phương trình chứa mu logarit

eeeee

Học trò hỏi sao ở mỗi bài toán thầy luôn có hai câu hỏi:

Câu 1: Tại sao cách giải lại như vậy?

Câu 2: Em hãy nghĩ ra một hoặc vài bài toán tương tự.

Tôi trả lời:

Câu 1: Với mục đích "Khơi dậy Tư duy".

Câu 2: Với mục đích "Khơi dậy óc sáng tạo".

Em có được “Tư duy và Sáng tạo” tôi hoàn thành việc dạy học.

LÊ HỒNG ĐỨC và VƯƠNG DANH THÁI 0936546689

Email: lehongduc39@gmail.com

nhomcumon68@gmail.com

"Mục tiêu đích thực của bất cứ ai mong muốn trở thành

người thầy không phải là truyền đạt ý kiến mình mà là

khơi dậy tư duy"

Frederick William Roberson

11 CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN

MŨ VÀ LÔGARIT (Phù hợp với HS 12, 13)

CÁC CƠ SỞ BỒI DƯỠNG CỦA NHÓM CỰ MÔN

Cơ sở 1: SN 20 − Ngõ 86 Tô Ngọc Vân − Tây Hồ − Hà Nội.

Cơ sở 2: SN 5/99 − Ngõ 22 Tôn Thất Tùng − Đống Đa − Hà Nội.

Cơ sở 3: SN 11/98 − Ngõ 72 Tôn Thất Tùng − Đống Đa − Hà Nội.

Đ 1 p hơng trình mũ và lôgarit

GIớI THIệU

Kể từ năm 2002 đến nay, đề thi đại học mụn toỏn cú bài toỏn về phương trỡnh chứa mũ và lôgarit:

Bài 1 (Đề thi đại học − Khối B năm 2007): Giải phương trỡnh:

2 1− + 2 1+ −2 2 0.=

Bài 2 (Đề thi đại học − Khối D năm 2010): Giải phương trỡnh:

2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4

4 + + +2 =4 + + +2 + −

Bài 3 (Đề thi đại học − Khối A năm 2006: Giải phương trỡnh:

3.8x + 4.12x− 18x− 2.27x = 0

Bài 4 (Đề thi đại học − Khối D năm 2006): Giải phương trỡnh:

x x x x 2x

2 + −4.2 − −2 + =4 0

Bài 5 (Đề thi đại học − Khối D năm 2013): Giải phương trỡnh:

2

1

2

Bài 6 (Đề thi đại học − Khối A năm 2008): Giải phương trỡnh:

log2x − 1(2x2 + x − 1) + logx + 1(2x − 1)2 = 4

Bài 7 (Đề thi đại học − Khối D năm 2007): Giải phương trỡnh:

( x x )

1

−

Bài 8 (Đề thi đại học − Khối D năm 2002): Cho phơng trình

x log 2

3 + log 2 x 1

3 + − 2m − 1 = 0

a Giải phơng trình với m = 2

b Tìm m để phơng trình có ít nhất 1 nghiệm thuộc [1, 3 3]

ĐịNH HƯớNG

Nhận thấy:

1 Bài 1 thuộc Dạng phương trỡnh chứa 1 căn bậc hai.

2 Bài 2 thuộc Dạng phương trỡnh chứa 2 căn bậc hai.

3 Bài 3 thuộc Dạng phương trỡnh chứa 2 căn cú bậc khỏc nhau.

4 Bài 4, bài 5 thuộc Dạng phương trỡnh chứa nhiều căn.

5 Bài 6, bài 7 thuộc Dạng phương trỡnh chứa tham số.

Từ đú, để cung cấp cho cỏc em học sinh một giỏo trỡnh gọn nhẹ với đầy đủ kiến thức, bài giảng này sẽ được chia thành 5 phần (5 dạng phương trỡnh)

 Vớ dụ đầu tiờn ở mỗi phần rất quan trọng, bởi nú sẽ cung cấp cỏc phương phỏp để giải

 Hoạt động sau mỗi vớ dụ chớnh là bài tập.

