Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động chung

Lí do chọn đề tài Nguyên lý điểm bất động Browder và dạng tương đương của nó, bổ đềKKM được chứng minh trong không gian hữu hạn chiều.. Năm 1961, KyFan đã chứng minh một dạng tương tự củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình

HÀ NỘI, 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Quốc Bình, người thầy

đã định hướng chọn đề tài và nhiệt tình hướng dẫn để tôi có thể hoànthành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, cácthầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ vũ,động viên để tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Chúc

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự chỉ bảo và hướng dẫn của TS Trần Quốc Bình,luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Nguyên lý KKM suyrộng và các định lý điểm bất động chung” được hoàn thành bởi sựnhận thức và tìm hiểu của bản thân tác giả

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 8 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thị Chúc

1.2.3 Các định lý điểm bất động 12

2.1 Một số định nghĩa 142.2 Cấu trúc lồi trừu tượng 16

3.1 Một số chú ý 203.2 Nguyên lý KKM suy rộng và các kết quả chính 223.3 Định lý điểm bất động chung 28

Bảng kí hiệu

co(A) bao lồi của tập A

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Nguyên lý điểm bất động Browder và dạng tương đương của nó, bổ đềKKM được chứng minh trong không gian hữu hạn chiều Năm 1961, KyFan đã chứng minh một dạng tương tự của bổ đề KKM cho không gian vôhạn chiều gọi là nguyên lý ánh xạ KKM, ngày nay được xem như trungtâm của lý thuyết KKM Từ nguyên lý KKM có thể suy ra bất đẳng thức

Ky Fan (cũng được chứng minh năm 1961) và một loạt các định lý điểmbất động như Schauder, Tikhonov, Ky Fan Kể từ đó đến nay, người takhông thể kể hết số lượng bài báo mở rộng nguyên lý KKM và các hệ quảcủa nó Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống về nguyên lý KKM

và các định lý điểm bất động Tôi chọn đề tài: “Nguyên lý KKM suy rộng

và các định lý điểm bất động chung”

Trong luận văn này tôi chỉ đề cập đến hai bài báo được đăng tải gần đâytrên hai tạp chí có uy tín trên thế giới về điểm bất động và giải tích phituyến [4] [7]

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là trình bày một số kết quả nghiêncứu cơ bản về nguyên lý KMM suy rộng, bất đẳng thức Ky Fan trongkhông gian lồi trừu tượng và các định lý điểm bất động chung

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu bổ đề KKM và bấtđẳng thức Ky Fan trong không gian lồi trừu tượng và nguyên lý KKM suyrộng, các định lý điểm bất động chung trong không gian vectơ tôpô

4 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu nguyên lý KKM suyrộng và các định lý điểm bất động trong không gian tôpô

5 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp, phân tích, đánh giá và sử dụng các kiến thức cơ bản củakhông gian vectơ tôpô để nghiên cứu về nguyên lý KKM và định lý điểmbất động trong không gian vectơ tôpô

6 Đóng góp mới

Luận văn sẽ là một tổng quan về nguyên lý KKM và các định lý điểmbất động chung trong không gian vectơ tôpô

Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tôpô) Cho tậpX 6= ∅ Một họ τ ⊆ P(X)

các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu nó thỏa mãn các tínhchất sau:

i) ∅, X ∈ τ;

ii) Giao của một số hữu hạn các phần tử thuộc τ thì thuộc τ;

iii) Hợp của một họ tùy ý các phần tử thuộc τ thì thuộc τ

Khi đó (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.2 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực

X Một tôpô τ trên X được gọi là tương thích với cấu trúc đại số của X

nếu các ánh xạ + và liên tục Tức là:

(i) Với mọi x, y ∈ X và mọi lân cận W của x + y, tồn tại các lân cận U

của x, V của y sao cho U + V ⊆ W

(ii) Với mọi λ ∈ R, x ∈ X và với mọi lân cận W của λx, tồn tại ε > 0 vàlân cận V của x sao cho µV ⊆ W với mọi µ ∈ (λ − ε, λ + ε)

Khi đó, τ được gọi là tôpô tuyến tính trên X và X được gọi là một khônggian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính

Định nghĩa 1.1.3 (Tập lồi) Tập X ⊂ Rn được gọi là lồi nếu:

λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1]

Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gianvectơ tôpô X gọi là không gian lồi địa phương (và tôpô của nó gọi là tôpôlồi địa phương) nếu trong X có một có sở lân cận của gốc toàn tập lồi

Vì khi tịnh tiến một tập lồi ta lại được một tập lồi nên trong không gianlồi địa phương mỗi điểm đều có một cơ sở lân cận lồi

Ví dụ Không gian định chuẩn là một không gian lồi địa phương sinhbởi hình cầu đơn vị: V0 = {B (0; 1)} Lúc đó, cơ sở lân cận gốc tương ứng

là V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0}

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với mọicặp điểm khác nhau x1, x2 ∈ X đều có hai lân cận V1, V2 của x1, x2 saocho V1∩ V2 = ∅ (có nghĩa là, hai điểm khác nhau bao giờ cũng có thể táchđược bởi hai lân cận rời nhau) Khi đó, không gian tôpô X được gọi làkhông gian tách hay không gian Hausdorff và tôpô của nó gọi là tôpô táchhay tôpô Hausdorff

1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM

1.2.1 Bổ đề KKM

Trước hết ta nhắc lại khái niệm n-đơn hình

Cho X là một không gian vectơ, tập hợp S trong X được gọi là một nđơn hình nếu S = co {u0, u1, , un} với u0, u1, , un ∈ X và các vectơ

-u1− u0, , un− u0 là độc lập tuyến tính Các điểm ui được gọi là các đỉnh.Bao lồi của k + 1 đỉnh được gọi là k-diện của S Mỗi x ∈ S được biểu diễnduy nhất dưới dạng:

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề KKM) (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz,1929)Cho một n-đơn hình S = co {u0, u1, , un} trong Rn và các tập hợpđóng F0, F1, , Fn trong S thỏa mãn điều kiện: với mọi tập hợp con I ⊂{0, 1, , n} ta có

Với mỗi x ∈ S ta có x = (x0, x1, , xn) và y = T x = (y0, y1, , yn) Vớimỗi i = 0, 1, , n ta đặt Fi = {x ∈ S : xi ≥ yi} Do T liên tục nên các Fi

đều đóng Ta sẽ chứng minh các Fi thỏa mãn điều kiện (KKM)

Lấy I ⊂ {0, 1, , n} và x ∈ co {ui : i ∈ I} Vậy x = (x0, x1, , xn) với

xi = 0 nếu i /∈ I và xi > 0 nếu i ∈ I và y = (y0, y1, , yn) với yi ≥0,

để cho x ∈ Fi0, tức là xi0 ≥ yi0 Giả sử ngược lại rằng xi < yi với mọi

i ∈ I Khi đó ta gặp mâu thuẫn:

Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian

vô hạn chiều và là trung tâm của lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản vàquan trọng của giải tích phi tuyến

Trước khi phát biểu nguyên lý ánh xạ KKM, chúng ta định nghĩa ánh xạKKM

Định nghĩa 1.2.1 (Ánh xạ KKM)

Cho C là một tập hợp trong không gian vectơ tôpô, ánh xạ đa trịF : C →

2X được gọi là ánh xạ KKM nếu với mọi tập hữu hạn A trong C ta có

co(A) ⊂ F (A), (KKM)

ở đây F (A) = S

F (x)

Nguyên lý ánh xạ KKM (Ky Fan, 1961) Cho C là một tập hợp trongkhông gian vectơ tôpô Hausdorff X, F : C → 2X là một ánh xạ KKM vớigiá trị đóng Khi đó với mọi tập hữu hạn A ⊂ C ta có:

con tuyến tính củaX sinh bởi{x1, x2, , xn}và dlà một khoảng cách trên

L tương thích với tôpô cảm sinh từ X Kí hiệu ∆ = co {x1, x2, , xn}.Đặt G(xi) = F (xi)T

L, i = 1, 2, , n Với mỗi x ∈ ∆, đặt αi(x) =d(x, G(xi))

G(xi) = ∅ Do đó với mỗi x ∈ ∆, tồn tại một i

sao cho x /∈ G(xi), suy ra αi(x) > 0 do G(xi) đóng Vậy ta có thể đặt

µi(x)ui, do∆lồi ta được một ánh xạ liên tụcT : ∆ → ∆ ⊂ L

với L hữu hạn chiều

Theo định lý Brouwer, tồn tạix∗ ∈ ∆màx∗ = T x∗ ĐặtI = {i : µi(x∗) > 0},

Mặt khác, vì với mọi i ∈ I ta có αi(x∗) > 0 nên x∗ ∈ G(x/ i) Vì x∗ ∈ L

nên x∗ ∈ F (x/ i) với mọi i ∈ I, tức là x∗ ∈/ S

i∈I

F (xi), ta gặp mâu thuẫn,

vậy nguyên lý được chứng minh

Để ý rằng trong nguyên lý trên ta chỉ khẳng định Tx∈AF (x) 6= ∅ vớimọi A hữu hạn trong C Tính chất này thường được phát biểu là "họ

{F (x) : x ∈ C} có tính chất giao hữu hạn" Muốn có kết quả mạnh hơn:T

x∈C F (x) 6= ∅ ta phải thêm một trong hai giả thiết sau:

a) C là tập hợp hữu hạn, hoặc

b) tồn tại x0 ∈ C sao cho F (x0) compắc

Khi đó chỉ việc thay mỗi F (x) bởi F (x) ∩ F (x0) ta được một họ tập hợpđóng trong một tập hợp compắc Lúc này, để ∩x∈CF (x) 6= ∅ chỉ cần đòihỏi tính giao hữu hạn của họ {F (x) : x ∈ C}

Một hệ quả quan trọng của nguyên lý ánh xạ KKM, được sử dụng rộngrãi trong giải tích phi tuyến là một bất đẳng thức do Ky Fan chứng minhnăm 1961

Định lý 1.2.2 (Ky Fan, 1961 ) ChoX là không gian vectơ tôpô Hausdorff,

C là một tập hợp lồi, compắc trong X, f : C × C → R là một hàm số thỏa

mãn các điều kiện sau:

i) f (x, y) tựa lõm theo x với mỗi y cố định;

ii) f (x, y) nửa liên tục dưới theo y với mỗi x cố định;

iii) f (x, x) ≤ 0 với mọi x ∈ C

Khi đó, tồn tại y∗ ∈ C sao cho f (x, y∗) ≤ 0 với mọi x ∈ C

Chứng minh Kết luận của định lý (gọi là bất đẳng thức Ky Fan) đượcsuy ra từ nguyên lý ánh xạ KKM như sau

Với mỗi x ∈ C đặt F (x) = {y ∈ C : f (x, y) ≤ 0} Vì hàm f nửa liên tụcdưới theo y nên F (x) là tập hợp đóng

Ta sẽ kiểm tra điều kiện KKM bằng phản chứng Giả sử tồn tạix1, x2, , xn ∈

Vì f (x, y) tựa lõm theo biến thứ nhất nên tập hợp {z ∈ C : f (z, x) > 0}

là lồi Tập hợp này chứa mọi xi nên cũng chứa x =

f (x, x0) ≤ 0 với mọi x ∈ C

Từ đây ta được kT x0 − x0k = min{kT x0 − xk : x ∈ C} Định lý đã đượcchứng minh

Hai định lý sau là hệ quả của Định lý 1.2.3

Định lý 1.2.4 (Định lý Schauder, 1930 ) Mọi ánh xạ liên tục từ một tậphợp lồi, compắc của một không gian định chuẩn vào chính nó đều có điểmbất động

Chứng minh Trong 1) cho x = T x0 ta được kT x0 − x0k = 0, tức là

T x0 = x0 và hệ quả được chứng minh

Định lý 1.2.5 (Định lý điểm bất động Tikhonov,1935) Cho C là một tậphợp lồi, compắc trong không gian lồi địa phương tách (X, P ), T : C → C

là ánh xạ liên tục Khi đó T có điểm bất động

Trong chứng minh bổ đề KKM, tính đóng của các tập hợp{F0, F1, , Fn}

là bắt buộc Điều bất ngờ ở đây là tính đóng có thể thay bằng tính mở

Đó là nội dung của Định lý Shih mà ta trình bày dưới đây

Định lý 1.2.6 (Định lý Shih) Cho C là một tập hợp lồi trong một khônggian vectơ tôpô tách, A là một tập con hữu hạn của C, G : A → 2C là mộtánh xạ KKM với giá trị mở Khi đó, T

x∈A

G(x) 6= ∅

Định nghĩa 2.1.1 Cho cặp (Y, C), C là một họ tập con của Y, được gọi

là cấu trúc lồi trừu tượng nếu:

1) ∅, Y ∈ C;

2) C là đóng với giao tùy ý : T

A∈D

A ∈ C với mỗi họ D ⊂ C

Khi đó cặp (Y, C) gọi là không gian lồi trừu tượng

Định nghĩa 2.1.2 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, bao lồi coC

được định nghĩa bởi:

coC(A) =T

{D ∈ C : A ⊂ D}, ∀A ⊂ Y

Định nghĩa 2.1.3 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập concủa Y và cho F : X → 2Y là ánh xạ đa trị F được gọi là có giá trị lồi nếuvới mỗi x ∈ X, F (x) là lồi (nghĩa là với mỗi x ∈ X và tập con hữu hạn

bất kì {y0, y1, , yn} ⊂ F (x), coC{y0, y1, , yn} ⊂ F (x)) Cho Y là khônggian tôpô, F được gọi là có giá trị khác rỗng (tương tự, giá trị compắc)nếu với mỗi x ∈ X, F (x) khác rỗng (tương tự, compắc).

Định nghĩa 2.1.4 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập concủa Y và F : X → 2X là ánh xạ đa trị F được gọi là có giá trị lồi yếunếu với mỗi x ∈ X và tập con hữu hạn bất kì {y0, y1, , yn} ⊂ F (x),

coC{y0, y1, , yn} ⊂ F (x) với mỗi x ∈ coC{y0, y1, , yn}

Chú ý 2.1.1 Dễ thấy F có giá trị lồi thì F có giá trị lồi yếu

Định nghĩa 2.1.5 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập concủa Y

i) F : X → 2X là ánh xạ KKM nếu với mỗi A ∈ hXi, F thỏa mãn

iii) F : X → 2X là ánh xạ Fan-Browder yếu nếu F có giá trị lồi yếu và cónghịch ảnh mở tương đối trong X

Định nghĩa 2.1.6 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập concủa Y

F : X → 2Y với giá trị đóng có tính chất giao hữu hạn (tức T

x∈A

F (x) 6= ∅

với mỗi A ∈ hXi)

X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder (viết tắt FBFP)nếu với mọi ánh xạ Fan-Browder F : X → 2X với giá trị khác rỗng cóđiểm bất động

X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder mạnh (viết tắt

SFBFP) nếu với mỗi ánh xạ Fan-Browder yếu F : X → 2X với giá trịkhác rỗng có điểm bất động.

Định lý 2.1.1 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập concompắc của (Y, C) Khi đó, X là KKMP khi và chỉ khi nó là SFBFP

Phần này nghiên cứu cấu trúc lồi trừu tượng qua ánh xạ nửa liên tụctrên và thiết lập được một vài định lý tổng quát hóa của bổ đề KKM dựatrên cấu trúc tính lồi này

Cho N = {0, 1, 2, , n}, ∆n = e0e1 en là đơn hình tiêu chuẩn n chiều,

Y với T (x) ⊆ U (tương ứng, T (x)T

U 6= ∅) tồn tại lân cận mở V của x

sao cho T (x0) ⊆ U (tương ứng, T (x0)T

U 6= ∅) với mọi x0 ∈ V

T được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên X nếu T là nửaliên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm của X

T liên tục tại x nếu T vừa liên tục trên vừa liên tục dưới tại x

T được gọi là đóng nếu Gr(T ) = {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ T (x), x ∈ X} làtập con đóng của X × Y

Định nghĩa 2.2.2 ChoY là tập compắc của không gian tôpô Cho∆n =

e0e1 en là đơn hình tiêu chuẩn và cho q : ∆n → 2Y là ánh xạ đa trị Nếuvới mỗi ánh xạ liên tục p : Y → ∆n (gọi là ánh xạ đơn hình), tồn tại

x0 ∈ ∆n sao cho x0 ∈ p.q (x0) Ta nói rằng q có tính chất điểm bất động

đối với ∆n và ánh xạ đơn hình p.

Bổ đề 2.2.1 Cho Y là không gian metric, và {F0, F1, , Fn} họ các tậpcon đóng của Y Nếu tồn tại ánh xạ nửa liên tục trên q : ∆n → 2Y saocho:

Định nghĩa 2.2.3 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng Nếu với mỗi

tập con hữu hạn{y0, y1, , yn} ⊂ Y và đơn hình tiêu chuẩn ∆n = e0e1 en,

tồn tại ánh xạ đa trị q : ∆n → 2Y sao cho:

q (∆J) ⊂ coC{yj : j ∈ J }, ∀J ⊂ N = {0, 1, 2, , n}

q có tính chất điểm bất động đối với ∆n và ánh xạ đơn hình Khi đó (Y, C)

được gọi là có tính chất Hq

Định lý 2.2.1 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con của

Y F : X → 2Y là ánh xạ KKM với giá trị đóng Nếu Y là không gian

metric và (Y, C) có tính chất Hq thì {F (y) : y ∈ X} có tính chất giao hữu

Bổ đề 2.2.2 Cho Y là tập compắc của không gian tôpô và ∆n = e0e1 en

là đơn hình tiêu chuẩn Nếu p : Y → ∆n liên tục và ánh xạ q : ∆n → 2Y

là nửa liên tục trên với giá trị khác rỗng, đóng và co rút được, khi đó tồntại e ∈ ∆n sao cho e ∈ p.q (e) Khi đó, q có tính chất điểm bất động đốivới ∆n và ánh xạ đơn hình.

Hệ quả 2.2.1 Cho Y là không gian tôpô compắc hoặc không gian metric.Cho {F0, F1, , Fn} là họ các tập con đóng của Y Nếu tồn tại ánh xạ nửaliên tục trên q : ∆n → 2Y có giá trị khác rỗng, đóng và co rút được saocho q (∆J) ⊂ S

tồn tại ánh xạ nửa liên tục trên q : ∆n → 2Y với giá trị khác rỗng, đóng

và co rút được sao cho:

q(∆J) ⊂ coC{yj : j ∈ J }, ∀J ⊂ N = {0, 1, , n}

Khi đó (Y, coC) được gọi là có tính chất H0q

Chú ý 2.2.1 Từ bổ đề (2.2.2) ta có nếu (Y, coC) có tính chất H0q thì

(Y, coC) có tính chất Hq

Từ Định lý (2.2.1) ta có trường hợp đặc biệt sau

Định lý 2.2.2 Cho(Y, coC) là không gian lồi trừu tượng, cho X là tập concủaY và cho F : X → 2Y là ánh xạ KKM với giá trị đóng Nếu Y là khônggian tôpô compắc và (Y, coC) có tính chất H0q Khi đó, {F (x) : x ∈ X} cótính chất giao hữu hạn và vì vậy X có tính chất điểm bất động Fan-Browdermạnh

Trước hết, ta có một số chú ý sau

Định nghĩa 3.1.1 Cho X là tập khác rỗng tùy ý và Y là tập con khácrỗng của không gian vectơ E Ánh xạ đa trị T : X → 2Y gọi là ánh xạKKM suy rộng nếu với bất kì tập con hữu hạn khác rỗng {x1, x2, , xn}

của X tồn tại tập hữu hạn {y1, y2, , yn} ⊆ Y sao cho co {yi : i ∈ I} ⊆

S

i∈IT (xi) với mỗi tập con khác rỗng I của {1, 2, , n}

Bổ đề 3.1.1 Cho X và Y là không gian tôpô Hausdorff, T : X → 2Y làánh xạ đa trị

i) Nếu T là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị đóng khác rỗng thì T

đóng;

ii) Nếu Y là không gian compắc và T đóng thì T là nửa liên tục trên;