SKKN Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối đa diện THPT LÊ VĂN LINH

+ Câu hình học không gian có trong các đề thi và thường là khó đối với học sinhmặc dù đây chưa phải là câu khó trong đề thi.+ Học sinh có tâm lí chung là ngại học hình, đặc biệt là hình

A ĐẶT VẤN ĐỀ

I.Lí do chọn đề tài

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêuthích và say mê, nhưng nói đến môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trởngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng từ “sợ” học Đặc biệt là hình họckhông gian tổng hợp

Một trong những nội dung quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó làtính thể tích khối đa diện Đây là một nội dung khó vì liên quan đến nhiều kiến thức

ở chương trình hình học lớp 11 và yêu cầu học sinh phải tư duy linh hoạt, khả năngphân tích tổng hợp và tưởng tượng Nhưng là phần rất quan trọng có trong cấu trúc

đề thi tốt nghiệp, cao đẳng, đại học và thường xuyên xuất hiện trong các đề thituyển chọn học sinh giỏi và có khả năng phát triển tư duy cho sinh

Qua thực tế một số năm giảng dạy khối 12 ở Trường THPT Lê Văn Linh, tôithấy học sinh khi học phần này thường rất lúng túng không định hướng được cáchtính thể tích và hay mắc phải số sai lầm Nguyên nhân là do các em không nắmvững lí thuyết, việc luyện tập còn ít

Là một giáo viên dạy toán, bản thân tôi luôn đặt ra câu hỏi? dạy như thế nào

để học sinh dễ tiếp thu, nắm chắc kiến thức, vận dụng tốt vào giải toán, và phù hợpvới nhiều đối tượng Đó là vấn đề mà tôi luôn trăn trở và tìm tòi trong quá trìnhgiảng dạy và mong muốn được trao đổi với các thầy cô giáo đồng nghiệp

Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn, trở ngại đó và ngày càng yêu thích

môn toán hơn tôi mạnh dạn chọn đề tài “ Hướng dẫn học sinh tính thể tích khối

đa diện”.

II Mục đích của đề tài

* Nhằm giúp các em học sinh có được phương pháp phù hợp khi giải bài toán tínhthể tích khối đa diện, tránh những sai sót phổ biến khi học phần này

* Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy lấy học sinh làm trung tâm, phát huytính chủ động, tích cực, sáng tạo của học sinh

* Giúp các em có niềm đam mê khi học toán, bồi dưỡng khả năng tự học , tự suyluận, phát triển tư duy tưởng tượng, phát huy tính sáng tạo, nhằm phát triển tư duytoán học cho học sinh

* Là tài liệu cho cho học sinh và các đồng nghiệp tham khảo

III Nhiệm vụ của đề tài

* Đưa ra hệ thống lí thuyết và các công thức có liên quan đến bài toán tính thể tích

khối đa diện

* Các phương pháp tính thể tích khối đa diện

* Một số sai lầm mà học sinh thường mắc phải

* Đưa ra một số bài tập tham khảo

IV Đối tượng nghiên cứu

2

Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 12A, 12B – Năm học 2012 - 2013 củaTrường THPT Lê Văn Linh.

V Phương pháp nghiên cứu:

- Qua nghiên cứu tài liệu: Đọc kỹ sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan

- Qua kinh nghiệm giảng dạy tại trường THPT Lê Văn Linh

- Điều tra tình hình học sinh khi làm bài

- Dùng phương pháp kiểm nghiệm học sinh thông qua việc ra đề kiểm tra

- Qua trao đổi và học hỏi các thầy cô giáo trong trường và đồng nghiệp

B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

I.Cơ sở lí luận:

1 Khái niệm khối đa diện: Khối đa diện là phần không gian được giới hạn bởi

một hình đa diện, kể cả hình đa diện đó

2 Khái niệm về thể tích khối đa diện: Thể tích khối đa diện (H) là một số thực

dương, kí hiệu V(H) và thỏa mãn các tính chất sau:

+) Nếu (H) là 1 khối lập phương có cạnh bằng 1 thì V(H) = 1

+) Nếu hai khối đa diện (H1) và (H2) bằng nhau thì V(H1)=

2 (H )

+) Nếu khối đa diện (H) được phân chia thành hai khối đa diện (H1) và (H2) thì V(H) = V(H1)+

2 (H )

* Chú ý: Khối lập phương có cạnh bằng 1 được gọi là khối lập phương đơn vị.

