Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ.. Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/4/2019 (Đề thi gồm 01 trang)
Câu I (2,0 điểm)
1) Cho hàm số y x 24x có đồ thị ( )3 P Tìm giá trị của tham số m để đường thẳng
( ) :d m y x m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa mãn 1, 2
1 2
2
x x 2) Cho hàm số y(m1)x22mx m (2 m là tham số) Tìm m để hàm số nghịch biến
trên khoảng (;2)
Câu II (3,0 điểm)
2 2
x y x x
2) Giải phương trình (x3) 1 x x 4 x 2x26x 3
3) Giải bất phương trình x3(3x2 4x4) x 1 0
Câu III (3,0 điểm)
1) Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB3 NC 0 Gọi P là giao điểm của AC và GN , tính tỉ số PA
PC 2) Cho tam giác nhọn ABC , gọi H E K, , lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh , ,
A B C Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết rằng
4
ABC HEK
4
A B C
3) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình
3 0
x y , đường thẳng AC có phương trình x7y Biết điểm (1;10)5 0 M thuộc cạnh
BC , tìm tọa độ các đỉnh , , A B C
Câu IV (1,0 điểm)
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một máy chuyên dụng Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản
phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên dụng làm việc không quá 120 giờ Hỏi xưởng cần
sản xuất bao nhiêu kilôgam sản phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực dương x y z thỏa mãn , , xy yz xz 3
Chứng minh bất đẳng thức
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị coi thi số 1: Giám thị coi thi số 2:
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 10
THPT – NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)
Câu I.1
1,0đ Cho hàm số y x 24x có đồ thị ( )3 P Tìm giá trị của tham số m để đường
thẳng ( ) :d m y x m cắt đồ thị ( P ) tại hai điểm phân biệt có hoành độ x x thỏa 1, 2 mãn
1 2
2
x x Phương trình hoành độ giao điểm x24x 3 x m x25x (1) 3 m 0 0,25 Đường thẳng ( )d cắt đồ thị ( ) m P tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình
4
1 2
5 3
x x
1 2 1 2
1 2
1 2
2
m
x x
Câu I.2
1,0 đ Cho hàm số y(m1)x22mx m ,(2 m là tham số) Tìm m để hàm số nghịch
biến trên khoảng (;2)
Với m Hàm số nghịch biến trên Do đó 1 y 2x 3 m thỏa mãn 1
0,25 Với m Hàm số nghịch biến trên khoảng (1 ;2) khi và chỉ khi
1 0 2 1
m m m
0,25
CâuII.1
2 2
x y x x
0,25
Thế y x vào phương trình (2) ta có 2
2( 2) 2 2 12 0 3 2 2 12 0
2
1
x y
Trang 3CâuII.2
1,0 đ Giải phương trình (x3) 1 x x 4 x 2x2 6x (1) 3
Điều kiện 1 x 4
Phương trình (1)(x3)( 1 x 1) x( 4 x 1) 2x26x
0,25
2 3
2 (2)
x x
x x
0,25
x x x x (Thỏa mãn điều kiện)
0,25 Với điều kiên 1 x 4 ta có
1
1
2
x
x
Dấu " " không xảy
ra nên phương trình (2) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x và 0 x 3
0,25
CâuII.3
1,0 đ Giải bất phương trình x3(3x24x4) x (1) 1 0
Điều kiện x 1
3
3 2
0,25
Xét x , thay vào (2) thỏa mãn 1
Xét x 1 x Chia hai vế của (2) cho 1 0 3
1
x ta được bất phương trình
0,25
Đặt
1
x t
x
, ta có bất phương trình
3 3 2 4 0 ( 1)( 2)2 0 1
1
2
x
Kết hợp x là nghiệm, ta có tập nghiệm của bất phương trình 1 1;1 5
2
0,25
Trang 4Câu
III.1
1,0 đ
Cho tam giác ABC có trọng tâm G và điểm N thỏa mãn NB 3NC 0 Gọi P là giao điểm của AC và GN , tính tỉ số PA
PC Gọi M là trung điểm của cạnh BC Đặt AP k AC
1 3
GP AP AG k AC AB AC
0,25
GN GM MN AM BC AB AC AC AB AC AB
0,25
Ba điểm , ,G P N thẳng hàng nên hai vectơ GP GN , cùng phương Do đó
4
4 5
PA
PC
0,25
Câu
III.2
1,0 đ
Cho tam giác nhọn ABC , gọi H E K lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh , , , ,