Tham khảo thờm cuốn sỏch:

−

do LÊ HỒNG ĐỨC chủ biên.

2 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ VÔ TỈ” − NXB Đại học Sư Phạm

do LÊ HỒNG ĐỨC chủ biên

I Phơng trình mũ

Ví dụ 1: (Đề thi đại học − Khối B năm 2007): Giải phương trỡnh:

2 1− + 2 1+ −2 2 0.=

Đánh giá và định hớng thực hiện: Bằng nhận xét:

( 2 1− )( 2 1+ =) 1

các em học sinh có thể thấy ngay rằng phơng trình đã cho sẽ giải đợc bằng

t

 Giải

Nhận xét rằng:

( 2 1− )( 2 1+ =) 1

t

Phơng trình đợc biến đổi về dạng:

1

t

+ − = 2

⇔ − + =

 = +

⇔ 

= −



x x

 − = +



⇔ 

− = −



x 1

= −



⇔  =

Vậy, phơng trình có hai nghiệm là x = ±1

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trỡnh:

Ví dụ 2: (Đề thi đại học − Khối A năm 2006): Giải phương trỡnh:

3.8x + 4.12x− 18x− 2.27x = 0

Đánh giá và định hớng thực hiện: Nhận xét rằng 8x = 23x, 12x = 3x.22x, 18x =

32x.2x, 27x = 33x do đó bằng chia hai vế của phơng trình cho 8x hoặc 27x chúng ta

sẽ nhận đợc một phơng trình bậc ba ẩn

x

3

 

=  ữ 

x

2

3

 

= ữ >

  .

Và với phơng trình bậc ba các em học sinh cần có kiến thức trong việc nhẩm nghiệm để thực hiện phân tích đa thức thành nhân tử

 Giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

3x 2x x

  +   −  − =

 ữ  ữ  ữ

      .

Đặt

x

2

3

 

= ữ >

  ta đợc phơng trình:

3t3 + 4t2− t − 2 = 0 ⇔ (t + 1)(3t2 + t − 2) = 0 ⇔ t 2

3

=

x

 

⇔  ữ =

 

⇔ x = 1

Vậy phơng trình có nghiệm x = 1.

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trỡnh:

Ví dụ 3: (Đề thi đại học − Khối D năm 2006): Giải phương trỡnh:

x x x x 2x

2 + −4.2 − −2 + =4 0

Đánh giá và định hớng thực hiện: Dựa vào cách đánh giá hệ số cùng số mũ, chúng ta có thể thấy ngay rằng phơng trình sẽ đợc giải bằng cách chuyển nó về dạng tích , cụ thể:

(2x 2 + x −22x) (− 4.2x 2 − x − =4) 0 ⇔ 22x(2x 2 − x− −1) (4 2x 2 − x − =1) 0 (22x 4 2) ( x 2 − x 1) 0

⇔ − − =

 Giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

(2x 2+x −22x) (− 4.2x 2−x − =4) 0 ⇔ 22x(2x 2−x− −1) (4 2x 2−x − =1) 0 (22x 4 2) ( x 2−x 1) 0

2x

x x

 =

⇔ 

=

2x 2

=



⇔  − =



x 1

x 0

=



⇔  =

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0 và x = 1

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trỡnh:

Ví dụ 4: (Đề thi đại học − Khối D năm 2010): Giải phương trỡnh:

2x x 2 x 2 x 2 x 4x 4

4 + + +2 =4 + + +2 + −

Đánh giá và định hớng thực hiện: Trớc tiên, chúng ta dễ biến đổi đợc phơng trình về dạng tích, cụ thể:

(42x + x 2 + −42 + x 2 + )+(2x 3−2x 3 + − 4x 4)=0

( ) 3( )

2 x 2 2x 2 x 4x 4

( ) 3( )

