Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán tích phân

Phần I: đặt vấn đề Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo học sinh thành những con ngời mới, con ngời độc lập, tự chủ, sáng tạo, con ngời phát triển toàn diện về trí tuệ, tâm hồn, nhâ

Phần I: đặt vấn đề Mục tiêu của giáo dục hiện nay là đào tạo học sinh thành những con ngời mới, con ngời độc lập, tự chủ, sáng tạo, con ngời phát triển toàn diện về trí tuệ, tâm hồn, nhân cách và năng lực.

Để đào tạo đợc những con ngời có phẩm chất, năng lực , vừa hồng vừa chuyên, đòi hỏi ngành, các nhà trờng phải có một chiến l-

ợc hợp lí Mỗi giáo viên, muốn nâng cao chát lợng giảng dạy thì cũng phải tìm ra phơng pháp giảng dạy phù hợp với từng kiểu bài, từng đối tợng học sinh Phơng pháp giảng dạy là yếu tố quan trọng quyết định đến kết quả giáo dục Bởi vậy, đổi mới phơng pháp giảng dạy sẽ giúp cho học sinh tích cực, chủ động chiếm lĩnh kiến thức Tuy vậy, việc áp dụng phơng pháp đối với từng đối tợng học sinh là rất khó khăn, đòi hỏi ngời giáo viên phải có kiến thức, kinh nghiệm, thờng xuyên nghiên cứu, đặc biệt phải có nghệ thuật s phạm.

Nhng những sự hình thành đó chỉ có thể có đợc thông qua con đờng chuyển biến và chuyển hoá tự thân của chủ thể học sinh dới tác động của nhà trờng, gia đình và xã hội Ngời học sinh càng tích cực tham gia một cách tự giác và có ý thức vào quá trình học bao nhiêu thì kết quả của việc giáo dục càng vững chắc, sâu sắc bấy nhiêu

Song khi học các môn khoa học tự nhiên nói chung và học môn toán nói riêng thì học sinh gặp phải một vấn đề khó khăn nhất là giải bài tập Mà bài tập toán có ý nghĩa và vai trò vô cùng quan

trọng, bởi lẽ nó giúp học sinh củng cố kiến thức một cách chắc chắn nhất

Trong thực tế giảng dạy tại Trung tâm GDTX thị xã tôi thấy khi học đến chơng Đạo Hàm và Tích Phân thì các em học sinh tỏ ra lúng túng Có lẽ nguyên nhân là do các em cha nắm chắc lý thuyết và các em hầu hết cha đợc va chạm với nhiều dạng bài tập.

Điều này đã gây nhiều khó khăn cho học sinh, nhất là các học sinh khối 12 cần tập trung kiến thức cho kỳ thi tốt nghiệp và thi đại học, cao đẳng.

Chính vì vậy để nâng cao hiệu quả giảng dạy, trong đề

tài này tôi xin đợc bàn về vấn đề:”Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải bài toán tích phân"

Phần II : Nội dung

I Cơ sở khoa học:

Nguyên hàm và tích phân là những nội dung quan trọng trong chơng trình Toán lớp 12 Những bài toán phần tích phân vừa mới vừa khó và các loại toán lại đa dạng nên đã gây không ít khó khăn cho học sinh.

Mặt khác nội dung sách giáo khoa lớp 12 chỉ dừng lại ở những nội dung cơ bản nhất và ba phơng pháp cơ bản để tính tích phân Phần kỹ năng mới dừng lại ở mức minh hoạ, từ các kiến thức

và kỹ năng đó tới các kiến thức và kỹ năng để giải các bài toán thi vào các trờng mà các em có nhu cầu học lên còn một khoảng cách khá xa Chính vì vậy khi giảng chơng này chúng ta cần :

-Xác định những kiến thức kỹ năng cơ bản cần khắc sâu trong khi giảng dạy lý thuyết:

1/ Định lý Lagrang:

Là một định lý quan trọng nhất trong phép tính vi phân Tuy ta công nhận không chứng minh song phải làm cho học sinh nắm vững các điều kiện của định lý từ đó áp dụng các bài toán về:

a) Chứng minh bất đẳng thức

b) Chứng minh sự tồn tại nghiệm trong khoảng (a;b)

c) Chứng minh hàm số y=f(x) là không đổi trên một khoảng (a;b)

dx

ln2

rèn cho học sinh biết đa tổng Sn về ∑

=

n

i n n

i f

1

1)( , từ đó tìm ra hàm f(x) tơng ứng.

f( ) =∫b

a

du u

f( )b) Nếu y= f(x) là liên tục trên [-a; a] thì:

0 Nếu f(x) là hàm số lẻ trên đoạn [-a;a]

c) Nếu f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì:

T a

dx x

II Nội dung

A- Một số kiến thức và kỹ năng cơ bản bổ xung và rèn luyện trong quá trình giải từng loại bài tập:

Ta ph©n lo¹i c¸c bµi tËp trong s¸ch gi¸o khoa( hoÆc s¸ch thamkh¶o ) TiÕn hµnh rÌn luyÖn kü n¨ng theo tõng lo¹i Tríc khi lµm tanªu c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n vµ kü n¨ng riªng biÖt cÇn n¾m v÷ng chotõng lo¹i.

dx

ln2

a b

1(

x P I

)(

)(

)()()

(

)

(

x Q

x R x A x

Q

x

x Q

x R I

)(

)(

ra d¹ngnguyªn hµm c¬ b¶n

D¹ng 1: Víi Q(x) =ax2+bx=c(a ≠ 0) → bËc cña R(x) ≤ 1

VËy

c bx ax

N Mx x

Q

x

R

++

2

1)( )(

)(

)(

x x

B x

x

A x

x x x a

N Mx x

Q

x R

Từ đó : 2

2 0

2

()(

)(

x x

B x

x

A x

x a

N Mx x

Q

x R

)(

x Q

B x

Q

x Q A x Q

x P

))(

()(

)(

2 0

2 0

2

γβγ

++

−

=++

−

++

=

x ax

n mx x

x

A x

ax x x

S Nx Mx

x Q

x R

a x

C a

x

B a

x

A x

Bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) thì ta coi nh R(x) và tiến hành các bớc

nh trong các dạng I,II,III ở trờng hợp 1

+

+++

x

x x x

2 1

2 1

2

3 2

0 + +

∫ x x dx x

2 2

B Những dạng đổi biến thờng gặp:

a) ∫R[x; a2 −x2]dx Đặt x=acost( hoặc asint)

2

2 2 2

2

sincos

d)∫(x−a) ax dx2 +bx+c Đặt

t

x−α =1e) Chú ý phơng pháp nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp

e)

23)

1

x

x−

−Bài 2: Tính các tích phân:

1

99

2)1

* Hớng dẫn học sinh một số thuật giải các bài tập lợng giác :

a) Đối với dạng ∫R(sinx,cosx)dx (R là hàm số hữu tỷ)

• Nếu R(−sinx,cosx)=−R(sinx,cosx) ↔Đặt cosx = t

( Hàm lẻ dối với sinx)

(Hàm lẻ đối với cosx)

(Hàm chẵn đối với sinx và cosx)

(m,n ∈ N*) p+q = - 2n → Đặt tgx = tc) Hạ bậc :

t x

t

t x

x b x a

cossin

cossin

th× ta ph©n tÝch tö sè : asinx +bcosx= A( csinx + dcosx)+ B( ccosx- dsinx)

c x b x

a

p x n x

m

cossin

cossin

§Æt msinx+ncosx+p = A( asinx + bcosx+c) + B(acosx – bsinx)+C

Bµi tËp:1,3,5,6(141,142)

*Bµi tËp bæ xung:

Bµi 1: T×m nguyªn hµm cu¶ c¸c hµm sè sau:

a) cos2x ; b) tg2x ; c) sin2xcosx ; d)

x

tgx

3

cose)sin3xcos2x ; f)

x x

x

sincos

sin

1+

x

Bµi 2: TÝnh c¸c tÝch ph©n:

dx x

x ; c) ∫2 +

02 sin1

π

dx x

0

2 2 2

2cos sin

π

x b

x a

dx (a2+ b2 ≠ 0) ; e) 100∫π −

0

2cos

sinsin

π

dx x

x

0sin 2cos 3

3cos2sin

π

dx x x

x x

d) ∫3

0 3

3

cos.cos

sin

π

dx x x

4

4 2

5 3

sinsin

coscos

π

π

dx x x

x x

a

y dy S

ứng với hai nửa hình đó để áp dụng công thức:

a

dx x f x f

a

dx x y x y

2

2 1

π

a

dy y x y x

2

2 1

π

* Bài tập sách giáo khoa: Bài tập trang 154,155

* Bài tập bổ xung:

• Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi :y=x2 và y2=x

b

y a x

c C

b) Nếu f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ [a;b] thì ∫b

a

dx x

f( ) ≤ ∫b

a

dx x

g )(

Nếu ∃ x0 ∈ [a;b] mà f(x0)<g(x0) thì ∫b

a

dx x

f( ) <∫b

a

dx x

g )(

c)Nếu m ≤ f(x) ≤ M ∀ x ∈ [a;b] thì : m(a-b) ≤ ∫b

a

dx x

dx x x

6/ Ap dụng định nghĩa tích phân để tìm giới hạn của dãy số:

a) Cho y=f(x) lµ hµm liªn tôc trªn [0;1] th× :

1

)(

n n

Lim

n

ππ

n

S n

++++

++

2

11

n n

n

+

++

12

2

)1(

8

16

14

12

+

=+

−++

−+

−

n

C n C

C C

n

n n

n n

dx x

cos

1sin

)cos

tgx C

x dx

x xdx

dx x

cos

1sin

)cos

1 u= (x-1)2 không phải là hàm đơn điệu trên [0;2] nên không thể đổibiến, đổi cận đợc.

1()

1()

u -1 13

23

)1

Hàm số f(x) liên tục và bị chặn trên [a;b]

−

2

1 2

2

1

1 2

1 2 2

dụng đợc định lý Niutơn – Laibơnit

điều kiện liên tục bị chặn của hàm số

=+

=+

=

tg

C t dt t

t

dt x

dx

21

21

2)

1(2)1(

21sin

2 2

áp dụng định lý Niutơn – Laibơnit:

+

−

=+

22

1

2sin

tg x

1)2

cos2(sin1

dx x

x

dx x

π

0

0 2

2 ) 4

( 4

) 4 2

( )

tg x

2

cos2(sinsin

4)11(2)2

sin2cos(22

)2

cos2

=+

−

=+

2

cos2sin)

2

cos2

222

cos2sinsin

I

*Dạng 6: Học sinh mắc phải khi chứng minh bất đẳng thức :

2 99

cos1

:cos

coscos

1cos

1

x

dx hay

x

dx x

dx x

x

Hầu hết học sinh không quan tâm đến dấu bằng xảy ra khi nào?

Dễ thấy đẳng thức không xảy ra, ta lấy x=

6cos

16

cos1

π

x dx

(Chú ý bất đẳng thức này còn có thể chứng minh mạnh hơn là:

Chú ý: - Đối với bài tập a) là: a2 = a

- Đối với bài tập b) là: a nếu a ≥0

a =

-a nếu a< 0

Đối với bài tập c) và d) là : tính liên tục và bị chặn của hàm số f(x)

C/ Một số bài toán tích phân giải bằng nhiều phơng

pháp:

Sau khi học sinh đã làm quen với 3 phơng pháp ta đa ra một số bài tập giải bằng nhiều phơng pháp nhằm giúp học sinh củng cố những kiến thức đã học đồng thời biết phân tích, chọn lọc những cách giải hay, ngắn gọn để phát huy khả năng t duy, sáng tạo của học sinh

)22

2

0

2 ππ

0 2

1

1)1(1

x

x x

dx x x

x I

dv=dx

→

4

arcsin2

hình thang cong giới hạn bởi các đờng x=a;x=b; y=0; y=f(x) ta

x2+ y2=1

=∫1 −

B¸n kÝnh R=1 → I=

44

31

)1(2

11

)(

1

3

0 2

2 3

0

3

0 2

3 3

+

−

=+

−+

=+

x

x x x dx

3cos

)(cos)

()

11(

2

11

2ln

ln2

12ln3)1()1ln(

2

121

t

dt K

xdx tdt x

2 1

2 2 2

t

dt K

dx t

dt x

sincos

tdt K

t

tdt dx

t x

+

=

1

12)1(21

0 3

3

0

2 3

−

+

t t

()42(cos

)42()

2

sin2(cossin

1

3 0 3

0

3

0 22

3

0

+

=+

=+

π

x tg x

x d x

x

dx x

2

cos

1(

cos

)(coscos

cos

)sin1(

π

x

tgx x

x d x

dx x

dx x N

t

t dt t t t

1ln)

11

1()

=+

−

=+

e

e C

t

t dt

t t t

ln)1

11()

C x e

dx e

x x

x

++1 )ln(

π

xdx x

x x

x

cossin

sin

d) ∫ + dx

x x

x

cossin

2

sin

Lêi gi¶i v¾n t¾t c¸c bµi tËp:

Bµi tËp trang 4 vµ 5 : TÝch ph©n c¸c hµm h÷u tØ

Bµi 1:a/ = + +1+(x+1)2

C x

B x

1(2

111

11

x

c) = −1+ +1+(x+1)2

C x

B x

A

222

2

)22(

−

x x

B x

x

x A

; f)Dïng vi ph©ng) Nh c©u c)