A B C Gọi diện tích các tam giác ABC và HEK lần lượt là SABC và SHEK Biết
4
A B C Đặt S S ABC thì từ giả thiết suy ra
3 4 3 4
EAK KBH HCE
HCE EAK KBH
S
0,25
2
1
1
2
EAK
AE AK A
S AB AC A AB AC
2
1 sin
1
2
KBH
BK BH B
S AB BC B BC AB
2
1 sin
1
2
HCE
CH CE C
S AC BC C AC BC
0,25
HCE EAK KBH S
0,25
P G
M
A
H
K E A
Trang 5Câu
III.3
1,0 đ
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho ABC cân tại A Đường thẳng AB có phương trình x y 3 0, đường thẳng AC có phương trình x 7y 5 0 Biết điểm M(1;10)
thuộc cạnh BC, tìm tọa độ các đỉnh A B C, ,
x y x y
1 2
( )
( )
d
x y
d
x y
Do tam giác ABC cân tại A nên đường phân giác trong kẻ từ A cũng là đường cao
Xét trường hợp d1 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
Phương trình đường thẳng BClà 3x y 7 0
B
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
11
;
5
x
C
MB MC MC MBM
nằm ngoài đoạn BC Trường hợp này không thỏa mãn
0,25
Nếu d2 là đường cao của tam giác ABC kẻ từ A
Phương trình đường thẳng BC là x3y31 0
Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình
( 11;14)
B
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình
101
;
5
x
C
( 12;4), ;
thuộc đoạn BC
Vậy (2;1), ( 11;14), 101 18;
5 5
0,25
Câu IV
1,0 đ Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm loại I và loại II từ 200kg nguyên liệu và một
máy chuyên dụng Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại I cần 2kg nguyên liệu và máy làm việc trong 3 giờ Để sản xuất được một kilôgam sản phẩm loại II cần 4kg nguyên liệu và máy làm việc trong 1,5 giờ Biết một kilôgam sản phẩm loại
I lãi 300000 đồng, một kilôgam sản phẩm loại II lãi 400000 đồng và máy chuyên
dụng làm việc không quá 120 giờ Hỏi xưởng cần sản xuất bao nhiêu kilôgam sản
phẩm mỗi loại để tiền lãi lớn nhất?
Trang 6Giả sử sản xuất ( )x kg sản phẩm loại I và ( )y kg sản phẩm loại II
Điều kiện x0,y và 20 x4y200 x 2y100
Tổng số giờ máy làm việc: 3x1,5y
Ta có 3x1,5y120
Số tiền lãi thu được là T 300000x400000y (đồng)
0,25
Ta cần tìm x y thoả mãn: ,
x y
(I) sao cho T 300000x400000y đạt giá trị lớn nhất
0,25
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ các đường thẳng
1: 2 100; 2: 3 1,5 120
d x y d x y
Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm (100;0)1 A , cắt trục tung tại điểm (0;50)B
Đường thẳng d cắt trục hoành tại điểm (40;0)2 C , cắt trục tung tại điểm D0;80
Đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm E20;40
Biểu diễn hình học tập nghiệm của
hệ bất phương trình (I) là miền đa giác OBEC
0,25
0
0 0
x
T y
0
20000000 50
x
T y
20
22000000 40
x
T y
40
12000000 0
x
T y
Vậy để thu được tổng số tiền lãi nhiều nhất thì xưởng cần sản xuất 20kg sản phẩm
loại I và 40kg sản phẩm loại II
0,25
Câu V
1,0 đ Cho các số thực dương , ,x y z thỏa mãn xy yz xz Chứng minh bất đẳng thức 3
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
2 3
8 ( 2)( 2 4)
2 6 8
x
0,25
E
C
D B
A
y
Trang 7Tương tự, ta cũng có
Từ đó suy ra:
Chứng minh bổ đề: Cho ,x y và ,0 a b ta có: 2 2 2
*
a b
a b
Ta có
* a y b x a b a y b x x y xy a b ay bx 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b
x y
Áp dụng bổ đề ta có
2
x y
2
2 2 2
x y z
0,25
Đến đây, ta chỉ cần chứng minh:
2
2 2 2
1 3
x y z
x y z x y z
Do x2y2z2 (x y z) 18
2
2
12 0
x y z x y z xy yz zx
x y z x y z
Nên 3 2(x y z )2 x2 y2z2 (x y z) 18
x2y2z2 x y z 6 (4)
0,25
Mặt khác, do , ,x y z là các số dương nên ta có:
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
Nên bất đẳng thức (4) đúng
Từ (1), (2), (3) và (4), ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x y z 1
0,25