De thi HSG toan 8 Hung Yen

[r]

TRƯỜNG THCS DƯƠNG QUANG ĐỀ THI ĐỀ XUẤT DỰ THI HSG CẤP HUYỆN

Môn: Toỏn 8

NĂM HỌC:2011-2012

( Thời gian làm bài: 120 phỳt )

Đề bài:

Bài 1: (2điểm) a) Phõn tớch đa thức x3 – 5x2 + 8x – 4 thành nhõn tử

b) Tỡm giỏ trị nguyờn của x để A  B biết

A = 10x2 – 7x – 5 và B = 2x – 3

c) Giải cỏc phương trỡnh sau:

2011 2010 2009 2008 2007 2006

x x x x x x

Bài 2 (3.5 điểm): Cho biểu thức

A=4xy

y2− x2 :( y2− x1 2 + 1

y2

+2 xy+ x2)

a) Tỡm điều kiện của x, y để giỏ trị của A được xỏc định

b) Rỳt gọn A

c) Tớnh giỏ trị của biểu thức A khi /x / = 34 ;y=-2

d) Tỡm cặp giỏ trị (x ;y) nguyờn để p cú giỏ trị nguyờn

e) Nếu x; y là cỏc số thực làm cho A xỏc định và thoả món: 3x2 + y2 + 2x – 2y = 1,

hóy tỡm tất cả cỏc giỏ trị nguyờn dương của A?

Bài 4 (3 điểm):

Cho hình chữ nhật ABCD Trên đờng chéo BD lấy điểm P, gọi M là điểm đối xứng của

điểm C qua P

a) Tứ giác AMDB là hình gì?

b) Gọi E và F lần lợt là hình chiếu của điểm M lên AB, AD Chứng minh EF//AC và ba

điểm E, F, P thẳng hàng

c) Chứng minh rằng tỉ số các cạnh của hình chữ nhật MEAF không phụ thuộc vào vị trí của điểm P

d) Giả sử CP  BD và CP = 2,4 cm,

9 16

PD

PB  Tính các cạnh của hình chữ nhật ABCD

Câu 5: (1, điểm) Chứng minh rằng :

a, a

ab+a+1+

b

bc+b+1+

c

ac+c+1=1 biết abc=1

b, a2

b2+

b2

c2+

c2

a2≥

c

b+

b

a+

a c

Bài 6: (0,5 điểm)

Cho a = 11…1 (2n chữ số 1), b = 44…4 (n chữ số 4)

Chứng minh rằng: a + b + 1 là số chớnh phương

đáp án - biểu điểm: môn toán lớp 8

Bài 1:

(2 điểm)

a) x3 - 5x2 + 8x - 4 = x3 - 4x2 + 4x – x2 + 4x – 4

= x( x2 – 4x + 4) – ( x2 – 4x + 4) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2

0.5

b)

Xét

2

5x 4

Với x  Z thì A  B khi

7

2x 3  Z  7  ( 2x – 3)

Mà Ư(7) = 1;1; 7;7   x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A  B

0.25

c)

2011 2010 2009 2008 2007 2006

x x x x x x

⇔ (x 1 1) (x 2 1) (x 3 1) (x 4 1) (x 5 1) (x 6 1)

2011 2010 2009 2008 2007 2006

0.25

⇔ 2012 2012 2012 2012 2012 2012

2011 2010 2009 2008 2007 2006

0.25

2012 2012 2012 2012 2012 2012

0

2011 2010 2009 2008 2007 2006

0.25

2011 2010 2009 2008 2007 2006

Vì

Vậy x + 2012 = 0 ⇔ x = -2012

0.25

Bµi 2

(2,5®iÓm)

§iÒu kiÖn:

x  x  x   x  x 

0.25

a) Rót gän P =

x x



 0.5

b)

1 2

2

x

hoÆc

1 2

+)

1 2

x 

 … P =

1 2

+)

1 2

x 

 …P =

2

3 0.25

c) P =

x x



 =

2 1

5

x



Ta cã: 1 Z 

VËy P Z khi

2

5 Z

 x – 5  ¦(2)

x – 5 = -2  x = 3 (TM§K)

x – 5 = -1  x = 4 (KTM§K)

x – 5 = 1  x = 6 (TM§K)

x – 5 = 2  x = 7 (TM§K)

KL: x {3; 6; 7} th× P nhËn gi¸ trÞ nguyªn

0.25

d) P =

x x



 =

2 1

5

x



 0.25

Ta cã: 1 > 0

§Ó P > 0 th×

2 5

x  > 0  x – 5 > 0  x > 5

KL: Víi x > 5 th× P > 0 0.25

Bài 3

(1,5điểm)

Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d N, 0 ≤ a , b , c , d ≤9 , a ≠ 0

với k, m N, 31<k <m<100 0.25

Ta có: abcd=k2 (a+1)(b+ 3)(c+5)(d+3)=m2 0.25

abcd=k2

abcd +1353=m2 0.25

Do đó: m2–k2 = 1353

⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41 33 ( k+m < 200 ) 0.25 ⇔ m+k = 123 m+k = 41

m–k = 11 m–k = 33

m = 67 m = 37

k = 56 k=4

0.25

Kết luận đúng abcd = 3136

0.25

hoặc

(2,5điểm)

O F

E

K

H

C

A

D

Ta có : BEAC (gt); DFAC (gt) => BE // DF 0,25

Chứng minh : BEODFO g c g(   )

Suy ra : Tứ giác : BEDF là hình bình hành

CH CD CK CB

AF

AK

Suy ra : AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF)AC = AC2

(đfcm)

Bài 2

(1,5điểm)

a) 1x+ 1

y+

1

z=0 ⇒xy+yz+xz

⇒ yz = –xy–xz 0.25

x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)

Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y) 0,25

Do đó: A=yz

(x − y )(x − z)+

xz (y − x)( y − z )+

xy (z − x )(z− y)

b)

D=n5-n+2=n(n4-1)+2=n(n+1)(n-1)(n2+1)+2 0,25

=n(n-1)(n+1) [(n2− 4)+ 5] +2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)(n+1)+2

Mà n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5số tự nhiên liên tiếp)

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính phơng

Vậy không có giá trị nào của n để D là số chính phơng 0,25