Tiệm cận của đồ thị hàm số I.Mục tiêu: + Về kiến thức: Giúp học sinh - Nắm vững định nghĩa và cách xác định các đường tiệm cậnt/c đứng, t/c ngang, t/c xiên của đồ thị hàm số.. + Về kỹ nă[r]
Trang 1GA ụn tốt nghiệp
Tiết 1 Cực trị hàm số
I - Mục tiờu:
1 Kiến thức:
- Học sinh nắm v ững kiến thức liờn quan đến cực trị hàm số đó học
2 Kĩ năng: Tăng cường kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức đã học và tìm hiểu 1 số kiến thức mới nâng cao về khảo sỏt hàm số, các bài toán liên quan
3 Thái độ: Làm cho HS tự tin, hứng thú, kiên trì, sáng tạo trong học tập môn Toán
II - Chuẩn bị của thầy và trũ:
- Sỏch giỏo khoa, biểu bảng biểu diễn đồ thị của một số hàm số
III - Tiến trỡnh tổ chức bài học:
1 Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tỡnh hỡnh sỏch giỏo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh
2 Bài mới:
A Lí THUYẾT CẦN NHỚ:
1 Cho hàm sụ y f x ,đồ thị là (C) Cỏc vấn đề về cực trị cần nhớ:
- Nghiệm của phương trỡnh f x' 0 là hoành độ của điểm cực trị
- Nếu thỡ hàm số đạt cực đại tại
0 0
f x
f x
- Nếu thỡ hàm số đạt cực tiểu tại
00
f x
f x
2 Một số dạng bài tập về cực trị thường gặp
- Để hàm số y f x cú 2 cực trị ' 0 ú nghiờm 0
0
a
- Để hàm số y f x cú hai cực trị nằm về 2 phớa đối với tung y CD.y CT 0
- Để hàm số y f x cú hai cực trị nằm về 2 phớa đối với trục tung x CD.x CT 0
- Để hàm số y f x cú hai cực trị nằm trờn trục hoành 0
CD CT
- Để hàm số y f x cú hai cực trị nằm dưới trục hoành 0
CD CT
- Để hàm số y f x cú cực trị tiếp xỳc với trục hoành y CD.y CT 0
3 Cỏch viết phương trỡnh đường thẳng đi qua hai điểm cực trị
Dạng 1: hàm số y ax 3bx2cx d
- Lấy y chia cho y’, được thương là q(x) và dư là r(x)
- Khi đú y = r(x) là đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị
2
ax bx c y
dx e
- Đường thẳng qua 2 điểm cực trị cú dạng
2
'
Trang 2B BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Xác định tham số m để hàm số y=x33mx2+(m21)x+2 đạt cực đại tại x=2
( Đề thi TNTHPT 20042005) Kết quả : m=11
2) Định m để hàm số y = f(x) = x3-3x2+3mx+3m+4
a.Không có cực trị Kết quả : m 1
b.Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m <1
c Có đồ thị (Cm) nhận A(0; 4) làm một điểm cực trị (đạt cực trị 4 khi x = 0)
Hd: M(a;b) là điểm cực trị của (C): y =f(x) khi và chỉ khi: Kết quả : m=0
b ) a (
0 ) a (' 'f
0 ) a (' f
d.Có cực đại và cực tiểu và đường thẳng d qua cực đại và cực tiểu đi qua O
Kq : y = 2(m-1)x+4m+4 và m= -1 3) Định m để hàm số y = f(x) =
x 1
m x
x 2
a Có cực đại và cực tiểu Kết quả : m>3
b.Đạt cực trị tại x = 2 Kết quả : m = 4
c.Đạt cực tiểu khi x = -1 Kết quả : m = 7
4) Chứng tỏ rằng với mọi m hàm số y = luôn có cực trị
m x
1 m x ) 1 m ( m
5) Cho hàm số y = f(x) = x3-mx2+(m2-m+1)x+1 Có giá trị nào của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1
3
1
6) Cho hàm số y = f(x) = x3-mx2+(m+2)x-1 Xác định m để hàm số:
3 1
a) Có cực trị Kết quả: m <-1 V m > 2
b) Có hai cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m > 2
c) Có cực trị trong khoảng (0;+) Kết quả: m <-2 V m > 2
7) Biện luận theo m số cực trị của hàm số y = f(x) = -x4+2mx2-2m+1
Hd và kq : y’=-4x(x2-m)
4 C ủng c ố
- Hướng dẫn học sinh gi ải b ài 4-7
5 BTVN : 5-7
_
Tiết 2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
I/ Mục tiêu:
1 Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu rõ giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
2 Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs có kỹ năng thành tạo trong việc tìm GTLN, GTNN của hàm số và biết ứng dụng vào bài toán thực tế
3 Về tư duy thái độ:
+ Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt
+ Thái độ nghiêm túc, cẩn thận
II/ Chuẩn bị của GV và HS
1 GV: Giáo án, bảng phụ
2 Hs: nắm vững lí thuyết về cực trị, GTLN, GTNN Chuẩn bị trước bt ở nhà
IV/ Tiến trình tiết dạy:
Trang 3GA ơn tốt nghiệp
1 Ổn định lớp:
2 Bài mới:
A KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1 Dạng 1 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên một khoảng (a; b).
