skkn pt hpt gd công dân 6 lương hiền an thư viện giáo dục tỉnh quảng trị

Lý do : Năm học 2009 – 2010 với chủ đề “ Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng dạy học”, là Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn tôi nhận thấy việc đào tạo chất lượng mũi nhọn[r]

PHẦN A : MỞ ĐẦU

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN CƯM’GAR

TRƯỜNG THCS NGUYỄN HUỆ

 

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

VẬN DỤNG NHỮNG BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ

PROBLEMS” TRONG RÈN LUYỆN TƯ DUY TOÁN HỌC

CHO HỌC SINH GIỎI BẬC TRUNG HỌC CƠ SỞ.

Người thực hiện : Nguyễn Huy Hoan

CưM’gar, tháng 12 năm 2009

Trong thời kỳ phát triển và hội nhập, cộng với việc gia nhập tổ chức WTO đã mở cho đất nước ta rất nhiều cơ hội lớn nhưng cũng không ít những thách thức lớn Trước một thực tại như vậy , nước ta lại phải cùng một lúc giải quyết ba nhiệm vụ : Thoát khỏi tình trạng nghèo nàn lạc hậu của nền kinh tế nông nghiệp ; đẩy mạnh công nghiệp hóa , hiện đại hóa và đồng thời tiếp cận ngay với nền kinh tế tri thức Để làm nên sự nghiệp ấyđòi hỏi rất nhiều yếu tố tác động tới, trong đó có việc thích ứng ngay với nền kinh tế tri thức của thế giới với bộ môn toán nếu “Toán học là một môn thể thao của trí tuệ” thì công việc của người dạy toán là tổ chức hoạt động trí tuệ ấy Có lẽ không có môn học nàothuận lợi hơn môn toán trong công việc đầy hứng thú và khó khăn này.

Là một giáo viên giảng dạy môn toán hơn 9 năm và làm công tác quản lý được

2 năm tôi luôn luôn trăn trở rất nhiều về quá trình học toán và làm toán của các em họcsinh, trong quá trình học toán, làm toán các em học sinh có thể gặp đây đó những bàitoán mà đầu đề có “vẻ lạ”, “không bình thường”, những bài toán không thể giải bằngcách áp dụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc Những bài toán nhưvậy thường được gọi là “không mẫu mực”(non standard problems) có tác

dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thử thách đối vớihọc sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, thi vào đạihọc.Đương nhiên quen thuộc hay “không mẫu mực” chỉ là tương đối, phụ thuộc vàotrình độ, kinh nghiệm của người giải toán, có bài toán là “lạ”, “không mẫu mực” đối vớingười này nhưng lại quen thuộc đối với người khác

Để đạt được mục tiêu này tôi xin chân thành cảm ơn tập thể GV- CBCNV trườngTHCS Nguyễn Huệ đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ để tôi hoàn thành SKKN

Chân thành cảm ơn!

PHẦN B : ĐẶT VẤN ĐỀ

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI :

Lý do : Năm học 2009 – 2010 với chủ đề “ Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất

lượng dạy học”, là Phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn tôi nhận thấy việc đào tạochất lượng mũi nhọn là một trong những nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu, trong đó đầu tưtập trung cho khối 8 và 9 nhằm đào tạo và phát hiện ra những học sinh có tố chất, họcsinh giỏi là rất quan trọng vì vậy tôi mạnh dạn xây dựng SKKN này với mong muốn cácthầy cô đồng nghiệp trong và ngoài nhà trường cùng tham khảo Trong quá trình họctoán, làm toán các em học sinh có thể gặp những bài toán không thể giải bằng cách ápdụng trực tiếp các quy tắc, các phương pháp quen thuộc Những bài toán như vậythường được gọi là “không mẫu mực” (non standard problems) Những bài

toán đó có tác dụng không nhỏ trong việc rèn luyện tư duy toán học và thường là sự thửthách đối với học sinh trong các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào các lớp chuyên toán, thivào đại học Qua kinh nghiệm giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán, đã tổng hợp,phân loại và hướng dẫn phương pháp giải đối với nhiều phương trình và hệ phươngtrình “không mẫu mực” ở các lớp 8 , 9 và các lớp đầu cấp THPT, tôi mạnh dạn xâydựng SKKN này nhằm giúp các em học sinh luyện tập để nhiều bài toán giải phươngtrình và hệ phương trình “không mẫu mực” dần trở thành “quen thuộc” với mình, qua

