Khi đó: Nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d 1 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q).. Tính diện tích ta[r]
Trang 1Tài liệu ôn thi tốt nghiệp THPT-GDTX năm 2012 Chủ đề 5: HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1) Một số phép toán vectơ
Tọa độ không gian.
1 u x y z( ; ; ) u x i y j z k . . .
2 M x y z( ; ; ) OM xi yj zk OM x y z( ; ; )
3 Nếu a x y z b x y z( ; ; ), ( '; '; ')
thì:
+ a b (x x y y z z '; '; ') + ka ( x; ; z) k ky k
+ a b.x x 'y y z z ' ' +| |a x2y2z2
cos( , )
| | | |
a b
+ ab a b. 0
+
' ' '
x x
z z
4 Nếu A (x1;y1;z1), B (x2;y2;z2), thì:
+ AB (x1 x y2 ; 1 y z2 ; 1 z2 )
(*) + | AB| (x1 x2 )2 (y1 y2 )2 (z1 z2 )2
+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, k 1 thì :
1 1 1
M
M
M
x
k
y
k
z
k
+ Nếu M là trung điểm của AB thì:
2 2 2
A B M
A B M
A B M
x
y
z
Tích có hướng của hai vectơ.
* Nếu a x y z b x y z( ; ; ), ( '; '; ')
thì tích có hướng của hai vectơ đó là một véc tơ:
Trang 2
a b
* Kết quả: + Vectơ [ , ]a b
vuông góc với a và b + Hai vectơ a và bcùng phương thì [ , ]a b
= 0
+ Ba vectơ a b,
và cđồng phẳng thì [ , ].ca b = 0
+ [ , ]|=| |.| |sin( , )a b a b a b
+
1
2
ABC
+
1
6
ABC
+ V ABCD A B C D ' ' ' ' | [ AB AC AA, ] ' |
2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng.
*) Phương trình tổng quát của mặt phẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C là:
A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0
Hay: Ax + By + Cz + D =0 ( Với D = –Ax0 – By0 – Cz0 = 0)
Nếu mp () có phương trình : Ax + By + Cz + D = 0 thì ta có 1vtpt của ( ) là:
n = (A; B; C)
*) Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a,0,0) B(0,b,0) ; C(0,0,c) là
1
abc ( Phương trình đoạn chắn)
Chú ý : Muốn viết phương trình mặt phẳng ta cần xác định tọa độ1 điểm mà nó đi qua
và 1 véctơ pháp tuyến
*) Vị trí tương đối của hai mp (1) và (2) :
° ( ) cắt( ) A B C1 : 1 : 1 A B C2 : 2 : 2
°
°
° ( ) ( ) A A1 2 B B1 2 C C1 2 0
3) Phương trình đường thẳng.
+ Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ
phương u( ; ; )a b c là:
0 0
0
0 0
0
+ Phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u( ; ; )a b c là:
0 0
0
Trang 3+Vị trí tương đối của 2 đường thẳng d , d’ : Ta thực hiện hai bước
Tìm quan hệ giữa 2 vtcp ud, u d /
Tìm điểm chung của d , d’ bằng cách xét hệ:
x + at = x' + a't'
y + bt = y' + b't' (I)
z + ct = z' + c't'
Hệ (I) Quan hệ
giữa ud', ud / Vị trí giữa d
, d’
Vô số
phương
'
d d
/ /
Có 1 nghiệm Không cùng
phương
d cắt d’
Vô nghiệm d , d’ chéo
nhau
4) Vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng.
Tùy theo dang của đường thẳng và mặt phẳng đã cho mà ta chọn cách xét vị trí tương đối Cụ thể có ba cách xét chính đó là:
+ Xét hệ phương trình tương giao
+ Quan hệ giữa vectơ pháp tuyến, vectơ chỉ phương và vectơ nối hai điểm của đường thẳng
+ Quan hệ thuộc
5) Góc và khoảng cách.
+ Gọi góc giữa hai đường thẳng d1, d2 là nên ta có:
cos | cos(u u d1 , d2 ) |
+ Gọi góc giữa hai mặt phẳng (P), (Q) là nên ta có:
cos | cos(n( )P ,n( )Q ) |
+ Gọi góc giữa hai mặt phẳng (P) và đường thẳng d là nên ta có:
sin | cos( ,u n d ( )P ) |
+ Khoảng cách từ điểm M(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0
là:
| Ax + By + Cz + D | ( / ( ))
A + B + C
+ Khoảng cách từ điểm M đến một đường thẳng đi qua A và có vectơ chỉ
phương u là:
| [u , ] |
| u |
AM
+ Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d1 và d2 là:
1 2
1 2
1 2
1 2
|[u , u ]|
d d
d d
M M
d d d
6) Mặt cầu:
+ Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) và bán kính R là:
(x – a )2 + (y – b )2 + (c – z )2 = R2
Trang 4+ Phương trình: x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi A2 + B2 + C2 – D > 0
Khi đó tâm mặt cầu là: I(-A;-B;-C) và bán kính R A2B2C2 D
+ Nếu d(I/(P)) = R thì mp(P) tiếp xúc với mặt cầu
+ Nếu d(I/(P)) > R thì mp(P) không cắt mặt cầu
+ Nếu d(I/(P)) < R thì mp(P) cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn có tâm là hình chiếu của I trên mặt phẳng (P) và bán kính r R2 d2 với d = d(I/(P))
II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP:
Dạng 1: Các bài toán về các phép toán của véc tơ.
1 Chứng minh A,B,C là ba đỉnh tam giác, xác định hình dạng của tam giác
A,B,C là ba đỉnh tam giác AB , AC không cùng phương
2 Tìm D sao cho ABCD là hình bình hành
ABCD là hình bình hành AB DC
3 Chứng minh ABCD là một tứ diện, tính thể tích của tứ diện, tính độ dài đường cao của
tứ diện, xác định các tính chất đặc biệt của tứ diện
+ Viết phương trình (BCD)
+ Thay tọa độ A vào phương trình mp(BCD) và cmA(BCD)
( Hoặc: chứng minh AB AC AD, . 0
)
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng.
Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
1 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ pháp tuyến n( ; ; )A B C là: A(x –x0 ) + B(y – y0 )+C(z – z0 ) = 0
2 Mặt phẳng (P) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C.
+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): n( )P [AB AC, ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là A ( hoặc B, hoặc C)
3 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d cho trước:
+ n( )P ud
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M
4 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q) cho trước:
+ n( )P n( )Q
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M
5 Mặt phẳng (P) đi qua điểm M và đường thẳng d cho trước
+ n( )P [MM 0 ,u ]d
(M0 d ) + Điểm mặt phẳng đi qua là M
6 Mặt phẳng (P) đi qua điểm hai đường thẳng cắt nhau d1, d2:
+ n( )P [u ,u ] d1 d2
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1 (hoặc M2 thuộc d2 hoặc giao điểm của hai đường thẳng đó)
7 Mặt phẳng (P) đi qua hai đường thẳng song song d và d'.
+ n( )P u MM d, '
Trang 5+ Điểm mặt phẳng đi qua là điểm M thuộc d hay M' thuộc d'.
8 Mặt phẳng (P) chứa d1 và song song với d2 (d1 và d2 chéo nhau)
+ n( )P [u ,u ] d1 d2
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d1
9 Mặt phẳng (P) chứa d1 và vuông góc với mặt phẳng (Q) cho trước:
+ n( )P [u nd1 ,( )Q ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M1 thuộc d
10 Mặt phẳng (P) đi qua M và song song với d1 và d2 chéo nhau
+ n( )P [u ,u ] d1 d2
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M
11 Mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với mặt phẳng (R), (Q) cho trước:
+ n( )P [n( )R ,n( )Q ]
+ Điểm mặt phẳng đi qua là M
12 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và cách điểm A một khoảng cho trước.
+ n( )P n( )Q
PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D
13 Mặt phẳng (P) song song với mp (Q) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
+ n( )P n( )Q
PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D
14 Mặt phẳng (P) song song với hai đường thẳng chéo nhau d, d’ và tiếp xúc với
mặt cầu (S)
+ n( )P u u d, d'
PTTQ của mp (P): Ax + By + Cz + D = 0
+ Tìm D
Dạng 3: Viết phương trình đường thẳng.
1 Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau:
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và có vectơ chỉ phương u( ; ; )a b c :
+ Phương trình tham số:
0
0 0
+ Phương trình chính tắc:
0 0 0
a) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và vuông góc với mp(P):
Ax + By + Cz + D = 0
+ ud n( )P =(A;B;C)
+ Phương trình đường thẳng d:
b) Đường thẳng d đi qua điểm M(x0;y0;z0) và song song đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương ud' ( ; ; )a b c
+ ud ud' ( ; ; )a b c
Trang 6+ Phương trình đường thẳng d:
2.Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của hai mp(P) và mp(Q).
Cách 1:
+ u d [n , n ]( )P ( )Q
+ Điểm mà đường thẳng d đi qua có tọa độ là 1 nghiệm của hệ phương trình được tạo bởi phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q)
Cách 2: Lấy hai điểm A, B là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q), suy ra
giao tuyến của hai mặt phẳng đó chính là đường thẳng AB
Cách 3: Gọi M là điểm chung của hai mặt phẳng (P) và (Q) Giả sử M có hoành
độ x = t, ta đi tìm y và z theo t ,từ đó ta có phương trình tham số của giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q)
3.Viết phương trình đường thẳng d’ là hình chiếu của đường thẳng d trên mp(P):
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d và vuông góc mp(P)
+ Khi đó đường thẳng d’ là giao tuyến của mp(P) và mp(Q)
Cách 2:
+ Lấy hai điểm A, B thuộc đường thẳng d
+ Tìm điểm A’ và B’ lần lượt là hình chiếu của điểm A và B ttrên mp(P)
Khi đó: đường thẳng A’B’ chính là hình chiếu của đường thẳng d trên (P)
4 Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc với hai đường thẳng
d 1 , d 2
Vì
1
1 2 2
1 2
u
[u , u ] u
d d
d d
u
u
Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d
5 Viết phương trình đường thẳng d qua M và song song với hai mp(P) và mp(Q).
Vì đường thẳng d song song với hai mp(P) và mp(Q) nên
( )
( ) ( ) ( )
n
[n , n ] n
u
u u
Từ đó ta viết được phương trình đường thẳng d
6 Viết phương trình đường thẳng d qua M và cắt hai đường thẳng d 1 , d 2
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1
+ Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và đường thẳng d2
Khi đó: Nếu ud , u d1
và u u d, d2 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q)
Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1
+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d2 và mp(P)
Trang 7+ Viết phương trình đường thẳng MI Nếu vectơ chỉ phương của hai đường thẳng MI và
d1 không cùng phương thì đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm
7 Viết phương trình đường thẳng d qua điểm M , cắt đường thẳng d 1 , và vuông góc với đường thẳng d 2
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và đường thẳng d1
+ Viết phương trình mp(Q) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2
Khi đó: Nếu véc tơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến và đường thẳng d1 không cùng phương thì đường thẳng d chính là giao tuyến của hai mặt phẳng mp(P) và mp(Q)
Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d2
+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d1 và mp(P)
Khi đó: đường thẳng MI chính là đường thẳng d cần tìm
8 Viết phương trình đường thẳng d song song đường thẳng d 1 và cắt hai đường thẳng d 2 , d 3
Cách 1:
+ Viết phương trình mp(P) song song với đường thẳng d1 và chứa đ.thẳngd2
+ Viết phương trình mp(Q) song song với đường thẳng d1 và chứa đt d3
Gọi giao tuyến của (P) và (Q) là d Nếu u u d, d2không cùng phương và u u d, d3không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm
Cách 2:
+ Viết phương trình mp(P) chứa d2 và song song d1
+ Tìm giao điểm I của đường thẳng d3 và mp(P)
+ Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm I và song song với đt d1
Nếu u u d, d2không cùng phương thì d chính là đường thẳng cần tìm
Cách 3:
+ Giả sử
2
3
ta viết tọa độ tổng quát của điểm A, B theo t và t’
+ Vì d song song d1 AB
cùng phương với ud1 AB k ud1
Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’
Giải hệ ta tìm được t và t’ suy ra tọa độ của A và B
Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm
9 Viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d 1 , d 2
Cách 1:
+ Giả sử
1 2
ta viết được tọa độ tổng quát của A, B theo t và t’
+ Vì
1
2
Ta có hệ hai phương trình hai ẩn t và t’.Giải hệ
ta tìm được t và t’ , suy ra tọa độ của A và B
Trang 8Đường thẳng AB chính là đường thẳng d cần tìm.
Cách 2:
+ Vì đường thẳng d vuông gócvới đường thẳng d1, d2 nên đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là: u d [u , u ]d1 d2
+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d1 và có véc tơ pháp tuyến là:
1
( )P d, d
+ Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa đường thẳng d2 và có véc tơ pháp tuyến là:
2
( )Q d, d
Suy ra: giao tuyến của (P) và (Q) là đường thẳng d cần tìm
Đặc biệt: Nếu d1 d2 thì để viết phương trình đường thẳng d là đường vuông góc chung của d1, d2 ta làm như sau:
+ Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng d1 và vuông góc với đường thẳng d2
+ Viết phương trình mp(Q) chứa đường thẳng d2 và vuông góc với đường thẳng d1
Khi đó: giao tuyến của (P) và (Q) chính là đường thẳng d cần tìm
10 Viết phương trình đường thẳng d đi qua giao điểm I của đường thẳng d’ và
mặt phẳng (P), nằm trong (P) và vuông góc với d’.
+ Tìm toạ độ điểm I.
+ u d n( )P ,u d'
Dạng4: Tìm điểm H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng , đường thẳng.
a H là hình chiếu của M trên mp()
Viết phương trình đường thẳng d qua M và vuông góc ()
H = d ()
b H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
H thuộc đt d Toạ độ tổng quát của H theo tham số t
Tính MH
Ta có MH u d MH u. d 0 t ?
tọa độ H
Dạng 5 : Điểm đối xứng M’ của M qua 1 mặt phẳng, đường thẳng.
a Điểm M / đối xứng với M qua mp()
Tìm hình chiếu H của M trên mp()
M/ đối xứng với M qua () H là trung điểm của MM/
/
/
/
2 2 2
M
M
M
b Điểm M / đối xứng với M qua đường thẳng d:
Tìm hình chiếu H của M trên d
M/ đối xứng với M qua d H là trung điểm của MM /
/
/
/
2 2 2
M
M
M
Dạng 6: Khoảng cách
a) Khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng :
+ Viết phương trình mp( ) chứa A và
+ Tìm giao điểm H của và ( )
Trang 9+ Tính d(A, ) = AH
b) Khoảng cách giữa đường thẳng và ( ) với / /( ) :
+ Lấy M trên
+ d( ,( )) d M( ,( ))
c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau , ’ :
+ Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa ’ và //
+ Lấy M trên
+ d( , ) ' d M ( ,( ))
Chú ý: Với bài toán a) và c) HS ban KHTN đã có công thức tính
Dạng 7: Một số bài toán hình học không gian giải bằng phương pháp toạ độ
III BÀI TẬP MINH HỌA
Bài 1 : Trong không gian Oxyz cho A(1;3;-2), B(-1;1;2) và C(1;1;-3)
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vuông tại A Tính diện tích tam giác ABC b) Viết phương trình tham số của đường thẳng AM, với AM là trung tuyến của tam giác ABC
c) Viết phương trình tổng quát của mp(P) đi qua 3 đỉnh của tam giác ABC
d) Tính khoảng cách từ D(2;1;2) đến mp(ABC)
Bài giải
a)
Ta có: AB ( 2; 2; 4) AB2 6, AC(0; 2; 1) AC 5
Suy ra: AB AC 0 4 4 0 ABAC
Hay tam giác ABC vuông tại A
Diện tích tam giác ABC:
b)
M là trung điểm của BC nên
1 0;1;
2
Đường thẳng AM qua A(1;3;-2) nhận
3 1; 2;
2
AM
làm VTCP có phương trình tham số:
1
3 2 3 2 2
c)
Gọi n AB AC (10; 2; 4)
Mp(P) qua A(1;3;-2) nhận n (10; 2;4) làm VTPT có phương trình tổng quát:
d) khoảng cách từ D đến mp(ABC):
Trang 1010 1 4 2 30
2
25 1 4
Bài 2: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2;-6) và mp(P) x 2y2z 1 0
a) Viết phương trình mặt cầu tâm B qua A
b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC
c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc mp(P)
Bài giải
a)
Mặt cầu tâm B, qua A nên có bán kính r = AB
Phương trình mặt cầu cần tìm:
b)
Gọi I là trung điểm BC
Khi đó:
1; ; 2 ,
Mặt cầu đường kính BC có tâm
3 1; ; 2 2
I
, bán kính r =
69
2 có phương trình:
c)
Mặt cầu tâm C tiếp xúc với (P) nên có bán kính
0 4 12 1
1 4 4
Phương trình mặt cầu cấn tìm:
Bài 3: Cho mặt cầu (S): x2y2z2 2x6y 8z 1 0
a) Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S)
b) Viết phương trình mp(P) tiếp xúc với mặt cầu tại M(1;1;1)
Bài giải
a)
Từ phương trình mặt cầu ta có:
Tọa độ tâm I(1; -3; 4)
Bán kính: R 1 9 16 1 5
b)
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu tại M nên IM vuông với mp