- Lập bảng biến thiên trên khoảng (a;b)
- Nếu hàm số f(x) đạt cực đại duy nhất trên (a;b) thì CĐ.
( ; ) ( )
a b
- Nếu hàm số f(x) đạt cực tiểu duy nhất trên (a;b) thì CT.
( ; )
min ( )
a b f x f
2 Dạng 2 Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên đoạn [a; b].
- Tìm các điểm x1, x2, … , xn trên khoảng (a; b) mà tại đĩ f’(x) = 0 hoặc f’(x) khơng xác định
- Tính f(a), f(x1), f(x2), … , f(xn), f(b)
- Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên Ta cĩ
[a b] [a b]
M Max f x m Min f x
B BÀI TẬP ÁP DỤNG
1) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x)=x2-2x+3 Kq:MinR f(x) = f(1) = 2 2) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = f(x) = x2-2x+3 trên [0;3]
Kq: Min[0;3] f(x)=f(1)=2 và f(x)=f(3)=6
] 3
; 0 [
Max
3) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) = với x<1 Kết quả : f(x) = f(0) = -4
1 x
4 x
x 2
) 1
; (
Max
4) Muốn xây hồ nước cĩ thể tích V = 36 m3, cĩ dạng hình hộp chữ nhật (khơng nắp) mà các kích thước của đáy tỉ lệ 1:2 Hỏi: Các kích thước của hồ như thế nào để khi xây ít tốn vật liệu nhất?
Kết quả : Các kích thước cần tìm của hồ nước là: a=3 m; b=6 m và c=2 m 5) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = Kết quả : y = f(1) =
1 x x
x
2 4
2
3 1
6) Định m để hàm số y = f(x) = x3 -3(m+1)x2+3(m+1)x+1 nghịch biến trên khoảng( -1;0)
Kết quả : m
3
4
7) Tìm trên (C): y = điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là nhỏ nhất
2 x
3
x 2
Kết quả :M(0; )
2 3
8) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số y = 3 sinx – 4 cosx
R
Max
10) Tìm GTNN y = x – 5 + với x > 0 Kết quả: y=f(1)= 3
x
1
)
; 0 (
Min
11) Tìm GTLN, GTNN y = x – 5 + 4 x 2 Kết quả: Max y ( 2 ) 2 2 5;
] 2
; 2
] 2
; 2
12) Tìm GTLN, GTNN của hàm số y=2x3+3x21 trên đoạn 1;2
1
Kết quả: Max y ( 1 ) 4;
] 1
; 2 1 [
] 1
; 2 1 [
13) Tìm GTLN, GTNN của:
a) y = x4-2x2+3 Kết quả: y=f(1)=2; Khơng cĩ y
R
Min
R
Max
b) y = x4+4x2+5 Kết quả: MinR y=f(0)=5; Khơng cĩ y
R
Max
2 x
cos
1 x sin
2
2
y
R
Min
3
7
R
Max
Trang 4d) Kết quả: y= ; y=3
1 x x
3 x x
y 22
R
Min
3
1
R
Max
14) Cho hàm số Chứng minh rằng :
2 x x 1 x
y 2
7
9
15) Cho hàm số Chứng minh rằng : 1 y 1
1 cos x x
cos x cos x
y 2 2 Hướng dẫn:y’=0 2sin2 x22sin2 =0 x=1 V x=1 Tiệm cận ngang: y=1
Dựa vào bảng biến thiên kết luận 1 y 1
16) Tìm giá trị LN và giá trị NN của hàm số y=2sinx sin x trên đoạn [0;]
3
Kết quả: f(x)=f( /4)= f(3 /4)= ; f(x)=f(0)=f( )=0
]
;
0
[
Max
2 2
]
; 0 [
Min
4/ Củng cố: Nhắc lại quy tắc tìm GTLN, GTNN của hsố trên khoảng, đoạn Lưu ý cách chuyển bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác về bài tốn dạng đa thức
5 HDVN :
BTVN: 5-16
Tiết 3 Tiếp tuyến của đồ thị hàm số
I/ Mục tiêu:
1/ Về kiến thức: Giúp học sinh hiểu rõ v ề tiếp tuyến
2/ Về kỹ năng: Rèn luyện cho hs cĩ kỹ năng thành tạo trong việc vi ết pt tt
3/ Về tư duy thái độ:
+ Đảm bảo tính chính xác, linh hoạt