đó biết cách suy nghĩ trước những phương trình và hệ phương trình “ không mẫu mực”khác

1 Mục đích :Với sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn đưa ra những kinh nghiệm và

những bài học thực tiễn qua quá trình bồi dưỡng nhiều năm học sinh giỏi, giảng dạy cho các em học sinh có tố chất và yêu thích toán học tại trường THCS Nguyễn Huệ

2 Tính thực tiễn, ý nghĩa : Qua nhiều năm bồi dưỡng tôi nhận thấy phương trình và

hệ phương trình không mẫu mực được quan tâm và ra đề thi nhiều trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp vì vậy , cho đến năm học 2008 – 2009 đã thôi thúc tôi viết lênnhững kinh nghiệm nhỏ trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đến nay tôi nhận thấy đề tài phần nào đã đem lại hiệu quả cao, chất lượng học sinh giỏi cấp trường,cấp huyện và học sinh giỏi toàn diện đi lên, các thầy cô cũng đã quan tâm nhiều hơn đến phương trình và hệ phương trình không mẫu mực vì vậy không gặp khó khăn trong quá trình giảng dạy học tập và bồi dưỡng học sinh giỏi

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN :

1 Cơ sở lí luận khoa học :

Trong quá trình giảng dạy toán cần thường xuyên rèn luyện cho học sinh các phẩmchất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng trong cuộc sốngcủa học sinh Đối với học sinh khá giỏi, việc rèn luyện cho các em tính linh hoạt, tính độclập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là những điều kiện cần thiết trong việc họctoán Chính vì vậy bồi dưỡng học sinh khá giỏi không đơn thuần chỉ cung cấp cho các emmột số vốn kiến thức thông qua việc làm bài tập càng nhiều, càng tốt, càng khó càng hay

mà phải cần thiết rèn luyện khả năng phát triển tư duy, sáng tạo làm toán cho học sinh,đặc biệt đối với những bài toán được các em coi là “lạ”

2 Cơ sở lý luận thực tiễn:

Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THCS tôi nhận thấy việc học toánnói chung và bồi dưỡng học sinh khá giỏi toán nói riêng, muốn học sinh rèn luyện được

tư duy sáng tạo trong việc học và giải toán thì bản thân mỗi người thầy (cô) cần phải cónhiều phương pháp và nhiều cách hướng dẫn học sinh tiếp thu và tiếp cận bài giải Đặcbiệt qua những năm giảng dạy thực tế ở trường trung học cơ sở Nguyễn Huệ việc cóđược học sinh giỏi của môn Toán là một điều rất khó mà không phải giáo viên toán nàocũng có thể làm được nếu không biết đầu tư, không thực sự nhiệt tình và không nghiêncứu các chuyên đề về Phương trình và hệ phương trình không mẫu mực,hoặc các chuyên

đề khác, tuy nhiên có nhiều nguyên nhân có cả khách quan và chủ quan Song đòi hỏingười thầy cần phải tìm tòi nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp và cách giải qua mộtbài Toán để từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động tư duy sáng tạo, phát triểnbài toán và có thể đề xuất hoặc tự làm những bài toán tương tự đã được nghiên cứu bồidưỡng

III THỰC TRẠNG:

* Thuận lợi: Là một phó hiệu trưởng phụ trách chuyên môn có 9 năm giảng dạy

và 5 năm làm tổ trưởng tổ toán, 2 năm làm quản lý Năm học 2008 – 2009 được sự chỉđạo, quan tâm của Ban giám hiệu nhà trường trong các hoạt động đặc biệt trong họatđộng chuyên môn, luôn tạo mọi điều kiện cho giáo viên phấn đấu, học tập và nghiên cứu,

phát huy các phương pháp dạy học đổi mới sáng tạo nhất Bên cạnh đó các môn học khác

có học sinh giỏi huyện luôn khuyến khích các giáo viên dạy toán và học sinh phải năngđộng tìm tòi, tư duy sáng tạo trong việc dạy và học toán Mặt khác trong sự nghiệp giáodục của huyện CưMgar nói chung , và trường THCS Nguyễn Huệ nói riêng đã có nhiềuthay đổi đáng kể, đã có rất nhiều học sinh giỏi cấp tỉnh, giỏi cấp huyện, do đó các cấp uỷĐảng chính quyền, các bậc phụ huynh, đặc biệt Hội khuyến học xã đã có phần quan tâmđộng viên hơn đối với sự nghiệp giáo dục của xã và nhà trường

* Khó khăn: Bên cạnh những mặt thuận lợi cũng có nhiều những khó khăn như:

Điều kiện cơ sở vật chất của nhà trường thiếu thốn, không có phòng học để mở việc bồidưỡng cho học sinh khá giỏi theo một trình tự có hệ thống từ các lớp nhỏ đến lớp lớn, cụthể từ lớp 6 đến lớp 9 Phòng thư viện của nhà trường còn ít đầu sách, do đó việc tìm tòisách đọc là vấn đề hạn chế Nhưng khó khăn nhất vẫn là các em học sinh do điều kiệncủa địa phương với đặc thù là vùng 2 của huyện , số nhân khẩu đông, điều kiện kinh tếkhó khăn,dân di cư tự do nhiều, vì vậy việc quan tâm đến học hành còn hạn chế nhiều vềtinh thần và vật chất, dẫn đến hạn chế việc học hành của các em đặc biệt là môn toán

Vì vậy để cho môn toán ngày càng được nhiều học sinh yêu thích trước hết ngườiThầy phải tác động như thế nào đó vào tiềm thức của các em, không những học sinh khá,giỏi mà cần phải đánh thức các em có học lực trung bình và những học sinh chưa thật sựyêu thích môn toán, để đạt được các mục tiêu này cần phải có một cú “hích” đó chính làđào tạo , phát hiện ra những học sinh giỏi nhằm khuyến khích động viên các em kịp thời ,

là nhân tố khơi dậy và là tấm gương sáng cho những học sinh khác noi theo

IV GIẢI PHÁP THỰC HIỆN (NỘI DUNG SKKN) :

+ Dùng các phép biến đổi đại số đưa PT về dạng f(x).g(x) h(x)=0+ Dùng ẩn phụ

3

; 2 2



c/ (x2 – 4x + 1)3 = (x2 –x - 1)3 –( 3x-2)3

1 0

1 0

3 2 0

x x

x2 – 4x + 5 = ( x - 2)2 + 1 > 0

- Tìm ĐK tồn tại của phương trình.

- Biến đổi PT để xuất hiện nhân tử chung

- Đặt ẩn phụ thích hợp để đưa việc GPT về việc giải HPT quen thuộc

Đáp số : 1

1 13 2

Với a1; a2; ;an  Z rồi sử dụng tính chất của tập hợp số tự nhiên , tập hợp số nguyên , f1(x,y, ); f2(x,y ); fn(x,y )  Z

Xét mọi trường hợp có thể sảy ra để tìm được nghiệm thích hợp của phương trình

b/ Ví dụ1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

Ví dụ 2: Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :

2 m – 2 n = 1984 (2) ( Đề thi HSG toán tỉnh Nghĩa Bình năm 1984)

+ Với m n thì 2 m – 2 n  0 thì (2) không sảy ra

6 11

n m

Tìm nhiệm tự nhiên của phương trình sau :

1 x2 (x2 + 2y) – y2 (y + 2x) = 1991 ( Đêt thi hsg toán 9 Hà Nội 1990 – 1991)

f1(x,y, ); f2(x,y ); fn(x,y )  Z

Xét mọi trường hợp có thể sảy ra để tìm được nghiệm thích hợp

Dạng 2 :

( , , ) ( , , )

Với m, n Z cụ thể ; b>0

Vận dụng điều đã được chứng minh sau :

“ Mọi số hữu tỉ đều được biểu diễn được một cách duy nhất dưới dạng một liên phân số bậc n”

0 1 2

1 1

 



 



Trong đó q0 là số nguyên ; q1 nguyên dương và qn > 1

Đôi khi dùng bất đẳng thức để tìm nghiệm nguyên của phương trình

b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x2 – 4xy + 5y2 = 169 (1)

Có thể giải được bằng PP trên.

