on thi len lop 10 hay nhat

Chøng minh AB lµ tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp tø gi¸c AHCE.. Chøng minh CH lµ tia ph©n gi¸c cña gãc ACE.[r]

b) Tìm x để Q > - Q.

c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên

H ớng dẫn :

b) Tính giá trị của biểu thức P khi x = 1

2 .

H ớng dẫn :

x x

a) Rút gọn biểu thức sau A

b) Tính giá trị của biểu thức A khi x =

4 1

c) Tìm x để A < 0

d) Tìm x để A = A

H ớng dẫn : a) ĐKXĐ : x  0, x  1 Biểu thức rút gọn : A =

1

Baứi 9 : Cho biểu thức: N = 1 a a 1 a a

a) ĐKXĐ : a  0, a 1 Biểu thức rút gọn : N = 1 – a

b) Ta thấy a = - 2004  ĐKXĐ Suy ra N = 2005

Baứi 10 : Cho biểu thức

3 x

3 x 1 x

x 2 3

x 2 x

19 x 26 x x P

b Tính giá trị của P khi x7 4 3

c Với giá trị nào của x thì P đạt giá trị nhỏ nhất và tính giá trị nhỏ nhất đó

H ớng dẫn :

a ) ĐKXĐ : x  0, x 1 Biểu thức rút gọn :

3 x

16 x P

P  c) Pmin=4 khi x=4

3 3 3 3

2

x

x x

x x

x x

x P

a ) ĐKXĐ : x  0, x 9 Biểu thức rút gọn :

3 x

3 P

 )



)

x x

 )

)

b Tìm x để A < -1

2 ( KQ : A = 3

)

)

BAỉI TAÄP PHAÀN HAỉM SOÁ BAÄC NHAÁT

Baứi 1 :

1) Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm (1 ; 2) và (-1 ; -4)

2) Tìm toạ độ giao điểm của đờng thẳng trên với trục tung và trục hoành

H ớng dẫn :

1) Tìm điều kiện của m để hàm số luôn nghịch biến

2) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

3) Tìm m để đồ thị của hàm số trên và các đồ thị của các hàm số y = -x + 2 ; y = 2x – 1 đồng quy

H ớng dẫn :

2

x y

x y

1) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Tìm giá trị của m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Tìm điểm cố định mà đồ thị của hàm số luôn đi qua với mọi m

H ớng dẫn :

1) Để hai đồ thị của hàm số song song với nhau cần : m – 1 = - 2  m = -1

Vậy với m = -1 đồ thị của hàm số song song với đồ thị hàm số y = -2x + 1

2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vào pt : y = (m – 1)x + m + 3 Ta đợc : m = -3

Vậy với m = -3 thì đồ thị của hàm số đi qua điểm (1 ; -4)

3) Gọi điểm cố định mà đồ thị luôn đi qua là M(x0 ;y0) Ta có

7

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (1;2).

Baứi4 : Cho hai điểm A(1 ; 1), B(2 ; -1).

1) Viết phơng trình đờng thẳng AB

2) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song với đờng thẳng

AB đồng thời đi qua điểm C(0 ; 2)

H ớng dẫn :

b

a

2 1

2 3

2

2

m m

1) Tìm m để đồ thị của hàm số đi qua điểm (2; 5)

2) Chứng minh rằng đồ thị của hàm số luôn đi qua một điểm cố định với mọi m Tìm điểm cố địnhấy

3) Tìm m để đồ thị của hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x = 2 1

H ớng dẫn :

0

0

y x

Vậy với mọi m thì đồ thị luôn đi qua điểm cố định (

2

5

; 2

và y = kx + k + 1 cắt nhau tại một điểm

Baứi 7 : Giả sử đờng thẳng (d) có phơng trình y = ax + b Xác định a, b để (d) đi qua hai điểm A(1; 3)

và B(-3; -1)

Baứi 8 : Cho hàm số : y = x + m (D).

Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) :

1) Đi qua điểm A(1; 2003)

2) Song song với đờng thẳng x – y + 3 = 0

x a'

c

by

ax

Ph

ơng pháp giải :

Sử dụng một trong các cách sau :

+) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2

ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn

+) Phơng pháp cộng đại số :

- Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau)

- Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó

- Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai

B Ví dụ minh họa :

Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây :

1

x x

1-2x

4

.9

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm các giá trị của m để x + y = -1.

3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

H ớng dẫn :

1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1

2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) Tìm m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất

có nghiệm duy nhất là (x; y)

1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a

2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x2 – 17y = 5

3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y

2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất

2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y  2.

Bài 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :

- (m

0 3)y (m -

x

(m lµ tham sè)

a) Gi¶i hƯ khi m = -1

b) Gi¶i vµ biƯn luËn pt theo m

Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :

mx

0

y m -

x

(m lµ tham sè)

a) Gi¶i hƯ khi m = -1

b) Tìm giá trị nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên

c) Xác định mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0

Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì

gặp nhau Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km Tínhvận tốc của mỗi xe

HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h Vận tốc ôtô : 40 km/h.

Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự định đến B lúc 12 giờ trưa Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa.Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A

Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng.

Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 454 giờ thì đầy bể.Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 56 giờ nữa mới nay bể Nếumột mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể

Đáp số : 8 giờ.

Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t0C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal) Hỏiphải dùng bao nhiêu lít 1000C và bao nhiêu lít 200C để được hỗn hợp 10 lít 400C

Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dịch axít thì dung dịch mới có nồng độ 50% Lại thêm 300g

nước vào dung dịch mới được dung dịch axít có nồng độ 40% Tính nồng độ axít trong dung dịchban đầu

Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dịch ban đầu

Theo bài ra ta có hệ pt :

% 100 500

y

200) (

% 50

% 100 200

y

200) (

1 Để biện luận sự cĩ nghiệm của phương trình : ax2 + bx + c = 0 (1) trong đĩ a,b ,c phụ thuộc tham số m,ta xét 2 trường hợp

a) Nếu a= 0 khi đĩ ta tìm được một vài giá trị nào đĩ của m ,thay giá trị đĩ vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nhất nên cĩ thể : - Cĩ một nghiệm duy nhất

- hoặc vơ nghiệm

- hoặc vơ số nghiệm

b)Nếu a 0

Lập biệt số  = b2 – 4ac hoặc / = b/2 – ac

*  < 0 ( / < 0 ) thì phương trình (1) vơ nghiệm

p = x1x2 =

a c

Đảo l¹i: Nếu cĩ hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S và x1x2 = p thì hai số đĩ là nghiệm (nếu cã ) cđa ph¬ng tr×nh bËc 2:

x2 – S x + p = 0

3.DÊu cđa nghiƯm sè cđa ph¬ng tr×nh bËc hai.

Cho ph¬ng tr×nh bËc hai ax2 + bx + c = 0 (a  0) Gäi x1 ,x2 lµ c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Ta

cã c¸c kÕt qu¶ sau:

x1 vµ x2 tr¸i dÊu ( x1 < 0 < x2 )  p = x1x2 < 0

S p

S p

S p

S p

4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét

a)Tính nhẩm nghiệm.

Xét phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a  0)

 Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = 1 , x2 =

a c

 Nếu a – b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x1 = -1 , x2 = -

a c

c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho trớc.

(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi):

2 1 2 1

11

x x

x x x x





p S

*)

2 1

2 2

2 1 1

2 2

1

x x

x x x

x x

2 1 2

1

2)

)(

(

21

1

a aS p

a S a

x a x

a x x a x a

d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2

Cách giải:

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm:

x = x1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số

- Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và

giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có

 < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x1 cho trớc

* Nếu m – 3 0  m  3 Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số /

 = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18

- Nếu /

 = 0  9m – 18 = 0  m = 2 phơng trình có nghiệm kép

x1 = x2 = -

3 2

x1,2 =

3

2 3

- Nếu  / < 0  m < 2 Phơng trình vô nghiệm

Kết luận:

Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = -

2 1

Với m = 2 phơng trình có nghiệm x1 = x2 = -2

Với m > 2 và m  3 phơng trình có nghiệm x1,2 =

3

2 3

Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

6

- x x

7

2

-

3 x x

2 1

2 1

m x

2)

1)(

1(

2)(

2 1

2 1

S x

x

x x

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x1 + x2 ) + x1x2

1 1

1

2 1

1 )

1 )(

1

(

1

2 1

1 Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k

2 Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu

) < 0

Vậy k > 1 là giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phơng trình : x2 – 2( m + 1) x + m – 4 = 0 (1) (m là tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mọi m

3 Tìm m để x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất (x1 , x2 là hao nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.)

