TÝnh gãc AHM.[r]
Trang 1đề thi Olympic năm học 2009 - 2010
Môn: toán - lớp 8
( Thời gian làm bài 120 phút)
-Câu1: Cho biểu thức: A = (1− x1 +
2
x +1 −
5− x
1 − x2):1 −2 x
x3− x
a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên
Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
(3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
b) áp dụng giải phơng trình:
(3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
Câu3: a) Giải phơng trình: ||2 x|− 1| = 2x + 1
b) Cho số thực x thoã mãn: x
x2− x+1=
1 2
Tính giá trị của biểu thức: B = x4− 3 x3 +18 x −1
x3− 2 x2
+x+1
Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
x2 – 2xy + x - 2y 0 Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
M = x2 – 5y2 + 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đờng cao AH Trên tia HC lấy
HD = HA Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E
a) Chứng minh: AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE Tính góc AHM
-Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán - lớp 8 Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện:
¿
x ≠ ±1
x ≠ 0
x ≠1
2
¿ { {
¿
+) Quy đồng mẫu số và biến đổi đợc: A = 2 x
1 −2 x
b) (1đ) Ta có A = 2 x
1 −2 x = -1 +
1
1 −2 x Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và
chỉ khi 1 – 2x = ±1 ⇔ x = 0 hoặc x = 1
Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn Vậy không có giá trị x nào thoã mãn yêu cầu bài toán
Câu2:(4đ)
a) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc
áp dụng ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 – (2x + 1)3
= (3x – 2)3 + ( - x + 3)3 + ( - 2x - 1)3
= 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1)
b) (2đ) Ta có: (3x – 2)3 – (x – 3)3 = (2x + 1)3
⇔ (3x – 2)3 – (x – 3)3 - (2x + 1)3 = 0
Trang 2⇔ 3(3x – 2)( - x + 3)( - 2x – 1) = 0
⇔ x = 2
3 hoặc x = 3 hoặc x = -
1 2
Câu3:(4đ)
a)(2đ) +) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành
|2 x −1| = 2x + 1 Giải đợc x = 0
+) Với x 0: Phơng trình đã cho trở thành
|2 x+1| = 2x + 1 Giải đợc x − 1
2
Suy ra nghiệm của phơng trình đã cho là: − 1
2 ≤ x ≤ 0
b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x2 – x + 1 = 2x hay x2 = 3x – 1
Suy ra x 0 và x3 = (3x – 1)x = 3x2 – x = 8x – 3
x4 = (8x – 3)x = 8x2 – 3x = 21x -8
Do đó B = x4− 3 x3 +18 x −1
x3− 2 x2+x+1 =
21 x −8 −3 (8 x − 3)+18 x − 1
8 x − 3− 2(3 x − 1)+x +1 =
15 x
3 x =
15
3 =5
Câu4: (3đ) Ta có x2 – 2xy + x - 2y =(x – 2y)(x + 1) 0 ⇒ x ≤ 2 y¿ ¿ vì x 0
nên x + 1 > 0)
Do đó M = x2 – 5y2 + 3x 4y2 – 5y2 + 6y = -y2 + 6y = -(y – 3)2 + 9 9
M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9
Câu5: (6đ)
a)(3đ) Ta có Δ CDE ~ Δ CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
⇒CE
CB=
CD
CA ⇒ ΔCAD ~ ΔCBE ⇒ ^A1=^B1⇒ ^E1=^D1=45 ° (Vì Δ AHD vuông
cân) ⇒ Δ ABE vuông cân ⇒ AE = AB(đfcm)
b)(3đ) Từ Δ ABE vuông cân kết hợp với GT suy ra AM BE.Kéo dài AM cắt
BC tại K Ta có: Δ AHK ~ Δ BMK ⇒ AK
BK =
HK
MK ⇒ ΔAKB ~ Δ HKM
tuyến vừa là đờng phân giác suy ra ∠BAK=45 ∘ ) ⇒∠ AHM=45 ∘
A
C
E
D K
M 1
1 1