CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trình hình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm. Đây là phần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng là phần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế. Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về “kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đường thẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tính diện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ

Trang 1

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI ĐẠI HỌCPHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Tác giả: Đào Huy Khánh TTCM tổ Toán – Tin - TD Giáo viên trường THPT Nguyễn Duy Thì Đối tượng học sinh: Lớp 12, Ôn thi THPT QG

Số tiết dự kiến:10T trên lớp + 10T tự học

I-LỜI NÓI ĐẦU

Bài toán tính thể tích khối đa diện là một bài toán cơ bản trong chương trìnhhình học lớp 12, theo cấu trúc có trong đề thi THPT QG và chiếm 01 điểm Đây làphần kiến thức rất hay và khó đối với học sinh trong quá trình làm bài tập, đây cũng làphần kiến thức xuất hiện từ nhu cầu thực tế và được ứng dụng rất nhiều trong thực tế Đứng trước một bài toán hình học không gian, yêu cầu đối với người học về

“kiến thức nền” là kỹ năng vẽ hình, kiến thức về đường thẳng, mặt phẳng, quan hệ

song song, quan hệ vuông góc, cách xác định góc giữa hai đường thẳng, giữa đườngthẳng và mặt phẳng, kiến thức về hệ thức lượng trong tam giác vuông, công thức tínhdiện tích tam giác, tứ giác, công thức tính thể tích khối chóp, khối lăng trụ…

Ngoài ra học sinh cần nắm được hai phương pháp giải cơ bản để giải bài toán

về tính thể tích khối đa diện là phương pháp tính trực tiếp và phương pháp tính giántiếp Phương pháp tính trực tiếp là dựa vào việc tính chiều cao và diện tích đáy từ đósuy ra thể tích khối đa diện; phương pháp tính gián tiếp tức là ta chia khối đa diệnthành nhiều khối nhỏ để xác định thể tích

Chính vì lượng “kiến thức nền” tương đối nhiều và trừu tượng nên với hầu hết

học sinh, kể cả những học sinh khá giỏi cũng gặp rất nhiều khó khăn khi giải bài tập,các em thường ngại và lúng túng khi bắt đầu giải quyết Chuyên đề này nhằm ôn tậpcho các em học sinh các kiến thức cơ bản của hình học không gian và các dạng toán cơbản về bài toán tính thể tích khối đa diện

II- NỘI DUNG ÔN TẬP CƠ BẢN

1 Kỹ năng vẽ hình.

Hình chóp.

+ Vẽ mặt đáy (chú ý đường nét đứt)

+ Xác định chân đường cao dựa vào giả thiết

+ Nối đỉnh hình chóp với các đỉnh của mặt đáy (chú ý đường nét đứt)

Vẽ hình lăng trụ:

+ Vẽ một mặt đáy từ đầu bài (chú ý đường nét đứt)

+ Từ đỉnh của đáy, vẽ các đoạn thẳng song song và bằng nhau (nếu lăng trụđứng thì vẽ các đoạn thẳng phải vuông góc với mặt đáy)

+ Nối các đỉnh của mặt đáy còn lại từ các đoạn thẳng vừa vẽ

Lưu ý khi vẽ hình:

+ Phần đường thẳng bị các mặt phẳng che khuất vẽ bằng nét đứt

+ Các đường thẳng song song, trung điểm của một đoạn thẳng phải vẽ đúng

Đào Huy Khánh daohuykhanh.gvnguyenduythi@vinhphuc.edu.vn

1

Trang 2

+ Các đoạn thẳng bằng nhau và các góc bằng nhau, các góc vuông không nhấtthiết phải vẽ đúng

+ Các hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi đều vẽ theo dạng hình bình hành.+ Hình thang nên vẽ nghiêng về một bên

+ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng phải vẽ đúng (vẽ theo hướng vuônggóc với biên hình bình hành tượng trưng mặt phẳng)

Một số mẫu hình:

* Các loại đáy:

* Cạnh bên vuông góc với đáy (VD: SA vuông góc với đáy)

* Hình chóp với mặt bên vuông góc với đáy (VD: SAB vuông góc với đáy) + Cách xử lý: Từ S kẻ SH vuông góc với AB

Chú ý: Thường thì người ta sẽ cho tam giác SAB khá đặc biệt

VD: SAB là tam giác đều => H là trung điểm AB

Hoặc cho chúng ta tỷ lệ của điểm H để giúp chúng ta xác định một cách chính xác điểm H

+ Mặt phẳng vuông góc với đáy :