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

3x2 + 2y2 + z2 + 4xy + 2xz = 26 – 2yz

 x2 +(x2+ 2xy + y2 )+ (x2+ y2 + z2 +2xy+ 2xz + 2yz) = 26

x y z

x y x

x y z

xét các trường hợp có thể sảy ra, từ đó tìm được nghiệm thích hợp

Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1 10

1 7

x y z

x y z

  

Vì sự phân tích trên là duy nhất nên ta có :

1 Trước khi bắt tay vào giải toán, ta nên nhận xét xem vai trò của các

ẩn số , cấu trúc của ẩn Để có một cách giải phù hợp

2 Nếu các ẩn (x;y;z ) có vai trò bình đẳng như nhau, thì ta có thể giả sử xy hoặc xy để thu hẹp miền xác định của bài toán

3 Nếu ẩn có cấu trúc giống nhau, như lũy thừa cùng bậc của các số nguyên liên tiếp hoặc tích các số nguyên liên tiếp thì ta “khử ẩn” để đưa phương trình về dạng quen thuộc hơn hoặc ít ẩn hơn

4 Thường vận dụng hai nhận xét sau :

1 0

z 

y= 2 suy ra z = 2

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là : ( 1; 2 ; 2 ) và các hoán vị

Ví dụ 2 : Tìm nghiệm tự nhiên của phương trình :

x + y + 1 = xyzGiải : vai trò của x, y bình đẳng nên giả sử x y ta có :

+ Vận dụng tính chất chia hết hoặc tính chất của phép chia có dư trong tập hợp số nguyên để tìm nghiệm.

+ Vận dụng tính chất của số nguyên tố , số vô tỉ để tìm nghiệm

+ Ví dụ : các mệnh đề đúng :

+ Mệnh đề 1 : với mọi số nguyên a, số a2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3; k

 Z+

+ Mệnh đề 2 : cho p là một số nguyên tố dạng 4k + 3 ; k  Z+ , a nà b là các số nguyên, khi đó nếu a2 + b2 chia hết cho p thì a chia hết cho p; b chia hết cho p

b/ Ví dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

4xo – 1 là số nguyên dương lớn hơn 3 và có dạng 4m + 3 , m  Z+, nên nó có

ít nhất một ước nguyên tố dạng 4k + 3, k thuộc Z+

Nhưng theo mệnh đề 1 thì ( 2zo)2 + 1 không có ước nguyên tố dạng 4k + 3Vậy phương trình không có nghiệm nguyên

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình sau không có nghiệm nguyên:

Suy ra Vế trái của phương trình chia cho 9 có dư là 0 hoặc 1 hoặc 8

Vế phải của phương trình chia cho 9 có dư là 6Vậy phương trình đã cho không có nghiệm nguyên

c/ Bài toán áp dụng :

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình sau :

1 4xy – y = 9x2 – 4x + 2

2 x2 – y3 = 7

3 Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình sau đây có nghiệm nguyên duy nhất x=y=0 x2 – 7y2 = 0

Giải : Giả sử phương trình có nghiệm nguyên (x0 ; y0) (0;0) mà /x0/ nhỏ nhất trong các giá trị có thể của nó

7

x x

x y

x y

x y

x y

x y

x y

xyzt x xyzt y xyzt z xyzt t

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên của hệ phương trình sau :

Nghiệm nguyên ( x;y;z) cần tìm là : ( -5;4 ; 4); ( 1;1;1) và các hoán vị

Ví dụ 4 : Giải hệ phương trình sau :

u v

Nên (x+y)(x+z) (z+y) = 0

Suy ra : x + y = 0 hoặc x + z = 0 hoặc y+z = 0

x + y = 0 thì z= 1 và x= y = o

x + z = 0 thì y =1 và x = z = 0

y + z = 0 thì x = 1 và y = z = 0

B/

Bài toán áp dụng và tự luyện :

Giải các hệ phương trình sau trong Z :

Bài : 1 :

1995 1975 1945 1997

Luôn có nghiệm nguyên

Giải các HPT sau trong R :

Bài 5 :

3 7

PHẦN C : KẾT LUẬN :

* Kết quả đạt được :Việc rèn luyện cho các em năng lực tư duy độc lập sáng tạo ,

đặc biệt đối với dạng toán phương trình và hệ phương trình không mẫu mực đã thôi thúc tôi,nghiên cứu để viết lên tài liệu, càng khiến tôi tâm huyết tìm hiểu nghiên cứu sáng kiến kinhnghiệm này

Qua các năm giảng dạy trực tiếp bồi dưỡng cho học sinh khá giỏi, qua trắc nghiệmhứng thú học toán của học sinh tôi thấy chỉ có 20% các em thực sự có hứng thú học toán,40% học sinh thích học toán và 40% còn lại nửa thích nửa không trên tổng số 420 em họcsinh khối 8,9 của trường Qua gần gũi tìm hiểu thì các em cho biết cũng rất muốn họcxong nhiều khi học một cách thụ động, chưa biết cách tư duy để tạo cho mình một sángtạo trong cách giải một bài toán nào đó đặc biệt dạng toán mà tôi đang dặt vần đề , bởi vì

do điều kiện khách quan của địa phương và của trường, học sinh chỉ được bồi dưỡng mộtthời gian nhất định trước khi đi thi, do vậy chỉ được học một phương pháp, vì vậy họcsinh chưa có hứng thú học toán Trong thực tế giảng dạy việc bồi dưỡng học sinh khágiỏi môn toán, với cách làm trên đây đã mang lại hiệu quả cao trong việc rèn luyện giảitoán cho học sinh các em không còn bỡ ngỡ khi gặp những bài toán được coi là “lạ” Cụthể 80% các em học sinh đã thực sự có hứng thú học toán bồi dưỡng cho học sinh khágiỏi với chuyên đề tôi vừa trình bày, 20% các em còn cần gợi ý các trường hợp, song rấtmong muốn được tham dự lớp bồi dưỡng học sinh giỏi với chuyên đề này

PHẦN D : BÀI HỌC KINH NGHIỆM

Qua thời gian áp dụng SKKN vào thực tế giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, tôirút ra được những kinh nghiệm sau :

Đây là một sáng kiến nhỏ nhắm góp phần vào các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán, tôi không có tham vọng qua sáng kiến sẽ đào tạo được nhiều học sinh giỏi toán

mà chỉ mong được các thầy cô , đồng nghiệp tham khảo coi như là một tư liệu trong bộ sưu tập các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi, đối với học sinh cũng mong các em quan tâm và tìm đọc các tài liệu nói về phương trình và hệ phương trình không mẫu mực, và cũng coi đây là một tư liệu để các em gặp những bài toàn dạng này không bỡ ngỡ và khó khăn trong quá trình suy luộc và giải toán Trên thực tế bồi dưỡng theo tài lieeji tôi xin được đề xuất một số kiến nghị sau :

- Dùng hệ thống câu hỏi phù hợp để phát triển sức suy nghĩ của học sinh cấp II nói chung và học sinh giỏi nói riêng trong việc học toán

- Tạo ra tình huống có vấn đề trong việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi toán

- Bồi dưỡng học sinh giải toán một cách sáng tạo, chủ động phát huy khả năng suy nghĩ logic và chủ động trong khi giải toán

- Rất mong muốn được các Thầy (cô) trong và ngoài nhà trường đóng góp ý kiến để SKKN hoàn thiện hơn và thực sự là một tài liệu tham khảo trong thư viện của các trường