Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề... Giải hệ phương trình:.[r]
Trang 1UBND HUYỆN THANH SƠN
PHÒNG GD&ĐT
( Đề thi có 01 trang )
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9-THCS
THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 - 2013 Môn: Toán
(Thời gian làm bài 150 phút không kể thời gian giao đề )
Câu 1 (4,5 điểm).
a) Rút gọn biểu thức: A = 5 3 29 12 5 ;
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi
Câu 2 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình: 3 x 2 + 3 7 x = 3;
b) Cho 3 số x, y, z thỏa mãn đồng thời:
3x - 2y - 2 y 2012 +1 =0
3y - 2z - 2 z 2013 + 1 = 0
3z - 2x - 2 x 2 - 2 = 0;
Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4)2011
+ ( y + 2012)2012
+ ( z - 2013)2013
Câu 3 (3,0 điểm).
Giải hệ phương trình:
3
y x
Câu 4 (6,5 điểm).
Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By (Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F
a) Gọi giao điểm của AF và BE là K Chứng minh MK vuông góc với AB;
b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng:
1
3<
r
R<
1
2; c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn Chứng minh rằng khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua một điểm cố định
Câu 5( 2,0 điểm).
Cho x, y >1 Chứng minh rằng:
8
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2PHÒNG GD&ĐT THANH SƠN
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG LỚP 9 - THCS
THAM DỰ KỲ THI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2012 – 2013
Môn: Toán
Câu 1 (4,5 điểm):
a) Rút gọn biểu thức: A = 5 3 29 12 5 ;
b) Tìm tất cả các tam giác vuông có các cạnh là một số nguyên và có diện tích bằng chu vi.
b) Gọi x, y, z là các cạnh của tam giác vuông: 1 x y z Ta có:
x y z (1)
Từ (1) ta có: z2 (x y )2 2xy(x y )2 4(x y z ) 0,50
(x y ) 4(x y ) 4 z 4z 4
Thay z = x + y - 4 vào (2) ta được:
x - 4 =1 và y - 4 =8 x = 5 và y = 12 z = 13
x - 4 =2 và y - 4 =4 x = 6 và y = 8 z = 10
Vậy các tam giác vuông phải tìm có các cạnh là:
Câu 2 (4,0 điểm):
a) Giải phương trình: 3 x 2 + 3 7 x = 3;
b) Cho 3 số x, y,z thỏa mãn đồng thời:
3x - 2y - 2 y 2012 +1 =0
3y - 2z - 2 z 2013 + 1 = 0
3z - 2x - 2 x 2 - 2 = 0;
Tính giá trị của biểu thức P = ( x - 4)2011
+ ( y + 2012)2012
+ ( z - 2013)2013
.
a) 3 x 2 + 3 7 x = 3
Trang 3 (x + 2 ) ( 7 - x ) = 8
- 5x - 6 = 0
0,50
x = -1; x = 6
b) 3x - 2y - 2 y 2012 +1 =0 (1)
3y - 2z - 2 z 2013 + 1 = 0 (2)
3z - 2x - 2 x 2 - 2 = 0 (3)
Cộng vế với vế của (1), (2), và (3) ta được:
x + y + z - 2 y 2012 - 2 z 2013- 2 x 2 = 0
0,50
( x - 2 - 2 x 2 + 1) + ( y + 2012 - 2 y 2012 + 1)
( x 2 - 1 )2
+ ( y 2012 - 1)2
+ ( z 2013- 1)2
= 0
x 2 - 1 = 0 x = 3
y 2012 - 1 = 0 y = - 2011
z 2013- 1 = 0 z = 2014
0,50 Vậy P = ( 3 - 4)2011
+ ( - 2011 + 2012)2012
Câu 3 (3,0 điểm):
Giải hệ phương trình: 3
y x
Từ phương trình thứ nhất của hệ ta có
( x - y ) ( 1+
1
xy) = 0
x y
y x
x y
x = y = 1; x = y =
2
; x = y =
2
1
xy
y x
3
1 2
1
y x x x
1
2 0
y x
x x
0,50
Trang 4(Ta có x4
+ x + 2 = ( x2
-
1
2)2 + ( x +
1
2)2 +
3
Vậy hệ đã cho có 3 nghiệm
x = y = 1; x = y =
2
; x = y =
2
Câu 4: (6,5 điểm)
Cho nửa đường tròn đường kính AB, tâm O.Từ A, B kẻ hai tia tiếp tuyến
Ax và By ( Tia Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB) Qua điểm M thuộc nửa đường tròn này, kẻ tiếp tuyến thứ ba, cắt các tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E và F
a) Gọi giao điểm của AF và BE là K Chứng minh MK vuông góc với AB;
b) Cho AB = 2R và gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác EOF Chứng minh rằng:
1
3<
r
R<
1
2;
c) Vẽ tam giác vuông cân MBD đỉnh B ra phía ngoài nửa đường tròn Chứng minh rằng khi
M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường thẳng đi qua D và song song với
MB luôn đi qua một điểm cố định.
a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau ta có:
AE = EM, BF = FM
0,50 Vì Ax và By cùng vuông góc với AB nên Ax // By, theo định lí Ta-lét ta
có:
KF BF
KA AE
0,50
KA ME
0,50
b) Chứng minh tam giác ÒE vuông tại O, OM là đường cao và OM = R 0,50 Gọi độ dài 3 cạnh của tam giác ÒEF là a, b, c; ÈF = a
Ta có SEOF=
1
2r (a + b + c) =
1
aR = r( a + b + c)
R a b c
0,50
Mà b + c > a a + b + c > 2a
a
a b c < 2
a
a<
1
Mặt khác: b< a, c < a a + b + c < 3a
0,50
Trang 5a
a b c >3
a
a >
1
3
1
3<
r
R <
1
2 c) Gọi T là giao điểm của tia By và đường thẳng đi qua D và song song
với MB Ta có BDT = 900
Chứng minh tam giác AMB và tam giác TDB bằng nhau ( g-c-g)
0,50
T thuộc tia By cố định T cố định
Vậy khi M di chuyển trên nửa đường tròn đường kính AB thì đường
thẳng đi qua D và song song với MB luôn đi qua điểm cố định T 0,50
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Cho x, y >1 Chứng minh rằng:
8
Ta có P =
y x 2
.
y x =
2
xy
x y (1) 0,50 Lại có
x x
0,25
y y
0,25
xy
x y
2
xy
Từ (1) và (2) suy ra
8
0,25
Dấu bằng xảy ra
y x và x = y = 2
x = y =2
0,50