Nếu đáy là tam giác thì khép góc ở A lại, và mặt phẳng vuông góc ở phía đằng sau

Trang 3

* Một số kiểu hình khác như lăng trụ đứng , hình hộp chữ nhật đứng

* Hình chóp có cách cạnh bên bằng nhau:

+Tính chất ( không cần chứng mình) : Khi có các cạnh bên bằng nhau, hình

chiếu vuông góc của đỉnh xuống đáy chính là tâm đường tròn ngoại tiếp của đáy

- Tam giác thường, tam giác cân: giao 3 đường trung trực

- Tam giác vuông: Trung điểm cạnh huyền

- Tam giác đều: Giao 3 trung tuyến

- Hình chữ nhật, hình vuông: giao 2 đường chéo

Chú ý:

Luôn cố gắng mở càng rộng góc BAD ra càng tốt (gấp 3 bình thường), càng để nhỏ, góc sẽ càng xấu

VD: SA=SB=SC=SD ABCD là hình vuông

3

Trang 4

Vẽ hình yêu cầu mở rộng góc BAD còn áp dụng cho những bài toán có chân đườngcao rơi vào bên trong mặt phẳng đáy

VD Cho SABCD, ABCD là hình vuông O là giao của AC và BD, I là trung điểm của

OA SI vuông với đáy

2 Các hệ thức trong tam giác

2.1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông : cho  ABCvuông ở A ta có :

1

AC AB

a M H A

Trang 5

b Công thức về đường trung tuyến 2 2 2 2

a

b c a

m   

c Các tam giác đặc biệt

* Tam giác vuông :

+ Diện tích tam giác vuông: 1

2

ABC

S  AB AC

* Tam giác cân:

+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến

+ Tính đường cao và diện tích :

* Tam giác đều cạnh a

+ Đường cao của tam giác đều :   . 3

+ Diện tích hình vuông S = a2 (cạnh nhân cạnh)

+ Đường chéo hình vuông AC BD a  2

+ Diện tích hình vuông :S ABCD AB AD ( Diện tích bằng dài nhân rộng)

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và OA = OB = OC = OD

* Diên tích hình thoi : S = 1

2(chéo dài x chéo ngắn)

* Diện tích hình thang : 1

2

S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

Trang 6

h

a b c

a a

3 Các tính chất hình học không gian quan trọng.

1 Nếu A, B, C là ba điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt thì A, B, C thẳnghàng

2 Ba mặt phẳng phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao

tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó song song hoặc

đồng quy

3 Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) thì

mọi mặt phẳng (Q) qua d nếu cắt mp(P) thì sẽ cắt

theo giao tuyến song song với d

4 Hai đường thẳng chéo nhau có duy nhất cặp mặt

phẳng chứa hai đường thẳng đó và song song với

nhau

5 Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì d

vuông góc với mọi đường thẳng trên mp(P)

6 Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường

thẳng cắt nhau nằm trong mp(P) thì d vuông

góc với mp(P)

Hệ quả : Một đường thẳng vuông gócvới hai cạnh của tam giác thì vuông gócvới cạnh còn lại     

7 Định lý ba đường vuông góc : Cho mặt

phẳng (P) chứa đường thẳng a Khi đó

đường thằng d vuông góc với a khi và chỉ

khi d vuông góc với hình chiếu của a trên

(P)

8 Nếu đường thẳng d vuông góc với mp(P) thì mọi mặt

phẳng chứa d đều vuông góc với mp(P)

9 Nếu mp(P) vuông góc với (Q) và A nằm trên (P) Khi

đó đường thẳng qua A vuông góc với giao tuyến của (P)

và (Q) sẽ vuông góc với mp(Q)

10 Hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ

ba thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng vuông góc

với mặt phẳng đó

III- PHƯƠNG PHÁP GIẢI

A Phương pháp tính trực tiếp

Ở phương pháp này ta thường áp dụng các công thức trực tiếp tính thể tích các khối

đa diện cơ bản Cụ thể ta có :

1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:

V= B.h

với B là diện tích đáy và h là độ dài

đường cao lăng trụ

d

Q P

A

Q

P a

b a d

(P)

d' d

P

Trang 7

B h

h : chieàu cao







Việc áp dụng phương pháp này thường dẫn đến bài toán tính khoảng cách hoặc góc

1. Bài toán tính khoảng cách

Một số khoảng cách từ một số đối tượng trong không gian

1 Khoảng cách từ 1 điểm tới 1 đường

thẳng , đến 1 mặt phẳng:

Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a

(hoặc đến mặt phẳng (P)) là khoảng cách

giữa hai điểm M và H, trong đó H là hình

chiếu của điểm M trên đường thẳng a ( hoặc

P

2 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt

phẳng song song:

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp(P)

song song với a là khoảng cách từ một điểm

nào đó của a đến mp(P)

d(a;(P)) = OH

a

H O

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng

chéo nhau: là độ dài đoạn vuông góc chung

của hai đường thẳng đó

d(a;b) = ABNgoài ra a, b chéo nhau nên có mp(P) chứa

7

H O

Q P

Trang 8

Bài toán 1: Cho mặt phẳng (P) và ba điểm A,B, C

Chứng minh Gọi A’, B’ là hình chiếu vuông góc

của A và B lên (P) Khi đó

Bài toán 2: Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là trực

tâm tam giác ABC Chứng minh rằng:

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy

ABCD là hình vuông cạnh a SA vuông góc với

đáy và SA=a Gọi M là trung điểm BC và G là

trọng tâm tam giác SCD Tính khoảng cách từ M

tới mp(SBD); từ G tới mp(ABCD) và mp(SAC)

B

B' A

H

O

C A

S

Trang 9

d G SAC  d N SAC  d D SAC  

Ví dụ 2 Cho hình chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a và chiều cao

5

a

Gọi E là điểmđối xứng với D qua trung điểm SA M, N lần lượt là trung điểm AE và BC Tínhkhoảng cách từ M tới mp(SAD) và khoảng

cáchd giữa MN và AC

Giải

Dễ thấy d(M,(SAD))=2d(O,(SAD)), với O là

tâm của ABCD Đặt d(O,(SAD))=h thì

.3

a h

Các khái niệm về góc giữa các đối tượng trong không gian

i Góc giữa hai đường thẳng a và b

là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi

qua một điểm và lần lượt cùng phương với a

và b

b' b

a' a

ii Góc giữa đường thẳng a không vuông

góc với mặt phẳng (P)

là góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên

mp(P)

Đặc biệt: Nếu a vuông góc với mặt phẳng

(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a

a' a

9



H P

N

E

I

M O

C B

S

Trang 10

iii Góc giữa hai mặt phẳng

là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông

góc với hai mặt phẳng đó

Hoặc là góc giữa 2 đường thẳng nằm

trong 2 mặt phẳng cùng vuông góc với giao

tuyến tại 1 điểm

b a Q P

a b

Chú ý: Khi xác định góc giữa các đối tượng thì học sinh thường lúng túng trong việc

xác định góc giữa hai mặt phẳng Để xác định góc gữa hai mặt phẳng ta có thể làm

theo hai cách:

Cách 1: Trên (P) hoặc (Q) có sẵn (hoặc dễ

dàng tìm được) một điểm mà có thể xác định

được hình chiếu trên mặt phẳng còn lại

 B1: Xác định giao tuyến d của (P) và

Cách 2: Từ một điểm nào đó trên giao tuyến của

hai mặt phẳng ta kẻ hai đường thẳng cùng vuông

góc với giao tuyến và nằm trên hai mặt phẳng.

Góc giữa hai đường thẳng đó là góc giữa hai mặt

Lời giải

*Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ hình vuông đáy, vẽ đường cao SA  (ABCD) và vẽ thẳng đứng

 Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu của nólên (ABCD)

- Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng SB, AC

* Ta có : ABCD là hình vuông cạnh a SA(ABCD) AC là hình chiếu của SC lên

mp (ABCD)  ( ,(SC ABCD)) ( ,SC AC)SCA45o ,

Trang 11

Gọi M là hình chiếu vuông góc của A lên d

H là hình chiếu vuông góc của A lên SM

 Phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng

 Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nólên (ABC)

 Lời giải:

* Ta có :AB = a , AB hc (ABC SB)  (SB ABC,( )) (  SB AB, ) SBA  45o

*  ABC vuông tại B có AB = a, ACB 600

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình

vuông cạnh a; SA vuông góc với mp(ABCD); (P) là

mặt phẳng đi qua A, vuông góc với AC cắt SB, SC,

SD lần lượt tại B’, C’, D’ Tính thể tích khối chóp

S.ABCD và SA’B’C’D’, biết SC hợp với mặt phẳng

S

A

B

CS

Trang 12

 Sai lầm của học sinh:

 Gọi M là trung điểm BC

AB  BC ( vì  ABC vuông tại B)

