Về sự tồn tại điểm bất động trong không gian kiểu b mêtric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THẾ HUẾ VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Vinh, 2018... BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ HUẾ

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Vinh, 2018

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THẾ HUẾ

VỀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN KIỂU b-MÊTRIC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 8 46 01 02

Người hướng dẫn khoa họcPGS TS ĐINH HUY HOÀNG

Vinh, 2018

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Vinh, PhòngĐào tạo Sau Đại học trường Đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tựnhiên - Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thờigian học tập và thực hiện luận văn

Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích thuộc Viện

Sư phạm Tự nhiên - Đại học Vinh đã giảng dạy giúp đỡ tôi trong quá trìnhhọc tập

Đặc biệt, tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS

TS Đinh Huy Hoàng, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tôi trongquá trình học tập cũng như quá trình thực hiện đề tài

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn ba mẹ, anh chị em và những người thân cũngnhư bạn bè, đồng nghiệp đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt thời gian họctập và nghiên cứu

Nghệ An, tháng 7 năm 2018

Tác giả

Nguyễn Thế Huế

Mục lục

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 51.2 Không gian kiểu b-mêtric 7

2.1 Về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ tựa co và T-co yếu 112.2 Về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ ψ − ϕ − co 25

LỜI MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Nguyên lý Banach về sự tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co

trong không gian b-mêtric đầy đủ (1992), có nhiều ứng dụng trong giải tíchcùng nhiều ngành khác của toán học và kỹ thuật Vì thế việc mở rộng nguyên

lý Banach đã và đang được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiêncứu Người ta thường mở rộng nguyên lý này theo các hướng sau Thứ nhất làxây dựng các lớp không gian rộng hơn lớp không gian mêtric và chứng minhnguyên lý Banach vẫn đúng trong các lớp không gian này Thứ hai là giảmnhẹ điều kiện co để được lớp các ánh xạ rộng hơn lớp các ánh xạ co và chứngminh nguyên lý Banach vẫn đúng cho lớp ánh xạ này Thứ ba là kết hợp cảhai hướng nói trên

Lớp không gian b-mêtric và sự tồn tại điểm bất động trong lớp không giannày đã được đưa ra và nghiên cứu bởi S.Czerwik [7] Sau đó, nhiều nhà toánhọc đã tìm cách mở rộng các kết quả về sự tồn tại điểm bất động trong khônggian mêtric cho không gian b-mêtric Vào năm (2014), Z.Mustafa và các cộng

sự [9] đã mở rộng các kết quả của Kannan [9], Chatterjea [3], Choudhury [5],Moradi [8] và Razami, Parvaneh [12] về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ

co kiểu Kannan, Chatterjea, T-co yếu suy rộng kiểu Kannan, Chatterjea trongkhông gian mêtric cho không gian b-mêtric Vào năm 2012, A.Harandi [9], giớithiệu khái niệm không gian kiểu mêtric và một số kết quả về điểm bất độngtrông không gian này Sau đó, vào năm 2013, M.A.Alghamdi và các cộng sự[2] đã tổng quát hóa khái niệm không gian kiểu mêtric và không gian b-mêtricbằng cách đưa ra khái niệm không gian kiểu b-mêtric và một số kết quả về sựtồn tại điểm bất động trong không gian kiểu b-mêtric Sau đó, vấn đề về sựtồn tại điểm bất động trong không gian kiểu b-mêtric đã được nhiều nhà toán

học quan tâm nghiên cứu và thu được nhiều kết quả ([2, 4, 9, 12]) Vấn đềđặt ra ở đây là một số kết quả về điểm bất động trong các không gian mêtric,

b-mêtric có thể mở rộng cho không gian kiểub-mêtric được hay không? Để giảiquyết vấn đề này, chúng tôi tiếp cận lý thuyết điểm bất động, tìm hiểu khônggian kiểu b-mêtric và sự tồn tại điểm bất động trong không gian này Với mụcđích đó, chúng tôi chọn đề tài luận văn là “Về sự tồn tại điểm bất độngtrong không gian kiểu b-mêtric”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của cácánh xạ trong không gian kiểu b-mêtric Xem xét một số kết quả về sự tồn tạiđiểm bất động của các ánh xạ T-co trong không gian mêtric và b-mêtric có mởrộng cho không gian kiểu b-mêtric được hay không?