3 Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có:

Vậy x 1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = -

2 1

Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – 3 = 0 (m là tham số)

1) Giải phơng trình khi m = -

2 9

2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m

3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

x1 =

) 2 (

2

5 1

4 2

2 ( 2

) 3 ( 2 ) 2 ( 2

5 1 2

m m

m

Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m

3)Theo câu 2 ta có m  - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp

(thoả mãn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – 3 = 0 (1) với m là tham số

1 Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1)

2 Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3 Tìm nghiệm thứ hai

Giải

1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x – 3 = 0  x =

4 3

+ Nếu m 0 Lập biệt số /

 = (m – 2)2 – m(m-3) = m2- 4m + 4 – m2 + 3m

2 4 2

0  m < 4 : phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt:

2 (1) có nghiệm trái dấu 

0 3

m m m

m m m m

§èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn (*), gi¸ trÞ m =

2

1

x x

49

)24

9(2)2(2

19

34

93

Bài 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) với k là tham số

Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có nghiệm:

(Có a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = -

2 7

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào /

 = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => /

 = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ; thoả mãn + k2 = -

8 70 49 2 2

35 4

BAỉI TAÄP PHAÀN PHệễNG TRèNH BAÄC HAI

Baứi 1 : Cho phơng trình : x2 – 6x + 1 = 0, gọi x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình Không giảiphơng trình, hãy tính:

1) x1 + x2

2) x1 x1 x2 x2

Tính x1 x2 x2 x1 (với x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình).

Baứi 3 : Cho phơng trình bậc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0

1) Tìm các giá trị của m để phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị của m thoả mãn x1 + x2 = 12 (trong đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình)

Baứi 4 : Cho phơng trình:

x2 – 2mx + 2m – 5 = 0

1) Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

2) Tìm điều kiện của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

3) Gọi hai nghiệm của phơng trình là x1 và x2, tìm các giá trị của m để:

2) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình (1) Tính B = x1 + x2

Baứi 7 : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + 3 = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để phơng trình có một nghiệm là bằng 2 Tìm nghiệm còn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 + x2  0

 = m2-2m+1= (m-1)20 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m

ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)

với m 1/2 pt còn có nghiệm x=

1 2

=

1 2

0

1 1 2

0 1 2

2

m m

m

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0

21

GIAÛI BAỉI TOAÙN BAẩNG CAÙCH LAÄP PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Hai ô tô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến B cách nhau 300 km Ô tô thứ nhất mỗi giờ

chạy nhanh hơn ô tô thứ hai 10 km nên đến B sớm hơn ô tô thứ hai 1 giờ Tính vận tốc mỗi xe ô tô

Hửụựng daón : Goùi vaọn toỏc cuỷa oõtoõ thửự nhaỏt laứ x (km/h ẹK x > 0) Ta coự :

Vaọn toỏc cuỷa oõ toõ thửự hai laứ : x – 10 (km/h)

Do oõtoõ thửự nhaỏt ủeỏn B sụựm hụn oõtoõ thửự hai 1 giụứ ta coự phửụng trỡnh : 1

x

300 - 10 -

x

300



Giaỷi ra ta ủửụùc: x = - 50 (loaùi) ; x = 60

ẹaựp soỏ : Vaọn toỏc oõtoõ thửự nhaỏt : 60 km/h

Vaọn toỏc oõtoõ thửự hai: 50 km/h

Baứi 2 : Một ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 50 km/h Sau khi đi đợc 2/3 quãng đờng với vận

tốc đó, vì đờng khó đi nên ngời lái xe phải giảm vận tốc mỗi giờ 10 km trên quãng đờng còn lại

Do đó ô tô đến B chậm 30 phút so với dự định Tính quãng đờng AB

Hửụựng daón : Goùi x laứ quaỷng ủửụứng AB (Km ẹK x > 0)

Theo giaỷ thieỏt cuỷa baứi toaựn ta coự phửụng trỡnh : 3.x40 50 21

50 3

Vaọy quaỷng ủửụứng AB laứ : 300km

Baứi 3 : Hai vòi nớc cùng chảy vào bể thì sau 4 giờ 48 phút thì đầy Neỏu chảy cùng một thời gian

nh nhau thì lợng nớc của vòi II bằng 2/3 lợng nớc của vòi I chảy đợc Hỏi mỗi vòi chảy riêng thìsau bao lâu đầy bể

24

5 y

Đáp số : Vòi 1 chảy một mình đầy bể 8 giờ

Vòi 2 giờ chảy một mình đầy bể mất 12 giờ

Baứi 4 : Một ô tô dự định đi từ A đền B trong một thời gian nhất định Nếu xe chạy với vận tốc 35

km/h thì đến chậm mất 2 giờ Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì đến sớm hơn 1 giờ Tính quãng

đờng AB và thời gian dự định đi lúc đầu

H

ớng dẫn : Gọi quaỷng ủửụứng AB laứ x (km), thụứi gian dửù ủũnh laứ y(giụứ) ẹK : x > 0, y > 0.