3 Các công thức tính thể tích khối đa diện:

3.1 Thể tích khối lăng trụ: Thể tích khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao hlà: V = Bh

* Chú ý:1, Trong trường hợp đặc biệt nếu khối đa diện là khối hộp chữ nhật hoặc

khối lập phương thì:

+) Thể tích khối hộp chữ nhật có ba kích thước a, b, c là: V = abc

+) Thể tích khối lập phương có cạnh bằng a la: V= a3

2, B: Diện tích đáy,

h: chiều cao( là khoảng cách giữa hai đáy)

3.2 Thể tích khối chóp: Thể tích khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

V = 1

3Bh

* Chú ý: B: diện tích đáy,

h: chiều cao( là khoảng cách từ đỉnh tới đáy)

4 Các kiến thức có liên quan

4

4.1 Góc giữa hai đường thẳng trong không gian a và b: Là góc giữa hai đườngthẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song sng với a và b.

Chú ý: Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc mộttrong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng song song với đường thẳng cònlại

4.2 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α))

là góc giữa d và hình chiếu d’ của nó trên (α))

Chú ý: * Nếu d vuông góc với mp(α)) thì ta nói rằng góc giữa d và (α)) bằng 900

* Nếu d không vuông góc với (α)) và cắt (α)) tại điểm O thì ta xác định góc giữa d và(α)) như sau:

+) Ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với điểm O

+) Xác định hình chiếu vuông góc của A lên (α)) là điểm H

+) Khi đó góc giữa d và (α)) là φ và  AOHˆ

4.3 Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc vớihai mặt phẳng đó

Chú ý: Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (α) và (β)) và (β)β))

+) Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng

+) Chọn điểm I trên giao tuyến c , từ điểm I ta dựng trong (α)) đường thẳng a vàtrong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.) đường thẳng b cùng vuông góc với c

+) Khi đó góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng a và b

4.4 Khoảng cách:

+) Khoảng cách từ một điểm O đến một đường thẳng a là độ dài đoạn OH( H làhình chiếu vuông góc của O lên a)

+) Khoảng cách từ một điểm O đến một mặt phẳng (α)) là độ dài đoạn OH ( trong

đó H là hình chiếu vuông góc của O lên (α))

Chú ý: Cách tìm điểm H : Chọn mp(β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.) chứa O, vuông góc với (α)) và cắt (α)) theo

giao tuyến d Trong (β) đường thẳng b cùng vuông góc với c.) từ O dựng đường thẳng vuông góc với d tại H Khi đó H làhình chiếu vuông góc của O lên (α))

+) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α)) song song là khoảng cách từmột điểm bất kì của a đến mặt phẳng (α))

+) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kìcủa mặt phẳng này đến mặt phẳng kia

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài đoạn MN

( M a, N b, MN a, MN b)

Chú ý: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một

trong hai đường thẳng đó đến mặt phẳng song song với nó và chứa đường thẳngcòn lại, bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đườngthẳng đó

II.Thực trạng của vấn đề:

6

+) Câu hình học không gian có trong các đề thi và thường là khó đối với học sinhmặc dù đây chưa phải là câu khó trong đề thi.

+) Học sinh có tâm lí chung là ngại học hình, đặc biệt là hình học không tổng hợptrong đó phải nói đến phần tính thể tích khối đa diện

+) Đối với học sinh Trường THPT Lê Văn Linh thì chất lượng đầu vào thấp hơn sovới một số trường của huyện Dẫn đến nhiều khó khăn cho giáo viên khi dạy họcphần này

+) Thực tế thời gian học chính khóa dành cho phần này rất ít, với chương trìnhchuẩn hình học 12 chỉ phân phối có 2 tiết lí thuyết và 1 tiết bài tập Sách giáo khoamới chỉ nêu công thức tính thể tích, nêu một ví dụ và đưa ra một số bài tập

+) Học sinh không nắm vững lí thuyết, thời gian luyện tập ít

Chính vì thế nên khi gặp bài toán tính thể tích khối đa diện đa số học sinh rất lúng

túng khi làm bài, chưa phân loại và định hướng được cách giải, hoặc mắc phải một

số sai lầm Dẫn đến kết quả thi kiểm tra ở lớp ở trường, thi đại học rất thấp

III Giải pháp và tổ chức thực hiện.

V = B.h

trong đú : B là diện tớch đỏy,

h là chiều cao của hỡnh chúp( tức là khoảng cỏch từ đỉnh của hỡnh chúptới mặt phẳng đỏy)

+) Thể tớch của khối lăng trụ là:

V = B h

trong đú : B là diện tớch đỏy,

h là chiều cao của hỡnh lăng trụ ( là khoảng cỏch giữa 2 đỏy)

Việc ỏp dụng cụng thức thụng thường yờu cầu:

a) Xỏc định đường cao ( cú thể bài toỏn cho sẵn đường cao, hoặc cú thể phải dựng,hoặc cú khi phải kẻ đường cao phụ,…)

b)Tớnh độ dài đường cao và diện tớch mặt đỏy

*Để xỏc định đường cao ta lưu ý :

Hỡnh chúp đều cú chõn đường cao trựng với tõm của đỏy nờn chiều cao của hìnhchóp là khoảng cách từ đỉnh đến tâm của đáy

Hỡnh chúp cú cỏc cạnh bờn bằng nhau thỡ chõn đường cao trựng với tõm đườngtrũn ngoại tiếp mặt đỏy

Hỡnh chúp cú cạnh bờn vuụng gúc với đỏy thỡ chiều cao của hỡnh chúp là độ dàicạnh bờn đú

8

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đườngcao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy.