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận văn là không gian kiểu b-mêtric sự tồn tạiđiểm bất động của các ánh xạ co, ánh xạ T-co, ánh xạ T-co suy rộng trongkhông gian kiểu b-mêtric

4 Phương pháp nghiên cứu

Dựa vào một số kết quả đã có về sự tồn tại điểm bất động trong khônggian mêtric và b-mêtric, rồi dùng phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa đểtìm ra kết quả cho không gian kiểu b-mêtric

5 Cấu trúc của luận văn

Luận văn gồm 2 chương

Chương 1 trình bày lại một số kiến thức cơ bản đã có trong tài liệu thamkhảo về không gian mêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, không gian kiểu b-mêtric, ví dụ và một số tính chất của không gian kiểu b-mêtric

Chương 2 là kết quả chính của luận văn Trong chương này, chúng tôi đưa

ra một số kết quả mới về sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ tựa co, T-coyếu và của ánh xạ ψ − ϕ − co trong không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, đó là cácĐịnh lý 2.1.3, 2.1.5, 2.2.1 và các Hệ quả 2.1.6, 2.1.7, 2.1.8, 2.1.9, 2.1.10, 2.2.2,trong đó Hệ quả 2.1.6 là Định lý 2.1 trong tài liệu [4], Hệ quả 2.2.2 là Định lý 5trong tài liệu [11]

Xin chân thành cảm ơn!

Chương 1

Không gian kiểu b-mêtric

Chương này trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chất cơ bản củakhông gian kiểu b-mêtric làm cơ sở cho việc trình bày chương 2

1.1 Một số kiến thức chuẩn bị

Mục này trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản về không gianmêtric, giới hạn trên, giới hạn dưới, mà chúng được dùng trong luận văn.1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sửE là một tập hợp khác rỗng vàd : E × E → R.

Hàm d được gọi là mêtric trên E nếu

1) d(a, b) ≥ 0 với mọi a, b ∈ E;

2) d(a, b) = 0 ⇔ a = b;

3) d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b) với mọi a, b, c ∈ E;

4) d(a, b) = d(b, a) với mọi a, b ∈ E

Tập E mà trên đó đã xác định được một mêtric d được gọi là không gianmêtric và kí hiệu bởi (E, d) hoặc E

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Giả sử {an} là dãy số thực bị chặn, khi đó tồn tại

Chú ý Trong tài liệu này ta viết ∞ thay cho +∞.

1.1.3 Bổ đề ([1]) Với mọi dãy số thực {an}, ta có:

1.1.5 Bổ đề Giả sử f : R −→ R là hàm đơn điệu tăng và liên tục, {an}

là dãy bị chặn trong R, khi đó:

1.2 Không gian kiểu b-mêtric

Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa, ví dụ và một số tính chấtcủa không gian kiểu b-mêtric

1.2.1 Định nghĩa ([7]) Giả sử E là một tập hợp khác rỗng và số thực

k ≥ 1 Hàm d: E × E −→R được gọi là b-mêtric trên E nếu

1) d(a, b) ≥ 0 với mọi a, b ∈ E;

Lớp các không gian b-mêtric thực sự rộng hơn lớp các không gian mêtric

Ví dụ sau đây chứng minh điều đó

1.2.2 Ví dụ ([7]) 1) Giả sử (E, ρ) là không gian mêtric Ta xác định hàm

d : E × E −→ [0, ∞) bởi

d(a, b) = (ρ(a, b))2, ∀a, b ∈ E

Khi đó, d là b-mêtric với k = 2.

2) Giả sử E = R và trên R ta xét mêtric thông thường Ta xác định hàm

được gọi là kiểu b-mêtric trên E nếu tồn tại tham số k ≥ 1 sao cho với mọi

a, b, c ∈ E, các điều kiện sau đây được thỏa mãn:

(i) D(a, b) ≥ 0;

(ii) D(a, b) = 0 ⇒ a = b;

(iii) D(a, b) ≤ k[D(a, c) + D(c, b)] (Bất đẳng thúc tam giác);

(iv) D(a, b) = D(b, a)

Khi đó, cặp (E, D) được gọi là không gian kiểu b-mêtric với tham số k Nếu

(E, D) là không gian kiểu b-mêtric với k = 1 thì nó được gọi là không giankiểu mêtric

1.2.4 Ví dụ ([2]) Giả sử E = [0, ∞) Hàm D : E2 −→ [0, ∞) xác định bởi

D(a, b) = (a + b)2 ∀a, b ∈ E

Khi đó (E, D)là một không gian kiểub-mêtric với tham số k = 2 Mặt khác

(E, D) không phải là không gian b-mêtric hay kiểu mêtric Thật vậy, với mọi

Bởi vậy, iii) đúng và rõ ràng i) và ii) đúng Do đó (E, D) là không gian kiểu

b-mêtric với k = 2

Từ D(1, 1) = 4 suy ra (E, D) không là không gian b-mêtric

Từ

D(1, 2) = 9 ≥ 5 = D(1, 0) + D(0, 2)

suy ra (E, D) không là không gian kiểu mêtric

1.2.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử {an} là một dãy trong không gian kiểu

b-mêtric (E, D) Điểm a ∈ E được gọi là giới hạn của dãy {an} nếu

lim

n→∞D(a, an) = D(a, a)