4 2 x 2 4x 4 x 4x 4

(24x 4 − 1 2) ( 4 2 x 2 + + 2x 3) 0

3

4x 4

4 2 x 2 x

−

+ +

 − =

⇔ 

− =

4x 4

4 2 x 2 x

−

+ +

 =

⇔ 

=



Ta lần lợt:

 Với phơng trình (1) ta sẽ nhận ngay đợc nghiệm x

 Với phơng trình (2) thì đợc biến đổi về dạng:

3

Đây thuộc dạng cơ bản f =g nhng không thể sử dụng phơng pháp biến

đổi tơng đơng bởi khi đó sẽ nhận đợc một phơng trình bậc 6

Hớng 1: Sử dụng phơng pháp hàm số với điều kiện:

x3− 4 ≥ 0 ⇔ ≥x 3 4

Xét hàm số g(x) 2 x 2 x= + − +3 4 trên tập D=3 4;+ ∞), ta

có:

2

1

x 2

= − + < 0, ∀x∈D

⇒ g(x) nghịch biến trên D

Vậy, phơng trình sẽ có nghiệm duy nhất x = 2

Hớng 2: Biến đổi phơng trình về dạng tích, trong hớng lựa chọn này nhân

tử chung chỉ có thể xuất hiện khi thực hiện các phép trục căn thức Và nh vậy, các em học sinh cần có kĩ năng nhẩm đợc nghiệm x0 của phơng trình thì mới có thể đa ra đợc phép tách phù hợp

Với các bài toán kiểu này x0 đợc chọn sao cho x0+ ∈2 Ơ Nhận thấy rằng x0 = 2 nên ta có phép tách:

2 x 2 2+ − =x −8 2 x 2 4( ) 3

x 2 2

+ −

+ +

2 x 2

x 2 2

−

+ +

2

x 2 0 2

x 2x 4 (2 ')

x 2 2

− =





⇔  = + +

 + +



Tới đây, các em học sinh hãy sử dụng phơng pháp đánh giá để giải phơng trình (2’)

 Giải

Điều kiện x ≥−2

Biến đổi phơng trình về dạng:

(42x+ x 2+ −42+ x 2+ )+(2x 3−2x 3+ −4x 4)=0

( ) 3( )

2 x 2 2x 2 x 4x 4

( ) 3( )

4 2 x 2 4x 4 x 4x 4

(24x 4− 1 2) ( 4 2 x 2+ + 2x 3) 0

3

4x 4

4 2 x 2 x

−

+ +

 − =

⇔ 

− =

4x 4

4 2 x 2 x

−

+ +

 =

⇔ 

=



Ta lần lợt:

 Với phơng trình (1) thì:

4x − 4 = 0 ⇔ 4x = 4 ⇔ x = 1, thoả mãn điều kiện

 Với phơng trình (2) ta có thể lựa chọn một trong các cách giải sau:

Cách 1: Ta có:

3

4 2 x 2 x+ + = ⇔ 2( x 2 2+ − =) x3−8

2 x 2 4

x 2 2

+ −

+ +

2 x 2

x 2 2

−

+ +

x 2 2

x 2x 4 (2 ')

x 2 2

=





⇔  = + +

 + +



Nhận xét rằng:

(2') (2')

≤



 ≥

 ⇒ Phơng trình (2’) vô nghiệm.

Cách 2: Ta có:

3

4 2 x 2 x+ + = ⇔ x 2 x+ = 3−4 ⇔ x 2 x+ − + =3 4 0 (*)

Điều kiện:

x3− 4 ≥ 0 ⇔ ≥x 3 4

Xét hàm số g(x) 2 x 2 x= + − +3 4 trên tập D=3 4;+ ∞), ta có:

2

1

x 2

= − + < 0, ∀x∈D ⇒ g(x) nghịch biến trên D.

Do đó, phơng trình (*) sẽ có nghiệm duy nhất x = 2

Vậy, phơng trình có hai nghiệm x = 1 và x = 2

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trỡnh:

Ví dụ 5: Giải phơng trình:

Đánh giá và định hớng thực hiện:

 Giải

HOẠT ĐỘNG 1: Giải phương trỡnh: