HD chuyen ngu 2008

[r]

thi vào chuyên ngữ Hà nội Năm học 2008-2009

(Ngày thi 8 tháng 6 năm 2008)

Câu 1 Cho biểu thức

y x

y y x

y x x y y x

y x x

y y x

y x P

































3

Chứng minh rằng P luôn nhận giá trị nguyên với mọi x,y thoả mãn x,y>0,x y

Giải

Rút gọn P

2 2

) (

2

2

) (

2 )

.(

2

2

) (

) (

2

3

























































































































y x

y y x

x y x

y x

P

y x

y y x

xy x y x xy

y xy x

y x xy

y xy x

P

y x

y y x

xy x y x xy

y x y

x xy

y x P

y x

y y x

y x x y y x

y x x

y y x

y x P

P= 2 ( đpcm)

Câu 2 1) Giải phơng trình :3 x 1  3 x 2  1  3 x2  3x 2

2) Tìm x,y nguyên thoả mãn phơng trình: x 2 -xy –y +2 =0

Giải

1) ĐKXĐ x  R

đặt 3 x 1 u;3 x 2 v

1 : 1 0

)

1

)(

1

(

1 2

3 1

2

3





































v hoac u

v

u

uv v

u x

x x

x

 Với u=1 thì x=0

 Với v=1 thì x=-1

Vậy phơng trình có 2 nghiệm x1=0;x2=-1

2) xét PT: x2 -xy –y +2 =0 (1) Coi phơng trình (1) là phơng trình bậc 2 ẩn x tham

số y

PT (1) có nghiệm nguyên khi  là số chính phơng

=y2 +4(y-2)=y2+4y-8 đặt =k2 (k  Z)

Ta có: y2+4y-8 =k2  (y+2)2-k2=12 (y-k+2)(y+k+2)=12

y-k+2;y+k+2 cùng tính chẵn lẻ xét 12=2.6=(-2).(-6)

ta đợc các nghiệm (x;y)=(-2;-6);(2;2); (-4;-6);(0;2).

* Có thể đa về dạng (x+1)(y-x+1)=3

Câu 3

a)Chứng minh tứ giác BHCM là hình bình hành

D

N

H

M K

C

O

Ta có // )1(

)90 (

)(

0 CH BM AMB

AM

BM

gt AM

CH

















) (

) (

) 90

( 0

BM CH BMK

CHK dd

BKM CKH

gt KB CK

BMK CHK



































Từ (1 ) & (2) ta có tứ giác BHCM là hình bình hành ( đpcm)

b) chứng minh OHC OHM

Ta có CHM vuông tại H có CMH  45 0 nên CHM vuông cân tại H

suy ra CH=HM

xét 2 tam giác OCH ; OHM có: .( ).

) (

) (

)

(

cc c OHM OHC chung

OH

cmt HM CH

bk OM OC























c) Chứng minh D,H,B thẳng hàng

Vì tứ giác BHCM là hình bình hành nên BH//CM (3)

Ta lại có 











HM CH

OM

OC

OH là trung trực của CM,mà N thuộc OH nên NC=NM

Nên CNM cân tại N ,nênCMN  MCN  cungCD=cungBM

) 4 (

// CM

BD CBD



 từ (3)& (4) ta có D,H,B thẳng hàng (đpcm)

Câu 4:Tìm các nghiệm nhỏ hơn -1 của phơng trình

8

) 1 ( 2

2





x

x x

Giải

) 1 ( 1 2 8 1 1

2 8 1

1 2 8 1 2 ) 1 (

8 )

1

(

2 2

2 2

2

2 2

2

2 2

2

2

2





































































x

x x

x x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

x

x

x

Đặt

1

2



x

x =t ta có (1)  t2+2t-8=0 (t-2)(t+4)=0 t=2 hoặc t=-4

 Với t=2 ta đợc phơng trình:x2-2x-2=0 có 2 nghiệm đều lớn hơn -1

 Với t=-4 ta có phơng trình :x2+ 4x +4 =0 có nghiệm x=-2 thoả mãn điều kiện

Câu 5

Cho a,b là các số không âm thoả mãn 2 2 2



b

a Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :

) 2 ( 3 ) 2 (

a

Giải

áp dụng Bất đẳng thức Bunhiacôpsky cho 2 dãy

Dãy 1 : a ; b

Dãy 2: 3b(a 2b) ; 3a(b 2a)

Ta có

12 3 ( ) 36 6 2

) 6 12

(

2

) 6 3 6 3 )(

( ) 2 ( 3 )

2

(

3

(

2 2 2



































M b

a ab

M

b ab a

ba b a a

b a b b

a

b

a

VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc M=6 khi

1

; 0 ,

0

2

) 2 ( 3 ) 2 (

3

2

2







































b a b

a b

a

b

a

a b a

b b

a

b

a