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giaotuyến của mặt phẳng đó và đáy

Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giaotuyến của hai mp đó

Hình lăng trụ : chiều cao là khoảng cách từ 1 đỉnh tới mặt đáy còn lại nên tương

tự như hình chóp

* Để tính độ dài đường cao ta thường áp dụng:

Các hệ thức lượng trong tam giác: Định lí Cosin, Sin, đặc biệt là các hệ thứclượng trong tam giác vuông

Dựa vào định lí Talets,…

*Để tính diện tích mặt đáy cần lưu ý:

Đáy là một trong các hình sau thì diện tích được tính như sau:

+) ABC vuông tại A thì S = AB AC = AH BC ( AH là đường cao) ,

+) ABC đều cạnh a thì S = ,

+) ABCD là hình vuông cạnh a thì S = a2,

+) ABCD là hình chữ nhật cạnh a, b thì S = a.b,

+) ABCD là hình thoi thì S = AC BD , …

Sau đây là một số hình vẽ minh họa cho các hình đặc biệt:

Hình chóp tam giác đều

S

H

C

B A

S

Hình chóp có một mặt bên

(SBC) vuông góc với mặt đáy

Hình chóp có hai mặt bên kề nhau (SAC)

và (SAB) vuông góc với đáy SA là đờng cao

Vớ dụ 1: Cho hỡnh chúp S.ABC, đỏy ABC là tam giỏc vuụng cú cạnh huyền

nhau và bằng  Tớnh thể tớchcủa khối chúp.

C

B A

S

A B

S

* Phân tích: Bài toán này rất ngắn gọn, giả thiết của bài toán ít , tuy nhiên giả

thiết thứ 2 khó xác định hơn, đòi hỏi học sinh phải có kĩ năng xác định góc giữađường thẳng và mặt phẳng

Yêu cầu của bài toán tính thể tích của khối chóp tam giác: Học sinh phải xác địnhđường cao, tính diện tích tam giác đáy, áp dụng đúng công thức

Lời giải:

Trước hết gọi H là hình chiếu vuông góc của S xuống mp(ABC), hình chóp đã cho

có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng nhau  SAH SBH SCH   nên từ

đó suy ra rằng HA=HB=HC, tức là chân đường cao H phải trùng với tâm đườngtròn ngoại tiếp tam giác ABC

Mặt khác ABC là tam giác vuông tại A, nên H chính là trung điểm của cạnhhuyền BC

Dựa vào hình vẽ này ta có BC=2a,

*Nhận xét: Ở bài này học sinh rất dễ mắc phải sai lầm sau :

Kẻ SH  mp(ABC) ( hình vẽ),

ta có:SAH SBH SCH   , như vậy nhìn vào

hình vẽ học sinh không tính được SH, do không định

vị được điểm H

Hình vẽ trên sai do học sinh không vận dụng

hết các điều đã cho trong giả thiết ( các cạnh bên tạo

với đáy một góc bằng nhau và đáy là tam giác vuông )

Do đó nó không gợi ý một sự liên hệ nào có thể giúp chúng ta thực hiện được việctính toán

Chú ý: Nếu các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau thì chân đường cao chính

là tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

Ví dụ 2:

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thoi với các đường chéo AC=4a,

BD Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C', D' Khi đó hãy tính thể tích của S AB'C'D'.

* Phân tích: Bài toán này các giả thiết đầu xác định được ngay trên hình, tuy nhiên

giả thiết cuối cùng đòi hỏi học sinh phải xác định các điểm B’, C’, D’ cho đúng, Vẽhình thì phải vẽ đáy là hình bình hành, lấy tâm O, từ O dựng đường vuông góc với

mặt đáy, trên đường thẳng đó lấy S, nối S với các đỉnh Đây là bài toán tính thể tíchcủa khối chóp tứ giác, vẽ hình xong thì có thể gợi ý cho học sinh nhiều cách tínhtuy nhiên lựa chọn cách nào cho đơn giản nhất Sau khi phân tích ta chọn cách tínhtrực tiếp, xác định h và B

* Lời giải : Do SC (AB’C’D’) nên đường cao của hình chóp S AB'C'D' là SC’

AC' là đường cao trong tam giác đều SAC cạnh 4a nên AC’= 2a

Gọi K là giao điểm của các đường chéo, ta có:

