Từ M kể hai tiếp tuyến của mặt cầu vuông góc với nhau lần lượt cắt mặt phẳng (P) tại A và B.. b) Tính diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu tương ứng. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ [r]
Trang 1KIẾN THỨC CƠ BẢN HÌNH HỌC LỚP 12 KÌ I VÀ BÀI TẬP PHẦN I: ƠN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC:
I) Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau:
1) Chứng minh hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau:
* Cách 1: áp dụng định nghĩa:
) ,
( b a b
a = 900
* Cách 2: ab u v 0 (u , v là các véc-tơ chỉ phương của a và b)
* Cách 3: Hai đường thẳng a và b vuơng gĩc nhau khi
đường thẳng này vuơng gĩc với mặt phẳng chứa dường thẳng kia
a b
b
a
* Cách 4: Định lý ba đường vuơng gĩc
Cho a ( ), b’ là hình chiếu của b trên ( )
a b a b’
* Cách 5: Cho đường thằng a // () Nếu đường thẳng
b vuơng gĩc với mp () thì nĩ cũng vuơng gĩc với đường thẳng a
b a ) ( b
//
a
* Cách 6: Nếu một đường thẳng vuơng gĩc với hai cạnh của một tam giác thì nĩ cũng vuơng
gĩc với cạnh cịn lại
II) Chứng minh đường thẳng a vuơng gĩc với mặt phẳng ():
* Cách 1: Nếu đường thẳng a vuơng gĩc với hai đường thẳng
cắt nhau nằm trong mp () thì đường thẳng a vuơng gĩc với mp ()
) ( a I c b
c a
b a
* Cách 2: Cho hai mặt phẳng vuơng gĩc () và () Khi đĩ,
bất kì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này
và vuơng gĩc với giao tuyến thì cũng vuơng gĩc với mp cịn lại
a b
a a
) (
* Cách 3: Nếu hai mp cắt nhau cùng vuơng gĩc với mp
thứ ba thì giao tuyến của chúng vuơng gĩc với
mp thứ ba
a a
III) Chứng minh hai mặt phẳng () ():
* Cách 1: áp dụng định nghĩa:
1
a
b
a
b
a b
b
b’
a
a
b
a
b
a
b
b’ a O
a
a’
Trang 2() () góc giữa chúng bằng 900.
* * Cách 2: Hai mặt phẳng vuông góc khi và chỉ khi
mặt phẳng này có chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng còn lại
a
) ( a
() ()
IV) GÓC:
1) Góc giữa hai đường thẳng:
Góc giữa hai đường thẳng trong không gian là góc
giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm
và lần lượt song song với a và b
' b //
b
' a //
a
Chú ý:
Để dựng góc giữa hai đường thẳng chỉ cần lấy điểm
O trên a từ đó kẻ đường thẳng b’ // b Khi đó, góc
giữa a và b chính là góc giữa a và b’
b // b’ (a, b) = (a’, b’)
2) Góc giữa đường thẳng a và mp ():
Đ/n:
Góc giữa đường thẳng a và mp () bằng góc giữa
đường thẳng a và hình chiếu a’ của nó trên mp ()
(a, ()) = (a, a’) với a’ là hình chiếu của a trên ()
3) Góc giữa hai mặt phẳng () và ():
Các bước xác định góc:
+ Xác định giao tuyến c của () và ()
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng () và () đồng thời cùng vuông góc
với giao tuyến c
+ Xác định góc giữa a và b
( góc giữa a và b là góc giữa () và () )
V) KHOẢNG CÁCH:
1) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a:
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên a
Khi đó: d(O, a) = OH
2) Khoảng cách từ điểm O đến mp ():
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên ()
Khi đó: d(O, ()) = OH
3) Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song:
Cho đường thẳng a song song với mp () Khoảng cách
O
H
a
a b
c
O
H
H
b
b’ a O
a
b a’
b’
Trang 3giữa đường thẳng a song song với mp () bằng khoảng
cách từ một điểm bất kì trên a đến mp ()
d(a, ()) = d(O, ()) = OH , O a
4) Khoảng cách giữa hai mp song song:
Cho hai mp song song () và () Khoảng cách
giữa () và () bằng khoảng cách từ một điểm
bất kì trên mp này đến mp còn lại
d((), () ) = d(O, ()) = OH O ( )
5) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng độ dài đoạn vuông góc chung của chúng
d( a, b) = MN, với MN là đoạn vuông góc chung
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa đường thẳng này với mặt
phẳng song song chứa đường thẳng còn lại
d(a, b) = d(a, ()), với () chứa b và song song a
* Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
bằng khoảng cách giữa hai mp song song lần
lượt chứa hai đường thẳng đó
d(a, b) = d((), ()) , với (), () song song lần lượt chứa a, b
3
a
b
M
N
O
H
N
a M
N
Trang 4* * Một số dạng hình thường gặp:
Hình chĩp đáy tam giác Hình chĩp đáy tứ giác Hình chĩp đáy hình thang
Hình chĩp cĩ đáy là hbh, ht, hcn, hv Hình chĩp đáy tam giác cĩ SA đáy
Hình chĩp đáy hình thang cĩ SA đáy Hình chĩp đáy là hbh, ht, hcn, hv cĩ SA đáy
Hình chóp đều đáy tam giác Hình chóp đều đáy tứ giác
Lăng trụ đứng tam giác Hình hộp chữ nhật Hình lập phương
S
A
B
C
S
A
D
A
B
C S
S
A B
C D
S
A
D
S
A
D
S
A
D
C
A’
C’
B’
C D
C’
D’
C D
A’
B’
C’
D’
B
S
A
H
C I
S
A
C B
D H
Trang 5BÀI TẬP
1/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA = a và vuông góc với đáy.
a) CMR: các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông
b) Mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’ CMR: B’D’ //
BD và AB’ SB, AD’ SD
2/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 Gọi O là giao điểm của
AC và BD, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SO =
4
a 3
Gọi E là trung điểm BC,
F là trung điểm của BE
a) CMR: (SOF) (SBC)
b) Tính khoảng cách từ O và A đến mp (SBC)
3/ Cho tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) và (ADC) nằm trong hai mặt phẳng vuông góc nhau Tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = b Tam giác ADC vuông tại D có CD = a
a) CMR: tam giác BAD và BDC là các tam giác vuông
b) Gọi I, K là trung điểm của AD và BC CM: IK là đường vuông góc chung của AD và BC
4/ Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a và có góc BAD = 600 và SA = SB = SD =
2
3 a
a) Tính khoảng cách từ S đến mp (ABCD) và độ dài cạnh SC
b) CMR: (SAC) (ABCD)
c) CMR: SB BC
d) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) Tính tan
5
Trang 6PHẦN II.
CHƯƠNG I. THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN
I/ Các cơng thức thể tích của khối đa diện:
1 THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=B.h với B: diện tích đáy
h : chiều cao
a) Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c với a,b,c là ba kích thước
b) Thể tích khối lập phương:
V=a3 với a là độ dài cạnh
b c
a a a
2 THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=1
3Bh với
B : diện tích đáy
h : chiều cao
3 TỈ SỐ THỂ TÍCH TỨ DIỆN:
Cho khối tứ diện SABC và A’, B’, C’
là các điểm tùy ý lần lượt thuộc SA,
SB, SC ta cĩ:
SABC
SA ' B'C'
V SA' SB' SC'
B A
C
S
C'
Chú ý:
1/ Đường chéo của hình vuơng cạnh a là a 2, Đường chéo của hình lập phương cạnh a là a 3, Đường chéo của hình hộp chữ nhật cĩ 3 kích thước a, b, c là a2b2c2 ,
2/ Đường cao của tam giác đều cạnh a là 3
2
a
3/ Hình chĩp đều là hình chĩp cĩ đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc cĩ đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy)
4/ Lăng trụ đều là lăng trụ đứng cĩ đáy là đa giác đều
5/ Hệ thức lượng trong tam giác vuơng : cho ABCvuơng ở A ta cĩ :
a) Định lý Pitago : 2 2 2
BC AB AC b) BA2 BH.BC; CA2 CH.CB
c) AB AC = BC AH
a
A
H
Trang 7d) 1 2 12 12
AC AB
e) sinB b, osc B c, tanB b,cotB c
f) b= a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a=
sin cos
B C , b= c tanB = c.cot C
6/ Hệ thức lượng trong tam giác thường:
*Định lý hàm số Côsin: a2= b2 + c2 - 2bc.cosA
R
7/Các công thức tính diện tích
a/ Công thức tính diện tích tam giác:
1
2
S a x ha =1 sin . ( )( )( )
a b c
R
2
a b c
Đặc biệt : ABC vuông ở A : 1
2
4
a
S
b/ Diện tích hình vuông : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng
d/ Diện tích hình thang : 1
2
S (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn : S.R2
II) Bài tập:
A Bài toán 1: Thể tích khối lăng trụ.
Ví dụ: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, AA’ = b và AA’ tạo với mặt đáy
một góc 600 Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
Gọi H là chân đường cao kẻ từ A của lăng trụ
Khi đó, A’H là hình chiếu của AA’ trên mp(A’B’C’)
Xét tam giác AA’H vuông tại H có:
Sin A’ =
' AA AH
AH = AA’ Sin A’ = AA’ Sin 600 =
2
3 b
Do tam giác A’B’C’ là tam giác đều nên chiều cao của tam giác là:
h =
2
3 a
Diện tích tam giác A’B’C’: SA’B’C’ =
4
a 3 h a 2
Thể tích ABC.A’B’C’: V =
3
1
.AH SA’B’C’ = a b
8
3 2
BÀI TẬP
Bài 1 Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= a, góc C bằng 600,
đường chéo BC1 của mặt bên (CC1B1) hợp với mặt bên (ACC1A1) một góc 300
a Tính độ dài đoạc AC1 b Tính thể tích khối lăng trụ
ĐS: a AC1 = 3a, b V = 6a3
Bài 2 Cho hình hộp đứng ABCD.A1B1C1D1 , đáy là hình thoi Biết diện tích 2 mặt chéo ACC1A1 và
BĐ1B1 là s1 và s2 Biết góc BA1D là góc vuông Tính thể tích khối hộp
7
A
A’
C B
B’
C’
H
600
Trang 8ĐS: V = 4 2
1
2 2
2 1
) s s ( 4
s s
Bài 3 Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1, đáy ABC là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A1 lên
mp(ABC) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Cạnh bên AA1 tạo với mặt đáy một góc 600
a Tính thể tích lăng trụ b Chứng minh: BCC1B1 là hình chữ nhật
c Tính diện tích xung quanh của lăng trụ
ĐS: a V =
4
3
a 3
, c Sxq=
3
) 2 13 ( 3
a2
Bài 4 Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 , đáy là hình thoi cạnh a, góc A bằng 600 Chân đường vuông
góc hạ từ B1 xuống mặt đáy ABCD trùng với giao điểm hai đường chéo của đáy Cho BB1= a
a Tính góc giữa cạnh bên và đáy b Tính thể tích khối hộp
4
a
3 3
Bài 5 Cho lăng trụ đều ABCD.A1B1C1D1 cạnh đáy bằng a Góc giữa đường chéo AC1 và đáy là 600
Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài 6 Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A1B1C1D1 có đường cao bằng h Mp (A1BD) hợp với mặt bên
(ABB1A1) một góc Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài 7 (đề thi ĐH khối D-2008)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA’ = a
2 Gọi M là trung điểm của cạnh BC Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C
ĐS: V = a 3
2
2 , d(AM, B’C) =
7
7 a
Bài 8 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A1B1C1D1 có AB = a, AB hợp với mặt phẳng (A’B’CB) một góc
và góc BAC’ = Tính thể tích hình hộp
Bai 9 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 , cạnh đáy a Mặt phẳng (ABC1) hợp với mặt phẳng
(BCC1B1) một góc Gọi I, J là hình chiếu của A lên BC và BC1
a CM: góc AJI bằng b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 10 Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 , cạnh đáy bằng a, đường chéo BC1 của mặt bên
(BCC1B1) hợp với mặt bên (ABB1A1) một góc
a Xác định góc b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 11 Cho lăng tru đứng ABC.A1B1C1 , đáy ABC là tam giác cân tại A Góc giữa AA1 và BC1 là
300 và khoảng cách giữa chúng là a Góc giữa hai mặt bên qua AA1 là 600 Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 12 Cho lăng trụ đều ABC.A1B1C1 Mặt phẳng (A1BC) cách A một khoảng
4
3 a
và hợp với BC’ một góc biết sin =
10
15
Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 13 Cho lăng tru đứng ABC.A1B1C1 , đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC= b, góc C bằng
Đường chéo BC1 tạo với mặt bên (ACC1A1) một góc
a Tính thể tích khối lăng trụ
b Tìm một điểm cách đều các đỉnh của lăng trụ và tính khoảng cách ấy
Bài 14 Cho lăng trụ ABC.A1B1C1 đáy là tam giác đều cạnh a Hình chiếu của A1 lên mặt phẳng
(ABC) trùng với tâm đường tròn (ABC) Góc BAA1 bằng 450 Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 15 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 đáy là tam giác vuông cân tại A Mặt bên (ABB1A1) là hình
thoi cạnh a, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy Mặt bên (ACC1A1) hợp với đáy một góc Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 16 Cho lăng trụ xiên ABC.A1B1C1 đáy ABC là tam giác vuông tại A AB = a, BC = 2a Mặt bên
ABB1A1 là hình thoi, mặt bên (BCC1B1) nằm trong mặt phẳng vuông với đáy, hai mặt này hợp với nhau một góc
Trang 9a Tính khoảng cách từ A đến mp (BCC1B1) Xác định góc
b Tính thể tích khối lăng trụ
Bài 17 Tính thể tích của khối lăng trụ có chiều cao h, đáy là ngũ giác đều nội tiếp trong một đường
tròn bán kính bằng r
B Bài toán 2: Tính thể tích khối chóp.
Ví dụ: Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, các cạnh bên hợp với đáy
một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó
Giải
Kẻ SH (ABC)
Gọi I là giao điểm của AH và BC
Do S.ABC là hình chóp đều nên H là trọng tâm
của tam giác ABC
AI =
2
3 a
AH =
3
2
AI =
3
2
a 3
3 2
3 a
Do AH là hình chiếu của SA trên mp(ABC) nên SAH = 600
Xét tam giác SAH vuông tại H ta có:
tan 600 = SH AH tan 600
AH
SH
Diện tích tam giác ABC: SABC = AI BC
2
1
4
3 a 2
3 a 2
1
Thể tích khối chóp:
V =
3
1
SH SABC =
3
a 12
3 a 4
3
BÀI TẬP
Bài 1 Cho khối chóp tam giác đều SABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, các cạnh bên hợp
với đáy một góc 300 Tính thể tích của khối chóp đó
Bài 2 Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác cân, AB = AC = 5a, BC = 6a và các mặt bên tạo với
đáy một góc 600 Tính thể tích của khối chóp đó
Bài 3 Cho khối chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B Cạnh bên SA vuông góc với đáy Từ A
kẻ các đoạn thẳng AD vuông góc với SB và AE vuông góc với SC Biết rằng AB= a, BC= b, SA= c
a) Tính thể tích của khối chóp đó
b) Tính khoảng cách từ E đến mặt phẳng (SAB)
Bài 4 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB =a, BC= 2a, AA’ = a Lấy điểm M trên cạnh
AD sao cho AM = 3MD
a) Tính thể tích của khối chóp M.AB’C
b) Tính khoảng cách từ M đến mặt phẳng (AB’C)
Bai 5 Cho hai đoạn thẳng AB và CD chéo nhau, AC là đường vuông góc của chúng Biết AC = h,
AB = a, CD = b và góc giữa hai đường thẳng AB và CD bằng 600 Tính thể tích của khối tứ diện ABCD
Bai 6 Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a Dựng đường cao SH
a CMR: SA BC b Tính thể tích khối chóp ABCD
c Gọi O là trung điểm SH CMR: OA, OB, OC đôi một vuông góc
ĐS: b V =
12
2
a 3
Bài 7 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và góc ASB =
9
A
B
C S
I H
Trang 10ĐS: V = 1
2
cot 6
a3 2
Bài 8 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vuông góc với
đáy, cạnh bên SC hợp với đáy một góc và hợp với mặt bên (SAB) một góc
ĐS: a SC =
2 2
sin cos
a
, b V =
) sin (cos
3
sin sin a
2 2
3
Bài 9 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông có cạnh a Mặt bên (SAB) là tam giác đều và
vuông góc với đáy Gọi H là trung điểm của AB và M là điểm di động trên đường thẳng BC
a CMR: SH (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
b Tìm tập hợp các hình chiếu vuông góc của S lên DM
c Tính khoảng cách từ S đến DM theo a và CM = x với 0 x a
ĐS: a V=
6
3
a3 , b Quĩ tích là đường tròn đk DH trong (ABCD) c
) x a ( 4
x a 4 x a 4 a 7
2 2
2 2 3
4
Bài 10 Một hình chóp tứ giác đều có cạnh bên và cạnh đáy đều bằng a Hãy tính thể tích và diện tích
mặt chéo của hình chóp
Bài 11 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh bên tạo với đáy một góc 600 và cạnh đáy bằng a
a Tính thể tích khối chóp SABCD
b Qua A dựng mặt phẳng (P) vuông góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng (P)
và hình chóp
Bài 12 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có chiều cao SH = h và góc giữa mặt đáy và mặt bên là
Tính thể tích khối chóp SABCD theo h và
Bài 13 Cho hình chóp SABC có hai mặt bên (SAB) và (SAC) vuông góc với đáy Đáy ABC là tam giác
cân đỉnh A Trung tuyến AD bằng a Cạnh SB tạo với đáy một góc và tạo với mp(SAD) một góc
a Xác định góc và b CMR: SB 2 SA 2 AD 2 BD 2 c Tính thể tích khối chóp
Bài 14 Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác cân AB=AC = a Mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt
phẳng (ABC) và SA= SB = a
a CMR: tam giác SBC là tam giác vuông
b Cho SC = x Tính thể tích khối chóp theo a và x
Bài 15 Cho hình chóp tứ giác đều SABCD có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h Gọi (P) là mp
qua A và vuông góc với SC và (P) cắt SB, SC, SD lần lượt tại B’, C’, D’
a h phải thỏa đk gì để C’ là điểm thuộc cạnh SC
b Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’
c CM: tam giác B’C’D’ luôn có một góc tù
Bài 16 Trên cạnh AD của hình vuông ABCD cạnh a người ta lấy điểm M với AM = x (0 x a) và
trên nửa đường thẳng Ax vuông góc với mp(ABCD) tại A lấy điểm S sao cho SA = y với y >0
a CMR: (SAB) (SBC) b Tính khoảng cách từ M đến mp(SAC)
c Tính thể tích khối chóp SABCM
d Với giả thiết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn nhất của thể tích SABCM
Bài 17 (đề thi ĐH khối B - 2008)
Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy Gọi M, N là trung điểm của AB, BC Tính thể tích của khối chóp SBMDN và tính cosin của góc hợp bởi hai đường thẳng SM, DN
Bài 18 (đề thi ĐH khối A – 2009)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a; CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600 Gọi I là trung điểm của cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a
Bài 19 (đề thi TNTHPT hệ BT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a và AC = a 3, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và SA = a 2 Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a ĐS:
5
a 15