www thuvienhoclieu com www thuvienhoclieu com SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH Năm học 2017 – 2018 Môn thi TOÁN Thời gian 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi 29/3/2018 Câu 1 (5,0 điểm) a) Giải bất phương trình b) Giải hệ phương trình Câu 2 (4,0 điểm) a) Vẽ đồ thị và suy ra bảng biến thiên của hàm số b) Cho parabol (P) có phương trình và đường thẳng d có phương trình Tìm các hệ số a, b, c biết đỉnh A của (P) thuộc đường thẳng , đồng thời (P) cắt đường thẳ[.]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH
Năm học 2017 – 2018 Môn thi : TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 29/3/2018 Câu 1 (5,0 điểm).
a) Giải bất phương trình 5 x 4 2( x 1) x
b) Giải hệ phương trình
3
x y y x
x x x y y x
Câu 2 (4,0 điểm)
a) Vẽ đồ thị và suy ra bảng biến thiên của hàm số y x 2 x x | 1| 2 x
b) Cho parabol (P) có phương trình y ax 2 bx c a , 0 và đường thẳng d có
phương trình y 2 x 2 Tìm các hệ số a, b, c biết đỉnh A của (P) thuộc đường thẳng d
, đồng thời (P) cắt đường thẳng d tại điểm thứ hai là B sao cho AB 5 và OA = OB (O
là gốc tọa độ).
Câu 3 (4,0 điểm).
a) Cho ba số thực dương x, y, z Chứng minh:
2
b) Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
P
Câu 4 (3,0 điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, G là trọng tâm tam giác ABM, (7; 2) D là điểm nằm trên
đoạn thẳng MC sao cho GA = GD Biết phương trình đường thẳng AG là 3 x y 13 0
a) Tìm tọa độ điểm A biết hoành độ của nó nhỏ hơn 4.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
Câu 5 (4,0 điểm)
a) Cho góc xOy có số đo bằng 00 1800 Trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy
các điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB không đổi và bằng S Tìm giá trị nhỏ nhất
của độ dài đoạn AB theo và S.
b) Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
i) Chứng minh rằng: OH OA OB OC uuur uuur uuur uuur
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2ii) Đặt BC = a, CA = b, AB = c Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC.
–––––––––––– Hết ––––––––––––
Họ và tên thí sinh: … ……….; Số báo danh: ………
Trang 3SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI OLYMPIC LỚP 10 CẤP TỈNH
Năm học 2017 – 2018 ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM Môn thi: TOÁN
(Đáp án – Thang điểm gồm trang)
Câu 1
(5,0
điểm)
a) Giải bất phương trình 5 x 4 2(x 1) x 2,0
+ Bpt đã cho tương đương với 5x 4 2(x 1) x 0,25
+ Bình phương 2 vế và thu gọn ta được bpt: 2x22x x 3
0,5
21 2
x
2
1
8 9 0
x
x11x 9
1 x 9
Vậy bất phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1;9 0,25
b) Giải hệ phương trình
3
x y y x
Điều kiện: 2x y và 0 x316x8y 0 0,25
+ Đặt t 2x y t ( , pt (1) trở thành: 0) 3t t2 4 0,25
t t14
so với điều kiện loại t= -4 0,25
+ Với t thì 1 y2x , thay vào phương trình (2) ta được: 1 x3 8 2x25x 6 0,25
Điều kiện: x Khi đó, ta có: 2 x3 8 2x25x6
(x 2)(x 2x 4) 2(x 2x 4) (x 2)
2
x x x )x 0,5
+ Đặt 2
2 ( 0)
2 4
x
, pt trên trở thành:
2 2
u u
Giải được u = 1.
0,25
Trang 4+ Với u = 1, ta được 2
2
2
2 4
x
1 (
2 (
x x
thoa)thoa)
0,25 0,25
Vậy nghiệm của hệ phương trình là: 1
1
x y
2 3
x y
Câu 2
(4,0
điểm)
a) Vẽ đồ thị và suy ra bảng biến thiên của hàm số y x 2x x| 1| 2x 1,5
Ta có
2
1
x x khi x y
x khi x
0,25
+ Vẽ được đồ thị của hàm số y = 2x 2 + 3x với x ≥ -1
( đúng dạng 0.25 ;phải qua 3 điểm đặc biệt 0.25) 0,5 + Vẽ được đồ thị của hàm số y = x với x < - 1. 0,25 + Lập được bảng biến thiên ( phải đầy đủ dấu , chiều biến thiên và điểm đặc biết) 0,5
b) Cho parabol (P) có phương trình y ax 2 bx c a, 0 và đường thẳng d có
phương trình y 2x 2 Tìm các hệ số a, b, c biết đỉnh A của (P) thuộc đường
thẳng d, đồng thời (P) cắt đường thẳng d tại điểm thứ hai là B sao cho AB 5 và
OA = OB (O là gốc tọa độ).