11

11

11

11

6

2

2 6

5

6

2 2

4 5 6

+

++

+++

=+

++

−+++

x

x x

x

x x

x x

x x x

Bµi 2:

2

12

22

2

)22(

2

++

+++

+

B A x

x

B x

x

x A

c)

3)1(

12

11

32)

1)

1(

1)

−

+

⇒+

−

+++

2 2

2

2 2

2 2

2

2

12

12)

1(

)

1(2

)

1(

112

)

1(

111

11

x

x arctg x

x x x d dx

x x

x x

x

x x

−+

* TÝch ph©n c¸c hµm v« tØ :

Bµi 1:

a) §Æt 2x+1=t ; b) 2 2 2

x x x

−+

=+

−

28

23

2

232

8)2(32

23

2

2 2

x dx

x

x x

x x

x

t t

t t t

x

+

=+

→

=+

1)1

1(11

11

1

2

)1(1

1+

g)23∫ ( 2 ++ ++22)

2

x x

x x d

−

−

=+

()

()()()

()

()

π

dx x dx

x f x f

=

→

0 2 22

2

1)

(

1/4

b arctg ab t b a

dt b

t

dt dx t tgx

5 5

7

tgxdx dx

tgx x tg dx x tg x tg dx x tg x tg

xdx

tg

0 5

π π

π π

tgxdx tgxdtgx

xdtgx tg xdtgx tg

2

122

n

i f n n

n n

n n

Q

1

5 5

)

1(

x dx x n

i f n Lim Q

Lim

1

1 0

6 1

0

5

6

16)

(1

Phần III : kết luận chung và đề xuất

Qua giảng dạy, bản thân tôi rút ra kinh nghiệm bớc đầu là giáo viên phải giải thật kỹ mọi bài tập trong sách giáo khoa, trong sách bài tập, trong các sách tham khảo, sau đó sắp xếp, phân loại và tìm ra kiến thức và kỹ năng cơ bản.

Trên cơ sở đó đối chiếu với sách giáo khoa thấy rõ những kiến thức kỹ năng nào cần đi sâu, những kiến thức kỹ năng nào cần

bổ sung, những kiến thức kỹ năng nào mà học sinh hay mắc sai lầm.

1/ Khi giảng dạy một định lý hay một công thức thì yêu cầu học sinh phải nắm chắc giả thiết, kết luận, các điều kiện tồn tại của định lý.

2/ Khi thực hiện giờ bài tập cần phân loại dạng bài để học sinh dễ nhận dạng, dễ hiểu và có hớng giải quyết, biết vận dụng vào từng loại bài tập cụ thể.

3/ Phải chọn lọc ra các loại bài tập điển hình, định hớng suy nghĩ và hớng dẫn học sinh tìm lời giải và giải bằng nhiều cách Yêu cầu của một bài tập là:

• Củng cố kiến thức và kỹ năng tính toán

• Phát huy tính t duy sáng tạo

• Có tác dụng phục vụ cho các bài học sau

4/ Để có thể nâng cao chất lợng dạy và học trong nhà trờng tôi thiết nghĩ không gì khác là chính bản thân ngời giáo viên

và các em học sinh phải nỗ lực bản thân, song để có thể đạt

đợc kết quả giáo dục tốt nhất thì sự quan tâm của các cấp lãnh

đạo trong ngành giáo dục là rất cần thiết, tôi xin có đề xuất nh sau:

- Có thể đa các đề tài SKKN có chất lợng lên trang web của ngành để các giáo viên đợc học tập kinh nghiệm của các đồng nghiệp khác.

- Tạo điều kiện để các giáo viên trẻ đợc đi học tập kinh nghiệm của các đồng chí có thâm niên công tác.

- Do thời gian công tác cha nhiều nên đề tài chắc chắn còn nhiều thiếu sót Kính mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để kinh nghiệm đạt hiệu quả hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn.

6 B Những sai lầm phổ biến khi giải toán 11

7 C Một số bài toán tích phân giải bằng nhiều phơng pháp

8 III Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm 21

9 Phần III Kết luận chung và đề xuất 20

Sách tham khảo

1 Báo toán học tuổi trẻ

2 Phơng pháp giảng môn toán

3 Phơng pháp tính tích phân (Nguyễn Hữu Ngọc) 4.Sai lầm phổ biến khi giải toán ( Nguyễn Vĩnh Cận) 5.Đề thi tuyển sinh Bộ Giáo dục đào tạo

6.Giải tích lớp 12