phuong phap tinh

Trong thực tế người ta giảm bớt khó khăn khi tính I bằng cách sử dụng các phương pháp tính gần ñúng ñể tìm giá trị xấp xỉ của I rồi dùng nó thay cho giá trị ñúng nhưng với ñiều kiện ñánh[r]

GIỚI THIỆU MÔN HỌC

I GIỚI THIỆU CHUNG

Phương pháp tính là một lĩnh vực của toán học chuyên nghiên cứu các phương pháp

giải các bài toán (chủ yếu là gần ñúng) bằng cách dựa trên những dữ liệu số cụ thể và cho

kết quả cũng dưới dạng số

Ngày nay phần lớn các công việc tính toán ñều ñược thực hiện trên máy tính Tuy vậy thực tế chứng tỏ rằng việc áp dụng các thuật toán và phương pháp tính toán khác nhau có thể cho tốc ñộ tính toán và ñộ chính xác rất khác nhau Lấy ví dụ ñơn giản như tính ñịnh thức của ma trận chẳng hạn, nếu tính trực tiếp theo ñịnh nghĩa thì việc tính ñịnh thức của một ma trận vuông cấp 25 cũng mất hàng triệu năm (ngay cả với máy tính hiện ñại nhất hiện nay); trong khi ñó nếu sử dụng phương pháp khử Gauss thì kết quả nhận ñược gần như tức thời

Như vậy, phương pháp tính là công cụ không thể thiếu trong các công việc cần thực hiện nhiều tính toán với tốc ñộ tính toán nhanh và ñộ chính xác cao như vật lý, ñiện tử viễn thông, công nghệ thông tin

Phương pháp tính ñược nghiên cứu từ rất lâu và cho ñến nay những thành tựu ñạt

ñược là một khối lượng kiến thức ñồ sộ ñược in trong nhiều tài liệu sách, báo Tuy nhiên,

môn học "Phương pháp tính" chỉ nhằm cung cấp những kiến thức căn bản nhất về phương pháp tính Với lượng kiến thức này sinh viên có thể áp dụng vào giải quyết những bài toán thông thường trong thực tế và có khả năng tự tìm hiểu ñể nâng cao kiến thức cho mình khi gặp các vấn ñề phức tạp hơn

Trong phương pháp tính chúng ta thường quan tâm ñến hai vấn ñề:

• Phương pháp ñể giải bài toán

• Mối liên hệ giữa lời giải số gần ñúng và lời giải ñúng, hay sai số của lời giải

II MỤC ðÍCH

Môn học phương pháp tính cung cấp cho sinh viên kiến thức căn bản nhất về một số phương pháp giải gần ñúng trên dữ liệu số với mục ñích

• Tạo cơ sở ñể học tốt và nghiên cứu các nghành khoa học kỹ thuật

• Góp phần rèn luyện phương pháp suy luận khoa học, tư duy logic, phương pháp nghiên cứu thực nghiệm và xây dựng thế giới quan khoa học và tác phong khoa học cần thiết cho người kỹ sư tương lai

III PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số phương pháp cơ bản nhất của phương pháp tính, ñược ứng dụng nhiều trong thực tế như các phương pháp tính trong ñại số tuyến tính, bài toán nội suy, tìm nghiệm gần ñúng các phương trình phi tuyến, tính gần ñúng ñạo hàm và tích phân, giải gần

ñúng một số dạng của phương trình vi phân Tìm hiểu các lĩnh vực ứng dụng của các

phương pháp trong thực tế

IV PHƯƠNG PHÁP HỌC TẬP:

ðể học tốt môn học này, sinh viên cần lưu ý những vấn ñề sau:

1 Kiến thức chuẩn bị:

• Sinh viên phải có kiến thức cơ bản về toán học cao cấp

• Thành thạo sử dụng máy tính cầm tay (sẽ ñược giảng viên hướng dẫn trên lớp)

2 Tài liệu và dụng cụ học tập:

• Giáo trình Phương pháp tính của trường ðHCN Tp HCM

• Máy tinh cầm tay (Casio 570 MS, ES hoặc Vinacal 570 MS)

