Lý thuyết đạo hàm của hàm số lượng giác (mới 2022 + bài tập) toán 11

BÀI 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A LÝ THUYẾT 1 Giới hạn sinx x Định lý 1 x 0 sinx lim 1 x Ví dụ 1 Tính 2x 1 sin x 1 lim x 1 Lời giải Đặt x – 1 = t Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0 t 0 t 0 t 0 t 0[.]

BÀI 3 ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

A LÝ THUYẾT

1 Giới hạn sinx

x

Định lý 1

x 0

s inx

Ví dụ 1 Tính 2

x 1

lim

Lời giải

Đặt x – 1 = t

Khi x tiến đến 1 thì t tiến đến 0

2 Đạo hàm của hàm số y = sinx

Định lý 2

Chú ý:

Nếu y = sinu và u = u(x) thì: (sinu)’ = u’.cosu

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số y sin 2x 3 2

Lời giải

3 Đạo hàm của hàm số y = cosx

Định lý 3

Chú ý:

Nếu y = cosu và u = u(x) thì: (cosu)’ = - u’.sinu

2 3

Lời giải

2

'

y ' cos u ' u '.sin u x sin x sin x

3 vào y’ ta được:

1

3 là

1 2

4 Đạo hàm của hàm số y = tanx

Định lý 4

1 cos x

Chú ý:

Nếu y = u và u = u(x) thì: (tanu)’ = u '2

cos u

Ví dụ 4 Tính đạo hàm y 2 tanx

Lời giải

Đặt u = 2 + tanx

2

2

1

2 tan x '

y '

2 u 2 2 tanx 2 2 tanx 2.cos x 2 tanx

5 Đạo hàm của hàm số y = cotx

Định lý 5

sin x

Chú ý:

sin u

Ví dụ 5 Tính đạo hàm của hàm y = cot x2

Lời giải

2

1 sinx

2

2x sinx

6 Bảng quy tắc tính đạo hàm tổng hợp:

Đạo hàm của hàm f(x) với x là biến số Đạo hàm của hàm f(u) với u là một hàm

số

'

2

'

2

' 1 x

2 x

' u ' u

2 u

'

2

1 tan x

cos x

'

2

u ' tan u

cos u '

2

1 cot x

sin x

'

2

u ' cot u

sin u

B BÀI TẬP

Bài 1 Tính các đạo hàm sau:

a) y 3tan x2 cot 2x

b) y cos x3 4cot x

3sin x 3

c) y cos sin x2 3

sin x

Lời giải

a) 2 2 3 2 2

6 tan x

3tan x cot 2x ' cos x sin 2x cos x 2.sin x.cos x

y '

2 3tan x cot 2x 2 3tan x cot 2x 2 3tan x cot 2x

b)

2

sin x 3cos x 4 3cos x 3sin x cos x sin x

c) y' cos sin x2 3 ' 2.cos sin x cos sin x3 3 ' 2.cos sin x cos sin x 3 3 '

'

6.cos sin x sin sin x sin x.cos x

d)

'

y '

Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau đây có đạo hàm không phụ thuộc x

a) y sin x6 cos x6 3sin x cos x 2 2

Lời giải

a) y' sin x6 cos x6 3sin x cos x 2 2 '

6sin x cos x sin x cos x 6sin x cos x cos x sin x

6sin x cos x sin x cos x sin x cos x 6sin x cos x cos x sin x

6sin x cos x sin x cos x 6sin x cos x cos x sin x

6sin x cos x cos x sin x 6sin x cos x cos x sin x

0

b)

'

2 2

sin 2x sin 2x 2sin 2x

0

Bài 3 Tìm f’(2) biết f(x) = x2.sin(x – 2)

Lời giải

Ta có : f’(x) = 2x.sin(x – 2) + x2cos(x – 2)

Khi đó: f’(2) = 2.2.sin(2 – 2) + 22.cos(2 – 2)

= 4.0 + 4.1

= 0 + 4

= 4

Vậy f’(2) = 4