3. KÎ ®êng kÝnh DK cña ®êng trßn ®êng kÝnh AB. Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD. Chøng minh tõ gi¸c ABOC néi tiÕp ®îc trong mét ®êng trßn. BE song song víi DM.. Khi h×nh thoi ABCD cè ®Þnh. Chøng[r]
Trang 1ôn tập hình học 9 về đờng tròn – góc với đ ờng tròn
A) Đờng tròn:
1, Định nghĩa: Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi
gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R Kí hiệu : ( 0; R)
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn : xét ( O; R ) và đờng thẳng a bất kì
( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
* Của hai đờng tròn :xét ( O; R) và (O’; R’) ( với d = O O’ )
vị trí tơng đối Số điểm chung Hệ thức
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
d = R – rHaiđờng tròn không giao nhau :
+ hai đờng tròn ở ngoài nhau :
+ đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
d < R - r
3 Tiếp tuyến của đ ờng tròn :
a Định nghĩa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một
điểm chung với đờng đó
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuônggóc với bán kính đi qua tiếp điểm
Trang 2+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểmnày cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giáccủa góc tạo bởi hai tiếp tuyến
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tạimột điểm và điểm đó thuộc đờng tròn
4 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành haiphần bằng nhau
* Định lí 2 : Đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuônggóc với dây cung ấy
5 Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đềutâm
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơnkhi và chỉ khi nó gần tâm hơn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng
tròn Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn
Trang 3* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc
1 Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông
2 Đờng thẳng AI cắt PN tại D Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờngtròn
3 Cho BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F Cmr : BE CF = 2 BI CI
Bài 3 Cho cỏc đường cao hạ từ A và B của Δ ABC cắt nhau tại H ( gúc ACB 900 )
c) Vẽ MH AB và đường kớnh MON của (O) EN cắt (O) tại F
Cmr: MHFE nội tiếp
d) Cho AD cắt BF tại K Tớnh AK.AN + BK.BF theo R.
Bài 5 Cho ABCD nội tiếp (O; R) cú AB là đường kớnh, hai đường chộo AC và DB cắt nhau tại I Dựng IK AB tại K
a) C/m: ADIK và BCIK nội tiếp Xỏc định tõm E và tõm F của cỏc đường trũn
ngoại tiếp hai tứ giỏc trờn
b) C/m: KI là phõn giỏc của DKC I là tõm của đường trũn ngoại tiếp Δ DKC
c) C/ m: DEKC nội tiếp.
d) C/m: ba đường thẳng AD, IK, BC đồng quy tại 1 điểm.
Trang 4Bài 6 Cho ABC nhọn , nội tiếp (O; R) Phõn giỏc của gúc BAC cắt BC tại D và cắt cung nhỏ BC tại M.
a) C/m: OM BC
b) Dựng đường cao AH của Δ ABC Cmr: AM là tia phõn giỏc của gúc OAH
c) Từ H kẻ đường thẳng song song với tiếp tuyến tại C của (O) cắt AC tại I Chứng
minh: BI là đường cao của ABC
d) C/m: AD2 = AB.AC – DB DC
Bài 7 Cho (O) đường kớnh AB Trờn đường trũn lấy điểm D khỏc A và B
Trờn đường kớnh AB lấy điểm C và kẻ CH AD tại H Đường phõn giỏc trong của
DAB cắt đường trũn tại E và cắt CH tại F, đường thẳng DF cắt đường trũn tại N
a) Chứng minh rằng: ANF = ACF
b) Chứng minh rằng: Tứ giỏc AFCN là tứ giỏc nội tiếp đường trũn
c) Chứng minh rằng: Ba điểm C, N, E thẳng hàng
Bài 8 Cho (O) và điểm A nằm bên ngoài (O) Vẽ các tiếp tuyến AB và AC , cát tuyến ADE Gọi H là trung điểm của DE
a) Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp
b) Chứng minh HA là tia phân giác của góc BHA
c) Gọi I là giao điểm của BC và DE Chứng minh : AB2 = AI AH
d) Cho BH cắt (O) tại K Chứng minh AE // CK
Bài 9 Cho ABC ( AB > AC ) nội tiếp (O) Vẽ đờng phân giác của  cắt (O) tại M Nối OM cắt BC tại I
1.Chứng minh tam giác BMC cân
2.Chứng minh: góc BMA < góc AMC
3.Chứng minh: góc ABC + góc ACB = góc BMC
4.Đờng cao AH và BP của tam giác ABC cắt nhau tại Q Chứng minh OH // AH
5.Trên AH lấy điểm D sao cho AD = MO Tứ giác OMDA là hình gì?
6.Chứng minh AM là phân giác của góc OAH
7.OM kéo dài cắt (O) tại N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE=1
8.Chứng minh OICE nội tiếp Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp OICE
9.Chứng minh các tứ giác ABHP và QPCH nội tiếp
10.Từ C vẽ tiếp tuyến của (O) cắt BM tại K Cmr: CM là phân giác của BCK
11.So sánh các góc KMC và KCB với góc A
12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM tại S Chứng minh BMS cân
13.Chứng minh góc S = góc EOI – góc MOC
Trang 514.Chứng minh góc SBC = góc NCM.
15.Chứng minh góc ABF = góc AON
16.Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O) Chứng minh BF = CA
Bài 10 Cho ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theothứ tự tại D, E Gọi I là giao điểm của BE và CD
1. Chứng minh AI vuông góc với BC
2. Chứng minh góc IDE = góc IAE
3. Chứng minh : AE EC = BE EI
4. Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE đều
Bài 11 Cho ABC vuông cân tại A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I
đờng kính BH cắt AB tại E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC tại F
a) Tứ giác AEHF là hình gì?
b) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp.
c) Chứng minh AE AB = AF AC.
d) Chứmg minh EF là tiếp tuyến chung của (O) và (I).
e) Gọi Ax là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp ABC Chứng minh Ax // EF Bài 12 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD )
Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K
và A nằm cùng phía đối với BC ) Tiếp tuyến với (O) tại C cắt OK tại I
a) Chứng minh IA là tiếp tuyến của (O)
b) Chứng minh CK là tia phân giác của góc ACI
c) Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI
Bài 14
Cho (O) và (O’)tiếp xúcngoài tại A Đờng thẳng OO’ cắt (O) và (O’) theo thứ tự tạu
B và C ( khác A ) Gọi DE là tiếp tuyến chung ngoài của hai đờng tròn ( D thuộc (O); Ethuộc (O’)) M là giao điểm của BD và CE Chứng minh rằng :
a) Góc DME là góc vuông
b) MA là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn
c) MD MB = ME MC
Trang 6Bài 15
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C và D
là hai điểm di động trên nửa đờng tròn Các tia AC và AD cắt Bx lần lợt tại E và F ( F nằmgiữa B và E )
a) Chứng minh hai tam giác ABF và BDF đồng dạng
b) Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp
c) Khi D và C di động trên nửa đờng tròn , Cmr :AC AE = AD AF = hằng số
Bài 16 Cho (O) Vẽ hai dây AB và CD vuông góc tại M ở bên trong (O) Từ A vẽ
một
đờng thẳng vuông góc với BC tại H, cắt CD tại E F là điểm đối xứng của C qua AB Tia
AF cắt tia BD tại K Chứng minh rằng:
a) Góc MAH = góc MCB
b) Tam giác ADE cân
c) Tứ giác AHBK nội tiếp
Bài 17 Cho tam giác ABC vuông ở A (AB < AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng
HC
lấy D sao cho HD = HB Vẽ CE vuông góc với AD (EAD)
a) Chứng minh tứ giác AHCE nội tiếp
b) Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp AHCE
c) Chứng minh CH là tia phân giác của góc ACE
d) Tính diện tích hình giới hạn bởi các đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của ờng tròn nói trên biết AC = 6cm; góc ACB = 30o
đ-Bài 18
Cho đờng tròn đờng kính AB, các điểm C, D ở trên đờng tròn sao cho C, D
không nằm trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi các điểm chính giữa các cung AC, AD lần lợt là M, N; giao điểm của MN với AC, AD lần lợt là H, I; giao
điểm của MD với CN là K
