Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán Phương trình và hệ lượng giác

Chuyên đề giải đề thi đại học dạng toán "Phương trình và hệ lượng giác"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”

GIẢI ĐỀ THI ĐẠI HỌC THEO CHUYÊN ĐỀ

PHƯƠNG TRÌNH

VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Email: nhomcumon68@gmail.com

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

Phơng trình

và hệ phơng trình lợng giác

Các phơng trình lợng giác rất đa dạng không thể có một công thức chung nào để giải mọi phơng trình lợng giác, bởi vậy cần thiết sử dụng các phép biến đổi lợng giác thông thờng để đa phơng trình ban đầu về các dạng cơ bản Chúng ta đa ra một nguyên tắc chung thờng dùng khi giải phơng trình lợng giác

Thông thờng phải thực hiện các việc sau:

 Nếu phơng trình chứa nhiều hàm lợng giác khác nhau thì biến đổi tơng đơng

về phơng trình chỉ chứa một hàm

 Nếu phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tơng

đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một cung

Sau khi biến đổi nh trên nếu phơng trình nhận đợc không có dạng quen thuộc thì có thể đi theo hai hớng:

Hớng thứ nhất:

Biến đổi phơng trình đã cho để đa về việc giải các phơng trình đơn giản quen thuộc Các phơng pháp biến đổi theo hớng này gồm có:

Phơng pháp đặt ẩn phụ

Để đa phơng trình về việc giải một phơng trình đại số

Thí dụ: Giải phơng trình

2sin22x = 5cos2x + 5

Lời giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

2cos22x + 5cos2x + 3 = 0

Đặt t = cos2x, điều kiện t  1, ta đợc

2t2 + 5t + 3 = 0  t 1

t 3 / 2(loại)





 



Phơng pháp hạ bậc

Nếu phơng trình cần giải có bậc cao thì dùng công thực hạ bậc để biến đổi về bậc thấp hơn

Thí dụ: Giải phơng trình sin6x + cos6x = 5

8

Lời giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

(sin2x)3 + (cos2x)3 = 5

8 cos4x = 0

Phơng pháp biến đổi thành phơng trình tích.

Thí dụ: Giải phơng trình

sin2x + sin4x = 2cosx

Lời giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

2sin3x.cosx = 2cosx  2cosx(sin3x1) = 0  cos x 0

sin 3x 1







Phơng pháp tổng các số hạng không âm.

Thí dụ: Giải phơng trình

2sinx2 2 sinx + 3tan2x2 3tan2x + 2 = 0.

Lời giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

( 2sinx1)2 + ( 3tan2x1)2 = 0 

2 sin x

2 1 tan 2x

3











Phơng pháp đánh giá dùng để giải các phơng trình không mẫu mực.

Thí dụ: Giải phơng trình

2

x

3 = cosx

Lời giải

Ta có x2  0  x 2

3  30 = 1  cosx

Suy ra phơng trình đã cho tơng đơng với hệ:

2

x

cos x 1







2







 x = 0

Vậy, phơng trình có nghiệm x = 0

Phơng pháp hàm số: Sử dụng các tính chất của hàm số để giải phơng trình Thí dụ: Giải phơng trình 2cosx2sinx = sinxcosx

Lời giải

Biến đổi phơng trình về dạng:

2cosx + cosx = 2sinx + sinx

Xét hàm số f(t) = 2t + t đồng biến trên R

Vậy, phơng trình đợc viết dới dạng:

f(cosx) = f(sinx)  cosx = sinx  x =

4



+ k, k  Z.

