CHUONG 5 PHUONG TRINH BAT PHUONG TRINH MU LOGARIT BAT DANG THUC.. KIEN THUC CAN NHO... Ta chứng minh x = 1 duy nhất trong phương trình *: Vế trái là hàm số tăng.
Trang 1CHUONG 5
PHUONG TRINH BAT PHUONG TRINH MU LOGARIT
BAT DANG THUC
|IBÀI 1
PHƯƠNG TRÌNH BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ
I KIEN THUC CAN NHO
A Phương trình mũ:
b>0
f(x) = log?
2 Đưa về cùng cơ số: Biến đổi phương trình về dang:
a1) _ àŒ) (1)
Nếu a là một số đương và khác 1 thi: (1) © f(x) = g(x)
1 Dạng cơ bản: với ocala be]
a>0
(a— I)[f(x) — g(œ)|=0
Lưu ý khi giải (2) phải cĩ điều kiện để f(x) và g(x) xác định
3 Logarit hố hai vế: Biến đổi phương trình về dạng:
afŒ) =b#fŒ) (#) với 0<a,bzl
Ta cé: (*) & f(x) loga = g(x).logb vdi O<c#1
Nếu cơ số a thay đổi thì: (1) (2)
4 Đặt ẩn phụ: Cĩ thể đặt t= a7,t>0 với a thích hợp để đưa phương
trình mũ về phương trình đại số Lưu ý những cặp số là nghịch đảo của
nhau như 42 +1,
5 Đốn nghiệm và chứng minh nghiệm đĩ là duy nhất Một số phương
trình được giải bằng cách tìm một nghiệm đặc biệt và dùng tính chất
hàm số mũ để chứng minh nghiệm đĩ là duy nhất
B BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ:
Ta cĩ thể dùng các phương pháp biến đổi như phương trình mũ và các cơng thức sau:
Nếu a > 1 thì: af?) > a#£ & f(x) > g(x)
af) >a#) — ƒ(x) > g(x) Nếu 0< a< I thì: a2 > a$CJ f(x) < g(x)
afŒ >a#) —f(x) <ø(x) Ì
Tổng quát ta cĩ:
a>0
af 5 8 oy
(a~ D[fŒœ) - g()]>0
a>0 afŒ) » 80) ¿—
(a~Đ[f(x)—g()]>0
H CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ I1:
Giải phương trình: (2 — V3)" +(2+ V3)* = 4*
(Học viện cơng nghệ bưu chính viễn thơng năm 1998)
Giải
(2-V3)* +(2+ ¥3)* =4* =2" | =1 (1)
<1
<l, và 0<
Nhận xét: x = 1 14 nghiệm của (1), ta chứng minh x = 1 duy nhất
Vì 0<
Vế trái là hàm số mũ giảm
Vế phải là hàm hằng
—=x= I duy nhất
Trang 2Vi du 2:
Gidi phuong trinh: 4¥*? +16=10.2%*" (®)
(DH Hang Hai nam 1998)
Giải
Điều kiện: x—2 >0 <> x>2
Vậy nghiệm phương trình: x=11v x=3
Ví dụ 3:
Giải phương trình: (3-42)? +(\3 +A42)* =(V5)*
(ĐH Ngoại Thương Hà Nội năm 1997)
Giải
Ta có: (J3—J2)” + (3+2) =(\5)
* Xétx< 0: Vế trái = (3-42)? +(43 +A2)* >1> vế phải
* Xét x>0: vế trái > vế phải
= Phương trình vô nghiệm
Ví dụ 4:
Cho phương trình: (3+2A/2)#* +(3-2A2)*#* =m()
1 Giải phương trình khi m = 6
2 Xác định m để phương trình (1) có đúng 2 nghiệm trong khoảng
(ĐH Quốc Gia TPHCM (Luật) năm 1996)
_5
2127
t=34+2/2
t=3-242
.t=3 +202 23+ 22) =3+22 © tgx=l € x= + kx (kez)
.t=3 ~22/2:(3+2AJ2)J#*=3—2J2=—L——
3+242
=@+242)
Stgx=-l©x=- 7 +k'n (k'ez)
Theo cau 1: Ta cé: t++ =m.©IỞ =mt+I=0 (3) (t>0)
