Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm điểm đặc biệt của đồ thị hàm số | Toán học, Lớp 12 - Ôn Luyện

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung độ của điểm đó đều là số nguyên?.  Phương pháp giải:.[r]

CHỦ ĐỀ 8 ĐIỂM ĐẶC BIỆT CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

I Bài toán tìm điểm cố định của họ đường cong

Xét họ đường cong (C có phương trình m) yf x m( , ), trong đó f là hàm đa thức theo biến x với m là tham số sao cho bậc của m không quá 2 Hãy tìm những điểm cố định thuộc họ đường cong khi m thay đổi?

A B

A B C

 Nếu hệ có nghiệm thì nghiệm đó là điểm cố định của (C m)

II Bài toán tìm điểm có tọa độ nguyên:

Cho đường cong ( )C có phương trình yf x( ) (hàm phân thức) Hãy tìmnhững điểm có tọa độ nguyên của đường cong?

Những điểm có tọa độ nguyên là những điểm sao cho cả hoành độ và tung

độ của điểm đó đều là số nguyên.

o Bước 1: Thực hiện phép chia đa thức chia tử số cho mẫu số

o Bước 2: Lí luận để giải bài toán

III Bài toán tìm điểm có tính chất đối xứng:

Cho đường cong ( )C có phương trình yf x( ) Tìm những điểm đối xứng nhauqua một điểm, qua đường thẳng

Bài toán 1: Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua điểm ( , ) I x y I I

Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ M, N

Trường hợp đặc biệt : Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D Trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ.

 Gọi M a Aa , 3Ba2Ca D N b Ab ,  , 3Bb2Cb D 

là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua gốc tọa độ

 Giải hệ phương trình tìm được ,a b từ đó tìm được toạ độ , M N

Bài toán 3: Cho đồ thị  C :yAx3Bx2Cx D trên đồ thị  C tìm những cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d y: A x B1  1.

 Gọi M a Aa ; 3Ba2Ca D N b Ab ,  ; 3Bb2Cb D 

là hai điểm trên  C đối

xứng nhau qua đường thẳng d

 Ta có:

(1) d 0 (2)

(với I là trung điểm của MN và ud là vectơ chỉ

phương của đường thẳng d ).

 Giải hệ phương trình tìm được M, N

IV Bài toán tìm điểm đặc biệt khác:

Loại 2. Khoảng cách từ M x y đến tiệm cận đứng x a 0; 0  là hx0 a

Loại 3. Khoảng cách từ M x y đến tiệm cận ngang y b 0; 0  là hy0 b

Chú ý: Những điểm cần tìm thường là hai điểm cực đại, cực tiểu hoặc là

giao của một đường thẳng với một đường cong ( )C nào đó Vì vậy trước khi

áp dụng công thức, ta cần phải tìm tìm điều kiện tồn tại rồi tìm tọa độ củachúng

2.Các bài toán thường gặp:

ax b

c ad bc cx

  C có tiệm cận đứng x d c do tính chất của hàm phân thức, đồ thịnằm về hai phía của tiệm cận đứng Nên gọi hai số ,  là hai sốdương

Nếu A thuộc nhánh trái thì A A

Nếu B thuộc nhánh phải thì B B

Áp dụng bất đẳng thức Côsi (Cauchy), ta sẽ tìm ra kết quả

Bài toán 2: Cho đồ thị hàm số  C có phương trình yf x( ) Tìm tọa độ điểm M thuộc ( ) C để tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ nhỏ nhất.

Gọi M x y và tổng khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ là d thì ; 

d x  y

Xét các khoảng cách từ M đến hai trục tọa độ khi M nằm ở các vị trí

đặc biệt: Trên trục hoành, trên trục tung

Sau đó xét tổng quát, những điểm M có hoành độ, hoặc tung độ lớn hơn hoành độ hoặc tung độ của M khi nằm trên hai trục thì loại đi





; tiệm cận ngang

a y c



Ta tìm được tọa độ giao điểm ;

d a I

c c



  của hai tiệm cận

Gọi M x M;y M là điểm cần tìm Khi đó:

Câu 4. Biết đồ thị C của hàm số m y x 4 2mx2 luôn đi qua một điểm M cố định3

khi m thay đổi, khi đó tọa độ của điểm M là

A M1;1 B M1; 4 C M0; 2  D M0;3

Câu 5. Biết đồ thị C của hàm số m y (m x m1)x m m 0

 luôn đi qua một điểm M

cố định khi m thay đổi Tọa độ điểm M khi đó là

A.

