De Dap An Olympic Toan 7

Gäi H lµ trung ®iÓm BC.. KÎ ®êng cao BK.[r]

đề thi Olympic năm học 2009-2010

Môn: toán - lớp 7

(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu1.

a.Tính:

0

3 1 1 2 14

2 : 3 9 7 5



b So sánh: A  2  6  12  20  30  42 và B 24

Câu 2:

a b c  a b c   a b c

Chứng minh rằng:

x y z  x y z   x y z

(Với abc 0và các mẫu khác o)

b Cho hàm số: f x 

xác đinh với moi giá tri của x R  Biết rằng với mọi x 0

ta đều có   1 2

2

x

 

  

  Tính f  2

Câu 3

a Tìm x biết:

x 5x1 x 5x11

b Tìm tất cả các giá tri nguyên dơng của x và y sao cho:

1 1 1

5

Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Câu 5.

Cho tam giác ABC cân tại A Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho BM=MN=NC Gọi H là trung điểm BC

a Chứng minh: AM=AN và AHBC

b Chứng minh MAN BAM

c Kẻ đờng cao BK Biết AK= 7cm; AB=9cm Tính độ dài BC

-Câu 1(4đ)

1.a(2đ)

1.b(2đ)

Câu 2(4đ)

2.a(2đ)

2.b(2đ)

Câu 3(4đ)

Híng dÉn chÊm thi Olympic n¨m häc 2009-2010 M«n: to¸n - líp 7

Ta có:

(23:1

2).1

8+3

− 2

9 −7(1425)0+5

(8 :1

2).1

8+

1

32 9 −7 1+5

16 1

8+

1

9.9 − 7+5=1

Ta có:

A=√2+√6+√12+√20+√30+√42

√2, 25+√6 , 25+√12 ,25+√20 , 25+√30 , 25+√40 , 25

¿1,5+2 5+3,5+4,5+5,5+6,5=24=B

Vậy A<B

Từ giả thiết suy ra:

¿

x

2 y

4 a+2 b− 2 c=

z

4 a − 4 b+c=

x+2 y +z

9 a (1 )

2 x

2 a+4 b+2 c=

y

2 a+b −c=

z

4 a− 4 b+c=

2 x + y − z

9 b (2)

4 x

4 a+8 b+4 c=

4 y

8 a+4 b− 4 c=

z

4 a − 4 b+c=

4 x − 4 y +z

9 c (3 )

¿

Từ (1), (2), (3) ta có:

x +2 y +z

9 a =

2 x+ y − z

9 b =

4 x − 4 y +z

9 c

Hay x +2 y +z 9 a = 9 b

2 x+ y − z=

9 c

4 x − 4 y +z

2 x+ y − z=

c

4 x − 4 y +z

Với x=2 ta có: f (2)+2 f(12)=4

Với x=1

2 ta có f(12)+2 f (2)=1

4

Giải ra tìm được f (2)=−7

6

0,5 0,5

0,5 0,5

0,25 0,25 0,25

0,5

0,25 0,5

0,5 0,5 1 0,5

3.b(2đ)

Cõu4(2đ)

Câu 5(6đ)

5.a(2đ)

5.b(2đ)

5.c(2đ)

( x − 5) x+ 1=( x −5 )x=11

⇔( x −5) x+1

− ( x −5 ) x+1 ( x −5 )10=0

¿

⇔( x − 5) x+ 1

[1 −( x − 5)10

(x −5) x+1=0 (x − 5)10=1

¿

⇔¿

Giải ra tỡm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6

Từ

1

x+

1

1 5

⇒ xy − 5 x −5 y=0

⇔ x ( y − 5)− 5 ( y −5 )=25

⇔( x− 5) ( y − 5)=25

Vỡ x, y nguyờn dương ⇒ x − 5 ; y−5 thuộc ước của 25

Giải ra tỡm được cỏc cặp giỏ trị x; y nguyờn dương thoả món điều kiện bài toỏn là: (x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30)

Áp dụng tớnh chất |a| = |− a| và |a| + |b|≥|a+b| , dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0 và |a|≥ 0 dấu “=” xảy ra khi a=0 Ta cú:

¿

|x − 2008| + |x −2011| = |x −2008| + |2011− x|≥|x −2008+2011− x| =3

¿

Dấu “=” xảy ra khi 2008 ≤ x ≤2011

|y −2010|≥ 0 dấu “=” xảy ra khi 2010

Vậy giỏ trị nhỏ nhất của A là 2011 khi x=2009 ; y=2010

-Chứng minh đựơc ABM=ACN(cgc) AM=AN

- Chứng minh đựơc ABH=ACH(cgc)

0 90

Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA Chứng minh đợc AMNDMB cgc  MAN BDM

và AM=AN=BD

-Chứng minh đợc BA>AM BA>BD -Xét BAD có BA>BD  BDA BAD hay MAN  BAM

Vì AK    0 A 900 nên chỉ có hai trờng hợp xảy ra TH1:

-BAC nhọn  k nằm giữa hai điểm A,C

Mà AC=AB  AC  9cm KCAC AK  2

-AKB vuông tại K  BK2 AB2 AK2  32

-AKC vuông tại K nên ta có

0,5 1

0,5 0,5 1

0,5 0,5

0,5 0,5

1đ 1đ 1đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

H M B

A

C N

K

BC= BK2KC2  6cm

TH2:

-BAC tï  A n»m gi÷a hai ®iÓm K,C  KC=AK+AC=16cm

-ABK vu«ng t¹i K  BK2 AB2 AK2  32

-BKC vu«ng tai K  BC  BK2KC2  288

VËy BC=6cm hoÆc BC= 288cm

0,25®