1; 2

507 7

x  Học sinh sẽ thấy tác dụng của việc nhẩm nghiệm hơn nữa trong việc giải phương trình sau

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của các phương trình sau( Bài tập 31 trang 54SGK)

3

x 

m x m

Ví dụ : Dùng hệ thức Viét để tìm nghiêm x2của phương trình rồi tìm giá trị của m

trong mỗi trường hợp sau ( Bài tập 40 trang 57SBT)

a) Phương trình 4x2  3x m 2  3m 0 biết nghiệm x 1 2

b) Phương trình 3x2  2(m 3)x  5 0 biết nghiệm 1

1 3

x 

Nhận xét: ở câu a ta tìm nghiệm x2 theo tổng hai nghiệm vì tổng hai nghiệm khôngchứa tham số m sau đó tìm m dựa vào tích hai nghiệm nhưng ở câu b ta lại tìm nghiêm x2theo tích hai nghiệm vì tích hai nghiệm không chứa tham số m sau đó tìm m dựa vào tổng hai nghiệm

Hướng dẫn học sinh trình bày lời giải

a) Vì phương trình 4x2  3x m 2  3m 0 có nghiệm x 1 2nên áp dụng hệ thức Viét

( Bài tập 41c trang 58 SBT)

Hướng dẫn giải: Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai

nghiệm của phương trình :x2  Sx P  0 (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

Vì a + b =  5 và ab =  24 n ên a, b là nghiệm của phương trình : x2  5x 24 0 

giải phương trình trên ta được x 1 8 và x 2 3

Ứng dụng 3: Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm

1 Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm x x1 ; 2

Ví dụ : Cho x  1 3 2; x  2 3 2 lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm trên

Ta có 1 2

1 2

6 7

vậy x x1 ; 2là nghiệm của phương trình x2  6x  7 0

2 Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước:

V í dụ 1: Cho phương trình : x2  2x 1 0  Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm

1 , 2

y y thõa mãn y1  2x1  x2;y2  2x2  x1

Nhận xét: Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm

của phương trình x2  Sx P  0 (điều kiện để có hai số đó là S2  4P  0 )

để lập được phương trình ta cần tính S y1 y2 và Py y1 2 thông qua x x1 , 2

( Trích tài liệu ôn thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018)

Ứng dụng 4: Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm của phương trình

Biến đổi biểu thức chứa nghiệm làm xuất hiện x1 x x x2 ; 1 2

Ví dụ 1: Cho phương trình: x2  x  1 0

Không giải phương trình, hãy tínhx1 x x x2 ; 1 2

Học sinh thường mắc sai lầm tính ngay x1 x x x2 ; 1 2 mà không để ý phương trình này

vô nghiệm vì    ( 1) 2  4 1 4     3 0 vì vậy giáo viên cần lưy ý cho học sinhtrước khi tính giá trị của biểu thức liên quan đến nghiệm của phương trình cần chỉ

ra hoặc tìm điều kiện của tham số để phương trình có hai nghiệm

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2  4x 6 0  Không giải phương trình, hãy tính

( Trích tài liệu ôn thi vào lớp 10 tỉnh Thanh Hóa năm học 2009-2010)

Hướng dẫn giải: Phương trình x2  4x 6 0  có ac  6 0 nên có hai nghiệm phânbiệt

Ví dụ 4: Gọi x x1 , 2 là hai nghiệm của phương trình x2  2x 5 0  Không giảiphương trình, hãy tính giá trị của biểu thức 3 2

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Tìm điều kiện của tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

- Áp dụng hệ thức Viét viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 4m 1x 2m 4  0.

Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

( Bài tập 220 trang 82sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề toán 9)

Cộng từng vế của hai phương trình (1) và (2) ta được hệ thức 3x1 x2 2x x1 2  8 0 

là hệ thức giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc vào m

( Bài tập trong 23 chuyên đề để giải các bài toán sơ cấp)

Ứng dụng 6: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm

Các bước thực hiện:

- Tìm điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức Viét để giải phương trình có ẩn làtham số

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để chọn giá trị cần tìm

Ví dụ 1: Cho phương trình : mx2  6m 1x 9m 3  0

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệ thức : x1 x2 x x1 2

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x1 và x2 l

m

x x

m m

(thoả mãn điều kiện )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1vàx2 thoả mãn hệ thức :

m

x x

m m

m rồi thay x x1 , 2 vào (2) để tính m

Ở bài 2 giáo viên cũng hướng dẫn học sinh làm cách khác như bài 1.