Nếu cần sinh viên nên tham khảo thêm:

• Giải tích số Phạm Kỳ Anh, nhà xuất bản ñại học Quốc Gia Hà Nội, 1966

• Phương pháp tính Tạ Văn ðỉnh, Nhà xuất bản Giáo dục - 1995

• Phương Pháp tính Dương Thuỳ Vỹ, Nhà xuất bản Khoa học và Kỹ thuật, 2001

3 Tham gia ñầy ñủ các buổi hướng dẫn học tập:

Thông qua các buổi hướng dẫn học tập, giảng viên sẽ giúp sinh viên nắm ñược nội dung tổng thể của môn học và giải ñáp thắc mắc, ñồng thời sinh viên cũng có thể trao ñổi, thảo luận với những sinh viên khác về nội dung bài học

4 Chủ ñộng liên hệ với bạn học và giảng viên:

Cách ñơn giản nhất là tham dự các diễn dàn học tập trên mạng Internet, qua ñó có thể trao ñổi trực tiếp các vấn ñề vướng mắc với giảng viên hoặc các bạn học khác ñang online

ðịa chỉ email ñể trao ñổi với giảng viên : dohoaivu.dhcn@yahoo.com.vn

5 Tự ghi chép lại những ý chính:

Việc ghi chép lại những ý chính là một hoạt ñộng tái hiện kiến thức, kinh nghiệm cho thấy nó giúp ích rất nhiều cho việc hình thành thói quen tự học và tư duy nghiên cứu

6 Học ñi ñôi với hành

Học lý thuyết ñến ñâu thực hành làm bài tập ngay ñến ñó ñể hiểu và nắm chắc lý thuyết

CHƯƠNG 1

SỐ XẤP XỈ VÀ SAI SỐ MỤC ðÍCH, YÊU CẦU

Sau khi nghiên cứu chương 1, yêu cầu sinh viên:

1 Hiểu ñược sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối

2 Nắm ñược cách viết số xấp xỉ

3 Nắm ñược các qui tắc tính sai số

4 Hiểu và biết cách ñánh giá sai số tính toán và sai số phương pháp

1.1 ðẶT VẤN ðỀ

Trong kỹ thuật giá trị các thông số chúng ta tiếp cận nói chung không phải là giá trị

ñúng (vì nó là kết quả của các phép ño và thí nghiệm) Như vậy chúng ta ñã sử dụng giá trị

gần ñúng thay cho giá trị ñúng, việc này nẩy sinh nhiều vấn ñề phức tạp vì giá trị ñúng chỉ có một nhưng giá trị gần ñúng thì rất nhiều ðể có cơ sở khoa học trong việc sử dụng các số

gần ñúng người ta ñưa ra khái niệm sai số ñể ño ñộ chênh lệch giữa các giá trị ñúng và giá

trị gần ñúng

Chú ý rằng khi sử dụng số gần ñúng thay cho một số ñúng nào ñó người ta luôn phải

dùng ñồng thời hai ñại lượng ñó là : giá trị gần ñúng và sai số Hai ñại lượng này có vai trò

như nhau

1.2 SAI SỐ TUYỆT ðỐI VÀ SAI SỐ TƯƠNG ðỐI

1.2.1 Sai số tuyệt ñối

Xét ñại lượng ñúng A và ñại lượng gần ñúng của nó là a Ta nói a xấp xỉ A và viết a ≈ A Trị tuyệt ñối ∆= |a-A| ñược gọi là sai số tuyệt ñối của a (khi dùng a ñể xấp xỉ A)

Trong thực tế ta không biết ñược số ñúng A, do ñó nói chung sai số tuyệt ñối không tính

ñược Vì vậy ta tìm cách ước lượng sai số tuyệt ñối của a bằng số ∆a > 0 sao cho

|a - A| ≤ ∆a

Số dương ∆a ñược gọi là sai số tuyệt ñối giới hạn của a

Chú ý: Nếu ∆alà sai số tuyệt ñối giới hạn của a thì mọi số thực lớn hơn ∆a ñều là sai số tuyệt