Hớng thứ hai:

Dùng lập luận khẳng định phơng trình cần giải là vô nghiệm

Thí dụ: Giải phơng trình sinx + cosx = tanx + cotx. (1)

Lời giải

Vế trái của (1) ta có:

sinx + cosx  = 2 sin x

4





Vế phải của (1) ta có tanx + cotx   2

Vậy, phơng trình (1) là vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phơng trình:

(sin 2x  cos 2x)cos x  2cos 2x  sin x = 0

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình sẽ đợc giải bằng cách chuyển về dạng tích, và với định hớng này chúng ta cần tạo ra đợc nhân tử chung Nhận xét rằng :

2cos 2x  sin x không thể có nhân tử chung với (sin 2x  cos 2x)cos x

Do đó, cần tổ hợp lại các toán tử trong phơng trình, cụ thể:

(cos 2x.cos x  2cos 2x) + (sin2x.cosx  sin x) = 0

 (cos 2x.cos x  2cos 2x) + (2cosx.sinx  sin x) = 0

 (cosx + 2)cos2x + (2cos2x – 1)sinx = 0

Tới đây, ta đã có đợc nhân tử chung là cos2x bởi 2cos2x – 1 = cos2x

lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

(cos 2x.cos x  2cos 2x) + (sin2x.cosx  sin x) = 0

 (cosx + 2)cos2x + (2cos2x – 1)sinx = 0

 (cosx + 2)cos2x + sinx.cos2x = 0  (cosx + sinx + 2)cos2x = 0





 cos2x = 0 2x k

2



Vậy, phơng trình có một họ nghiệm

Ví dụ 2: Giải phơng trình:

1 sin x co s 2x sin x

1 4

cos x





 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này (chứa tanx và chứa ẩn ở mẫu) ta thực hiện thông qua các bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể:













 





(*)

Tới đây, các em học sinh có thể dừng lại hoặc giải tiếp hệ điều kiện

đó tuỳ thuộc vào biến đổi nháp của bớc 2

Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình

ban đầu về dạng phơng trình lợng giác cơ bản, từ đó nhận đợc nghiệm cho phơng trình theo k  

Cụ thể, với phơng trình này chúng ta cần khử mẫu số và công việc

sẽ đợc bắt đầu bằng các đánh giá sau:

 Với phơng trình hỗn hợp chứa sin, cos và tan (hoặc cot) thì thông thờng ta cần chuyển đổi tan (hoặc cot) về dạng sin và cos,

ta có:

si n x

cos x

cos x





 Với phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm l-ợng giác của một cung, ta có:

1



 Nh vậy, chúng ta đã nhận đợc phơng trình dạng:

Và tới đây, các em học sinh có thể tiếp tục theo một trong hai hớng biến đổi:

Hớng 1: Sử dụng công thức góc nhân đôi biến đổi (1) về dạng

ph-ơng trình bậc hai theo một hàm số lợng giác, cụ thể:

2

2sin x sin x 1 0. 

Hớng 2: Sử dụng phơng trình lợng giác cơ bản, cụ thể:

2



Các em học sinh cần lựa chọn hớng biến đổi để tối u cho bớc 3

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó kết luận về nghiệm của phơng trình

lời giải chi tiết: Điều kiện:













 





(*) Biến đổi phơng trình về dạng:

4

cos x

si n x 1 cos x





sin x cos x 1 sin x  co s 2x

1 cos x sin x

sin x co s 2x 0

2

sin x 1 (loại)

1 sin x

2











7

6













Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm



Chú ý: Một vài các em học sinh biến đổi phơng trình (1) nh sau:

co s 2xsin x co s 2x co s x

2



2

2







 





2







 

  



Nh vậy, vô tình sẽ phải thực hiện thêm việc kiểm tra điều kiện (*) cho các trờng hợp k = 0, k = 1, k = 2

Ví dụ 3: Giải phơng trình:

sin2x  cos2x + 3sinx  cosx  1 = 0

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình sẽ đợc giải bằng cách chuyển về dạng tích, và với định hớng này chúng ta cần tạo ra đợc nhân tử chung Nhận thấy rằng phơng trình cha có nhân tử chung đơn nên cần sử dụng một vài phép biến đỏi dựa trên kinh nghiệm:

"Nếu phơng trình chứa các hàm lợng giác của nhiều cung khác nhau thì

biến đổi tơng đơng về phơng trình chỉ chứa các hàm lợng giác của một cung".