a) CMR: ΔNKD ; ΔMAK cân
b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy ra KH // AD
c) So sánh góc CAK với góc DAK
Bài 19
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R và một điểm M bất kỳ trên nửa đờng tròn ( M khác A và B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn tại M và cắt đờng trung trực của đoạn AB tại I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d tại C và D ( D nằmtrong góc BOM )
a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM
Trang 7AB , AC tại B , C sao cho A và tâm của cung BC nằm khác phía đối với BC Trên cung
BC lấy một điểm M rồi kẻ các đờng vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tơng ứng
BC , CA , AB Gọi giao điểm của BM , IK là P ; giao điểm của CM , IH là Q
a) CMR các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc
c) CMR: MI là tiếp tuyến của đờng tròn (O’) và MI2 = MB.MC
Bài 22 Cho (O, R) ủửụứng kớnh AB, tieỏp tuyeỏn Bx, treõn Bx laỏy BM = R, keỷ tieỏp
tuyến
MC, AM caột (O) taùi E
a) Chửựng minh: OCMB laứ hỡnh vuoõng
b) Chửựng minh:MA.ME = R2
c) Chửựng minh: Δ CME ~ Δ AMC
d) Tớnh ủoọ daứi CE vaứ SOEB theo R
Bài 23 Cho nửỷa(O) ủửụứng kớnh AB, C thuoọc (O), keỷ OH vuoõng goực BC, OH caột
tieỏp
tuyeỏn taùi B ụỷ E Goùi D laứ giao ủieồm cuỷa OE vụựi (O), M laứ giao ủieồm cuỷa AD vụựi BC
a) Chửựng minh: A ^ C B= A ^B E vaứ H laứ trung ủieồm cuỷa BC
b) Chửựng minh: AD laứ phaõn giaực cuỷa C ^A B
c) Chửựng minh: EC laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O)
d) AD caột BE taùi I, IH caột BD taùi K Chửựng minh: KH.BI = IK.BH
Bài 24 Cho (O) ủửụứng kớnh AB, laỏy C thuoọc (O), keỷ baựn kớnh OI // AC , BI caột
AC
Trang 8taùi D, AI caột tieỏp tuyeỏn ụỷ B taùi O’ Veừ (O’) baựn kớnh O’B
a) Chửựng minh: O’B2 = O’A.O’I
b) Chửựng minh:AO’ laứ phaõn giaực D ^ A B
c) Chửựng minh: AD laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa (O’)
d) Keỷ daõy cung EF cuỷa (O’) ủi qua I Chửựng minh: IE.AF = IF.AE
Bài 25 Cho (O) ủửụứng kớnh AB, daõy AD > DB, keựo daứi AD moọt ủoaùn DM = AD
BM caột (O) taùi C, goùi H laứ giao ủieồm cuỷa AC vaứ BD
a) Chửựng minh:AB = BM
b) Chửựng minh: AH.BC = HC.AB
c) Chửựng minh:MH vuoõng goực AB taùi I
d) Chửựng minh: AC.AH + BH.BD = 4R2
e) Goùi K laứ trung ủieồm MH Chửựng minh: DK laứ tieỏp tuyeỏn cuỷa(O)
Bài 26
Cho nửa (O) đờng kính AB và tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn Trên tia Bx lấy hai
điểm C, D ( C nằm giữa B và D) Các tia AC, AD lần lợt cắt đờng tròn tại E và F Hai dây
AE , BF cắt nhau tại M Hai tia AF, BE cắt nhau tại N Chứng minh rằng :
a) Tứ giác FNEM nội tiếp
b) Tứ giác CDFE nội tiếp
Bài 27
Cho ABC Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp Tìm tâm O của đờng tròn đó
b) Đờng thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là I Chứng minh rằng A, I, F, H, E cùngnằm trên một đờng tròn
Bài 28
Cho ABCD nội tiếp nửa đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC và BD cắt nhau tại E Vẽ EF AD Gọi M là trung điểm của DE Chứng minh rằng :
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp
b) Tia CA là phân giác của góc BCF
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp
Bài 29 cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O) Các đờng chéo AC, BD cắt nhau
Trang 9Cho (O; R) và điểm A ở ngoài (O) Qua A vẽ tiếp tuyến AB của (O), B là tiếp điểm; vẽ cát tuyến ACD thay đổi cắt (O) tại C và D Gọi H là hình chiếu của B lên AO.