+ Thái độ nghiêm túc, cẩn thận
II/ Chuẩn bị của GV và HS
1/ GV: Giáo án
2/ Hs: nắm vững lí thuyết về cực trị, GTLN, GTNN Chuẩn bị trước bt ở nhà
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp
IV/ Tiến trình tiết dạy
1/ Ổn định lớp:
2 Kiểm tra bài cũ
3/ Bài mới:
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị (C) Ta cần viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) trong các trường hợp sau:
1/ Tại điểm có toạ độ (x0;f(x0))
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm (x0;f(x0)) là: y = / (x–x0) + f(x0)
0
f (x ) 2/ Tại điểm trên đồ thị (C) có hoành độ x0
B1: Tìm f ’(x) f ’(x0), f(x0)
B2: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có hoành độ x0 là:y = / (x–x0) + f(x0)
0
f (x ) 3/ Tại điểm trên đồ thị (C) có tung độä y0
B1: Tìm f ’(x)
B2:Do tung độ là y0f(x0)=y0 giải phương trình này tìm được x0 f /(x0)
B3: Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm có tung độ y0 là:y = / (x–x0) + y0
0
f (x )
Trang 5GA ơn tốt nghiệp
4/ Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k
B1: Gọi M0(x0;y0) là tiếp điểm
B2: Hệ số góc tiếp tuyến là k nên :
f (x0)=k (*)
B3: Giải phương trình (*) tìm x0 f(x0) phương trình tiếp tuyến.
Chú ý:
Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0)=a
Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y=ax+b thì có f/(x0).a=-1
5/ Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x1;y1) :
B1:Phương trình đường thẳng d đi qua A(x1;y1) có hệ số góc k là: y = k(x–x1) + y1 (1)
B2: d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm :
k
x
f
y x x
k
x
f
)
(
) (
)
B3:Giải hệ này ta tìm được k chính là hệ số góc của tiếp tuyến thế vào (1) phương trình tiếp tuyến
Ví dụ 1 :
Cho đường cong (C) y = x3 Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong :
a.Tại điểm A(-1 ; -1); b.Tại điểm có hoành độ bằng –2;
c.Tại điểm có tung độä bằng –8; d Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3;
e.Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm B(2;8)
Giải:
Ta có y’= 3.x2
a/ Tiếp tuyến tại A(-1;-1)( )C có 0 f’(x0)= 3.(-1)2 = 3 phương trình tiếp tuyến là:
0
f(x ) 1
y=f’(x0)(x-x0)+f(x0) = 3.(x+1) + (-1)
b/ Ta có x0= -2 0 Ph.trình tiếp tuyến là y= 12(x+2) – 8 =12x + 16
0
f(x ) 8
f '(x ) 12
c/ Ta có tung độä bằng y0= –8 f(x0)= -8 x03=-8 x0=-2 f’(x0)=12 Phương trình tiếp tuyến là: y= 12(x+2) – 8 = 12x + 16
d/ Hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3 f’(x0)=3 3.x02=3 x0= 1
với x0=1 f(x0)=1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x-1) + 1= 3x-2
với x0=-1 f(x0)= -1 Phương trình tiếp tuyến là: y= 3(x+1) - 1= 3x+2.
e/Phương trình đường thẳng d đi qua B(2;8) có hệ số góc k là: y = k(x–2) + 8
d là tiếp tuyến của (C) hệ phương trình sau có nghiệm :
x3 = 3x2(x-2) + 8 2x3- 6x2 + 8 = 0 3
2
k(x-2) + 8(1)
3 (2)
x
2 1
x x
Với x=2 k=12 phương trình tiếp tuyến là y=12(x-2)+8 = 12x -16.
