MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Trong quá trình giảng dạy hình học không gian khối 12, tôi thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu. Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối, rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và không học. Đặc biệt, với học sinh trường THPT Văn Quán có xuất phát điểm rất thấp nên hầu hết các em rất yếu các môn tự nhiên. Riêng môn Toán, các em có tâm lý “sợ” câu hình học không gian trong các đề thi. Tôi viết chuyên đề này với mục đích giúp các em học sinh lớp 12 hệ thống lại các kiến thức cơ bản và hình thành các phương pháp, kỹ năng giải quyết các bài toán về khối đa diện.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT ……….

CHUYÊN ĐỀ ÔN THI THPT QUỐC GIA

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

Người thực hiện: ………

Đơn vị: ……….

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lý do chọn đề tài

Trong quá trình giảng dạy hình học không gian khối 12, tôi thấy đa phần học sinh rất lúng túng, kỹ năng giải toán hình không gian còn yếu Bên cạnh đó bài tập sách giáo khoa

của chương Khối đa diện trong chương trình hình học khối 12 đưa ra chưa được cân đối,

rất ít bài tập cơ bản, đa phần là bài tập khó, đặc biệt quá khó đối với học sinh yếu dẫn đến học sinh có tư tưởng nản và không học Đặc biệt, với học sinh trường THPT Văn Quán có xuất phát điểm rất thấp nên hầu hết các em rất yếu các môn tự nhiên Riêng môn Toán, các

em có tâm lý “sợ” câu hình học không gian trong các đề thi Tôi viết chuyên đề này với mục đích giúp các em học sinh lớp 12 hệ thống lại các kiến thức cơ bản và hình thành các phương pháp, kỹ năng giải quyết các bài toán về khối đa diện

2 Đối tượng áp dụng:

Học sinh lớp 12 chuẩn bị thi THPT Quốc gia

3 Thời gian dự kiến:

04 tiết dạy chuyên đề + 04 tiết tự học

B NỘI DUNG

I Kiến thức cơ bản :

1) Cho ABCvuông ở A ta có :

a) Định lý Pitago : BC2 AB2AC2

b)

c) AB AC = BC AH

d)

2) Công thức tính diện tích tam giác :

Đặc biệt : ABC vuông ở A :

1 2

, ABC đều cạnh a:

2 3 4

a

S 

3) Các tính chất của tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi, hình vuông

4) Định lý đường trung bình, định lý Talet

5) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:

; , ;

d a d b

d



�



�

� �ǹ�

�

6) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:

d

d a a







�



�

��

�

7) Cách xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng  :

+, Xác định hình chiếu d của a trên mặt phẳng 

A

+ , Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa d và a

8) Lưu ý về công thức tỉ số thể tích

Cho hình chóp S.ABC, A'�SA B, '�SB C, '�SC, ta có:

' ' ' ' ' '

SA B C SABC

(*)

9) Kết quả của bài toán về tam diện vuông

Cho hình chóp OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng (ABC)

+, H là trực tâm của tam giác ABC

OH OA OB OC

II Nội dung chính:

Bài tập đưa ra trong các tiết dạy được phân theo dạng, lựa chọn bài cho học sinh làm

từ dễ đến khó trong mỗi dạng, một bài có thể giải theo nhiều cách khác nhau

1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách tìm chiều cao và diện tích đáy của khối đa diện.

Phương pháp:

+ Xác định đáy hợp lý và dựng được chiều cao khối đa diện

+ Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức

Để xác định đường cao ta lưu ý

Hình chóp đều có chân đường cao trùng với tâm của đáy

Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau thì chân đường cao trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp mặt đáy

Hình chóp có các mặt bên cùng tạo với đáy những góc bằng nhau thì chân đường cao chính là tâm đường tròn nội tiếp mặt đáy

Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy thì chân đường cao nằm trên giao tuyến của mặt phẳng đó và đáy

Hình chóp có hai mặt bên cùng vuông góc với đáy thì đường cao nằm trên giao tuyến của hai mặt phẳng đó

Để tính độ dài đường cao và diện tích mặt đáy cần lưu ý

Các hệ thức lượng trong tam giác đặc biệt là hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các khái niệm về góc, khoảng cách và cách xác định

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc

giữa SC và đáy bằng 60 M là trung điểm SB

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABCD

b) Tính thể tích của khối chóp MBCD

A

C

B

S

A'

C'

B'

D

S

C

B A

M

H

Yêu cầu:

+ Học sinh xác định được góc

+ Xác định được công thức thể tích của

khối, tính độ dài đường cao SA

+Xác định được đường cao trong

trường hợp chân đường cao có thể

không thuộc mặt đáy của khối

+Sử dụng được hệ thức trong tam giác

vuông

Lời giải:

a)Ta có

1

3 ABCD

+ S ABCD (2 )a 2 4a2

+ SAC có :SA AC tanC 2a 6

3 2

4 2 6

a

V  a a 

�

b) Kẻ MH/ /SA�MH (DBC)

Ta có:

1 2

,

1 2

BCD ABCD

3 D

1 2 6

MBC

a

V  V 

�

Nhận xét:

+ Học sinh gặp khó khăn khi xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

+ Học sinh gặp khó khăn khi tính SA vì không biết sử dụng hệ thức trong tam giác vuông

Bài 2: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a, M là trung điểm DC

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC)

Lời giải:

a) Gọi O là tâm của ABC�DO (ABC)

1

3 ABC

Yêu cầu:

+ Học sinh cần nắm được cách vẽ khối

tứ diện đều và tính chất đặc biệt của

khối

+Xác định được đường cao và thể tích

của khối

+Sử dụng thành thạo định lý Pitago

+

2 3 4

ABC

a

,

a

+ DOC vu ng cô ó :DO DC2OC2

6 3

a



3 4 3 12

�

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến mp(ABC) là MH

a

Nhận xét:

+ Học sinh đa phần quên tứ diện đều và tính chất các mặt, các cạnh của nó

+ Còn yếu trong tính toán độ dài của các yếu tố có trong hình vẽ

+ Bài tập này là bài 1/25 sgk cơ bản lớp 12 bổ sung thêm câu b

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB a 3 , AD = a, AA’=a, O là giao điểm của AC và BD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’

b) Tính thể tích khối OBB’C’

c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’

B

O

C

D

A

I

M

H

Yêu cầu:

+Học sinh xác định công thức thể

tích của khối hộp và khối chóp

+Biết khai thác tính chất của hình hộp

đứng để làm bài: Chọn đáy của khối

OBB’C’ là (BB’C’) (thuộc mặt bên

hình hộp)

+Giải được câu b) tương tự như bài

1b

Lời giải:

a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V

Ta có : V  AB A D.AA '

a 3.a2 a3 3 ABD có :DB AB2AD2 2a .

* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao giống khối hộp nên:

3 ' ' ' '

OA B C D

a

V  V 

� b) M là trung điểm BC �OM (BB C' ')

� c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’ Ta có :

' ' '

3 ' OBB C

OBB

V

C H

S



ABD có :DB AB2 AD2 2a

2 '

1 2

OBB

�

' 2a 3

C H 

�

+ Bài tập này rèn kỹ năng làm toán trên khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật

+ Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích

2) Bài tập dạng: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện.

Phương pháp: Phân chia hoặc lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích (Trên cơ sở phát hiện những khối dễ xác định đường cao và diện tích đáy)

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a Tính thể tích khối tứ diện

ACB’D’

A'

C'

B A

c D

D'

B' O

M

Yêu cầu:

+ Học sinh biết chọn đáy và chiều

cao đối với khối nhỏ đang tính

Lời giải:

Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’

+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng thể tích

Khối CB’D’C’ có

1

+ Khối lập phương có thể tích:

V2 a3

�

' '

4.

ACB D

Nhận xét:

+ Học sinh gặp nhiều khó khăn khi phân chia khối.

+ Học sinh không biết chọn đáy để thuận lợi cho việc tính toán

+ Bài toán này lấy từ bài tập 3/25 sách giáo khoa chỉ thay đổi giả thiết “hình hộp” thành

“hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu Sau đó, yêu cầu học

sinh tự giải bài 3/25 sách giáo khoa ở nhà

Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh bằng a.

a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.

b) E là trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC tại F Tính thể tích khối CA’B’FE.

A'

C' D'

D

A

C

B' B

Yêu cầu:

+ Học sinh biết cách tính khối A’B’

BC

+Biết phân khối chóp CA’B’FE

thành hai khối chóp tam giác

+ Biết được đường thẳng nào vuông

góc với mp(CEF), ghi công thức thể

tích cho khối CEFA’

+ Tương tự cho khối CFA’B’

Lời giải:

a) Khối A’B’ BC:

Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

1

3

A B BC A B B

b) Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và CFA’B’

+ Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A

1

' 3

A C C

2 EF

a

3 ' EF

3 48

A C

a

�

+ Gọi J là trung điểm B’C’ Ta có khối A’B’CF có đáy là CFB’, đường cao JA’ nên

1

' 3

A B C C

2

1

a

' ' F

A B C

�

+ Vậy :

3

A'B'FE

3 16

C

a

Nhận xét

+ Bài tập này lấy từ bài 10/27 SGK 12 cơ bản và thay đổi một số giả thiết.

E là trung điểm thay cho trọng tâm G để bài toán dễ hơn, phù hợp với khả năng của học sinh (Sau khi học sinh làm được với trung điểm thì sẽ có cơ sở để làm với trọng tâm tam giác)

+ Sau khi gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính được thể tích khối

A’B’CF

B

C' A'

B'

I

E

F

J

3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện bằng cách lập tỉ số thể tích của hai khối đa

diện

Phương pháp:

+ Tìm tỉ số thể tích giữa khối đa diện đã cho với một khối đa diện dễ tìm thể tích + Rút ra thể tích của khối đa diện đã cho

+ Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối tứ diện

Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, AC a 2 , SA vuông góc với đáy, SA a .

a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b) Gọi G là trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng  qua AG và song song với BC cắt

SC, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Yêu cầu:

+Học sinh ghi được thể tích khối

SABC và tính

+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các

đoạn thẳng để lập tỉ số thể tích hai

khối

+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số

thể tích đối với khối chóp

Lời giải:

a)Ta có: .

1

3

S ABC ABC

+ SA a 

+ ABC c n câ ó :AC a 2�AB a

2

1 2

ABC

�

Vậy:

3 2

1 1

SABC

a

b) Gọi I là trung điểm BC

G là trọng tâm, ta có :

2 3

SG

SI 

  // BC � MN// BC

2 3

�

4

9

SAMN SABC

�

G A

B

C S

I N

M

Vậy:

3

SAMN SABC

a

Nhận xét:

+ Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet

+ Qua bài toán đơn giản này học sinh tiếp cận được cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua bài toán khó hơn

Bài 7:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc

60 Gọi M là trung điểm SC Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E

và cắt SD tại F

a) Hãy xác định mp(AEMF)

b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Yêu cầu:

+ Học sinh dựng được E, F dưới sự

phát vấn của giáo viên

+Tính được thể tích của khối S.ABCD

sau khi đã làm qua nhiều bài tập

+ Giáo viên gợi ý tính thể tích khối

Lời giải:

a) Gọi I SO�AM

Ta có (AEMF) //BD �EF // BD

1

3

S ABC ABC

+ S ABCD  a2

+ SOC có :

6 tan 60

2

a

Vậy :

3

6 6

S ABC

a

c)V S A EMF:

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

Ta có :

1 2

SM

�

SACcó trọng tâm I, EF // BD nên:

2 3

�

I

O A

D

S

E

F M

S.AMF Từ đó học sinh biết cách tính

thể tích khối S.AMF bằng cách lập tỉ

số ( tương tự như bài 5)

1

3

SAMF SAC

�

3 D

SAMF SAC SABCD

a

�

EMF

2

S A

�

Nhận xét:

+ Học sinh gặp khó khăn khi xác định E,F do không nhớ kiến thức về quan hệ song

song

+ Học sinh đã biết cách sử dụng định lý Talet

+ Sau khi làm bài 6, học sinh tiếp thu bài số 7 dễ dàng hơn.

Bài 8:

Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB a Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt

BD tại F và cắt AD tại E

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD

b) Chứng minh CE(ABD)

c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF

Yêu cầu:

Lời giải:

a)Tính V ABCD

Ta có:

3

ABCD ABC

b) Ta có: ABAC AB, CD �ABEC

Ta có: DBEC �EC (ABD)

c) Tính V DCEF:

DCEF DABC

D

B

A C

F

E

+ Học sinh chứng minh được đường

thẳng vuông góc mặt phẳng

+ Nắm được nhu cầu tính các tỉ số

DE

DA,

DF

DB

+Biết dụng hệ thức trong tam giác

vuông để suy ra

DE DA

Mà DE DA DC  2, chia cho DA2

2 2

1

DA  DA  a 

�

Tương tự:

1 3

DB  DB  DC CB 



Từ (*)

1 6

DCEF DABC

V

�

Vậy

3 1

DCEF ABCD

a

Nhận xét:

+ Kỹ năng chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa được tốt

+ Giáo viên giúp học sinh rút ra tỉ số

2 2

DE DC

DA  DA

từ hệ thức DE DA DC  2 trong tam giác

vuông và khắc sâu để sử dụng

Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy,

2

SA a Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt

SC tại C’

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Chứng minh SC(AB D' ').

c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Lời giải:

a) Ta có:

3

S ABCD ABCD

a

b) Ta có BC(SAB)�BCAB'

Ta có SBAB'

Suy ra: AB' ( SBC) c) Tính V S AB C D ' ' '

A

S

I

O D

B

C

C' D'

B'

Yêu cầu:

+Học sinh biết chứng minh

+ Biết phân thành hai khối chóp

bằng nhau: S AB C .' ', S AC D' '

+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7

+Tính V S AB C ' '

Ta có:

' ' ' ' '

SA B C SABC

SACvuông cân nên

2

SC

Ta có:

SB SB SA AB  a 



Từ

' ' ' 1 (*)

3

SA B C SABC

V

�

' ' '

.

SA B C

�

+

3 ' ' ' ' '

2

9

S AB C D S A B C

a

Nhận xét:

+ Bài toán này lấy từ bài tập 8/26 sách giáo khoa Tuy nhiên, tôi thay đổi một số giả

thiết để phù hợp với khả năng của học sinh: “Hình chữ nhật” được thay bởi hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” được thay bởi "SA a 2 " Nếu giữ nguyên các kích thước như vậy thì việc tính toán quá nặng

+ Sau khi làm bài 8, học sinh tiếp thu bài toán 9 dễ dàng và nhẹ nhàng hơn.

Nhận xét chung:

+ Một bài toán tính thể tích có thể tính bằng các cách khác nhau

+ Việc chứng minh quan hệ vuông góc còn dựa vào tính toán (thường học sinh chỉ quen

chứng minh quan hệ vuông góc nhờ vào “định tính”, chưa quan tâm nhiều đến các số liệu

bài toán cho)

+ Sau khi trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản thì học sinh có thể huy động kiến

thức để giải các bài toán tổng hợp

( Việc tính thể tích của khối đa diện có nhiều phương pháp, trong đó còn có thể dùng phương pháp tọa độ trong không gian Tuy nhiên, phương pháp này HS chỉ được biết khi học sang phần “Phương pháp tọa độ trong không gian” và phạm vi ứng dụng của

nó hẹp hơn nên tôi không đề cập ở đây).

4) Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên tạo với đáy

góc 60 Tính thể tích khối chóp S.ABC

Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là giác đều cạnh bằng a, SA vuông góc đáy,

SA=a 2 Gọi H là trực tâm tam giác ABC.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính độ dài đường cao đỉnh A của SABC

Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC=a 2, góc giữa AC’

và mp(A’B’C’D’) bằng 30 M là trung điểm AD

a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật

b) Tính thể tích khối MACB’

Bài 4: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC và ABC đều cạnh a Góc giữa mp(SBC)

và mp(ABC) bằng 60 Tính thể tích của khối chóp SABC

Bài 5: Cho hình chóp S.ABC có SA(ABC), tam giác ABC vuông cân tại A, BC = a 2, SA=2a E là trung điểm SB, F là hình chiếu của A lên SC

a) Tính thể tích khối chóp S.ABC

b) Tính thể tích khối SAEF

c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE)

Bài 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a, M là

trung điểm SB

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tính thể tích khối chóp S.DCM

c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA tại N Tính thể tích khối chóp S.MNDC

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD là hình chữ nhật,

AB = 2BC=a, SA= a

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) AH, AK là đường cao của tam giác SAB và SAD Tính thể tích của khối S.AHK

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB2 ,a BC a Các cạnh bên bằng nhau và cùng bằng a 2

a) Tính VS.ABCD theo a

b) Gọi M, N là trung điểm của AB và CD, K là điểm trên cạnh AD sao cho AK = 3

a

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và SK theo a