Phuong phap tinh the tich khoi da dien

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích và say mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh[r]

A – ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài:

Trong chương trình giáo dục phổ thông thì môn toán được nhiều học sinh yêu thích vàsay mê, nhưng nói đến phân môn hình học thì lại mang nhiều khó khăn và trở ngại cho không ít học sinh, thậm trí ta có thể dùng tứ ” SỢ” học Đặc biệt là hình học không gian tổng hợp Đây là phần có trong cấu trúc thi cao đẳng và đại học và thườngxuyên xuất hiện trong các đề thi tuyển chọn học sinh giỏi vì kiến thức phần này yêu cầu học sinh phải tư duy cao,khả năng phân tích tổng hợp và tưởng tượng mà một chủđiểm của quan trọng của hình học không gian tổng hợp đó là tính thể tích khối đa diện Nhằm giúp học sinh vượt qua khó khăn và trở ngại đó và ngày càng yêu thích vàhọc toán hơn yêu cầu các thầy cô chúng ta phải có nhiều tâm huyết giảng dạy và nghiên cứu Qua thực tế giảng dạy tôi có chút kinh nghiệm giảng dạy phần này mong được chia sẻ cùng các thầy cô đồng nghiệp và những người yêu thích môn toán

2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

2.1.Đối tượng nghiên cứu :

Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 12 qua các năm giảng dạy từtrước đến nay và hiện nay là lớp 12A, C, E, G

2.2.Phạm vi nghiên cứu:

Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương I: KHỐI ĐA DIỆN” sách giáo

khoa hình học 12 ban cơ bản

3 Mục đích nghiên cứu:

Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen vớitính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra nhữngphương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ nhữngvướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chấtlượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói riêng

B – GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I.1) TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN THEO CÔNG THỨC

Việc áp dụng công thức thông thường yêu cầu

a) Xác định đường cao

b) Tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy

Để xác định đường cao ta lưu ý

Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy

Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mp đó

Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý

Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

I.2 Các dạng bài tập cụ thể (Tính trực tiếp thể tích khối đa diện)

Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a √3

và mp(SAB) vuông góc với mặt đáy Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC Hãy tính thể tích khối chóp S.BMDN

Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang vuông tại A, D; AB = AD = 2a,

CD = a Góc giữa hai mp(SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của AD, Biết hai mp (SBI), (SCI) cùng vuông góc với mp(ABCD) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Gọi E, D lần lượt là AC, BC

Δ SAB đều AB = a, Δ SBC vuông BC = a √2

Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy là tam giác vuông tại A, AC = a,

∠ ACB = 600 Đường thẳng BC1 tạo với mp(A1ACC1) một góc 300 Tính thể tích khối lăng trụ

Bài giải

Trong tam giác ABC có AB = AC.tan600 = a √3

AB AC và AB A1A

Nên AB mp(ACC1A) do đó ∠ AC1B = 300

và AC1 = AB.cot300 = 3a

Áp dụng pitago cho tam giác ACC1 :

CC1 = √AC12− AC2 = 2a √2

Do vậy VLT = CC1.SABC = 2a √2 12 a.a √3 = a3 √6

Bài 8:

Cho khối trụ tam giác ABCA1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A1 cách đều

ba điểm A, B, C cạnh bên A1A tạo với mp đáy một góc 600 Hãy tính thể tích khối trụ đó

Bài giải

Ta có tam giác ABC đều cạnh a nên SABC = a2√3

4

mặt khác A1A = A1B = A1C ⇒ A1ABC là tứ diện đều

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC có A1G là đường cao

Trong tam giác A1AG có

từ A1 hạ A1G AB tại G A1G chính là đường cao

Từ G hạ GH AC tại H

Theo Gt ⇒ góc (A1HG) = 600

Đặt AH = x(x > 0)

Do Δ AHG vuông cân tại H nên HG = x và AG = x √2

Δ HGA1 có A1G = HG.tan600 = x √3

Δ A1AG có A1A2 = AG2 + A1G2 ⇔ 3 = 2x2 + 3x2 hay x = √515

Do đó A1G = 3√5

5 Vậy VLT = A1G.SABC = 3√5

10

Bài 10:

N H M

Cho khối hộp ABCD.A1B1C1D1 có đáy là hình chữ nhật với AB = √3 và AD =

I.3) TÍNH GIÁN TIẾP (Sử dụng phân chia khối đa diện)

Nghĩa là ta sử dụng phân chia lắp ghép khối đa diện, để đưa về bài toán áp dụng tính thể tích theo công thức hoặc dùng bài toán tính tỉ lệ hai khối tứ diện (chóp tam giác)

Cho hình chóp SABC Trên các đoạn thẳng SA,SB,SC lấy lần lượt ba điểm

A1,B1,C1 khác với S thì V A1B1C11

VABC =

SA1SA

SB1SB

SC1

SC đôi khi gặp bài toán kết hợp cả chứng minh bài toán tỉ số thể tích hai khối tứ diện (chóp tam giác)

C

B

A C1

Gọi H, E lần lượt là hình chiếu của A, A1 trên mp(SBC)

⇒ AH / / A1E nên Δ SAH và Δ SA1E đồng dạng suy ra: AHA

SB1SB

SC1SC

Bài 1: Cho hình chóp SABC có SA = a, SB = 2a, SC = 3a và ∠ BSA = 600, ∠

ASC = 1200, ∠ CSB = 900 Hãy tính thể tích chóp

Bài giải Nhận xét: Các mặt ở đây không có các lưu ý nên việc xác định đường cao là khó

nhưng ta thấy các góc ở đỉnh S là rất quen thuộc Ta liên tưởng đến bài 6 phần I Vậy ta có lời giải sau

Trên SB lấy B1 Sao cho SB1 = a

Trên SC lấy C1 sao cho SC1 = a

Gọi H là hình chiếu của A1 trên mp(ABC)

Khi đó A1H = A1A.sinA1AH = 2a.sin600 = a √3

Mà VLT = A1H.SABC = a √3 a2.√3

3 a3 4

Nhận thấy khối lăng trụ được chia làm ba khối chóp

Bài giải

Mp(FEA) cắt các đoạn thẳng A1D1, A1B1, B1B, D1D lần lượt tại J, I, H, K(hv)

Gọi V1,V2 lần lượt là thể tích phần trên và phần dưới mp

Ta nhận thấy rằng hai phần khối đa diện chưa phải khối hình quen thuộc nhưng khi ghép thêm hai phần chóp HIEB1 và chóp KFJD1 thì phần dưới là hình chóp AIJA1

Ba tam giác IEB1, EFC1, FJD1 bằng nhau “ c.g.c”

1 = 3 abc8 − 2.abc72 =25 abc72 V2 = Vhh – V1 = 47 abc72 do vậy V1

V2=

25 47

I 4 BÀI TOÁN ÔN TẬP

Sau khi đã trang bị phần phương pháp như vậy ta cũng giúp học sinh đưa ra cáchgiải một bài toán linh hoạt bằng cả hai phương pháp để học sinh so sánh đối chiếu lựa chọn và đưa ra bài tập ở mức độ tổng hợp

Bài 1 : Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cả các cạnh đều bằng a.

a) hãy tính thể tích khối tứ diện A1BB1C

b) Mp đi qua A1B1và trọng tâm tamgiác ABC cắt AC,BC lần lượt tại E,F Hãy tính thể tích chóp C.A1B1FE

Tương tự gọi K là trung điểm AB

Cách 2: 1 1 1 1

1.3

Gọi Q là trung điểm của A1B1,G là trọng tâm tam giác ABC

Khi đó qua G kẻ d // với AB thì E = AC d và F = BC d

Mp(CKQ) chính là mp trung trực của AB, FE

Nên khoảng cách từ C đến QG chính là khoảng cách từ C đến mp(A1B1FE )

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hcn, AB = a, AD = a √3 , SA = 2a

và SA ( ABCD), Một mp đi qua A và vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD lần lượt tại

H, I, K Hãy tính thể tích khối chóp S.AHIK theo a

Bài giải Cách 1 tính trực tiếp

Ta dựng hình lăng trụ ABF.CED như (hv)

Khi đó d = d(x,y) = d(AB,CD) = d(AB,CDE) = d(B,CDE)

E F

A

C

D

B

hay d chính là chiều cao lăng trụ

VLT = d.SCDE = d 12 CD CE.sin α = 12 d.b.a.sin α

mặt khác khối lăng trụ được ghép từ 3 khối tứ diện gồm

Tứ diện BCDE có VBCDE = 13 d(B,CDE).SCDE = 13 VLT

Tứ diện BACD và BAFD có thể tích bằng nhau

Do vậy VABCD = 13 VLT = 61 d.a.b.sin α = hằng số

D

D F

Bài 4 Bài toán thể tích liên quan đến cực trị

Cho hình chóp S.ABCD,SA là đường cao,đáy là hcn với SA = a, AB = b, AD = c Trong mp(SDB) lấy G là trọng tâm tam giác SDB qua G kẻ đường thẳng d cắt cạnh

BS tại M, cắt cạnh SD tại N, mp(AMN) cắt SC tại K Xác định M thuộc SB sao cho VSAMKN đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, Hãy tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất đó

Bài giải

Gọi O Là tâm hcn ABCD

Ta có SG = 32 SO và K=AG SC và K là trung điểm SC

G H

Bài 1 Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a Trên đường thẳngqua C và vuông

góc với mp(ABC) lấy điểm D sao cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E Tính thể tích khối tứ diện CDEF

Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại C, AC = a, AB = 2a,

SA vuông góc với đáy Góc giữa mp(SAB) và mp(SBC) bằng 600 Gọi H, K lần lượt

là hình chiếu của A lên SB, SC Chứng minh rằng SA vuông KH và tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 3

Cho hình chóp đều S.ABC cạnh đáy bằng a, Hãy tính thể tích khối chóp S.ABC biết a) MpSBA vuông góc với mpSCA

b) Gọi M,N lần lượt là trung điểm SA,SC và mpBMN vuông góc mpSAC

Bài 4 Cho khối lăng trụ ABC.A1B1C1 có BB1 = a Góc giữa đường thẳng BB1và

mpABC bằng 600 Tam giác ABC vuông tại C và góc BAC bằng 600 Hình chiếu vuông góc của điểm B1 lên mp(ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC, tính thể tích khối tứ diện A1ABC theo a

Bài 5 Cho khối lăng trụ đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a, khoảng cách từ tâm O

của tam giác ABC đến mp(A1BC) bằng a6 Hãy tính thể tích khối trụ đó

Bài 6 Cho khối lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác cân tại A, góc

giữa A1A và BC1 bằng 300, khoảng cách giữa chúng bằng a Góc giữa hai mặt bên quaA1A bằng 600 Hãy tính thể tích khối trụ

Bài 7 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB = a,

BC = 2a Mặt bên(ABB1A1 ) là hình thoi nằm trong mp vuông góc với đáy và hợp với mặt bên một góc α hãy tính thể tích khối lăng trụ

Bài 8 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy

góc 600, gọi M là điểm đối xứng với C qua D N là trung điểm SC mp(BMN) chia khối S.ABCD thành hai phần Hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Bài 9 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, BC = 2a, A1A = a, M thuộc

đoạn AD sao cho AM = 3MD.Hãy tính thể tích khối tứ diện MAB1C1,

Bài 10 Cho hình lập phương ABCD.A1B1C1D1 có cạnh a, điểm K thuộc CC1 sao cho

CK=

2

3 a Mặt phẳng (P) qua A, K và song song với BD chia khối lập phương thành

hai phần Tính tỉ số thể tích hai phần đó

II Kết quả khi áp dụng đề tài vào giảng dạy

- Qua quá trình áp dụng đề tài vào giảng dạy ở các lớp 12A, C, E, G tôi thấy họcsinh chủ động hơn khi lĩnh hội kiến thức, các em học sinh không còn sợ môn hình họckhông gian như trước nữa và có một số em có kết quả cao khi kiểm tra

- Kết quả thực tế bài kiểm tra của các em học sinh các lớp tôi áp dụng đề tài vàogiảng dạy:

Lớp Sĩ số Số hs hiểu bài Số hs tích cực Số hs có kĩ năng

III Bài học kinh nghiệm

- Các đồng chí cần chuẩn bị chu đáo về giáo án, các câu hỏi phụ, đối với mỗibài cần suy nghĩ xem cách nào hay nhất, phù hợp nhất đối với các em học sinh trướckhi đến lớp

- Khi giải một bài toán về hình học không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? hình vẽ như thế

có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bài nó như thế nào cho đúng đắn… Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song……có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn

- Ngoài ra, để giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc nắmvững các phương pháp, kỹ năng giải toán thì hình vẽ đóng một vai trò quan trọng, hình

vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề củabài toán Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo được các điều kiện sau:

- Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian (SGK

HH 11 trang 45, cơ bản)

- Hình vẽ phải rõ ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ

- Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bàitoán

- Hình vẽ không thừa cũng không thiếu dữ kiện của đề bài

- Để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình khônggian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộpchữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa diện với hình đa giác, tứ diện với

tứ giác

IV Những đề xuất kiến nghị

1 Đối với giáo viên

- Các đồng chí cần chuẩn bị chu đáo về giáo án, các câu hỏi phụ, đối với mỗibài cần suy nghĩ xem cách nào hay nhất, phù hợp nhất đối với các em học sinh trướckhi đến lớp

- Trong từng bài giảng cần hướng dẫn chu đáo cho học sinh về cách vẽ hình;phân tích giả thiết, kết luận; chỉ rõ cho học sinh phương pháp giải một dạng toán nàođó…

- Khi vào một vấn đề mới giáo viên cần chuẩn bị những bài tạp cơ bản để họcsinh làm quen sau đó hướng dẫn chi tiết để hình thành kĩ năng và phương pháp chocác em

- Thường xuyên truy nhập vào các trang mạng giáo dục như:

http://www.haiduong.edu.vn/, http://dethi.violet.vn/, toancapba,… để trau dồi về mặtkiến thức

2 Đối với tổ, nhóm chuyên môn

- Cần tích cực họp nhóm trao đổi về một vấn đề hay một bài dạy nào đó mà cácđồng chí giáo viên thấy khó đặc biệt là phân môn hình học không gian

- Cần phân bố nhiều tiết tự chọn cho các tiết hình học không gian vì kiến thứccủa phân môn này tương đối nhiều và khó

3 Đối với nhà trường:

- Nhà trường cần tích cực mua sắm hoàn thiện về trang thiết bị, đồ dùng họctập, các mô hình, tranh minh học, phòng máy chiếu …

- Cử giáo viên có trình độ về chuyên môn Toán + Tin mở các lớp tập huấn chogiáo viên về việc áp dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy đặc biệt là môn hình họckhông gian

4 Đối với Bộ Giáo Dục và Sở Giáo Dục:

- Bộ cần xem xét về chương trình hình học không gian lớp 11 Nhiều bài rất dài,khó mà thời lượng phân bố lại ít, nhiều bài tập trong SGK còn khó gây ảnh hưởngkhông nhỏ đến việc dạy và học môn hình học không gian

thiết,mối quan hệgiữa các giả thiêt,cách dự đoán,cách nhìn ở các góc độ khác nhau…

Đó là kinh nghiệm thực tế giảng dạy của tôi mong được trao đổi với quý thầy cô và những người yêu thích môn toán nói chung và phần tính thể tích khối đa diện nói riêng Kính quý thầy cô và anh chị em góp ý và trao đổi giúp tôi để tôi hiểu sâu sắc hơn nhờ đó việc dạy và học phần này đạt hiệu quả cao nhất Trước khi dừng bút tôi kính chúc quý thầy cô và anh chị em sức khoẻ, hạnh phúc,thành đạt chúc sự nghiệp giáo dục nước nhà luôn phát triển

1 Những bài học kinh nghiệm:

Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì ngườigiáo viên phải có một số kỹ năng sau:

* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề

* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, trực quan hình vẽ

* Kỹ năng vẽ hình và trình bài lời giải

2 Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:

Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinhtích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kếtquả giáo dục của nhà trường nói chung

3 Khả năng ứng dụng, triển khai:

Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc ở phương pháp giảngdạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phân tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề

DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO.

1 Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 12- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP.

HCM, năm 2007

2 Trần Đức Huy: Giải bài tập hình học 12- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 2001

3 Nguyễn Mộng Hy: Bài tập hình học 12- Nhà xuất bản giáo dục, năm 2007

4 Nguyễn Cam- Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn 400

bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2007.

5 Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải toán hình

không gian 12- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997