vi xe[~5s2 J2 xeR —=t=(+242) >0
(1) có đúng 2 nghiệm xe (-4.) © (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt
dương
A>0_ |m °-4>0
©‡4p>0 ©41>0(hiển nhiên) ©m >2
s>0 m>0 Vậy m >2 thì (1) có 2 nghiệm e (4.2)
Ví dụ 5:
x
Giải bất phương trình: 2* <32 +1 (1)
Trang 3BY
Dat f(x) = (2 + [;] là hàm số giảm vì cơ số a < 1 (a >0) và
2) = 1
(2)<=Sf(2)<f(x)<=x<2
Vậy nghiệm của bất phương trình là x < 2
Ví dụ 6:
Giải bất phương trình: 25Ý* +5 < 5Ỷ**1! ¿ s⁄*
(ĐH DÂN LẬP NN - TH năm 1998)
Giải
Ta có: 25Ý* 45.5% 4.5% Điều kiện x>0
o> (5¥%)? 5.59% 54% + s5 <0 (1)
Đặt t=5 (>0)
()©t-6t+5<0<>l<t<5
©1<5⁄* <5œ0<AX<l«©0<x<l
Vi du 7:
Gidi bat phuong trinh: 2* +27* <9
(DH Kỹ thuật Công Nghệ năm 1998) Giải
2% +2°* <9 2% +2°2™ <9 >2*+—-9<0 (1)
2
Dat t=2* (t>0)
()©t+C~9<0G~91+8<01<t<§
22° <2* <P S0K<xK<3
II BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
1.1 Tìm tất cả các nghiệm thuộc đoạn “70 của phương trình:
A£0s2X 4 4008 X =3
(ĐH Kiến Trúc Hà Nội năm 1998)
1.2 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình sau đây nghiệm
đúng với mọi x >0
(3m +1).12* +(2— m).6Š +3” <0
(Học viện công nghệ bưu chính viễn thông năm 1999)
1.3 Xác định các giá trị của m để bất phương trình sau đây có nghiệm:
4* —m.2*+m+3<0
(ĐH Y DƯỢC TPHCM năm 1999)
1.4 Giải phương trình:
2*!T~4*=x-—]
(ĐH Ngoại Thương năm 1997)
1.5 a Giải bất phương trình:
(=) v3(3) “>12 (*)
b Dinh m để mọi nghiệm của (*) đều là nghiệm của:
Trang 4HUONG DAN VA GIAL TOM TAT
1.1 4oos2x 4 4008 X = 3(1) VỚI xe 335
4 2
Ta có: cos2x=2cos” x—l
() c>42cos x-I + 4057 X =3 es 42008 X gol + 405” X -3=0 (1)
Dat t=4°°° * (t> 0)
()<S—+t-3=0<©t+4t-lI2=0<© ;
t=2: 4° * =2 6 (2cos* x)? =2 22" * =2
2
<>2cos XE 9GB x= 5 cos = eo x= Fyn | Tử ở |
1.2 Gm +1).12* +(2—m).6* +3* <0 (1)
<= (3m +1).4* +(2-m).2* +1<0 (*)
Dat t=2*(t>0) vix>O>t>1l
(*) 2 Bm+4 Dt? +(2-—m)t+1<0 (**)
(1) đúng Vx>0<>(**) đúng Vt >]
(**) © Bt? —t)m <-t? -2t-1
om< arate) — DĐ q#-t>o@
(t?7 +2t+1)
Dat f(t)=— ~ (t>1)
t
7t +6t—]
BBT:
2
>m<minf(t)=—-2om<-2
1.3 4% —m.2%+m+3<0 (1)
Dat t=2* (t>0)
(ot? —mt+m+3<0
2
t ˆ” <m (khi t> 1)
©tf+3<m(t—1)(tzl)© ›
U +3 m (khi 0<t<Ð)
t? +3 ( tf—2t—3
BBT:
f0 + 0 -|- ||- 0+
Trang 5
1.4, 2%! 4% =x-1
= 4* -2.2* =-x+1
©2*(2*-2)=-x+l (*)
Nhận thấy x = 1 là nghiệm của (*) Ta chứng minh x = 1 duy nhất trong phương trình (*):
Vế trái là hàm số tăng
Vế phải là hàm số giảm = x = I duy nhất
©tf+t-l2>0<©t<-4vt>3 (loại)
v6it>3 > 3 >3<>3 *>3c©-—>l<—+]l<ÔO0
©x(x+l)<0<-l<x<0
b Đặt f(x)=2x” +(m+2)x+2—3m
BBT:
f(x) f(x) <0, Vxe (—1,0)
1 f(-1) <0 24m <0 m 25 =X S-1<0sx,