ñối giới hạn của a nhưng nếu sai số tuyệt ñối giới hạn quá lớn so với sai số tuyệt ñối thì nó

không còn có ý nghĩa về phương diện sai số nữa Trong những ñiều kiện cụ thể người ta cố gắng chọn ∆alà số dương bé nhất

1.2.2 Sai số tương ñối

Gọi ∆là sai số tuyệt ñối của a khi dùng a ñể xấp xỉ A, khi ñó ñại lượng

A

δ = ∆

ñược gọi là sai số tương ñối của a Tuy nhiên một lần nữa ta thấy rằng A thường không biết,

vì vậy người ta ñịnh nghĩa ñại lượng

a a

Sai số tuyệt ñối không nói lên ñầy ñủ "chất lượng" của một số xấp xỉ, “chất lượng” ấy còn

ñược phản ánh qua sai số tương ñối

1.3 CÁCH VIẾT SỐ XẤP XỈ

1.3.1 Chữ số có nghĩa

Một số viết dưới dạng thập phân có thể gồm nhiều chữ số, nhưng ta chỉ kể các chữ số từ chữ

số khác không ñầu tiên tính từ trái ñến chữ số cuối cùng khác không phía bên phải là các

chữ số có nghĩa Chẳng hạn số 2.740 có 3 chữ số có nghĩa, số 0.02078 có 4 chữ số có nghĩa

Giả sử a là xấp xỉ của số A với sai số tuyệt ñối là ∆a

Nếu ∆a≤ 0.5 ×10s thì ta nói rằng chữ số αslà ñáng tin (như vậy các chữ số có nghĩa

Giải

Ta có ∆a = 0.004726 ≤ 0.5 ×10-2 do ñó các chữ số ñáng tin là: 4,6,7; các chữ số ñáng ngờ là 3,2, 9

Khi ∆a= 0.005726 ta có ∆a ≤ 0.5 ×10-1 do ñó các chữ số ñáng tin là: 4,6; các chữ số ñáng ngờ là 7, 3, 2, 9

1.3.3 Cách viết số xấp xỉ

a Kèm theo sai số

Nếu ∆alà sai số tuyệt ñối giới hạn của a khi xấp xỉ A thì ta quy ước viết:

A = a ± ∆a với ý nghĩa

a – ∆a ≤ A ≤ a + ∆a Hoặc A = a(1 ± δa)

b Mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin

Cách thứ hai là viết theo quy ước: mọi chữ số có nghĩa ñều ñáng tin; có nghĩa là sai số tuyệt

ñối giới hạn không lớn hơn một nửa ñơn vị ở hàng cuối cùng

Ví dụ Khi viết a = 4.67329 thì ta hiểu lúc này ∆a= 0.5 ×10-5

1.4 CÁC LOẠI SAI SỐ KHI XỬ LÝ BÀI TOÁN KỸ THUẬT

Khi giải một bài toán phức tạp người ta thường thay bài toán ñó bằng bài toán ñơn giản hơn ñể có thể giải ñược bằng tay hoặc bằng máy Phương pháp thay bài toán phức tạp

bằng một phương pháp ñơn giản tính ñược như vậy gọi là phương pháp gần ñúng Sai số do

phương pháp gần ñúng tạo ra gọi là sai số phương pháp Mặc dầu bài toán ñã ở dạng ñơn giản, nhưng trong quá trình giải ta thường xuyên phải làm tròn các kết quả hoặc xử dụng các

số xấp xỉ , sai số tạo ra trong quá trình này gọi là sai số tính toán Trong thực tế việc ñánh

giá các loại sai số, nhất là sai số tính toán nhiều khi là bài toán rất khó thực hiện

Tóm lại khi thực hiện một bài toán bằng phương pháp gần ñúng ta thường gặp

những loại sai số sau ñây:

• Sai số trong việc mô hình hóa bài toán : xuất hiện do việc giả thiết bài toán ñạt ñược một số

ñiều kiện lý tưởng nhằm làm giảm ñộ phức tạp của bài toán

• Sai số phương pháp : xuất hiện do việc giải bài toán bằng phương pháp gần ñúng

• Sai số của số liệu : xuất hiện do việc ño ñạc và cung cấp giá trị ñầu vào không chính xác

• Sai số tính toán : xuất hiện do làm tròn số hoăc xử dụng các số xấp xỉ trong quá trình tính

toán, quá trình tính càng nhiều thì sai số tích luỹ càng lớn

Những sai số trên ñây tổng hợp lại nhiều khi dẫn ñến những lời giải quá cách xa so với lời giải ñúng và vì vậy không thể dùng ñược Chính vì vậy việc tìm ra những thuật toán hữu hiệu ñể giải các bài toán thực tế là ñiều rất cần thiết

1.5 SAI SỐ TÍNH TOÁN THƯỜNG GẶP

1.5.1 Sai số quy tròn các số xấp xỉ

Khi tính toán với các con số ta thường làm tròn các số theo quy ước:

Nếu chữ số bỏ ñi ñầu tiên ≥ 5 thì thêm vào chữ số giữ lại cuối cùng một ñơn vị, còn nếu chữ số bỏ ñi ñầu tiên < 5 thì ñể nguyên chữ số giữ lại cuối cùng

Giả sử a là xấp xỉ của A với sai số tuyệt ñối giới hạn là ∆ Giả sử ta quy tròn a thành a' với sai số quy tròn tuyệt ñối giới hạn là θ, tức là:

| a' - a| ≤ θ

Khi ñó

|a' - A| = | a' - a + a -A| ≤ | a' - a| + | a -A| ≤ θ + ∆ Vậy có thể lấy θ + ∆ làm sai số tuyệt ñối giới hạn của a' Như vậy việc quy tròn làm tăng sai

số tuyệt ñối giới hạn

1.5.2 Sai số khi tính toán trên các số xấp xỉ

Ví dụ Cho hàm u= f x y z( , , )=x y2 + yz Hãy xác ñịnh giá trị hàm số u, sai số tuyệt ñối và sai số tương ñối của u biết x= 0.983, y= 1.032(1 0.05), ± z= 2.114 0.02 ±

Phần ghi chép của sinh viên

BÀI TẬP

Trong các bài tập dưới ñây chúng ta ngầm hiểu sai số tương ñối và sai số tuyệt ñối là sai số tương ñối giới hạn và sai số tuyệt ñối giới hạn

Bài 1 Khi ño 1 số góc ta ñược các giá trị : a= 21o37’3”; b=1o10’ Hãy xác ñịnh sai số tương

ñối của các số xấp xỉ ñó biết rằng sai số tuyệt ñối trong phép ño là 1”

Bài 2 Hãy xác ñịnh sai số tuyệt ñối của các số xấp xỉ sau ñây cho biết sai số tương ñối của chúng:

Bài 5 Hãy qui tròn các số dưới ñây( xem là ñúng) với 3 chữ số có nghĩa ñáng tin và xác

ñịnh sai số tuyệt ñối ∆ và sai số tương ñối δ của chúng:

Bài 8 Tính thể tích V của hình cầu và chỉ ra sai số tuyệt ñối, biết rằng ñường kính ño ñược

d = 1,112m và sai số của phép ño là 1 mm

Bài 9 Hãy xác ñịnh sai số tương ñối giới hạn và sai số tuyệt ñối giới hạn và chữ số ñáng tin của cạnh hình vuông a Biết rằng diện tích hình vuông là 2

CHƯƠNG 2 TÍNH GẦN ðÚNG NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN

MỤC ðÍCH, YÊU CẦU

Sau khi học xong chương 2, yêu cầu sinh viên:

1 Kiểm tra ñược khoảng cách ly nghiệm

2 Tìm ñược nghiệm gần ñúng và ñánh giá ñược sai số của phương trình phi tuyến

3 Biết vận dụng các phương pháp trên vào các bài toán thực tế

2.1 GIỚI THIỆU CHUNG

2.1.1 ðặt vấn ñề

Khi giải quyết bài toán kỹ thuật chúng ta thường gặp loại yêu cầu :

Xác ñịnh thông số ñầu vào, ñể ñầu ra của một hệ thống nào ñó ñạt một mức cho trước

yêu cầu này có thể phát biểu bằng ngôn ngữ toán học như sau:

Xác ñịnh giá trị x∈( , )a b sao cho ( ) f x =0, (2.1)

Như chúng ta ñã biết việc giải phương trình (2.1) không ñơn giản (vì không có phương pháp chung) ngay cả khi ( )f x là ña thức có bậc lớn hơn 3

Trong kỹ thuật người ta có thể chấp nhận giá trị x∗ (sao cho (f x∗)≈0) thay cho nghiệm

ñúng α của phương trình nhưng với ñiều kiện ñánh giá ñược sai số tuyệt ñối giữa x∗ và α ðiều này cũng hoàn toàn hợp lý bởi thực tế ngay cả khi chúng ta xác ñịnh ñược chính xác

giá trị thông số ñầu vào thì khi qua hệ thống kết quả ñầu ra cũng chỉ ñạt ñược kết quả gần bằng với yêu cầu

Giá trị x∗ nói ở trên gọi là nghiệm gần ñúng của phương trình (2.1) Việc ñi tìm giá

trị x∗

và ñánh giá sai số gọi là giải gần ñúng phương trình

Chú ý: Khi ñánh giá sai số chúng ta cần phải tính

* *

∆ = − và ∆f x( )* = f x( ) ( )* − f α = f x( )* Sai số chung của bài toán ñược tính bởi ∆ =max{∆ ∆x*; f x( )* }

Trong bài giảng chỉ tập chung tính ∆ =x* x*−α

2.1.2 Các bước giải gần ñúng phương trình phi tuyến

Khi giải gần ñúng nghiệm của phương trình (2.1) ta cần tuân thủ các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra (2.1) có nghiệm ñúng duy nhất trên [a,b] (hay [a,b] là khoảng cách ly)

Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị x∗ và ñánh giá sai số

2.1.3 Một số ñịnh lý cần thiết trong việc thực hiện giải gần ñúng

ðể thực hiện bước 1, 2 ta dùng ñịnh lý dưới ñây

ðịnh lý1

Nếu hàm số f(x) liên tục, ñơn ñiệu trên ñoạn [a,b] và f(a)f(b)<0 thì ñoạn [a,b] là một

khoảng cách ly nghiệm của phương trình (2.1)

ðịnh nghĩa2

Gọi S ={x x: −x0 ≤C} là một lân cận ñóng của x0∈R , A là ánh xạ từ S vào S

Ta nói A là ánh xạ co trên S nếu tồn tại hằng số q < 1 sao cho

Với hàm f(x) liên tục và khả vi trên ñoạn [a,b], ngoài ra tồn tại m sao cho

0 < m ≤ |f'(x)| với mọi x thuộc [a,b] khi ñó ta có ñánh giá: x n f x( n)

- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b]

- Biến ñổi (2.1) ñược về dạng tương ñương x=ϕ( )x ( hàm ϕ gọi là hàm lặp)

b ðiều kiện hội tụ của phương pháp

ðịnh lý

Nếu hàm ( )ϕ x có ñạo hàm '( )ϕ x và thỏa mãn: '( )ϕ x ≤ < ∀ ∈q 1, x [ , ]a b

thì phương pháp lặp hội tụ, tức là: lim n

Chú ý: Với cách ñặt như trên thì

Bước 1: Kiểm tra [1,2] là khoảng cách ly nghiệm

f(x) liên tục trên [1,2],

Ta có (1) (2) 5 0,

'( ) 0, [1, 2]

= − <

> ∀ ∈ Vậy [1,2] là khoảng cách ly nghiệm

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và ñánh giá sai số

Chọn M=11 ðặt

( )

M

[1,2]

9

11

x

∈

= = < Vậy hàm ( )ϕ x thỏa ñiều kiện của phương pháp lặp

ðặt 0 1 2 1.5

2

ta tính các giá trị x1, x2… theo công thức lặp dưới ñây

1 0 1 1 1 0 ( ) 1.420455

0.36 10 1 x x q x x q ϕ − = =     ∆ ≤ − ≈ >  −  ;

2 1 1 2 2 1 ( ) 1.379947

0.18 10 1 x x q x x q ϕ − = =     ∆ ≤ − ≈ >  − 

3 2 1 3 3 2 ( ) 1.357418

0.1 10 1 x x q x x q ϕ − = =     ∆ ≤ − ≈ >  −  ;

4 3 2 1 4 4 3 ( ) 1.344351

5.9 10 10 1 x x q x x q ϕ − − = =     ∆ ≤ − ≈ × <  −  Vậy x4 =1.34451 là nghiệm gần ñúng thỏa yêu cầu về sai số Ví dụ2 Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [0.5,1] của phương trình: 3x2 −ex =0 thỏa yêu cầu sai số 10-2 Ví dụ3 Giải gần ñúng trên [4,5] của phương trình: x+1 cos 0.148x 0.9062 0 8   π + − =     thỏa yêu cầu sai số 10-2 Phần ghi chép của sinh viên

………

………

2.2.2 Phương pháp Newton-Rapson hay ( phương pháp tiếp tuyến )

a Mô tả phương pháp

- Giả sử phương trình (2.1) có khoảng cách ly nghiệm là [a,b]

- Chọn x0thuộc [a,b] sao cho f(x

0) cùng dấu với f’’(x), x∀ ∈(a, b)

- Tính giá trị của nghiệm gần ñúng thứ n+1 theo công thức

b ðiều kiện hội tụ của phương pháp

Chú ý phương pháp Newton-Rapson cũng là một dạng của phương pháp lặp với hàm lặp là

Giả sử hàm f(x) có f’(x) khác không trên ñoạn [a,b] và f''(x) không ñổi dấu trong

(a,b) Nếu x0 , xn ñược chọn như trong mục a) thì phương pháp Newton-Rapson hội tụ, tức là: lim n

n

Ví dụ1 Tìm xấp xỉ nghiệm trên ñoạn [-3,-2] của phương trình:

f f

f f

> ∀ ∈ − − Vậy [-3,-2.5] là khoảng cách ly nghiệm

Bước 2: Tính giá trị nghiệm và ñánh giá sai số

0.0198 102

Vắ dụ2 Cho phương trình: 2 ln 1 0

2

x

x− + = Tìm xấp xỉ nghiệm trên ựoạn [0.2,1] sau 4 lần lặp đánh giá sai số khi nhận giá trị nghiệm ở lần lặp thứ tư là xấp xỉ nghiệm

Vắ dụ3 Giải gần ựúng trên [0,1] của phương trình: x2−cos xπ =0

thỏa yêu cầu sai số 10-4

Phần ghi chép của sinh viên

BÀI TẬP

Bài 1 Dùng một trong hai phương pháp (Lặp hoặc Newton-Rapson) tìm nghiệm gần ñúng

của phương trình dưới ñây thỏa yêu cầu sai số 10-4

[ ] [ ] [ ]

0 sin x 4

CHƯƠNG 3 GIẢI GẦN đÚNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH MỤC đÍCH, YÊU CẦU:

Sau khi nghiên cứu chương 3, yêu cầu sinh viên:

1 Nắm ựược các xu hướng xử lý các bài toán ựại số tuyến

2 Hiểu và thực hiện ựược các phương pháp tìm nghiệm nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình tuyến tắnh

3 Biết cách ựánh giá sai số của từng phương pháp

3.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Sử dụng các phương pháp giải ựúng ựể tìm ra giá trị chắnh xác của các nghiệm xj Một

số phương pháp tiêu biểu như : Cramer, Gauss-JordanẦđã ựược khảo sát trong môn toán cao cấp A2, C2

Hướng giải gần ựúng

Sử dụng các phương pháp giải gần ựúng ựể tìm ra giá trị xấp xỉ của các nghiệm xj Một số phương pháp tiêu biểu như : Lặp ựơn, Seidel,Ầ

Nhận xét

Hướng giải ựúng có ưu ựiểm là tìm ra ựược giá trị ựúng của nghiệm trong trường hợp

hệ có nghiệm duy nhất và chỉ ra ựược khi nào hệ vô nghiệm hoặc có vô số nghiệm Tuy nhiên lại rất khó thực hiện trong trường hợp các hệ số aij , bi là các số thập phân

Hướng giải gần ựúng có khuyết ựiểm là chỉ tìm ra ựược giá trị gần ựúng của nghiệm trong trường hợp hệ có nghiệm duy nhất và không chỉ ra ựược khi nào hệ vô nghiệm hoặc có

vô số nghiệm Tuy nhiên lại tỏ ra hiệu quả trong trường hợp các hệ số aij ,bi là các số thập phân

Khi mô hình hóa bài toán kỹ thuật bằng hệ phương trình, thường hệ có các hệ số rất

lẻ và chỉ có duy nhất nghiệm nên hướng giải gần ñúng chiếm hầu hết khi giải bài toán kỹ thuật

Lưu ý Các phương pháp giải gần ñúng dưới ñây chỉ giải ñược một số hệ có dạng ñặc biệt (sẽ ñược chỉ rõ trong từng thuật toán) Nếu không phải là dạng này thì chúng ta phải dùng

hướng giải ñúng ñể xử lý

3.1.2 Các bước giải gần ñúng hệ phương trình tuyến tính

Khi giải gần ñúng nghiệm của hệ phương trình (I) ta cần tuân thủ các bước sau:

Bước 1: Kiểm tra (I) có nghiệm ñúng duy nhất

Bước 2: Dùng các thuật toán ñể tìm giá trị gần ñúng của nghiệm và ñánh giá sai số

3.1.3 Một số khái niệm toán học cần thiết trong việc thực hiện giải gần ñúng

ðể thực hiện bước 1, 2 ta cần nhắc lại và xây dựng một số khái niệm sau

Cho ma trận chữ nhật A cấp m x n:

11 1 1

1 1

n m ij

max{7, 4, 7} 7 max{2, 7,9} 9

A A A

Ghi chú: Người ta thường dùng kí hiệu A chung cho ba chuẩn trên

Trong không gian véc tơ Rn người ta xây dựng khái niệm chuẩn của véc tơ như sau

Ghi chú : Khái niệm x của vecto mang ý nghĩa hình học là ñộ dài của vecto ñó 2

Tính chất của chuẩn (ñọc giáo trình)

ðịnh lý4 (Về sự duy nhất nghiệm của hệ (I))

Xét hệ (I) khi m=n Nếu

11 1 1

thì hệ (I) có nghiệm duy nhất

3.2 MỘT SỐ THUẬT TOÁN TÌM GIÁ TRỊ GẦN ðÚNG NGHIỆM

3.2.1 Phương pháp lặp ñơn

a Mô tả phương pháp

- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

- Biến ñổi (I) ñược về dạng

Khi ñó (II) ñược viết dưới dạng x=αx+β

- Chọn x(0) =β Tính các xấp xỉ nghiệm x(n+1) theo công thức

b ðiều kiện hội tụ của phương pháp

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần ñúng và ñánh giá sai số

Biến ñổi (I) ñược về dạng

x + = 2.564

1.256

0.2 101

2.8896

x + = 2.598

1.2852

0.05 101

2.90516

x + = 2.61026

1.29044

0.02 101

x y z

Tìm nghiệm gần ựúng của hệ sau 4 bước lặp đánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này