Theo baứi ra ta coự heọ pt :

x 2)

y ( 35

suy ra : 35y + 70 = 50y -50 y = 8 (TMẹK)

Thay vaứo heọ ta ủửụùc x = 350 (TMẹK)

ẹaựp soỏ : Quaỷng ủửụứng AB : 350 (km)

Thụứi gian dửù ủũnh ủi : 8 (giụứ)

Baứi 5 : Quãng đờng AB dài 180 km Cùng một lúc hai ôtô khởi hành từ A để đến B Do vận tốc

của ôtô thứ nhất hơn vận tốc của ôtô thứ hai là 15 km/h nên ôtô thứ nhất đến sớm hơn ôtô thứ hai2h Tính vận tốc của mỗi ôtô?

Hửụựng daón : Gọi x (km) là vận tốc của ôtô thứ 2 ĐK x > 0.

Theo gt bài toán ta có pt : 2

15 x

180 x

Baứi 6 : Trong một buổi lao động trồng cây, một tổ gồm 13 học sinh (cả nam và nữ) đã trồng đợc

tất cả 80 cây Biết rằng số cây các bạn nam trồng đợc và số cây các bạn nữ trồng đợc là bằng nhau ;mỗi bạn nam trồng đợc nhiều hơn mỗi bạn nữ 3 cây Tính số học sinh nam và số học sinh nữ củatổ

Giải : Gọi số học sinh nam là x (em) ĐK : x nguyên dơng, x  13

Theo gt bài ra ta có pt : 3

x - 13

40 x

40



  3x2 – 119x + 520 = 0 (  = 89)Giải ra ta đợc : x =

6

89

119 

(loại) ; x = 5 (TMĐK) Đáp số : Số HS nam : 5 (em)

Số HS nữ : 8 em

Baứi 7 : Khoảng cách giữa hai thành phố A và B là 180 km Một ô tô đi từ A đến B, nghỉ 90 phút ở

B rồi trở lại từ B về A Thời gian từ lúc đi đến lúc trở về là 10 giờ Biết vận tốc lúc về kém vận tốclúc đi là 5 km/h Tính vận tốc lúc đi của ô tô

Giải : Gọi vận tốc lúc đi là x (km/h) ĐK : x > 5.

Theo gt bài ra ta có pt : 10

5 - x

180 2

3 x

180





  17x2 – 805x + 1800 = 0 (  = 725)Giải ra ta đợc : x =

Baứi 8 : Một ca nô xuôi dòng từ bến sông A đến bến sông B cách nhau 24 km, cùng lúc đó cũng từ

A một bè nứa trôi với vận tốc dòng nớc 4 km/h Khi đến B ca nô quay lại ngay và gặp bè nứa trôitại một địa điểm C cách A là 8 km Tính vận tốc thực của ca nô

Giải : Gọi vận tốc thực của canô là x (km/h) ĐK x > 4.

Theo gt bài ra ta có pt : 2

4 -

x

16 4 x

24





  2x2 – 40x = 0Giải ra ta đợc : x = 0 (loại) ; x = 20

Đáp số : Vận tốc thực của canô : 20 (km/h)

Baứi 9 : Khoảng cách giữa hai tỉnh A và B là 108 km Hai ô tô cùng khởi hành một lúc đi từ A đến

B, mỗi giờ xe thứ nhất chạy nhanh hơn xe thứ hai 6 km nên đến B trớc xe thứ hai 12 phút Tính vậntốc mỗi xe

Giải : Gọi vận tốc của xe thứ hai là x (km/h) ĐK x > 0.

Theo gt bài ra ta có pt :

5

1 6

108 x

Baứi 11 : Theo kế hoạch, một tổ công nhân phải sản xuất 360 sản phẩm Đến khi làm việc, do phải

điều 3 công nhân đi làm việc khác nên mỗi công nhân còn lại phải làm nhiều hơn dự định 4 sảnphẩm Hỏi lúc đầu tổ có bao nhiêu công nhân? Biết rằng năng suất lao động của mỗi công nhân là

23