Ta có:

2sinx.cosx  (2cos2x  1) + 3sinx  cosx  1 = 0

 2sinx.cosx  2cos2x + 3sinx  cosx = 0  Không khả thi

hoặc:

2sinx.cosx  (1  2sin2x) + 3sinx  cosx  1 = 0

 2sinx.cosx + 2sin2x + 3sinx  cosx  2 = 0

 (2sinx.cosx  cosx) + 2sin2x + 3sinx  2 = 0

 (2sinx  1)cosx + (2sinx  1)(sinx + 2) = 0

Tới đây, ta đã có đợc nhân tử chung là 2sinx  1

lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

2sinx.cosx  (1  2sin2x) + 3sinx  cosx  1 = 0

 (2sinx.cosx  cosx) + 2sin2x + 3sinx  2 = 0

 (2sinx  1)cosx + (2sinx  1)(sinx + 2) = 0

 (2sinx  1)(cosx + sinx + 2) = 0

1 sin x

2













5

6













Vậy, phơng trình có một họ nghiệm

Ví dụ 4: Giải phơng trình:

 

   

1 2sin x cos x

3

1 2 sin x 1 sin x





 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Chúng ta có đánh giá rằng TS và MS không có nhân tử chung, do đó hớng đi duy nhất là nhân chéo hai vế để nhận đợc:

1 2sin x cos x   3 1 2sin x 1 sin x     

Tới đây, dễ dàng đánh giá đợc rằng cần chia hai cung x và 2x về hai vế để nhận đợc phơng trình có dạng tổng quát:

a.sin(kx) + b.cos(kx) = c.sin(lx) + d.cos(lx), với a2 + b2 = c2 + d2

và phơng pháp giải nó tơng tự cách 1 để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c  Tham khảo định hớng trong câu II.1 của đề toán khối D  2007

Nh vậy, khi trình bày bài toán này các em học sinh cần thực hiện theo các bớc:

a Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình (*)

b Sử dụng biến đổi trên để giải phơng trình.

c Kết hợp với điều kiện (*) để đa ra kết luận về nghiệm của phơng trình

lời giải chi tiết: Điều kiện:

1 2sin x 1 sin x    0

1 sin x

2 sin x 1











(*)

Với điều kiện (*) biến đổi tơng đơng phơng trình về dạng:

1 2sin x cosx   3 1 2sin x 1 sin x     





 



2

2







 



, k  

Kết hợp với (*), ta đợc nghiệm của phơng trình là x k2

  , k  

Ví dụ 5: Giải phơng trình:

3

sin xcos x.sin 2x 3 cos3x2(cos 4x sin x).

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc cho dới dạng hỗn tạp, tức chúng ta cần các phép biến đổi dần, với các định hớng là:

 Chuyển phơng trình về dạng chỉ chứa sinx (bởi trong phơng trình có chứa sin3x), hớng này không khả thi bởi sẽ rất phức tạp với cos4x

 Nh vậy, cần hạ bậc sin3x và vì chúng ta không đợc cung cấp công thức hậc bậc bậc ba nên cần ghép nó với một toán tử tơng ứng, ta có:

sin x 2sin x cos x.sin 2x 3 cos3x2 cos 4x

1 2 sin x sin x2  cosx.sin 2x 3 cos3x 2 cos 4x

 Bằng việc sử dụng công thức góc nhân đôi, ta biến đổi đợc:

cos 2x.sin xcos x.sin 2x 3 cos3x2 cos 4x

 Tiếp theo, bằng việc sử dụng công thức cộng, ta đợc:

sin 3x 3 cos3x2 cos 4x

 Tới đây, chúng ta gặp một dạng phơng trình cơ bản đợc tổng quát:

2 2

a.sin xb cos x a b cos kx

hoặc 2 2

a.sin xb cos x a b sin kx

và phơng pháp giải nó tơng tự cách 1 để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c  Tham khảo định hớng trong câu II.1 của đề toán khối D  2007 Cụ thể, ta biến đổi tiếp:



lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

sin x 2sin x cos x.sin 2x 3 cos3x2 cos 4x

1 2 sin x sin x2  cos x.sin 2x 3 cos3x 2 cos 4x

cos 2x.sin x cosx.sin 2x 3 cos3x 2 cos 4x

6



6

6







 





6 2







 



, k  

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

Ví dụ 6: Giải phơng trình:

3 cos 5x 2 sin 3x.cos2x sin x0

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Dễ nhận thấy phơng trình đợc cho dới dạng hỗn tạp, tức chúng ta cần các phép biến đổi dần, với các định hớng là:

 Có hai toán tử đơn là cos5x và sinx nhng vì không có cùng hệ số nên không thể kết hợp chúng lại đợc Từ đó, dẫn tới việc cần biến đổi tích 2sin3x.cos2x thành tổng, cụ thể phơng trình đợc đổi phơng trình về dạng:

3 cos 5x (sin 5x sin x) sin x 0  3 cos 5x sin 5x2sin x

 Tới đây, chúng ta gặp một dạng phơng trình cơ bản đợc tổng quát:

2 2

a.sin xb cos x a b cos kx

a.sin xb cos x a b sin kx

và phơng pháp giải nó tơng tự cách 1 để giải phơng trình a.sinx + b.cosx = c  Tham khảo định hớng trong câu II.1 của đề toán khối D  2007 Cụ thể, ta biến đổi tiếp:

3



lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

3 cos 5x (sin 5x sin x) sin x 0  3 cos 5x sin 5x2sin x

3



3

3







 









 

  



, k  

Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

Ví dụ 7: Giải phơng trình:

2

1 sin 2x co s 2x

2 sin x.sin 2x

1 co t x





 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này (chứa tanx và chứa ẩn ở mẫu) ta thực hiện thông qua các bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể:

2

sin x 0









Tới đây, các em học sinh có thể dừng lại hoặc giải tiếp hệ điều kiện

đó tuỳ thuộc vào biến đổi nháp của bớc 2

Bớc 2: Lựa chọn phép biến đổi lợng giác phù hợp để chuyển phơng trình

ban đầu về dạng phơng trình lợng giác cơ bản, từ đó nhận đợc nghiệm cho phơng trình theo k  

Cụ thể, với phơng trình này chúng ta cần khử mẫu số và công việc

sẽ đợc bắt đầu bằng việc sử dụng công thức cơ bản:

2

2

1

sin x

 Khi đó, bằng việc sử dụng thêm công thức sin2x = 2sinx.cosx cho VP ta nhận đợc phơng trình dạng:

1 sin 2x co s 2x sin x2 2 sin x.co sx

 Và vì điều kiện sinx ≠ 0, chúng ta nhận đợc phơng trình dạng:

Tới đây, các em học sinh có thể tiếp tục theo một trong hai hớng biến đổi dựa theo công thức góc nhân đôi:

Hớng 1: Ta có:

2 2 2

(sin xcos x) cos x sin x2 2co sx (sin x cos x)(sin x cos x c os x sin x) 2 2co s x

2(sin x cos x)cosx 2 2co s x

cos x sin x 2 co s x 0

Hớng 2: Ta có:

2

2 cos x2sin x.cosx2 2co s x

cos x sin x 2 co s x 0

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện, từ đó kết luận về nghiệm của phơng trình

lời giải chi tiết: Điều kiện:

2

sin x 0









Biến đổi phơng trình về dạng:

2

1 sin 2x co s 2x

2 sin x.sin 2x 1

sin x



1 cos 2x sin 2x sin x 2 2 sin x.co s x

sin x 0

2

2 cos x 2sin x.cos x 2 2co s x



co s x 0

 





4

co s x 0





4

co s x 0





2





 



   



2









   





Vậy, phơng trình có hai họ nghiệm

Ví dụ 8: Giải phơng trình:

sin 2x 2co s x sin x 1

0





 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác dạng u(x) 0

v(x) ta luôn thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phơng trình, cụ thể ở đây ta cần có:

co s x 0







Bớc 2: Biến đổi phơng trình về dạng:

u(x) = 0  sin2x + 2cosx  sinx  1 = 0

Phơng trình này đợc giải bằng việc sử dụng công thức góc nhân đôi (sin2x = 2sinx.cosx) để chuyển nó về dạng tích Cụ thể:

2sinx.cosx + 2cosx  sinx  1 = 0

 2(sinx + 1)cosx  (sinx + 1) = 0

 (sinx + 1)(2cosx  1) = 0

Bớc 3: Kiểm tra điều kiện (*) rồi kết luận về nghiệm của phơng trình

lời giải chi tiết: Điều kiện:

co s x 0









2

3





  







Biến đổi phơng trình về dạng:

sin2x + 2cosx  sinx  1 = 0  2sinx.cosx + 2cosx  sinx  1 = 0

 2(sinx + 1)cosx  (sinx + 1) = 0  (sinx + 1)(2cosx  1) = 0

sin x 1 0

2co s x 1 0

 





sin x 1 loai do (*)

1

co s x

2











3



Két hợp với (*) suy ra nghiệm của phơng trình là x k2 , k

3



Ví dụ 9: Giải phơng trình

sin2x.cosx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này ta thực hiện việc biến đổi nó về dạng phơng trình tích bằng phép thử dần, cụ thể:

sin2x.cosx = 2sinx.cosx.cosx = 2cos2x.sinx = (1 + cos2x)sinx

= sinx + cos2x.sinx

Khi đó, sẽ đơn giản đợc sinx ở hai vế của phơng trình và ta đợc:

cos2x.sinx + sinx.cosx = cos2x + cosx

 (sinx  1)cos2x + (sinx  1)cosx = 0  (sinx  1)(cos2x + cosx) = 0

lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

2sinx.cos2x + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx

 (1 + cos2x)sinx + sinx.cosx = cos2x + sinx + cosx

 (sinx  1)cos2x + (sinx  1)cosx = 0  (sinx  1)(cos2x + cosx) = 0

sin x 1 0

co s 2x cos x 0





sin x 1







x k2

2













2 2

















2







  





Ví dụ 10: Giải phơng trình:

3 sin 2xcos 2x2co s x 1.

 Giải

Đánh giá và định hớng thực hiện: Với phơng trình lợng giác kiểu này ta định hớng biến đổi nó về dạng tích Và ở đây với hai cung góc 2x và x nên ta sẽ sử dụng công thức góc nhân đôi để chuyển phơng trình về dạng chỉ chứa cung x, cụ thể:

sin2x = 2sinx.cosx;

cos2x = 2cos2x  1 = 1  2sin2x = cos2x  sin2x

Từ đặc thù của phơng trình là VP có chứa 1 nên ta chọn cos2x = 2cos2x  1, suy ra:

2

2 3 sin x.cos x2co s x 1 2co s x 1  

2

2 3 sin x.cos x 2co s x 2co s x 0

3 sin x co s x 1

 





lời giải chi tiết: Biến đổi phơng trình về dạng:

 

3 sin 2x co s 2x 1  2co s x0

2

2 3 sin x.cos x 2co s x 2co s x 0

3 sin x co s x 1

 





sin x co s x

















2















   



2

3

2









   





Vậy, phơng trình có ba họ nghiệm

Ví dụ 11: Giải phơng trình: