Mở rộng định lý điểm bất động caristi

Năm2013, nhà toán học người Hàn Quốc Seong-Hoon Cho đã mở rộng định lý điểm bất động Caristi và ứng dụng định lý đó vào nguyên lý biến phân Ekeland và định lý phần tử cực đại.. Với mong

NGUYỄN THỊ QUYẾT

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CARISTI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, 2016

NGUYỄN THỊ QUYẾT

MỞ RỘNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CARISTI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS HÀ ĐỨC VƯỢNG

HÀ NỘI, 2016

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới

sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến TS Hà Đức Vượng,

người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tác giả hoàn

thành luận văn này

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn

thể các Thầy, Cô giáo khoa Toán đặc biệt là chuyên ngành Toán Giải tích,

Phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy và

giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu

Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè

đã cổ vũ, động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành

luận văn này

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Quyết

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, luận văn

chuyên ngành Toán giải tích với đề tài: Mở rộng định lý điểm bất động

Caristi do tôi tự làm

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa

những thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Các kết quả trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 7 năm 2016

Tác giả

Nguyễn Thị Quyết

1.3 Nguyên lý biến phân Ekeland 24

Bảng kí hiệu

T : X → X Ánh xạ T từ không gian X vào không gian X

d(x, y) Khoảng cách giữa hai phần tử x và y

C[a,b] Tập các hàm số liên tục trên đoạn [a, b]

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Một tập hợp khác rỗng X tùy ý và ánh xạ T : X → X, nếu có phần tử

x0 ∈ X thỏa mãn T x0 = x0 thì x0 được gọi là điểm bất động của ánh xạ

T trênX Ví dụ như ánh xạ T : R → R xác định bởiT x = ex − 1 Khi đó

x = 0là một điểm bất động của T trên R Các kết quả nghiên cứu về lĩnhvực này đã hình thành nên Lý thuyết điểm bất động (fixed point theory)

Lý thuyết điểm bất động có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của

khoa học kỹ thuật nói chung và toán học nói riêng Các kết quả về điểm

bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, như Định lý điểm bất

động Brouwer (1912), Nguyên lý ánh xạ co Banach(1922),

Năm 1976, Caristi đã công bố một kết quả quan trọng về điểm bất động

như sau:

Cho(X, d)là một không gian metric đầy đủ, hàm sốϕ : X → (−∞, +∞]

là nửa liên tục dưới và bị chặn dưới Ánh xạ T : X → X thỏa mãn

d(x, T x) ≤ ϕ(x) − ϕ(T x), ∀x ∈ X

Khi đóT có điểm bất động trong X

Sau đó nhiều nhà toán học đã nghiên cứu và có những kết quả mở rộng

định lý này như D Downing, W A Kirk (1977), J S Bae, E W Cho, S.

H Yeom(1994), W.A Kirk (2009), A Amini - Harandi (2010)

Năm2013, nhà toán học người Hàn Quốc Seong-Hoon Cho đã mở rộng

định lý điểm bất động Caristi và ứng dụng định lý đó vào nguyên lý biến

phân Ekeland và định lý phần tử cực đại Kết quả được công bố trong bài

báo: " Some generalizations of Caristi’s fixed point theorem with

applica-tions "đăng trên tạp chí Internatinal Journal of Mathematics [4]

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về định lý điểm bất động Caristi và

kết quả mở rộng của nó, được sự hướng dẫn của TS Hà Đức Vượng, tôi

chọn đề tài nghiên cứu: "Mở rộng định lý điểm bất động Caristi" làm luận

văn cao học

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu về định lý điểm bất động Caristi, các kết quả mở rộng của

định lý điểm bất động Caristi

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại kết quả về điểm bất động của Caristi và các kết quả mở

rộng của định lý này

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về " Mở rộng của định lý điểm bất động Caristi " dựa trên

bài báo "Some generalization of Caristi’s fixed point theorem with

applila-5 Phương pháp nghiên cứu

Phân tích, tổng hợp các kiến thức liên quan tới mục đích nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Qua đề tài này chúng tôi sẽ xây dựng luận văn là bài tổng quan về sự mở

rộng của định lý điểm bất động Caristi

Luận văn gồm hai chương nội dung:

Chương 1, Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày

một số kiến thức cơ bản về không gian metric, định lý điểm bất động

Caristi và nguyên lý biến phân Ekeland

Chương 2, Mở rộng định lý điểm bất động Caristi Trong chương này

chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi mở rộng Sau đó, chúng

tôi trình bày nguyên lý biến phân kiểu Ekeland và định lý phần tử cực đại

cho ánh xạ đa trị được xem như ứng dụng của định lý điểm bất động Caristi

mở rộng

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về không

gian metric, không gian metric đầy đủ cùng với các ví dụ và phản ví dụ

minh họa

Cuối cùng chúng tôi trình bày định lý điểm bất động Caristi và nguyên

lý biến phân Ekeland trong không gian metric

1.1 Không gian metric

Khi đó cặp(X, d) được gọi là không gian metric Sốd(x, y)gọi là khoảng

cách giữa hai phần tửxvày Các phần tử củaX gọi là các điểm của không

gian

Ta có(X, d)là một không gian metric.

Chứng minh. Ta kiểm trad lần lượt thỏa mãn định nghĩa 1.1.1

nên (1.1) đúng

Trường hợp 2: x = y 6= z thì d(x, y) = 0 Ta có 0 < d(x, z) + d(z, y) nên(1.1) đúng

Trường hợp 3: x = z 6= y thì d(x, z) = 0,

d(x, y) ≤ d(z, y) = d(x, y)

nên 2|x−y| + 2|z−y| > 2|x−y|.

Vậyd là một metric và cặp(X, d) là một không gian metric

Định nghĩa 1.1.2 [3] Cho(X, d)là một không gian metric, dãy{xn}gồmcác phần tử trong X

Dãy{xn} được gọi là hội tụ tới một điểm x0 ∈ X nếu

Định nghĩa 1.1.3 [3] Cho không gian metric (X, d).

Dãy{xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu

lim

n,m→∞d (xn, xm) = 0

Tức là

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0 : d (xn, xm) < ε

Nhận xét 1.1.1 Cho(X, d)là một không gian metric Mọi dãy hội tụ trong

X đều là dãy Cauchy.

Thật vậy, giả sử {xn} ⊂ X mà lim

n→∞xn = x0 Ta chứng minh {xn} làdãy Cauchy

Vì lim

n→∞xn = x0 nên tồn tại số tự nhiênn0 sao cho

d(xn, x0) < ε

2, ∀n ≥ n0.d(xm, x0) < ε

Định nghĩa 1.1.4 [3] Không gian metric(X, d)gọi là đầy đủ nếu mọi dãy

Cauchy đều hội tụ tới một điểm thuộc X

Ví dụ 1.1.2 Tập hợp tất cả các hàm số thực xác định và liên tục trên[a, b],

kí hiệu C[a,b], với metric

d(x, y) = max

a≤t≤b|x (t) − y(t)|

là không gian metric đầy đủ.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử {xn(t)} là một dãy Cauchy tùy ý trongkhông gian C[a,b]

Theo định nghĩa dãy Cauchy ta có:

∀ε > 0, ∃n0 ∈ N∗, ∀m, n ≥ n0

thì

d(xn, xm) = max

a≤t≤b|xn(t) − xm(t)| < ε (1.2)Điều đó chứng tỏ, với mỗi t cố định, dãy {xn(t)} là dãy số thực Cauchy,nên nó hội tụ tức là phải tồn tại giới hạn lim

n→∞xn(t).Giả sử

lim

n→∞xn(t) = x(t), t ∈ [a, b]

Ta nhận được hàm số x(t)xác định trên [a, b]

Vì các bất đẳng thức (1.2) không phụ thuộc t nên cho qua giới hạn khi

m → ∞, ta được:

|xn(t) − x (t)| < ε, ∀n ≥ n0, ∀t ∈ [a, b] (1.3)

[a, b] nên x(t) ∈ C[a,b]

Do đó dãy Cauchy{xn(t)}hội tụ đến x(t)trong không gian C[a,b]

Vậy không gianC[a,b] là không gian metric đầy đủ

Ví dụ 1.1.3 Cho C[0,1]L là tập hợp tất cả các hàm liên tục trên đoạn [0, 1] Khi đóC[0,1]L là không gian metric không đầy đủ với metric được xác định như sau

Vậyd là một metric trên C[0,1]L Do đóC[0,1]L là một không gian metric.

Ta chứng minh C[0,1]L là không gian metric không đầy đủ với metric được

Thật vậy, với n ≥ 3xét dãy hàm {xn} ⊂ C[0,1]L như sau

|m − n|

t − 12

nt − n

2 − 1