Phần ghi chép của sinh viên

3.2.2 Phương pháp Seidel

a Mô tả phương pháp

- Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất

- Biến ñổi (I) ñược về dạng x=αx+β

- Chọn x(0) =β Tính các xấp xỉ nghiệm x(k+1) theo công thức

Ví dụ1 Giải gần ñúng hệ phương trình bằng phương pháp Seidel

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Bước 2: Tính gần ñúng và ñánh giá sai số (Theo công thức (**))

Biến ñổi (I) ñược về dạng

0.40.64 0.512 10

x y z

là xấp xỉ nghiệm thỏa yêu cầu sai số

Chú ý : Chúng ta cũng có thể tính các xấp xỉ nghiệm theo công thức (*)

Bằng phương pháp Seidel (dùng công thức *) tìm nghiệm gần ựúng của hệ sau 3 bước lặp

đánh giá sai số khi nhận xấp xỉ nghiệm này

Phần ghi chép của sinh viên

CHƯƠNG 4

ðA THỨC NỘI SUY VÀ PHƯƠNG PHÁP BÌNH PHƯƠNG BÉ NHẤT

MỤC ðÍCH, YÊU CẦU

Sau khi học xong chương 4, yêu cầu sinh viên:

1 Hiểu ñược thế nào là bài toán nội suy và hồi quy

2 Thực hiện ñược các phương pháp nội suy ña thức

3 Tìm ñược các hàm xấp xỉ theo phương pháp bình phương bé nhất

4.1 GIỚI THIỆU CHUNG

Khi nghiên cứu các vấn ñề kỹ thuật, kinh tế, xã hội chúng ta thường gặp phải nhu cầu

từ các số liệu rời rạc ñã có của các ñại lượng ñang xét, suy ra mối quan hệ toán học giữa chúng, sau ñó sử dụng công cụ toán học nghiên cứu các vấn ñề mà ta quan tâm trên các ñại lượng ñang xét

Ví dụ Quan sát hai ñại lượng X , Y ta có bảng số liệu:

Có rất nhiều câu hỏi liên quan ñến mối quan hệ giữa X,Y mà nếu không sử dụng công cụ toán học thì chúng ta không trả lời ñược ví dụ như:

- Khi X tăng thì Y có tăng hay không ?

- Khi nào thì Y ñạt cực ñại?

- Khi X= 36 thì Y là bao nhiêu ?

Khi giải bài toán trên ñiều ñầu tiên chúng ta quan tâm là nên chọn dạng hàm f(x) như thế nào Các ñịnh lý về xấp xỉ sau ñây của Weierstrass sẽ cho chúng ta gợi ý về dạng hàm f(x)

Như vậy việc chọn ña thức là thích hợp cho dạng hàm f(x)

Tiếp theo chúng ta sẽ ñi xác ñịnh các hệ số ai, bj trong ña thức pm(x) Việc xác ñịnh các hệ số thường dựa vào một trong hai dạng yêu cầu:

Người ta gọi ña thức pm(x) xây dựng theo dạng 1 là ña thức nội suy và ñược dùng khi biết

yi = f(xi) ða thức tìm theo dạng 2 gọi là tìm theo phương pháp bình phương bé nhất (hay

còn gọi là bài toán hồi quy hoặc hàm hồi quy) nó ñược dùng khi yi ≈f (x )i

Chú ý : Khi xây dựng quan hệ giữa y và x theo phương pháp bình phương bé nhất có thể

không phải dạng ña thức

4.2 ðA THỨC NỘI SUY

4.2.1 ða thức nội suy Lagrange (ñọc giáo trình)

4.2.2 ða thức nội suy Newton

0 1 n

x ∉ x , x , , x

Giải

a) Các giá trị x i cách ñều : h = x i+1 - x i

Bước 1. Tính các hiệu hữu hạn tiến ∆ik

Bước 2 Lập ña thức nội suy

ða thức nội suy Newton tiến

b) Các giá trị x i không cách ñều

Bước 1. Tính các tỉ hiệu hữu hạn tiến f [x , xi i n+ ]

Bước 2. Lập ña thức nội suy

ða thức nội suy Newton tiến

Bước 2 Lập ña thức nội suy

ða thức nội suy Newton tiến

0 1