a) Chứng minh AB2 = AC.AD
b) cho BH cắt CD tại I , J là trung điểm của CD Cmr : AI.AJ = AH.AO
Bài 31 (4,0đ) Cho nửa (O), đường kớnh BC Lấy điểm A trờn cung BC sao cho AB
< AC
D là trung điểm của OC, từ D kẻ đường thẳng vuụng gúc với BC cắt AC tại E
a) Chứng minh tứ giỏc ABDE nội tiếp được đường trũn, xỏc định tõm
b) Chứng minh BAD BED
c) Chứng minh CE.CA = CD.CB
Bài 32
Cho (O) vaứ caựt tuyeỏn (d) coỏ ủũnh khoõng qua O caột (O) taùi 2 ủieồm E , F Laỏy A baỏtkyứ treõn (d) (E naốm giửừa A, F) veừ tieỏp tuyeỏn AB, AC (B, C laứ tieỏp ủieồm ) Goùi H laứ trung ủieồm EF
a./ C/minh : AO BC
b./ C/m: A , B, O, H , C thuoọc 1 ủ.troứn
c./ BC caột OA , OH laàn lửụùt taùi I vaứ K C/minh OI.OA = OH.OK = R2
d./ C/minh KE OE KEOF noọi tieỏp
Bài 33
Cho đờng tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài đờng tròn Vẽ tiếp tuyến SA và SB Vẽ
đờng thẳng a đi qua S và cắt (O) tại M; N với M nằm giữa S và N (O a)
a) Chứng minh SO AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm của MN Hai đờng thẳng OI và
AB cắt nhau tại E Chứng minh :L ISHE nội tiếp
1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau
2 Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân
3 Chứng minh MN.PQ = NP.ME
Bài 35
Trang 10Cho ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại
E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứhai là M Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh:
a) CEFD nội tiếp
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE.DN = EN.BD
Bài 36 Cho ABC cú AB = AC cỏc đường cao AG; BE; CF gặp nhau tại H.
a Cmr : AEHF nội tiếp Xỏc định tõm I của đường trũn ngoại tiếp tứ giỏc đú
b Chứng minh: GE là tiếp tuyến của (I)
c Chứng minh: AH.BE = AF.BC
d cho bỏn kớnh của (I) là R và ãBAC = a Tớnh độ dài đường cao BE của ABC
c) Tứ giác CEFD nội tiếp
d) Khi AB=R√3 thì tam giác OAM đều
Bài 38
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M là trung điểmcủa BC
a) Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp
b) Chứng minh các tam giác ADE và ABC đồng dạng
c) Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE
d) Chứng minh rằng nếu góc BAC = 600 thì tam giác DME là tam giác đều
Bài 39
Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C, D là hai điểm di động trên hainửa mặt phẳng bờ AB đối nhau Tia AC cắt Bx tại M, tia AD cắt By tại N
a) Chứng minh các tam giác ACD và AMN đồng dạng
b) Tứ giác MNDC nội tiếp
c) Chứng minh AC AM = AD AN và tích này không đổi khi C, D di động
Trang 11a) Tứ giác CPKB nội tiếp
a) Tứ giác AFEC là hình gì ? Tại sao ?
b) Gọi I là trung điểm của AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng
c) CMR OI = BH
2 và H ; F đối xứng nhau qua AC
Bài 42 Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), một cung tròn BC nằm trong ABC
và
tiếp xúc với AB , AC tại B và C Trên cung BC lấy điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI, MH , MK xuống các cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q
là giao điểm của MC , IH
a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc
b) CMR tia đối của tia MI là phân giác HMK
c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy ra PQ BC
Trang 12e) Biết OA = 3R Tính BC và SAOM theo R.
Trang 13I ) Góc ở tâm – liên hệ giữa cung và dây.