2,5
+ A là đỉnh của (P) nên phương trình của (P) được viết lại :
Trang 5(x m ax am)( 2) 0
2
x m
x m
a
0,25
+ Hai giao điểm của (P) và d là 2 4
( ; 2 2), ; 2 2
AB
2 ( 2 2)2 ( 1)2 ( 2 4)2
OA OB m m m m 13
10
m
+ Với 2, 13
10
a m ta có phương trình của (P) : 2 26 139
2
y x x
Kết luận 26 139
a b c
0,25
Câu 3
(4,0
điểm) a)Cho ba số thực dương x;y;z, chứng minh:
2
+a) Đặt u = x+y+1; v = x + z +1, BĐT cần chứng minh tương đương với:
(u 0;v 0)
u v u v
Ta có 4 1 1 2
4 (0.25)
u v uv
u v u v
2
0 (0.25)
u v
luôn đúng Vậy BĐT đã cho đúng (0.5)
1,0
b)Cho a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn abc = 1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:
P
3.0
+ Áp dụng BĐT: 1 1 1 1 ( 0, 0)
2a b c 2 4 a b 1 a c 1
Tương tự cho hai biểu thức còn lại
Suy ra:
P
0,5
Trang 6Mặt khác ta có: (a b a b )( )2 0 nên a3 b3 ab a b( ) (0.25)
a b ab a b abc ab a b c
(0.25)
3 3
a b ab a b c
(0.25) Tương tư:
3 3
b c bc a b c
a c ac a b c
(0.25)
1.0
Do đó:
P
ab a b c bc a b c ca a b c a b c ab bc ac
0,5
a b c
Vậy maxP = 1
Câu 4
(3,0
điểm)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A Gọi M là
trung điểm của đoạn thẳng BC, G là trọng tâm tam giác ABM, D (7; 2) là điểm
nằm trên đoạn thẳng MC sao cho GA = GD Biết phương trình đường thẳng AG là
3 x y 13 0.
a) Tìm tọa độ điểm A biết hoành độ của nó nhỏ hơn 4.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
3.0
0,25
a) + Gọi N là trung điểm của AB.
Ta có MN là đường trung trực của đoạn AB nên GA = GB
+ Lại có GA = GD, nên G là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD (0.25)
ABD n n AGD , do đó tam giác AGD vuông cân tại G (0.25) 0,5 + Ta có GD = d(D, AG) = 10 , suy ra AD = 20 0,25 + A AG nên ( ;3A x x13) (x4)
AD 20 (7 x)2(11 3 ) x 2 20 0,25
Trang 7+ Gọi vtpt của đường thẳng AB là 2 2
( ; ) ( 0)
n a b a b
Đường thẳng AG có vtpt '(3; 1) nuur
Góc ·ABG là góc giữa 2 đt AB và AG nên : 23 2 310
10
a b
a b
(0.25) 0
b
a b
(0.25)
0,5
+ b = 0, chọn a = 1, đt có vtpt (1;0) nr
và qua (3; 4)A có pt : x – 3 = 0
+ Tìm được (4; 1)G , kiểm tra thấy G và D nằm về cùng một phía đối với đường
thẳng này nên x – 3 = 0 chính là pt của đt AB.
0,25 0.25
+ 3a = - 4b, chọn a = 4, b = - 3, đt có vtpt (4; 3) nr và qua (3; 4)A có pt
4x – 3y – 24 = 0
Kiểm tra thấy G và D nằm về 2 phía khác nhau đối với đường thẳng này nên
4x – 3y – 24 = 0 không phải là pt của đt AB.
0,25
Câu 5
(4,0
điểm)
a) Cho góc xOy có số đo bằng 00 1800, trên các tia Ox, Oy lần lượt lấy
các điểm A và B sao cho diên tích tam giác OAB không đổi và bằng S Tính giá trị
nhỏ nhất của độ dài đoạn AB theo và S.
b) Cho tam giác ABC Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam
giác ABC.
i) Chứng minh rằng: OH OA OB OC uuur uuur uuur uuur ii) Đặt BC = a, CA = b, AB = c Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC.
4,0
AB OA OB OA OB c AO OB OA OB c 0.25
OAB
S
Do đó ta được 2 2 4 1 os 4 1 os
Suy ra AB nhỏ nhất khi OA =OB ( tam giác OAB cân tại O) khi đó
min
4 1 os sin
b) i) Chứng minh rằng: OH OA OB OCuuur uuur uuur uuur
1,5
Gọi AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
+ Chứng minh được tứ giác BHCD là hình bình hành
0,25
Trang 8Nên HB HC HD 0,25
Ta có O là trung điểm của đoạn AD nên uuur uuurHA HD 2HOuuur 0,25
Suy ra HA HB HCuuur uuur uuur 2uuurHO 0,25
Ta có: OB OCuuur uuur 2OMuuuur uuurAH ; tương tự OA OC BH OA OB CHuuur uuur uuur uuur uuur uuur ; 0,25
OA OB OC OHuuur uuur uuur uuur (đpcm) 0.25
b) Đặt BC = a, CA = b, AB = c Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, c sao cho OH vuông
góc với trung tuyến vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC. 1,5
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA và AB
OA OB OC AB AC
uuur uuuur
(3OA AB AC AB ACuuur uuur uuur uuur uuur ).( ) 0
3OA AB ACuuur uuur uuur.( ) ( uuur uuurAB AC )2 0 0,25 3OA ABuuuruuur 3OA AC ABuuuruuur uuur 22uuur uuur uuurAB AC AC 2 0
3AB AP 3AC AN AB 22uuur uuurAB AC AC 2 0 0,25
2 2
c AB AC b
Lại có: a2 uuurBC2 (uuur uuurAC AB )2 b2 c2 2uuur uuurAB AC
2uuur uuurAB AC b. 2 c2 a2 0,25
Ghi chú: Nếu học sinh có cách giải khác đúng thì Ban Giám khảo thảo luận và thống nhất thang điểm
cho phù hợp với Hướng dẫn chấm