Với x=-1 k=3 phương trình tiếp tuyến là y= 3(x-2)+8 = 6x – 4
4 Củng cố
- hd bài tập sau
5.Bài tập VN
Trang 6Bài 1: Cho hàm số y= x3 - 3x2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 4
c/ Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= -3
d/ Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y= 9x + 2005
e/ Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y= x + 2006.1
3 f/Biết tiếp tuyến đi qua A(1;-2)
Bài 2: Cho hàm số y= 2 có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C)
1
x
a/ Tại các giao điểm với trục hoành b/ Tại điểm có hoành độ = 2
c/ Tại điểm có tung độ y=- 3 d/Biết tiếp tuyến có hệ số góc k= - 1
2 e/Biết tiếp tuyến đi qua A(2;0)
Tiết 4 Tiệm cận của đồ thị hàm số
I.Mục tiêu:
+ Về kiến thức: Giúp học sinh
- Nắm vững định nghĩa và cách xác định các đường tiệm cận(t/c đứng, t/c ngang, t/c xiên) của đồ thị hàm số
+ Về kỹ năng: Rèn luyện cho học sinh các kỹ năng
- Tìm các đường tiệm cận của đồ thị của các hàm số
+ Về tư duy và thái độ:
- Khả năng nhận biết các đường tiệm cận của đồ thị hàm số
- Cẩn thận, chính xác
II Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: ga
- Học sinh học kỹ các đ/n các đường tiệm cận và cách tìm chúng
III Phương pháp: Đặt vấn đề, giải quyết vấn đề, gợi mở.
IV Tiến trình bài dạy:
1 Ổn định tổ chức :
2 Kiểm tra bài cũ: Khơng ( trong quá trình giải quyết các vấn đề đặt ra của bài tập giáo viên sẽ đặt câu hỏi thích hợp để kiểm tra kiến thức cũ của học sinh)
3 Bài mới :
HĐ1 Tìm các đường tiệm cận của đồ thị của hàm số:
Bài 1: Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm sơ:y = x2 x4 3
Giải:
- Hàm số xác định với mọi x;1 3;
- Tìm a, b:
x
x x x
y
x
x
3 4 lim
lim
2
3 4 1 lim
x x
x
3 4 lim
2
1 3 4 1
3 4 lim
2
x x x
x
Trang 7GA ụn tốt nghiệp
Vậy t/ cận xiờn: y = x-2, khi x
Tương tự tỡm a, b khi x, ta được tiệm cận xiờn : y= - x + 2
Vậy đồ thị hàm số cú đó cho cú 2 nhỏnh Nhỏnh phải cú tiệm cận xiờn là y= x + 2 và nhỏnh trỏi cú tiệm cận xiờn là y = -x +2
HĐ 2: Tim tiệm cận đứng và tiệm cận xiờn của hàm số phõn thức
Bài 2 Cho hàm số y =
3
2 2 2
x
x x
Tỡm tiệm cận đứng và tiệm cận xiờn của đồ h/số Từ đú suy ra giao điểm của 2 đường tiệm cận
Giải:
- Hàm số xỏc định:
- Tỡm tiệm đứng x = 3
- Tỡm tiệm cận xiờn y = x + 1
- Tỡm giao điểm của 2 đường tiệm cận
4
3 1
3
y
x x
y
x
4 Củng cố
- Nhac lại khỏi niệm tiệm cận
5 HDVN
Xem lại KSHS
_
Tiết 5 – 7 Ứng dụng đạo hàm để khảo sỏt và vẽ đồ thị hàm số
I - Mục tiờu:
1 Kiến thức: Biết vận dụng sơ đồ KSHS để khảo sỏt và vẽ đồ thị cỏc hàm số đa thức, phõn thức hữu
tỷ quen thuộc
2 Kĩ năng: Tăng cường kỹ năng giải toán, củng cố kiến thức đã học và tìm hiểu 1 số kiến thức mới nâng cao về khảo sỏt hàm số, các bài toán liên quan
3 Thái độ: Làm cho HS tự tin, hứng thú, kiên trì, sáng tạo trong học tập môn Toán
II - Chuẩn bị của thầy và trũ:
- Sỏch giỏo khoa, biểu bảng biểu diễn đồ thị của một số hàm số
III - Tiến trỡnh tổ chức bài học:
1 Ổn định lớp:
- Sỹ số lớp:
- Nắm tỡnh hỡnh sỏch giỏo khoa, sự chuẩn bị bài tập của học sinh
2 Kiểm tra bài cũ
- Cỏc bước khảo sỏt hàm số?
