Phương pháp tính tỉ số thể tích hình chóp Toán 12

Hƣớng dẫn giải: Phân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD Để dựng được mặt [r]

Trang 1

PHƯƠNG PHÁP TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH HÌNH CHÓP TOÁN 12

1 Phương pháp

Cho hình chóp S.ABC có 3 điểm A’ B’, C’ lần lượt nằm trên 3 cạnh SA, SB, SC Khi đó, ta có công thức về tỷ số thể tích như sau:

' ' '

.

' ' '

S A B C

S ABC

Chú ý 1:

+ Công thức tỷ số thể tích trên ta chỉ áp dụng cho chóp có đáy là tam giác

+ Công thức trên vẫn đúng trong trường hợp A’ trùng với A Khi đó:

' ' '

.

S A B C

S ABC

Chú ý 2: (Áp dụng cho khối chóp với mọi đáy)

Trang 2

+ Hai hình chóp có cùng chiều cao thì tỉ số thể tích chính là tỉ số diện tích đáy tương ứng

+ Hai hình chóp có cùng diện tích đáy thì tỉ số thể tích chính là tỉ số đường cao tương ứng

Ví dụ: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có thể tích bằng V với đáy là hình bình hành Gọi C’ là trung

điểm cạnh SC Mặt phẳng qua AC’ và song song với BD cắt các cạnh SB,SD lần lượt tại B’; D’ Khi đó

thể tích của khối chóp S.A’B’C’D’ bằng

A

3

V

3

V

4

V

2

V

Hướng dẫn giải:

Phân tích: Để giải quyết được bài toán này các em cần dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song

với BD sau đó tìm giao điểm của nó với các cạnh SB, SD

Để dựng được mặt phẳng đi qua AC’ và song song với BD ta làm như sau: Gọi

O là giao điểm của AC và BD, gọi I là giao điểm của SO và AC’ Qua I kẻ B’D’ song song với BD, khi

đó ta có mặt phẳng cần tìm là mặt phẳng (AD’C’B’)

Ta dễ dàng nhận thấy rằng I là trọng tâm của tam giác SAC nên 2

3



SI

3

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích của khối chóp tam giác (tứ diện) ta có:

1

3 2 3

SAD C

SADC

1

3 2 3

SAB C

SABC

2

SADC SABC SABCD

SAD C B SAD C SAB C SABCD

V

Chọn đáp án A

2 Bài tập

Câu 1: Hình chóp S.ABC có A’B’C’ lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC; tỷ số thể tích của hai khối

chóp SA’B’C’ và SABC là:

A 1

1

1 8

Sử dụng công thức ' ' '

.

' ' ' 1

8

S A B C

S ABC

Chọn đáp án D

Trang 3

Câu 2: Cho hàm số S.ABC Trên 3 cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A', B', C' sao cho ' 1

2



tỷ số V'

V là:

A 1

1

1 16

Áp dụng công thức tính tỉ số thể tích ta có

' ' ' ' 1 1 1 1

2 2 3 12

Chọn đáp án B

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD Gọi A', B', C', D' theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD,

DA Khi đó tỉ số thể tích của hai khối chóp S.A'B'C'D' và S.ABCD bằng ?

A 1

1

1 8

Ta thấy 2 hình chóp S.ABCD và S.A'B'C'D' Có chung chiều cao kẻ từ

đỉnh S xuống đáy Vậy để đi tìm tỉ số khoảng cách thì chúng ta chỉ cần

tìm tỉ số diện tích 2 đáy mà ta có hình vẽ như sau:

Ta thấy

2 2 'B'C'D'

' '.A'B'

' ' ' ' 1

2

 A B C D 

ABCD

V V

Câu 4: Hình chóp SABC có M, N, P theo thứ tự là trung điểm SA SB SC, , Đặt  MNPABC

SABC

V k

trị của k là

A 8

7

1 8

2 2 2 8

SMNP SABC

7 1

8



 MNPABC  SABC SMNP   SMNP

Trang 4

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AM

và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại P và Q.Khi đó tỉ số thể tích giữa khối SAPMQ và khối SABCD bằng :

A 2

1

2 3

Vì mp song song với BD nên PQ song song với BD Gọi O là tâmhình bình hành ABCD

Suy luận được SO,AM, PQ đồng qui tại G và G là trọng tâm tam giác SAC

3

 

3

SAQM SAPM

SADC SABC



Chọn đáp án C

Câu 6: Cho hình chóp S ABC M , là trung điểm của SB, điểm N thuộc SC thỏa SN2NC Tỉ số

.

S AMN

S ABC

V

A 1

6 B

1

4 D

1

3

.

1 1 1

2 3 6

S AMN

S ABC

Câu 7: Cho khối tứ diện OABC với OA OB OC, , vuông góc từng đôi một và

, 2 , 3

OA a OB a OC a Gọi M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AC BC, Thể tích của khối tứ

diện OCMN tính theo a bằng:

A

3 2

3

a

3 3 4

a

D

3

4

a

1

4

COMN

COAB

3

Trang 5

Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD có thể tích bằng 48 và ABCD là hình thoi Các điểm M, N, P, Q lần lượt

là các điểm trên các đoạn SA, SB, SC, SD thỏa mãn: SA2SM SB, 3SN; SC4SP SD; 5SQ Tính

thể tích khối chóp S.MNPQ

A 2

4

6

8 5

Lưu ý công thức tỉ lệ thể tích chỉ dùng cho chóp tam giác chung đỉnh và tương ứng tỉ lệ cạnh Ta có:

SMNP

SABC SADC

V

1 1 1 1 1 1

2 3 4 2 5 4

3 8 1

5 5

V SMNPQ   

Câu 9: Cho hình chóp S.ABC có đáy là ABC vuông cân ở B, ACa 2,SAa và SAABC Gọi 

G là trọng tâm của SBC, một mặt phẳng   đi qua AG và song song vsơi BC cắt SC, SB lần lượt tại

M, N Thể tích khối chóp S.AMN bằng

A

3 4

27

a

B

3 4 9

a

C

3 4 27

a

D

3 2 27

a

Gọi I là trung điểm BC, G là trọng tâm của tam giác SBC

3



SG

2 3

.

S AMN

S AMN S ACB

S ACB

Mặt khác

3 2

a

Suy ra

S AMN S ACB

Câu 10: Cho khối chóp S ABC Lấy A', B' lần lượt thuộc SA, SB sao cho 2SA'3 ' ; 3A A SB'B B' Tỉ

số thể tích giữa hai khối chóp ' 'S A B C và S ABC là:

A 3

2

1

3 10

Trang 6

36 3

5.

1

4=

3

20

Câu 11: Hình chop SACB có SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA=a, ACa 2, AB=3a Gọi M,N là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SC Đặt  SAMN

SABC

V k

V , khi đó giá trị của k là

A 1

1

1 2

SB SC



SAC vuông tại A, có ANSC tại N nên

2 2







Tương tự

2

1 1 1

3 10 30

 k 

Câu 12: Cho tứ diện ABCD có các cạnh BA BC BD, , đôi một vuông góc với nhau

3 , 2

C BDNM

8



3 2 3

 a

3 3 2

 a

3

3 2

AMNC

AMNC ABDC ABDC

BDNM ABDC AMNC

a

Câu 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành M là trung điểm SB và G là trọng tâm của tam giác SBC Gọi V, V’ lần lượt là thể tích của các khối chóp M.ABC và G.ABD, tính tỉ số

'

V V

Trang 7

A 3

' 2

V

4 ' 3

V

5 ' 3

V

' d M, ABCD   2

Câu 14: Cho khối chóp S.ABC Trên các đoạn SA, SB, SC lần lượt lấy ba điểm A', B', C’ sao cho

A 1

1

1 24

Ta có: ' ' '

.

' ' ' 1 1 1 1

2 3 4 24

S A B C

S ABC

Câu 15: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D SA vuông góc với mặt đáy

(ABCD); AB2a, ADCDa Góc giữa mặt phẳng (SBC) và mặt đáy (ABCD) là 60o Mặt phẳng

(P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N Tính thể tích khối chóp S.CDMN theo thể tích khối chóp S ABCD

27



S CDMN S ABCD

27



S CDMN S ABCD

.

10 27

 S ABCD

S CDMN

V

.

2

 S ABCD

S CDMN

V

Đặt V V S ABCD. , ta có: VS.CDA 1VS.ABCD; VS.ABC 1VS.ABCD

Mặt phẳng (P) đi qua CD và trọng tâm G của tam giác SAB

cắt các cạnh SA, SB lần lượt tại M, N Khi đó MN AB và

SM SN 2

SA  SB  3

Ta có:

.

2

.

 

 

S CDM

S CDM S CDA

S CDA

S MNC

S MNC S ABC

S ABC

Trang 8

Bởi vậy: . . . 2 8 14

9 27 27

S CDMN S CDM S MNC

Câu 16: Cho tứ diện ABCD Gọi B’ và C’ lần lượt thuộc các cạnh AB và AC thỏa 3 AB'AB và

3AC'AC Khi đó tỉ số thể tích của hai khối tứ diện  AB C D' '

ABCD

V k

3



6



9



k

Áp dụng bài toán tỉ số thể tích 1

9



k

Câu 17: Cho hình chóp S.ABC Gọi M,N,P tương ứng là trung điểm của SA,BC và AB Mặt phẳng

(MNP) chia khối chóp thành 2 phần Gọi V1 là thể tích của phần chứa đỉnh S, V2 là thể tích của phần còn lại Tính tỉ số 1

2

V V

1 2

Do (MNP) và (SAC) có M là điểm chung và AC//PN

Từ M kẻ MQ//AC(QSC)=> (MNP) cắt SC tại Q

Ta có:

SABC SMPBNQ AMQCNP

) V

 AMQCNP V MAPNV MANC V MQCN

( ;( )) ( ;( ))

(A;(SBC))



SBC

1

2

   SABC  V SABC V SMPBNQ  V SABC V 

V

Câu 18: Cho khối chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm

cúa SA, SB Tỉ số thể tích .

.

?



S CDMN

S CDAB

V

A

M

S

Q

C

B

Trang 9

3



S CDMN S CDM S CMN S CDM S CMN

S CDAB S ACD S ABC S ACD S ABC

Câu 19: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B Biết SA vuông góc với mặt phẳng

(ABC), ABa BC, a 3,SAa Một mặt phẳng   qua A vuông góc SC tại H và cắt SB tại K Tính thể tích khối chóp S.AHK theo a

A

3

AHK

3 20



S

a

3

.

3 30



S AHK

a

3

.

3 60



S AHK

a

3

.

3 90



S AHK

a V







Vì SAB vuông cân tại A nên K là trung điểm của SB Ta

có:

.

2

S AHK

S ABC

2

5

2

5

.

1

2 10

S ABC

3

S ABC

a

Trang 10

Vậy

3

3 60



S AHK

a V

Câu 20: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC và AD đôi một vuông góc với nhau;

AB = a 3, AC = 2a và AD = 2a Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên DB DC, . Tính thể tích V

của tứ diện AHKD

21

V  a B 4 3 3

7



21



7



Ta có :

2

.



D AHK

D ABC

2



a

3

2 2 3

a

Suy ra

3

4 3 21

AHKD D AHK

a

Trang 11

Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sƣ phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên

danh tiếng

xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và

Sinh Học

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn

THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG

dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc

Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất

miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online cùng Chuyên Gia

HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	1,07 MB