SB  BC ( vì AB hc (ABC SB) )  ((SBC ABC),( )) ( ,SB AB)SBA 60o

*  ABC vuông tại B có AB = a 3 ,BC =a



2 ABC

B

C A

60

S

B

C A

Trang 13

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD

là hình thang vuông tại A và B; AB = BC = a,

AD = 2a; góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với

BA=BC=a biết SA vuông góc với đáy ABC và SB hợp với (SAB) một góc 30o

Tính thể tích hình chóp Đs: V = a 23

6

Bài 2: Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với đáy (ABC) và SA = h ,biết rằng

tam giác ABC đều và mặt (SBC) hợp với đáy ABC một góc 30o Tính thể tích khốichóp SABC Đs: V h 33

3



Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông tại A và SB vuông góc với đáy ABC

biết SB = a,SC hợp với (SAB) một góc 30o và (SAC) hợp với (ABC) một góc

60o Chứng minh rằng SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích hình chóp.Đs: V a 33

b Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy.

Khối chóp loại này có đường cao chính là đường cao của mặt bên vuông góc với đáy

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là

hình vuông có cạnh a Mặt bên SAB là tam giác

đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với

đáyABCD, Tính thể tích khối chóp SABCD

13

60°

D A

B

C S

a H

D

C B

A S

Trang 14

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của AB

SAB

mà (SAB) (ABCD)   SH (ABCD) 

Vậy H là chân đường cao của khối chóp

Ta có tam giác SAB đều nên SA =a 3

2

suy ra V 1 SABCD.SH a 33

Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều , BCD là tam giác vuông cân tại

D , (ABC)(BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD

Lời giải:

Gọi H là trung điểm của BC

Ta có tam giác ABC đều nên AH(BCD) , mà (ABC) 

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a.

Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc

450 Tính thể tích khối chóp SABC.

Lời giải:

+ Gọi H là hình chiếu của S lên (ABC), vì mp(SAC)

mp(ABC) nên SHmp(ABC)

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC  SI

AB, SJBC, theo giả thiết SIH SJH 45   o

Ta có:  SHI   SHJ  HI  HJ nên BH là

đường phân giác của ABCừ đó suy ra H là trung

điểm của AC

Bài 1: Cho hình chóp SABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC cân tại

14

o 60

a

C

B A

45

I

J

H A

C

B S

Trang 15

S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC).

1) Chứng minh chân đường cao của chóp là trung điểm của BC

2) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a 33

24



Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vuông cân tại A với AB = AC = a biết tam

giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) một góc 45o Tính thể tích của SABC

Đs: V a3

12



Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30  o   o; SBC là tam giác đều cạnh

a và (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC Đs: V a 22

24



Bài 4: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác đều;tam giác SBC có đường cao

SH = h và (SBC) (ABC) Cho biết SB hợp với mặt (ABC) một góc 30o Tính thể tíchhình chóp SABC Đs: V 4h 33

9



Bài 5: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt

phẳng vuông góc với nhau biết AD = a.Tính thể tích tứ diện

Ví dụ 1: Cho chóp tam giác đều SABC cạnh đáy bằng

a và cạnh bên bằng 2a Chứng minh rằng chân đường

cao kẻ từ S của hình chóp là tâm của tam giác đều

ABC.Tính thể tích chóp đều SABC

C

B A

O

C D

B A

S

Trang 16

Dựng SO(ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC

Ta có tam giác ABC đều nên

Ví dụ 2:Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a

1) Chứng minh rằng SABCD là chóp tứ giác đều



3 2

Ví dụ 3 Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang với đáy lớn CD = 2a, AB =

BC = a Tính thể tích của khối chóp S.ABCD biết hình chóp có các cạnh bên bằngnhau và SA hợp với (ABCD) một góc 600

B A

Trang 17

Bài 1: Cho hình chóp đều SABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc

B Phương pháp gián tiếp tính thể tích khối đa diện.

Phương pháp gián tiếp nghĩa là chúng ta tính thể tích khối đa diện thông qua

 Phép phân chia khối đa diện thành những khối cơ bản

 Bổ sung khối đa diện thành khối đa diện cơ bản

 So sánh về thể tích khối đa diện với khối đa diện đã biết

Các kết quả sau đây được sử dụng nhiều:

1 Cho lăng trụ tam giác Mọi tứ diện có bốn đỉnh lấy ra từ các đỉnh của lăng trụ đều có thể tích bằng 1

D

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	1,45 MB