11;

2

M  

53;

2

M  

 

Câu 8. Hỏi khi m thay đổi đồ thị ( C của hàm số m) y (1 2 )m x43mx2 m1 đi qua

bao nhiêu điểm cố định ?

Câu 9. Tọa độ các điểm thuộc đồ thị  C của hàm số 2 11

x y x





 mà có tổng khoảngcách đến hai đường tiệm cận của  C bằng 4 là

một điểm M x M;y M cố định khi m thay đổi, khi đó x M y bằng M

Câu 11. Cho hàm số y x3mx2 x 4m có đồ thị ( ) C và A là điểm cố định có m

hoành độ âm của (C Giá trị của m để tiếp tuyến tại A của ( ) m) C vuông m

góc với đường phân giác góc phần tư thứ nhất là

A m3 B m6 C m2 D

72

m 

Câu 12. Trên đồ thị ( )C của hàm số

22

Câu 13. Trên đồ thị  C của hàm số y x 3 5x26x có bao nhiêu cặp điểm đối3

xứng nhau qua gốc tọa độ ?







x y

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên ?

Câu 20. Trên đồ thị ( )C của hàm số

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên

x có bao nhiêu điểm có tọa độ nguyên

?

Câu 22. Tọa độ điểm M có hoành độ dương thuộc đồ thị hàm số

22

x y x







x y

x , số điểm có hoành độ lớn hơn tung độ là

Câu 25. Cho hàm số

21

x y x





 có đồ thị  C Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận

của  C Biết tọa độ điểm M x M;y M có hoành độ dương thuộc đồ thị  C

sao cho MI ngắn nhất Khi đó giá trị x M  y M bằng

Câu 29. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 12

x y x





 mà có khoảng cáchđến tiệm cận ngang của  C bằng 1 là

Câu 30. Các giá trị thực của tham số m để đồ thị ( C của hàm số m) y x 3 3x2m có

hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ là

Câu 31. Cho hàm số

31

x y x





 có đồ thị  C Gọi d là khoảng cách từ một điểm M

trên  C đến giao điểm của hai tiệm cận Giá trị nhỏ nhất có thể có của d là

Câu 32. Cho hàm số

11

x y x





 có đồ thị  C và I là giao điểm của hai đường tiệm cận

của  C Tiếp tuyến tại một điểm M bất kỳ của  C cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Diện tích của tam giác ABI bằng

Câu 33. Cho điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 71

x y x

a 

73

x 

C a  hoặc 1

73

a 

D a  hoặc 1

73

a 

Câu 34. Cho hàm số

2 32

x y x





 có đồ thị  C Gọi M là một điểm thuộc đồ thị  C và

d là tổng khoảng cách từ M đến hai tiệm cận của  C Giá trị nhỏ nhất của d cóthể đạt được là

A

163;

Câu 36. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số

2 5 153

C 1. D Không có điểm M thỏa yêu cầu.

Câu 37. Có bao nhiêu điểm thuộc đồ thị ( )C của hàm số 2

x y x





 sao cho khoảng cách

từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến của  C tại M là lớn nhất.là

x y x





 có đồ thị  C Biết rằng tiếp tuyến tại một điểm M

bất kỳ của  C luôn cắt hai tiệm cận của  C tại A và B Độ dài ngắn nhất của đoạn thẳng AB là

Câu 42. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 2 21

x y x

5 1

; 2

5 1 , 2

5 1

Câu 43. Khoảng cách ngắn nhất từ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số

2 2 21

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai tiệm cận của  C đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

x y

Câu 46. Biết đồ thị (C của hàm số m) y x 4mx2 m2016 luôn luôn đi qua hai điểm

M và N cố định khi m thay đổi Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng MN là

Câu 47. Cho hàm số

23

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai hai trục tọa độ đạt giá trị nhỏ nhất bằng ?

