De thi HSG Toan 678

Mét vßi lÊy níc vµo cã vËn tèc gÊp ba lÇn vßi th¸o níc ra... vßng trßn lµ mét ®ång xu mµu ®en..[r]

Trờng THCS Động Đạt I

Tổ KH Tự nhiên

-*** -đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

môn toán lớp 6 Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1 (4 điểm) :

a) Cho p và 8p-1 là các số nguyên tố Chứng tỏ rằng: 8p+1 là hợp số b) Chứng tỏ rằng: A=3+32+33+ … +399 chia hết cho 13.

Bài 2 (6 điểm) : So sánh:

a) 530 và 12410;

b)

23 3535 2323 A= ; B=

35.2323 2322 và

3535 C=

3534.

Bài 3 (4 điểm) :

a) Tìm số tự nhiên a sao cho a+7 chia hết cho a+1.

b) Chứng tỏ rằng:

1.2 2.3 3.4   50.51 .

Bài 4 (4 điểm) : Cho 2012 điểm trong đó có đúng 12 điểm thẳng hàng Cứ qua hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng Hỏi vẽ đợc tất cả bao nhiêu đờng thẳng

từ 2012 điểm đó?

Bài 5 (2 điểm) : Không quy đồng mẫu số biểu thức trong ngoặc, tìm số nguyên x biết rằng: 2009 2010 2011  2012 3 6036

2010 2011 2009 x x

- Hết

-Họ và tên: ……… Lớp :

Đáp án và biểu điểm chấm đề thi H C SINH GI I C P Ọ Ỏ Ấ

TR ƯỜ NG môn Toán 6

Vì p, 8p-1 là các số nguyên tố nên p≥3

Với p=3 thì 8p+1=8.3+1=25 là hợp số

0,5đ 0,5đ

Với p>3, xét tích A=(8p-1)8p(8p+1) 3

8p+13 mà 8p+1>3 nên 8p +1 là hợp số

0,5đ 0,5đ

A=3+32+33+…+399=(3+32+33)+(34+35+36)+…+(397+398+399)

=3(1+3+32)+34(1+3+32)+…+397(1+3+32)

=3.13+34.13+…+397.13

A13

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

Ta có : 530=53.10=1253

Mà 125>124

Nên 1253>12410

Hay 530>12410

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ b

So sánh:

23 3535 2323 A= ; B=

35.2323 2322 và

3535 C=

3534

4điểm

Ta có : A=

23.35.101

1 35.23.101 ;

B=

2323 2322 1 1

2322 2322 2322



C=

3535 3534 1 1

3534 3534 3534



Vì 2322<3534 nên

23223534B>C>1

Vậy A<B<C

1,0đ 1,0đ 0,5đ 1,0đ 0,5đ

a+7 =(a+1)+6a+16a+1

Do a  nên a+1  , bởi vậy a+1 phải là các ớc nguyên

d-ơng của 6

Mà các ớc nguyên dơng của 6 là : {1;2;3;6}

Nên a+1=1a=0,

Vậy a0;1;2;5

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

1.2 2.3 3.4   50.51 .

2điểm

1.2 2.3 3.4   50.51 1 2 2 3 3 4       50 51

1 50

51 51 

1,0đ 1.0đ

qua hai điểm ta vẽ đợc một đờng thẳng Hỏi vẽ đợc tất cả

bao nhiêu đờng thẳng từ 2012 điểm đó?

4điểm

Chia các điểm đã cho thành 2 nhóm: Nhóm thứ nhất gồm 12

điểm thẳng hàng, nhóm thứ 2 gồm 2000 điểm còn lại trong đó

không có 3 điểm nào thẳng hàng

Qua các điểm ở nhóm thứ nhất vẽ đợc chỉ 1 đt

0,5đ 1,0đ

Qua 2000 điểm ở nhóm thứ 2 vẽ đợc

2000.1999

1999000

Vẽ các đt đi qua 1điểm của nhóm 1 với 1 điểm của nhóm 2 ta

đợc 12.2000=24000đt

Vậy vẽ đợc tất cả là: 1+1999000+24000=2023001đt

1,0đ 1,0đ 0,5đ

nguyên x biết rằng:

2009 2010 2011

2012 3 6036

2010 2011 2009 x x

2điểm

Đặt A=

2010 2011 2009    2010  2011  2009

=

3

2009 2010 2009 2011

    

A>3 hay A-3>0

Do đó: A(x-2012)>3(x-2012)(A-3)(x-2012)>0

x-2012>0

x>2012

Vậy các số nguyên cần tìm là các số nguyên2013

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ

Trờng THCS ĐỘNG ĐẠT I

Tổ KH Tự nhiên

-*** -đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

môn toán lớp 7 Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1 (4 điểm) :

Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số: 2n+2-1 và 2n+1

có một và chỉ một số chia hết cho 3.

Bài 2 (3 điểm) :

x y z

z y  x z  x y     (với x, y, z ≠0).

Bài 3 (6 điểm) :

a) Tính giá trị của biểu thức: A=

2 3 4 2012

2011 2010 2009 1

   

b) Chứng minh rằng:

1 1 1 1

2 3 4 63

     

.

Bài 4 (4 điểm) : Cho tam giác đều ABC, các đờng cao AH, BK cắt nhau tại

điểm G Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG, AH, BC lần lợt tại các điểm M, N, P Chứng minh rằng: KM=NP

Bài 5 (3 điểm) :

a) Tìm một nghiệm của đa thức P(x)=x3+ax2+bx+c Biết rằng đa thức

có nghiệm và

1 a+2b+4c=

-2. b) Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: 2x 2520113y52012 0

- Hết

-Họ và tên: ……… Lớp :

Đáp án và biểu điểm chấm đề thI H C SINH GI I C P Ọ Ỏ Ấ

TR ƯỜ NG môn Toán 7

điểm

Xét tổng của 2 số: (2n+2-1)+(2n+1)= 2n+2+2n=2n(22+1)=5.2n

không chia hết cho 3   n

cả hai số 2n+2-1và 2n+1không thể cùng chia hết cho3(1)

Xét tích (2n+2-1).(2n+1)=4n+3.2n-1

Ta có: 41(mod3) 4n+1 1(mod3) 4n+1-10 (mod3)

3.2n 0(mod3)

Vậy (2n+2-1).(2n+1) chia hết cho 3  n (2)

 Đpcm

1,5đ 0,5đ

1,5đ 0,5đ 2

x y z

z y  x z  x y    

(với x, y, z ≠0).

3điểm

z y  x z  x y 

1,0đ

1

 

nên: x+y+z=1/2

Từ đó ta có : x+y=1/2-z; x+z=1/2-y; y+z=1/2-x

Thay vào ta tìm đợc x=y=1/2 ; z=-1/2

1,0đ 1,0đ

3 a

Tính giá trị của biểu thức: A=

2 3 4 2012

2011 2010 2009 1

   

2điểm

Ta có:

2011 2010 2009 1

1  2  3  2012

         

2012 2012 2012 2012

2012

2 3 4 2012

      

Khi đó ta có: A=

2 3 4 2012

1 1 1 1 2012

2012

2 3 4 2012

   



   

0,5đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ

b

Chứng minh rằng:

1 1 1 1

2 3 4 63

     

.

4điểm

Đặt S=

1 1 1 1

2 3 4 63

   

Ta có: S=

2 3 4 5 6 7 8 9 10 16

           

17 18 32 33 34 64 64

         

>

.2 2 4 8 16 32

2 4 8 16 32 64  64=

=

1 1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 64

     

=3

31 3

64 

Lại có:

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 3 4 5 6 7 8 9 15

         

16 17 31 32 33 63

        

1,0đ

1,0đ 0,5đ

0,5đ

0,75đ 0,25đ

.2 4 8 16 32 1 1 1 1 1 1 6

2 4 8 16 32       

Vậy suy ra đpcm

điểm G Tia phân giác của góc BKH cắt đoạn thẳng CG,

AH, BC lần lợt tại các điểm M, N, P Chứng minh rằng:

KM=NP

4điểm

0,5đ

Ta thấy CG là tia phân giác của góc C ACG 30  0

Vì K, H là trung điểm của AC, BC nên KH//AB và ΔCHK đều

HKB 90  0 600 300

Do KP là phân giác của HKBnên: BKP 15  0, từ đó CKP 75  0

Ta có MCK 30  0,CKP 75  0KMC 75  0nên ΔCMK cân tại C

CK=CM

Ta có AK=CM(=CK) ;KAN MCP ( 30 )   0 ;

AKN CMP ( 105 )  

Vậy ΔAKN=ΔCMP(g.cg)

KN=MP hay KM+MN=MN+NP

Từ đó suy ra: KM=NP Đpcm

0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ 0,75đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

đa thức có nghiệm và

1 a+2b+4c=

-2

1điểm

Ta có giả thiết:

1 a+2b+4c=

-2

1 +a+2b+4c=0 2



Chia cả hai vế của đẳng thức trên cho 4 ta đợc:

1 1 1

+ a+ b+c=0

8 4 2

0 ( ) 0

2 2 a 2b c P 2

   

         

   

0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

Vậy x=

1

2chính là một nghiệm của đa thức.

b

Tìm các giá trị x, y thỏa mãn: 2x 2520113y52012 0 2điểm

Ta có : 2x 252011 0 x; 3 y52012  0 y

Nên : 2x-25=0 và 3y+5=0

 x=12,5 và y=-5/3

1,0đ 0,5đ 0,5đ

Trờng THCS Động Đạt I

Tổ KH Tự nhiên

-*** -đề thi HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

môn toán lớp 8 Năm học: 2011-2012

Thời gian: 120 phút.

Bài 1 (6 điểm) :

a) Cho m là một số nguyên dơng Hãy tìm các chữ số x và y (x0) sao cho số A=xy5 100m(m+5) là số chính phơng.

b) Cho a+b+c=0 và a2+b2+c2=14.Tính giá trị của biểu thức B=a4+b4+c4

Bài 2 (3 điểm) : Cho biểu thức A=

3

2 1 1

x

  

 Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

Bài 3 (4 điểm) : Một bể có hai vòi nớc Một vòi lấy nớc vào có vận tốc gấp ba lần vòi tháo nớc ra Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không có nớc thì sau 2 giờ

bể đầy Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình vòi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?

Bài 4 (5 điểm) : Cho hình thoi ABCD có cạnh a và A 60  0 Một đờng thẳng bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và N.

a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi.

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD?

Bài 5 (2 điểm) : Trên một vòng tròn ngời ta đặt 20 đồng xu màu trắng và một

đồng xu màu đen Biết rằng đối diện với một đồng xu màu trắng qua tâm

vòng tròn là một đồng xu màu đen Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu

đen đặt cạnh nhau.

- Hết

-Họ và tên: ……… Lớp :

Đáp án và biểu điểm chấm đề THI H C SINH GI I C P Ọ Ỏ Ấ

TR ƯỜ NG môn Toán 8

điểm

1 a Cho m là một số nguyên dơng Hãy tìm các chữ số x và y

3điểm

Số A=xy5 100m(m+5) (m nguyên dơng) là số chính phơng

vàchia hết cho 5 nên có dạng: A=(10t+5)2=100t2+100t+25 với t

 

Từ đó suy ra : 100t2+100t+25=100x+10y+5+100m2+500m (1)

Do đó 10y+5-25 phải chia hết cho 100,

suy ra y=2, thay vào (1) ta đợc t2+t=m2+5m+x (2)

Đặt t=m+v, thay vào (2) ta đợc : (m+v)2+m+v= m2+5m+x

2m(2-v)=v2+v-x Đẳng thức xảy ra với m bất kỳ khi và chỉ

khi v=2 và x=v2+v=6

Vậy các chữ phải tìm là : x=6; y=2

0,5đ

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ

b Cho a+b+c=0 và a 2 +b 2 +c 2 =14 Tính giá trị của biểu thức

Ta có a2+b2+c2=14( a2+b2+c2)2=142

a4+b4+c4+2a2b2+2a2c2+2b2c2=196

 a4+b4+c4 =196-2(a2b2+a2c2+b2c2)

Lại có: a+b+c=0( a+b+c)2=0

 a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=0

14+2(ab+bc+ac)=0 (vì a2+b2+c2=14)

 ab+bc+ac=-7

(ab+bc+ac)2=49

 a2b2+a2c2+b2c2 +2abc(a+b+c)=49

 a2b2+a2c2+b2c2=49 (vì a+b+c=0)

Khi đó B=196-2 49=98

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 2

Cho biểu thức A=

3

2 1 1

x

  



Tìm các giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên.

3 điiểm

Ta có: A=

4

1

2 1

   

 

  

=

x

 

 

Do x nguyên nên để A nguyên thì x+1 phải là ớc của 1

Suy ra: x=0; x=-2 (tm)

1,0đ 1,0đ 1,0đ

ba lần vòi tháo nớc ra Nếu ta mở cả hai vòi khi bể không

có nớc thì sau 2 giờ bể đầy Hỏi vòi tháo nớc ra đặt ở độ cao

bao nhiêu so với độ cao của bể biết rằng nếu mở một mình

vòi lấy nớc vào thì bể đầy sau 1 giờ 30 phút?

4 điiểm

Trong1h vòi thứ nhất chảy đợc vào bể:

2

3(bể)

Vòi thứ hai chảy ra trong 1h đợc:

2

9(bể)

Khi mức nớc đã ở trên độ cao đặt vòi chảy ra thì trong 1h hai

vòi mở cùng một lúc đợc :

2 2 4

3 9 9 (bể)

Gọi x(h) là thời gian vòi thứ nhất chảy một mình cho đến khi

n-ớc bắt đầu chảy ra đợc Trong thời gian này vòi thứ nhất chảy

đợc

2

3x(bể).

Sau x giờ đó hai vòi cùng mở trong thời gian là: 2-x (giờ)

Ta có phơng trình:

2 4

(2 ) 1

3x9  x 

Giải đợc x=1/2 giờ

Vậy độ cao của vòi tháo nớc ra so với độ cao của bể nớc là :

1 3 1

:

2 2 3

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

4

bất kỳ đi qua C cắt tia đối của các tia BA và DA tại M và

N.

a) Chứng minh rằng tích BM DN có giá trị không đổi.

b) Gọi K là giao điểm của BN và DM Tính số đo góc BKD?

3điểm

a

0,5đ

Xét ΔAMN có BC//AN nên:

MB MC

AB CN (theo ĐL Ta let)

Tơng tự ta có:

MC AD

=

CN DN



MB AD

AB DN hay MB DN=AB.AD

Mà AB=AD =a (do ABCD là hình thoi)

Nên: MB DN=AB.AD=a2 có giá trị không đổi

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

b

ΔABD có AB=AD (gt) ; A 60  0  ΔABD đều

ABD=ADB=60  0  DBM=BDN 120   0(2 góc kề bù) (1)

Theo cmt ta có MB DN=a2, BD=a nên

BM BD

BD DN (2)

Từ (1) và (2)  ΔMBD và ΔBDN đồng dạng (c-g-c)

 M =B 1 1

Xét ΔBMD có  

0

M D 60

(vì DBM 120  0 cmt)

 

0

B D 60

  

0

B D BKD 180

(ĐL tổng 3 góc của tam giác)

BKD 120  0

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ

một đồng xu màu đen Biết rằng đối diện với một đồng xu

màu trắng qua tâm vòng tròn là một đồng xu màu đen.

Chứng tỏ rằng tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau.

2điểm

Giả sử không tồn tại hai đồng xu màu đen đặt cạnh nhau(1) thì

không có hai đồng xu trắng đặt cạnh nhau, do đó các đồng xu

trắng phải xếp xen kẽ nên cũng có 20 đồng xu màu đen

Xét hai đồng xu trắng đen đối diện nhau trên vòng tròn, đồng

xu trắng đợc đánh số 1, đồng xu đen đối diện đánh số 21 Do

các đồng xu trắng đen xếp xen kẽ nên các đồng xu đen mang

số 2, 4, 6, …, 20 lại xảy ra hai đồng xu đen số 20 và số 21 cạnh

nhau, điều này trái với (1) Vậy phải tồn tại hai đồng xu màu

đen đặt cạnh nhau

0,5đ

1,5đ