CD On tot nghiep mon toan THPT2012

Chú ý : Khi sử dụng phương pháp tích phân từng phần để tính tích phân, chúng ta cần tuân thủ theo các nguyên tắc sau :.. Lựa chọn phép đặt dv sao cho v được xác định một cách dễ dàng[r]

CHỦ ĐỀ 3: NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN

1 Định nghĩa: Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K

2 Tính chất:

+ Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều cĩ dạng F(x) + C với C là một hằng số

+ f x dx'( ) f x( )C

+ kf x dx k f x dx( )   ( ) với k R *

+ ( ( )f x g x dx( )) f x dx( ) g x dx( )

3 Bảng các nguyên hàm

0dx C



ln

x

a



a0;a1

dx x C 

a



1

1

-1 1

x dx x C









1

ln

1

t anx



e dx e C

sin x dx  x C

 4.Các phương pháp tính nguyên hàm

A Tính nguyên hàm dựa theo định nghĩa và tính chất của nguyên hàm

Bài 1: Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số

a) f(x)=1+ sin3x biết F(6



)= 0

Giải

Ta có F(x)= x –

1

3 cos3x + C Do F(6



) = 0  6



-

1

3 cos2



+ C = 0  C = - 6



Vậy nguyên hàm cần tìm là: F(x)= x –

1

3 cos3x - 6



b) f x( ) sin 2 x biết ( ) 0

6

F  

ĐS:

F x  c x

c) f(x) = 4x3 - ex + cosx biết F(0) = 5

ĐS: F x( )x4  e x sinx6

Bài 2: Tính các nguyên hàm sau :

a)

3

( x 3x 5)dx

 ĐS:

4 2

5

4x 2x  x C b)(sinx2cos )x dx ĐS: -cosx + 2sinx + C

2

os dx

c x





ĐS: -3cosx - 2tanx + C

d)sin cos3x xdx

HD:

1 sin x cos3 (sin 4 sin 2 )

2

ĐS:

os2x- os4x +C

4c 8c

e)

1 (x2)(x3)dx



HD:

(x2)(x3)x2 x3 ĐS:

2 ln 3

x

C x







B Tớnh nguyờn hàm bằng phương phỏp đổi biến

NHẬN XẫT: Khi gặp nguyờn hàm cú dạng: U x U x dx n N n( ) '( )  thỡ ta đặt t = U(x)

( ) '( ) n N, n 2

n U x U x dx  

 ta đặt t n U x( ) => t n U x( ) => n t dt U x dx.n1 '( )

 '( )

( )

U x

dx

U x



Đặt U(x) = t

( ) '( )

U x

e U x dx

 ta đặt U(x) = t

Bài 1: Tớnh cỏc nguyờn hàm sau :

a)

5

( x1) dx

 ĐS:  

6

1 1

6 x C

b)

2 4

2 (x x 1) dx

 HD: đặt x2 1 t ĐS: 1 2 5

1

5 x  C

c)

3 4 2

x x  dx

 HD: đặt x4 2 t ĐS: 1 4 3

3

6 x  c

d)

1

HD: đặt 3 1



2

Đ : 3 1 +C

3

e)

3

sin cosx xdx

 ĐS:

4

1 sin

4 x C

f)

3

HD: đặt x 4

x

 



4

3

1

Đ :

3

x



g)

7

4 1

x

dx

x 



7 4 3

4

Đ : ( 1) ln( 1)

C Tớnh nguyờn hàm bằng phương phỏp từng phần

Cụng thức:

u dv u v  v du

NHẬN XẫT: Khi gặp nguyờn hàm cú dạng:

ax

( )sin ; ( )cos ; ( )

P x axdx P x axdx P x e dx

P(x) là đa thức ta đặt P(x) = u phần cũn lại là dv

( )ln

P x xdx

 trong đú P(x) là đa thức ta đặt lnx = u , P(x)dx = dv

Bài tập:

) 2 cos

) ( 1)sin 2



) (2 1) ln )

x

c x e dx x

x







e x) ln(x1)dx

HD: đặt

ln( 1)

dv xdx









2

1 1 2

dx du x x v







 



 



ĐS:

2

2

ln( 1)

x



II.TÍCH PHÂN

1)Định nghĩa tích phân :

Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn a b;

 

 

  giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn

;

a b

 

 

  Hiệu số F(a) - F(b) được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f(x) ký hiệu là:

( )

b

a

f x dx



b

a

b

f x dx F x F b F a

a



2) Tính chất:

Tính chất 1:

f x dx f x dx

Tính chất 2:

kf x dx k f x dx

với k thuộc R

Tính chất 3:

f x g x dx f x dx g x dx

Tính chất 4:

f x dx  f x dx  f x dx

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN:

1/ Tính tích phân bằng việc sử dụng các nguyên hàm cơ bản:

Bài tập 1: Tính các tích phân sau

a) I =

2

3 1

(x 2x1)dx



1

3 1 1 3

b I e dx





c)

3

0

2

I x dx

Giải:

1

x

x x

b) I =

3 1

1 1

3

3

x

e 

 = 1 4 

1

3 e 

c)

I   x dxx dx

=

5 2

2/ Tớnh tớch phõn bằng phương phỏp đổi biến số dạng 1:

Khi gặp tớch phõn cú dạng:

( ) '( )

b n a

U x U x dx

 n N ; n 2

;

'( ) ( )

b a

U x dx

U x



ta đặt U(x) = t

( ) '( ) n N n 2

b

n

a

U x U x dx  



ta đặt n U x( ) t U x( )t n

Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn

a)

1

8 0

(2x1) dx



HD: đặt 2x+1 = t ĐS:

9841 9

b)

2

2

1

(2 1)

1

x

dx

x x



 



Nhận xột : (x2 +x+1)’= 2x+1 nờn ta đặt: x2  x 1 t

ĐS:

7 ln 3

c)

2

2

1

2

1

xdx

x 



Nhận xột (x21)' 2 x nên ta đặt x2  1 t  t2 x21; => tdt= xdx

ĐS: 2 5 2

d)

2

4

0

sin cosx xdx





Nhận xột: (sinx)’ = cosx nờn ta đặt sinx = t ĐS:

1 5

e) 1 5 7 4

1

1







Nhận xét: (x +1)'=5x nên ta đặt x5 4 5 1 t ĐS: 32

5

f) 1

1 ln

x





2

1 Nhận xét (1+lnx)'= nên ta đặt 1 lnx t t 1 lnx

dx tdt x



ĐS:

 

2 2 2 1 3



g)

1

0

1 1

x







HD: đặt x t  x=t ;2 dx2tdt ĐS: 2( 1 – ln2 )

h)

2

2 0

sin 2

1

x dx cos x







2 2

Nhận xét : (1 cos x)'=-sin2x nên ta đặt 1+cos x t dt=-sin2xdx



ĐS: ln2

3 Tớnh tớch phõn bằng phương phỏp đổi biến dạng 2:

*QUY TẮC:

Tớnh

( )

b

a

f x dx



1 đặt x =u(t) , u(t) là một hàm số cú đạo hàm liờn tục trờn đoạn   ;  f(u(t)) xỏc định trờn đoạn

  ;  và u()= a ; u() =b

2 Biến đổi f(x)dx theo t và dt giả sử f(x)dx = g(t)dt

3

b

a

f x dx g t dt







* Bài 1: Tớnh I =

1

2 0

1 x dx



Nhận xột (1 x2)'2x ta thấy x khụng cú ở ngoài dấu căn,nờn khụng thể ỏp dụng phương phỏp đổi biến dạng 1.

Nhận xột: vỡ sin 2+cos2 =1

<=> sin 2 = 1- cos2 nờn nếu ta đặt x = sint hoặc x = cost

thỡ 1- x 2 = 1 - sin 2 t ( hoặc 1 - x 2 = 1 - cos 2 t )

Giải : đặt x= sint với

;

2 2

t   

  đổi cận : khi x=0 t = 0 ; khi x = 1 ; t =

dx = cost dt 1 x2  1 sin 2t  cos2t cost cost

I =

1

2 0

1 x dx



=

2

1 os2 cos cos os

c t





CHÚ Ý: Với

1

2 0

1

n

x  x dx



n  N ta đặt x = sint khi n chẵn, đặt

t = 1 x 2 khi n lẻ

*Bài 2: Tính tích phaân sau :

2 2 2

2

0 1

x

x







Nhận xét: Vì đạo hàm của biểu thức trong dấu căn không có trên tử số nên ta không áp dụng được phương pháp đổi biến dạng 1

GIẢI: đặt x = sin t với

;

2 2

t   

  =>dx = cos t dt

Khi x = 0 thì t = 0

Khi x =

2

2 thì t = 4



Vậy

/4 2

2 0

sin cos

1 sin

x tdt I

t









/4 2 0

sin tdt



 

(Do cos t > 0)

/4 0

(1 cos 2 )



 

*Bài 3: H·y tÝnh c¸c tÝch ph©n sau:

a)

2

2 0

4 x dx



b)

1 2

01

dx x





Gi¶i: a) §Æt

2 2

x t t    

  Khi x = 0 th× t = 0 Khi x 2 th× t 2





Tõ x2sint  dx2costdt

4 x dx 4 4sin 2cost tdt 4 cos tdt



b) §Æt x = tant với

;

2 2

t    

  Khi x 0 th× t 0, khi x 1 th× t 4





2

1

1 tan os

c t

=>

1

2

01

dx

x





=

2

2

1 tan

4

1 tan

t

dt dt t







Chó ý: Trong thùc tÕ chóng ta cã thÓ gÆp d¹ng tÝch ph©n trªn d¹ng tæng qu¸t h¬n nh:

NÕu hµm sè díi dÊu tÝch ph©n cã chøa c¨n d¹ng

2 2, 2 2

a x a  x vµ x2  a2

x a  x

(trong trong đó a là hằng số dơng) mà không có cách biến đổi nào khác thì nên đổi sang các hàm số lợng giác để làm mất căn thức, cụ thể là:

 Với a2 x2 , đặt sin , ;

2 2

x a t t   

hoặc x a cos ,t t0; 

 Với a2 x2 , đặt x = atant t  ;

2 2

 



 

 Với x2  a2 đặt cos

a x

t



, t0; 

 Với

2

x a  x đặt x a sin2t, 0;

2

t  

 

 CHÚ í: Khi tớnh tớch phõn bằng phương phỏp đổi biến số cần phõn biệt cho học sinh nắm được khi nào thỡ ỏp dụng cỏch đổi biến dạng 1, khi nào thỡ ỏp dụng cỏch đổi biến

dạng 2.Nếu biểu thức dưới dấu tớch phõn cú dạng: f u x u x dx( ( )) '( ) ;

'( ) ( )

u x dx

u x ;

'( ) ( )

n

u x dx

u x

Thỡ nờn ỏp dụng đổi biến số dạng 1 Nếu khụng ỏp dụng được cỏch đổi biến dạng 1 thỡ ỏp dụng cỏch đổi biến dạng 2 Trường hợp khụng dựng được phương phỏp đổi biến số thỡ ta sẽ ỏp dụng phương phỏp tớch phõn từng phần

IV PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN;

Định lí Nếu u(x) và v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trên a b; 

thì:

( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )

b

u x v x dx u x v x v x u x dx

a

hay

( )

b udv uv vdu

a

Chỳ ý : Khi sử dụng phương phỏp tớch phõn từng phần để tớnh tớch phõn, chỳng ta cần tuõn thủ theo cỏc nguyờn tắc sau :

1 Lựa chọn phộp đặt dv sao cho v được xỏc định một cỏch dễ dàng.

2 Tớch phõn

b a

vdu



được xỏc định một cỏch dễ dàng hơn so với tớch phõn ban đầu

b a

udv



3 Chỳng ta cần nhớ cỏc dạng cơ bản sau :

Dạng 1 :

( )sin( )

b

a

P x cx dx



( hoặc

( ) os( )

b a

P x c cx dx



)

( )

b

cx d a

P x e  dx



với P(x) là một đa thức Khi đú ta đặt u= P(x) phần cũn lại là dv

Dạng 2 :

os

b x a

e c xdx



hoặc :

sin

b x a

e xdx



Ta đặt u= e x; dv = cosxdx ( hoặc dv=sinxdx )

Cũng cú thể đặt : u =cosx ( hoặc u =sinx ) dv = e dx x

Dạng3 :

I=

( )ln

b

k a

P x xdx



Đặt u = lnk x dv = P(x)dx

Bài 1: Tớnh cỏc tớch phõn

a) 1

ln

e

x xdx



ĐS:

2 1 4

e 

b)

1

0

(x 2)e dx x



ĐS: 3 – 2e

c)

4

0

(x 1 )cosxdx







ĐS:

2

2 1 8



d)

2

0

(2 x)sinxdx







ĐS : 1

e)

4

2

0 os

x

c x





cos

dx

dv

x

















4 0

x

x



ĐS:

2 ln

I  

Một số bài tập tổng hợp:

0

x

I x x e dx

GIẢI:

2

1 0 3

I x dxxe dx xe dx

=

1 0

1 3

x

xe dx



Với

1 0

ta đặt

x

x

u x

xe dx

dv e dx













 

1

1 0

xe dx xe e dx

Vậy

4 3

I 

2 Tớnh

2 0

(1 cos )



 

GIẢI:

2

1 cos 2 cos



Với

2

0

cos ta đặt

x xdx







cos sin 2 sin 1

2 0





Vậy:

2

1

I   

1 ( )ln

e

x

 

1

x

Tớnh 1 1

ln

e

I x xdx

bằng phương phỏp từng phần

Tớnh 2 1

1 ln

e

x



bằng phương phỏp đổi biến

4 Tớnh



5.

osx 0

(e c x)sinxdx





1 sinxdx sin

c

e



Tớnh

osx 1

0

sinxdx

c





bằng cỏch đặt cosx = t

Tớnh

2 0

sin





bằng phương phỏp từng phần

A/ TÍNH DIỆN TÍCH HèNH PHẲNG:

1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số f(x)liên tục trên đoạn a b; 

, trục hoành

và các đường thẳng x=a; x=b được tính theo công thức:

S =

( )

b a

f x dx



(1)

2 Cho hai hàm số yf x1( ); yf x2( ) liên tục trên đoạn a b; 

Diện tích hình phẳng giới

hạn bởi đồ thị hai hàm số yf x1( ); yf x2( )và các đường thẳng x=a ; x=b là:

S =

1( ) 2( )

b a

f x  f x dx



(2)

3 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong x = g(y); x = h(y) ( g và h là các hàm số

liên tục trên đoạn c d;

 

 

  và hai đường thẳng y =c; y = d là:

S=

( ) ( )

d c

g y  h y dy



(3)

CHÚ Ý: Khi áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng cần khử dấu giá trị tuyệt đối dưới dấu tích phân.Chẳng hạn đối với công thức (2) ta có thể giải phương trình

f 1 (x)- f 2 (x) =0 trên đoạn ;

 

 

a b , giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( a < c < d < b ),

khi đó:

S =

( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ( ) ( ))

f x  f x dx  f x  f x dx  f x  f x dx

Hoặc có thể xét dấu của f x1( ) f x2( ) trên đoạn a b; 

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a) y x y 3, 0,x1,x2 ĐS :

15 4 b) y = lnx ; y = 0 ; x = e ĐS : 1

c) y = x2 - 3x + 2, y = 0 ĐS :

1 6 y) y2x2 4x 6; y=0; x=-2; x= 4

HD : giải phương trình 2x2 4x 6 0 trên đoạn 2;4 có hai nghiệm x = -1 ; x = 3

Diện tích



(2x 4x 6)dx (2x 4x 6)dx (2x 4x 6)dx



ĐS :S=

92 3

Chú ý: Khi tính diện tích hình phẳng cần cho học sinh xác định các giả thiết của bài toán xem đã đủ các dữ kiện trong công thức chưa? Có thừa hay thiếu gì không.

Chẳng hạn như trong câu b) ta mới chỉ có y= lnx ; y =0; x = e còn thiếu một cận của tích phân ( x = a ; x =b ) trong công thức (1) Do đó cần giải phương trình

f 1 (x) - f 2 (x) = 0 để tìm thêm một cận của tích phân

Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

a, y x 2 3x1 , y = x + 1, x = 0, x = 3

HD : xét phương trình

4 (lo¹i)

x

x





      



=>diện tích

S x  x dxx  x dx 

ĐS :S = 9:

b, y = x2 -2x , y = x

HD : xét phương trình

2

3

x

x







=> diện tích

9

2

S x  x dxx  x dx 

ĐS :S =

9

2

c, yx24x 3 và các tiếp tuyến của (P) tạị các điểm

M( 0 ; -3) N( 3 ; 0)

HD : y’ = -2x + 4 y’(0) = 4 ; y’(3) = - 2

Tiếp tuyến của (P) tại M( 0 ; -3) có phương trình y = 4x – 3

Tiếp tuyến của (P) tại N( 3 ; 0) có phương trình y = -2x +6

Xét phương trình 4x – 3 = -2x + 6  x = 1,5

Diện tích

3

3 2

3 0

2

S   x  x  x dx  x  x  x dx

3

3 2

2 2 3 0

2

9

4

ĐS :S =

9 4

B/ TÍNH THỂ TÍCH;

Công thức tính:

1.Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn a b;  , trục hoành và các

đường thẳng x = a; x = b khi nó quay quanh trục 0x tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

 ( )2

b a

V  f x dx

(1)

2 Hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g(y) liên tục trên đoạn c d; 

, trục tung và các đường thẳng y =c; y = d khi nó quay quanh trục oy tạo thành khối tròn xoay có thể tích là:

 ( )2

d c

V  g y dy

(2)

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay do miền hình phẳng giới hạn bởi các đường sau quay xung quanh trục Ox:

a) y = cosx y = 0 x = 0 ; x = 4



ĐS

2



b)

sin , 0, 0,

x

y y x x

ĐS:

2 2



c) y - 2 , 0 x2 x y  ĐS :

16 15



d) y x 21; y=x+1

HD : Xét phương trình :

1

x

x





     

 Gọi V1 là thể tích khối tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y x 21 ; y = 0 ;x =0 ; x = 1 khi nó

quay quanh trục ox

1

2 2 1

0

28 ( 1)

15

V  x  dx 

Gọi V2 là thể tích khối tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi y x 1 ; y = 0 ;x =0 ; x = 1 khi nó

quay quanh trục ox

1

2 2

0

7 ( 1)

3

V  x dx 

Do đó ta có thể tích khối cần tìm là : 1 2

7 15

V V V  

ĐS : V =

7 15



Bài 2: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh bởi hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y2 = x3, y = 1, x = 0 khi nó quay xung quanh trục 0y

Hướng dẫn giải:

Từ y2 = x3 <=> x3 y2

Giải PT: 3 y2  0 y0

1 4 3 0

V   y dy

ĐS

3 7

V  