3) - Vì   (3m 2) 2  4.3(3m 1) 9  m2  24m 16 (3  m 4) 2  0 với mọi số thực m nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

Theo hệ thứcViét: 1 2

1 2

3 (1)(3 1) 3

Vậy với m 0 hơặc 32

15

m  thì phương trình có 2 nghiệmx1và x2 thoả mãn hệthức: 3x1  5x2  6

Chú ý: Ở bài 2 và bài 3 giáo viên hướng dẫn học sinh làm cách khác như bài 1

Cách này tuy không linh hoạt nhưng học sinh dễ hiểu, dễ nhớ

Giải phương trình ta được x1   1 x2  4

Thay x1, x2 vào ta được 1 2

b) Định m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình (1) thỏa mãn: 2

(x  x )  x 3x

(Đề thi vào lớp 10 Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2017-2018)

Hướng dẫn:a) Phương trình x2  (2m 1)x m 2  1 0  có

Kết hợp với điều kiện  m 1 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 5: Cho hàm số y x 2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng  có phương trình y x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2 thoả mãn:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm:

- Tìm m để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm phân biệt thõa mãn

Hướng dấn giải : PT đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

x x

m m

m m

m

m m

Phương trình hoành độ giao điểm là: x2  ax a  1 0 (1)

PT(1) có  (a 2)2 0, a 2 , suy ra phương (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

Do đó ( )d luôn cắt ( )P tại 2 điểm phân biệt với  a 2

Gọi x x là hai nghiệm phân biệt của (1).Suy ra 1, 2 ( )d cắt ( )P tại hai điểm

2x  3m 1 x m  m 6 0  có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

Vậy với  2 m 3 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

Chú ý: Học sinh có thể sử dụng nhận xét: Nếu a và c trái dấu thì phương trình

ax bx c  a có hai nghiệm trái dấu để giải bài toán nhanh hơn

Ví dụ 2: Cho parabol (P) y x 2 và đường thẳng (d) y 2x m 6 Tìm m để đường thẳng (d) cắt Cho parabol (P) tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương

Hướng dẫn:

- Lập phương trình hoành độ giao điểm của(P) và (d):

- Tìm m để phương trình hoành độ giao điểm có hai nghiệm dương phân biệt Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm của(P) và (d)là

x  x m   x  x m   (*)

(P) cắt (d) tại 2 điểm phân biệt có các hoành độ dương

 Phương trình (*) có 2 nghiệm dương phân biệt x1, x2

m

m

m m

Hướng dẫn: Biến đổi phương trình đã cho thành phương trình bậc hai bằng cáchđặt ẩn phụ rồi dùng tính chất về dấu các nghiệm của phương trình bậc 2 để giải

Bài giải: Phương trình x22m 1x m  0 có

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Sử dụng phương pháp miền giá trị như sau: Đưa về giải phương trình bậc 2

với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.(

2 2

Ví dụ : Chứng minh rằng nếu có các số a b c, , thoả mãn

Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc 2 của ẩn coi các ẩn khác là tham

số, sử dụng các tính chất về nghiệm của phương trình bậc 2 để xác định giá trị của

thay vào phương trình ta tìm được các cặp số

( , ) (7,8);(6,8);(4, 2);(5, 2)x y  là nghiệm của phương trình

Với a = 2, b = 1 ta được x2 – x + 2 = 0 (vô nghiệm).

Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là x = 1.

Phương trình này có hai nghiệm phân biệt: S  5; S 10.

Nếu S 5 thì P 6, nên x, y là các nghiệm của phương trình bậc hai:

Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm: 2; 3 ; 3; 2 ; 3; 7 ; 7; 3         

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường

Sau khi nghiên cứu và giảng dạy chuyên đề trên tôi thấy học sinh nắm vững hơn

về hệ thức Viét và các ứng dụng Học sinh nhận dạng bài tập và trình bày bài toán

nhanh và chặt chẽ hơn đặc biệt là các bài toán nâng cao lên quan đến số

nghiệm,dấu các nghiệm của phương trình

3 KẾT LUẬN

Qua kết quả triển khai chuyên đề này tôi thấy: Khi dạy học sinh học toán giáo viênkhông chỉ dừng lại ở việc dạy kiến thức mà cần phải dạy cho học sinh phương pháp

tư duy, cách khai thác những bài tập nâng cao từ những hệ thống kiến thức cơ bản

Có như vậy thì mới đáp ứng được mục tiêu giáo dục trong giai đoạn mới là đào tạothế hệ trẻ trở thành những con người vừa hồng vừa chuyên

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thạch Thành, ngày 20 tháng 4 năm 2018

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của bản thân,

không sao chép nội dung của người khác

Nguyễn Thị Nga