14

K B' D'

O

C' S

D

C

B A

Mặt khác do K là trực tâm của SAC nên K là trọng tâm của tam giác SAC

*Nhận xét: Ở bài này học sinh thường mắc phải một số sai lầm sau:

Vẽ hình sai, thường là học sinh lấy điểm B’, C’, D’ tùy ý vì không nắm chắc giảthiết của bài toán

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD , các tỉ số trên , từ đó học sinh suy ra thể tíchcủa khối chóp S.AB’C’D’

Những sai lầm trên đây là do thiếu một số hiểu biết cần thiết trong việc vẽ một sốhình quen thuộc, và do học sinh không nắm vững lí thuyết

Công thức trên chỉ đúng đối với khối chóp tam giác, trong khi đó học sinh lại ápdụng đối với khối chóp tứ giác Bài này học sinh muốn sử dụng công thức này phảichia khối chóp thành 2 khối chóp tam giác

Ví dụ 3: ( Đề thi Đại học khối A - 2010)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi M, N lần lượt là trungđiểm của các cạnh AB, AD; H là giao điểm của CN và MD Biết SH vuông góc với

mp(ABCD) và SH = Tính thể tích khối chóp S.CDMN

* Phân tích: Gỉa thiết và kết luận của bài toán rất cụ thể và dễ xác định Chỉ lưu ý

học sinh khi vẽ hình: vẽ đáy là hình bình hành, lấy M, N, xác định giao điểm H, Từ

H dựng đường thẳng vuông góc với đáy trên đó lấy điểm S, nối S với các đỉnh

Yêu cầu: Đây là bài toán tính thể tích khối chóp tứ giác, cần xác định chiều cao vàđáy

S

* Lời giải: Do SH ⟘ (ABCD) ,

suy ra SH là chiều cao của hình cóp S.CDMN

16A

B

C

DM

NH

SCDMN = SABCD– SAMN – SBCM

= a2 -

Vậy V =

Ví dụ 4: Cho lăng trụ tam giác đều ABCA'B'C' có cạnh đáy bằng a, đường chéo

BC' của mặt bên (BCC'B') hợp với mặt bên (BAA'B') một góc  Tính thể tích khối lăng trụ.

*Phân tích: Bài toán đơn giản, giả thiết ít, tuy nhiên xác định giả thiết thứ 2 học

sinh phải có kĩ năng xác định góc giữa đường và mặt phẳng

Yêu cầu của bài toán: Đây là bài toán tính thể tích khối lăng trụ tam giác đều, đáy

là tam giác đều, chiều cao là độ dài cạnh bên, từ đó ta có lời giải sau

*Lời giải :

Xác định được góc giữa đường thẳng BC’ và ((BAA'B')

Theo định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta phải tìm góc giữađường thẳng với hình chiếu của nó trên mặt phẳng và việc đầu tiên là phải xác địnhhình chiếu của BC' trên mặt phẳng

(BAA'B') Để xác định hình chiếu của BC'

trên mặt phẳng (BAA'B') ta xác định hình

chiếu của điểm C' lên mặt phẳng (BAA'B')

Ta để ý đến trung điểm I của cạnh A'B'

Lăng trụ ABC.A'B'C' là lăng trụ đều nên

BB'  mp(A'B'C')

=> BB'  IC' (1)

Tam giác A'B'C' là tam giác đều nênA'B'  IC' (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra : IC' mp(BAA'B') hay I là chân đường vuông góc kể

từ C' đến mp(BAA'B'), nghĩa là BI là hình chiếu của BC' trên mp(BAA'B') Vậy

C

B A

Thay vào ta được: 3 3sin3

*Nhận xét: Học sinh thường mắc phải sai lầm sau: Xác định góc giữa đường thẳng

BC’ và (BAA'B'), vì thế dẫn đến tính toán sai, cụ thể :

Nối BA' Góc giữa đường chéo BC' với mặt bên (BAA'B') là góc C BA ' ' Vậy tacó: C BA ' '  

B' A'

C

B A

Suy ra : ' 1 4sin2 2

2sin 2

*Lưu ý: Nếu lăng trụ đứng thì chiều cao của hình chóp là độ dài cạnh bên,

Nếu khối hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c thì V = a.b.c

Nếu khối lập phương cạnh a thì V = a3

Ví dụ 5: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có 6 mặt đều là những hình thoi và cạnh

đều bằng a, hình thoi có góc đỉnh A bằng 60 0 Tính thể tích hình hộp

* Phân tích :Bài toán này giả thiết xác định đơn giản,

Yêu cầu bài toán tính thể tích khối hộp: lăng trụ này có đáy là hình thoi, cònlại phải xác định chiều cao của hình hộp

20