Khi đó, ta nói rằng {an} hội tụ về a và kí hiệu là an → a khi n → ∞ hoặc

lim

1.2.6 Định nghĩa ([2]) Giả sử (E, D) là một không gian kiểu b-mêtric

1) Dãy {an} được gọi là dãy Cauchy nếu lim

hạn

2) Không gian kiểu b-mêtric được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy {an}

trong E đều hội tụ về a thuộc E sao cho

lim

n→∞D(an, a)

1.2.7 Bổ đề ([2]) Giả sử (E, D) là một không gian kiểub-mêtric với tham

số k ≥ 1 và {an} là một dãy trong E sao cho lim

n→∞D(an, a) = 0, khi đó:1) a là duy nhất

2) 1

kD(a, b) ≤ limn→∞D(an, b) ≤ kD(a, b), ∀b ∈ E

1.2.8 Bổ đề ([2]) Giả sử (E, D) là một không gian kiểu b-mêtric và

{an}ni=0 ⊂ E, khi đó

D(an, a0) ≤ kD(a0, a1) + + kn−1D(an−2, an−1) + kn−1D(an−1, an)

1.2.9 Định nghĩa Giả sử (E, D) là không gian kiểu b-mêtric với tham số

k ≥ 1 và T : E −→ E

1) ([4]) Ánh xạ T được gọi là liên tục nếu với mọi dãy{an} ⊂ E màan → a

thì lim

n→∞D(T an, T a) = D(T a, T a)

2) Ánh xạ T được gọi là hội tụ dãy con nếu {an} là dãy trong E sao cho,

{T an} là dãy hội tụ thì tồn tại dãy con {ani} của {an} và a ∈ E thỏamãn ani → a và D(T a, T a) = 0

3) Ánh xạ T được gọi là hội tụ dãy nếu {an} là dãy trong E sao cho dãy

{T an} hội tụ thì tồn tại a ∈ E sao cho an → a và D(T a, T a) = 0

4) Nếu T a = a thì a được gọi là điểm bất động của T trong E

Ở đây và sau này ta viết T a thay cho T (a)

D(f a, f b) ≤ r max {D(a, b), D(a, f a), D(a, f b), D(b, f a), D(b, f b)}

với mọi a, b ∈ E

3) Ánh xạ f được gọi là T-co nếu tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho

D(T f a, T f b) ≤ rD(T a, T b), ∀a.b ∈ E

4) Ánh xạ f được gọi là T-co yếu nếu tồn tại r ∈ [0, 1) và ϕ ∈ Φ1 sao cho

D(T f a, T f b) ≤ rD(T a, T b) − ϕ(D(T a, T b))

với mọi a, b ∈ E, trong đó

Φ1 = {ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞), ϕ liên tục, không giảm, ϕ(t) = 0 ⇔ t = 0}

Hằng số r trong các định nghĩa trên được gọi là hằng số co

2.1.2 Nhận xét Từ định nghĩa ta suy ra các mối quan hệ sau:

Nếu ánh xạ f là co Banach thì f là tựa co

Nếu ánh xạ f là co Banach thì f là T-co với T : E −→ E là ánh xạđồng nhất

2.1.3 Định lí Giả sử (E, D) là không gian kiểu b- mêtric đầy đủ vớitham số k ≥ 1, f : E −→ E Khi đó, nếu f là ánh xạ tựa co với hằng số

1

k2



sao cho

D(f a, f b) ≤ r max {D(a, b), D(a, f a), D(a, f b), D(b, f a), D(b, f b)} (2.1)

∀a, b ∈ E thì f có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Lấy a0 ∈ E và đặt an = f an−1 với n = 1, 2, Nếu tồn tại n

sao cho D(an, an+1) = 0 thì D(an, f an) = 0 Suy ra an là điểm bất động của

f Do đó, ta có thể giả thiết D(an, an+1) 6= 0 với mọi n = 1, 2, Khi đó, vớimọi n ≥ 1 ta có

D(an, an+1) = D(f an−1, f an)

≤ r max{D(an−1, an), D(an−1, f an−1),D(an−1, f an), D(an, f an−1), D(an, f an)}

= r max{D(an−1, an), D(an−1, an+1),D(an, an), D(an, an+1)} (2.2)

max {D(an−1, an), D(an−1, an+1), D(an, an), D(an, an+1)}

= max {D(an−1, an), D(an−1, an+1), D(an, an+1)} ∀n = 1, 2,

≤ r max{kD(an−1, an) + k2D(an, am) + k2D(am, am−1),kD(an−1, an) + kD(an, am), kD(am−1, am) + kD(am, an),D(an−1, an), D(am−1, am)}

≤ rkD(an−1, an) + k2D(am−1, am) + k2D(an, am)

≤ kD(a, an+1) + kr max{D(an, a), D(an, f an),

D(an, f a), D(a, f an), D(a, f a)}

≤ kD(a, an+1) + kr max{D(an, a), D(an, an+1), kD(an, a)

+ kD(a, f a), D(a, an+1), D(a, f a)}

≤ kD(a, an+1) + kr[kD(an, a) + kD(a, f a) + D(a, an+1)], ∀n ≥ 1

Như vậy a là điểm bất động của f.

Giả sử b cũng là điểm bất động của f trong E, tức b = f b Khi đó, ta có

Do đó D(a, b) = 0, tức là a = b Vậy điểm bất động của f là duy nhất

2.1.4 Chú ý Từ đây về sau ta luôn giả thiết T : E → E là ánh xạ liêntục và đơn ánh

2.1.5 Định lí Giả sử (E, D) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ và f :

E → E là ánh xạ sao cho tồn tại các số không âm r1, r2, r3 và tồn tại

ϕ ∈ Φ1 thỏa mãn các điều kiến sau

với mọi a, b ∈ E Khi đó

1) Với mỗi a0 ∈ E, dãy {T fna0} hội tụ

2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất

3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi a0 ∈ E, dãy {fna0} hội tụ tớiđiểm bất động của f.

Chứng minh 1) Lấy a0 ∈ E và xác định dãy {an} bởi

+ r3k[D(bn, bn+1) + D(bn−1, bn)] − ϕ(D(bn, bn−1))

≤ r1kD(bn, bn−1) + r2k[D(bn, bn−1) + D(bn−1, bn)+ D(bn−1, bn) + D(bn, bn+1)] + r3k[D(bn, bn+1)+ D(bn−1, bn)] − ϕ(D(bn, bn−1))

= k(r1 + 3r2 + r3)D(bn, bn−1)+ k(r2+ r3)D(bn+1, bn) − ϕ(D(bn, bn−1)), (2.8)với mọi n = 1, 2, Do đó

Kết hợp với k(r1 + 4r2 + 2r3) ≤ 1 suy ra ϕ(c) = 0 Theo tính chất của ϕ thì

c = 0, tức lim

n→∞D(bn, bn+1) = 0

Với mọi  ≥ 0, vì lim

n→∞D(bn, bn+1) = 0 nên tồn tai số tự nhiên n sao cho,với mọi n ≥ n ta có

D(bn, bn+1) < min



3(k + 1),

k2(k + 1)ϕ



3(k + 1)



(2.9)Tiếp theo, ta chứng minh khẳng định sau: (G) Nếu với mọi n0 ≥ n mà

D(bn, b0) <  với mọi n > n thì D(bn+1, bn0) < .Thật vậy từ điều kiện (2.7) và bất đẳng thức tam giác suy ra rằng

D (bn+1, bn0) = D (T f an, T f an0−1)

≤ kD(T f an, T f an0) + kD(T f an0, T f an0−1)

≤ kD(an0+1, bn0) + k2r1D(bn, bn0)+ kr2[D(bn, bn0+1) + D(bn0, bn+1)]

+ k2r3[D(bn, bn+1) + D(bn0, bn0+1)] − kϕ(D(bn, bn0))

≤ k(1 + kr3)D(bn0, bn0+1) + k2r1D(bn, bn0)+ k2r2[D(bn, bn0) + D(bn0, bn0+1) + D(bn0, bn) + D(bn, bn+1)]+ k2r3D(bn, bn+1) − kϕ(D(bn, bn0))

= k(1 + kr2 + kr3)D(bn0, bn0+1)+ k2(r1 + 2r2)D(bn, bn0)

+ k2(r2 + r3)D(bn, bn+1) − kϕ(D(bn, bn0))

≤ k



1 + 1k



D(bn0, bn0+1) + D(bn, bn0)+ D(bn, bn+1) − kϕ(D(bn, bn0)) ∀n ≥ n (2.10)Trường hợp 1 Giả sử

3(k + 1) < .

Trường hợp 2 Giả sử

3(k + 1) ≤ D(bn, bn0) < 

Khi đó, từ (2.10) và tính không giảm của ϕ suy ra

D(bn+1, bn0) <  + k

2ϕ



3(k + 1)



− kϕ



3(k + 1)



< 

Như vậy khẳng định (G) được chứng minh

Bây giờ, ta chứng minh {bn} là dãy Cauchy Cố định n0 ≥ n Khi đó,

Như vậy bn → b, tức T fna0 → b Khẳng định 1) được chứng minh

2) Giả sử T là ánh xạ hội tụ dãy con Khi đó, vì {T f an} = {bn+1} làdãy hội tụ nên tồn tại dãy con {f ani} của {f an} sao cho f ani → a ∈ E và

Mặt khác, T f an → b, D(b, b) = 0 và {T f ani} là dãy con của {T f an} nên

+ k2r3[D(b, T f a) + D(bn, bn+1)] − kϕ(D(b, bn))

≤ k(1 + r2)D(bn+1, b) + k2r1D(b, bn)+ k2r2[D(bn, b) + D(b, T f a)]

+ k2r3[D(b, T f a) + D(bn, bn+1)] − kϕ(D(b, bn))

= k(1 + r2)D(bn+1, b) + k2(r1 + r2)D(b, bn)+ k2(r2+ r3)D(b, T f a) + k2r3D(bn, bn+1)

− kϕ(D(b, bn)) ∀n = 1, 2,

Cho n → ∞ ta được

D(b, T f a) ≤ k2(r2 + r3)D(b, T f a)

Từ bất đẳng thức này và điều kiện (2.5) ta có D(b, T f a) = 0, tức b = T f a

hay T a = T f a Vì T đơn ánh nên a = f a Vậy a là điểm bất động của f.Cuối cùng ta chứng minh a là điểm bất động duy nhất của f Giả sử a0

cũng là một điểm bất động của f khi đó

kD(a, b) − ϕ(D(a, b)) ∀a, b ∈ E,

trong đó ϕ ∈ Φ1 Khi đó, f có duy nhất điểm bất động

2.1.7 Hệ quả Giả sử (E, D) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ và f :

E −→ E là ánh xạ sao cho tồn tại ϕ ∈ Φ1 và các hằng số không âm

λ, r1, r2, r3 thảo mãn (2.4), (2.5), (2.6) và với mọi a, b ∈ E, ta có

D(T f a, T f b) ≤ r1kD(T a, T b) + r2[D(T a, T f b) + D(T b, T f a)]

+ r3k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)]

Khi đó:

1) Với mỗi a0 ∈ E, dãy {T fna0} hội tụ

2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất.3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi a0 ∈ E, dãy {fna0} hội tụ tớiđiểm bất động của f

(Φ1 = {ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞), ϕ liên tục, không giảm, ϕ(t) = 0 ⇔ t = 0})

2.1.8 Hệ quả Giả sử (E, D) là không gian kiểu b-mêtric đầy đủ, f : E −→

E là ánh xạ sao cho tồn tại các hằng số không âm s1, s2, s3 thỏa mãn:

và với mọi a, b ∈ E ta có

D(T f a, T f b) ≤ s1kD(T a, T b) + s2[D(T a, T f b) + D(T b, T f a)]

+ s3k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)] (2.16)Khi đó:

1) Với mỗi a0 ∈ E, dãy {T fna0} hội tụ

2) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy con thì f có điểm bất động duy nhất.3) Nếu T là ánh xạ hội tụ dãy thì với mỗi a0 ∈ E, dãy {fna0} hội tụ tớiđiểm bất động của f

Chứng minh Sử dụng (2.13), (2.14), (2.15) ta có thể tìm được r1, r2, r3 saocho 0 ≤ si < ri, với i = 1, 2, 3, và các bất đẳng thức (2.4), (2.5), (2.6) đượcthỏa mãn Ta xác định hàm ϕ : [0, ∞) −→ [0, ∞) bởi

+ (r3− s3)k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)])

≤ r1kD(T a, T b)+ r2[D(T a, T f b) + D(T b, T f a)]

+ r3k[D(T a, T f a) + D(T b, T f b)]

− ϕ((r1 − s1)kD(T a, T b))

với mọia, b ∈ E Vì với (r1− s1)k > 0nên các điều kiện của Hệ quả 2.1.7 đượcthỏa mãn Sử dung Hệ quả 2.1.7 ta có điều cần phải chứng minh