2 3 32

y x

42







x y

x đối xứng nhau quađường thẳng :d x 2y 6 0 là

x có đồ thị ( )C Hỏi trên ( ) C có bao nhiêu điểm có

hoành độ và tung độ là các số tự nhiên

Câu 52. Cho hàm số yx42mx2 2m1 có đồ thị (C Gọi A là điểm cố định có m)

hoành độ dương của (C Khi tiếp tuyến tại A của ( ) m) C song song với m

đường thẳng :d y16x thì giá trị của m là

A m5 B m4 C m1 D

6364

11

x y x





 có đồ thị  C Tổng khoảng cách từ một điểm M thuộc

 C đến hai tiệm cận của  C đạt giá trị nhỏ nhất bằng

Câu 55. Tọa độ điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 22

x y x

Câu 63. Tọa độ hai điểm trên đồ thị  C của hàm số yx33x sao cho hai điểm2

đó đối xứng nhau qua điểm M–1; 3 là

A 1;0 ; 1;6   B.1;0 ; 1;6    C 0; 2 ;  2; 4 D. 1;0 ; 1;6  .

Câu 64. Trên đồ thị  C của hàm số 3 1

x y

x y x





 sao cho tổngkhoảng cách từ điểm đó đến 2 tiệm cận là nhỏ nhất là

x y x





 cách đều tiệm cậnđứng và trục hoành là

A M2;1 , M4;3 B M0; 1 ,  M4;3.

C M0; 1 ,  M3; 2 D M2;1 , M3; 2 .

Câu 68. Có bao nhiêu điểm M thuộc đồ thị  C của hàm số 22

x y x





 sao cho khoảng

cách từ điểm M đến tiệm cận ngang bằng 5 lần khoảng cách từ M đến tiệm

Chúng ta có thể thế từng đáp án để kiểm tra, tức là thế tọa độ điểm M vào phương trình hàm số luôn đúng với mọi m thì điểm đó là điểm cố định.

01

10

x y

Gọi  

2 1

;1

10

x y

10

x y

x y

x y

M

M

x

M y

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình : d y x

Vì  vuông góc với d nên ta có 4 m13 1 m 3

là hai điểm trên  C đối xứng

Gọi A x x( ;A 3A 4x2A9x A4), ( ;B x x B 3B 4x2B9x B 4) là hai điểm trên ( )C đối xứng

nhau qua gốc tọa độ

Đồ thị hàm số (C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi m)

và chỉ khi tồn tại x0 0 sao cho y x( )0  y x  tồn tại ( 0) x0 0 sao cho

1,

1

m A

1 Chọn M2,3 thuộc  C Viết phương trình tiếp tuyến tại M là

d y=- x+ Khi đó A1,5 , B3,1 và IA=4,IB= 2

2 Tam giác ABI là tam giác vuông tại I Diện tích

1.IB 42

a

M a a

1

3

a a

là hai điểm trên ( )C đối

xứng nhau qua trục tung

Ta có

(1)0

Vậy có hai cặp điểm cần tìm là

163;

3

152

14

x y

02

0

0 2 0

Theo bất đẳng thức Côsi:

692)1()1(

0 2 0

9

0

2 0

2 0 2 0

Đồ thị hàm số (C có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ khi m)

và chỉ khi tồn tại x0 2 và x0 0 sao cho y x( )0  y x( 0)

 tồn tại x0 2 và x0 0 sao cho

m m

Phương trình đường trung trực đoạn AB là y = x

Những điểm thuộc đồ thị cách đều A và B có hoành độ là nghiệm của

x x x x

5 1

; 2

5 1 , 2

5 1

Câu 43. Chọn C

Gọi M x; y thuộc    C , ta có

  thuộc (C) Và MH, MK là khoảng cách từ M đến tiệm cận

đứng và tiệm cận ngang Khi đó MH x M  và 1

11

Vậy AB  48 4 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi vả chỉ khi

12017

(1; 2017)( 1; 2017)

M N

3 5

M

x d

M  

  nằm trên trục Oy Khoảng cách từ M đến hai trục là

32

d =

Xét những điểm M có hoành độ lớn hơn

32

32

Giả sử  cắt ( )C tại hai điểm phân biệt , A B Khi đó hoành độ của , A B là

nghiệm của phương trình

h x

x x

 x0  0 y0  1 M(0;1)  0 0

11

A y

Phương trình tiếp tuyến của (C tại điểm (1;0) m) A có dạng y(4m 4)(x1)hay y(4m 4)x 4 4m ( )

Vì  song song với d nên

Câu 56. Chọn A.

3

;1

2 2 01

1 01

a a a

a a

a a