3 Bài mới:
I/ KHAÛO SAÙT HAỉM ẹA THệÙC:
1/ Sụ ủoà khaỷo saựt haứm ủa thửực:
B1: Tỡm taọp xaực ủũnh cuỷa haứm soỏ
B2: Tớnh ủaùo haứm y’, tỡm nghieọm cuỷa phửụng trỡnh y’= 0, tớnh giaự trũ cuỷa haứm soỏ taùi caực nghieọm vửứa tỡm ủửụùc
B3: Laọp baỷng bieỏn thieõn
x Ghi taọp xaực ủũnh vaứ nghieọm cuỷa phửụng trỡnh f’(x) = 0
f’(x) Daỏu cuỷa f’(x)
Trang 8f(x) Ghi khoảng tăng, giảm, cực trị của hàm số
B4: Tính đạo hàm cấp 2, tìm nghiệm của y”= 0 lập bảng xét dấu y”
B5: Tìm điểm đặc biệt thường tìm một điểm có hoành độ nhỏ hơn cực trị bên trái và một điểm có
hoành độ lớn hơn cực trị bên phải
B6:Vẽ đồ thị
Các dạng đồ thị hàm bậc 3:
y y y y
0 x 0 x 0 x 0 x
' 0 có 2 nghiệm phân biệt
0
y
a
' 0 0
a
' 0 có 2 nghiệm phân biệt 0
y a
' 0 0
a
Chú ý: Đồ thị hàm bậc 3 luôn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng
Các dạng đồ thị hàm trùng phương:
y' 0 có 3 nghiệm phân biệt
a 0
' 0 có 1 nghiệm đơn 0
y a
' 0 có 3 nghiệm phân biệt 0
y a
' 0 có 1 nghiệm đơn
0
y
a
Chú ý: Đồ thị hàm trùng phương luôn nhận trục oy làm trục đối xứng
2/ Ví dụ 1: Khảo sát các hàm số y = x3+3x2– 4
Giải:
Tập xác định: D = R
= 3x2+6x = 3x(x+2)
y
Đồ
Trang 9GA ơn tốt nghiệp
Lập bảng biến thiên
x -2 0 +
y/ + 0 - 0 +
y 0 CT +
- CĐ -4
cho = 0 x= –1 y= -2 6 6 yx y Lập bảng xét dấu y Điểm đặc biệt: A(1;0) B(-3;-4)
Vẽ đồ thị hàm số: Ví dụ 2: Khảo sát hàm số: y = 2x2– x4 Giải MXĐ : D= R = 4x–4x3 = 4x(1–x2) cho = 0 4x(1–x2)=0 y y x = 0 y=0 x = 1 y=1 Lập bảng biến thiên: x -1 0 1 +
y/ + 0 0 + 0
-y 1 CT 1
- CĐ 0 CĐ -
= 4–12xy 2 cho = 0 y x = 3 y= 3 5 9 Lập bảng xét dấu y x - - 3 +
3 3 3 y// 0 + 0
-Đồ thị Lồi Lõm Lồi ( 3 5; ) ( ; )
3 9 3 3 5 9 ĐU ĐU Điểm đặc biệt: A 2;0 B 2;0 Đồ thị: 3/ Bài tập đề nghị: x - 1 +
y // + 0
-Đồ thị Lõm Lồi (1; -2 ) Điểm uốn 2 -2 > x ^ y
2
-2
-4
-5
>
x ^ y
Trang 10Bài 1: Khảo sát các hàm số sau:
a/ y=x3 – 3x2 b/ y= - x3 + 3x – 2 c/ y= x3 + 3x2 + 4x -8
d/ y = x4 – 6x2 + 5 e/ y = - x1 4 + 2x2 + f/ y = x4 + 2x2
4
9 4 Bài 2:
a/Cho hàm số y= x3 – 3m x2 + 4m3 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=1
b/Cho hàm số y= x4 – m x2 + 4m -11 Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=4
II/ KHẢO SÁT HÀM NHẤT BIẾN:
1/ Sơ đồ khảo sát hàm y ax b:
cx d
B1: TXĐ D = R\ d
c
B2: Tính đạo hàm y’= tính đơn điệu của hàm số
2
a d b c
cx d
B3: Tiệm cận ngang là: y a
c
Tiệm cận đứng là x = d
c
B4: Lập bảng biến thiên
X Ghi miền xác định của hàm số
F’(x) Xét dấu y/
F(x) Ghi khoảng tăng giảm của hàm số
B5:Tìm giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ , có thể lấy thêm một số điểm khác để dễ vẽ B6:Vẽ đồ thị
Dạng đồ thị hàm b1/b1
y’< 0 x D y’> 0 x D
2/ Ví dụ: Khảo sát hàm số : y = 2 2
1
x x
MXĐ: D= R\ 1
= > 0 D hàm số luôn đồng biến trên từng khỏang xác định của nó
y
4
1