Bài 45
Cho (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Dây AC của đờng tròn (O) vuông góc với AO’, dây AD của (O’) vuông góc với AO So sánh các góc AOD và AO’D
Bài 46
Trên một đờng tròn (O) có cung AB bằng 140o Gọi A’ B’ lần lợt là đối xứng của
A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD
Bài 47 Cho hai đờng tròn bằng nhau (O) , (O’) cắt nhau tại A, B Kẻ các đờng kính AOC và AO’D Gọi E là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AC với (O’)
a) So sánh các cung nhỏ CB, BD
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD
Bài 48 Cho (O), dây AB Gọi M là điểm chính giữa cung AB Vẽ dây MC cắt dây
b) PA và PB là hai tiếp tuyến của (O; R)
Bài 52 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 5 cm và đờng chéo AC = 8 cm Đờng
tròn
tâm A bán kính R = 5 cm tiếp xúc với đờng tròn tâm C tại M thuộc đoạn AC Đờng tròn này cắt CB tại E và cắt CD tại F Tính tỉ số độ dài của cung BD và cung EF
II ) góc nội tiếp.
Trang 14a) So sánh hai góc ACB và BOO'.
b) So sánh hai góc CAM và PAN
Bài 55
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Hai dây AC và BD cắt nhau ở I và
cắt (O’) tại C’, D’ Chứng minh rằng C’D’ // CD.
Bài 56
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H Các tia AD,
BE, CF cắt (O) tại các điểm thứ hai tơng ứng A’, B’, C’
a) CMR: AB, BC, CA là trung trực của các đoạn thẳng tơng ứng HC’, HA’, HB’.b) CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
c) CMR: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác DEF Từ đó so sánh bán kính ờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF và bán kính đờng tròn (O)
đ-Bài 57
Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt nhau tại C Dựng điểm M trên d sao cho
MC là phân giác góc AMB
Bài 58
Cho (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Qua A vẽ một cát tuyến cắt (O) tại B, cắt
(O’) tại C Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) tại D, cắt (O’) tại E Cmr : CE // BD.
Bài 59 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi O là điểm chính giữa cung AB và M
là
một điểm bất kì của nửa đờng tròn đó Tia AM cắt đờng tròn (O; OA) tại điểm thứ hai là
N Chứng minh rằng : MN = MB
Bài 60
Cho (O), đờng kính AB, điểm D thuộc đờng tròn Gọi E là điểm đối xứng với A qua D
a) Tam giác ABE là tam giác gì ?
Trang 15b) Gọi K là giao điểm của EB với (O) Chứng minh rằng OD AK.
Bài 61
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A, B, O nằm trên (O’) Dây AC của (O) cắt (O’)
ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F Chứng minh :
Bài 63
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đờng tròn
Vẽ đờng tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đờng kính AB tại D, đờng tròn này cắt CA, CB lần lợt tại các điểm thứ hai là M, N CMR:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng
b) ID MN
c) Đờng thẳng CD đi qua một điểm cố định
d) Suy ra cách dựng đờng tròn (I) nói trên
Bài 64 Cho MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) Vẽ (M; MA), C là một điểm nằm
trên
cung AB của (M) ( cung AB nằm trong đờng tròn (O) ) Tia AC, BC cắt (O) ở P, Q Chứng minh rằng : P và Q đối xứng với nhau qua O
Bài 65
Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M khác C, D Các đờng tròn
đờng kính CD và AM cắt nhau tại điểm thứ hai N ( khác D ) Tia DN cắt BC tại P Chứng minh rằng: AC PM
Trang 16III ) góc giữa tiếp tuyến và một dây.
Bài 66
Hai tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn (O1) cắt nhau tại C Vẽ đờng tròn (O2) đi qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB tại B và cắt đờng tròn (O1) ở M Chứng minh rằng đ-ờng thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau
Bài 67
Cho (O; R) và (O’; r) với R > r tiếp xúc trong tại A Dây BC của (O; R) tiếp xúc với(O’; r) tại M (3 điểm O, A, M không thẳng hàng ) Cmr : tia AM là phân giác của BAC Bài 68
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính EF Vẽ (O’) tiếp xúc trong với nửa đờng tròn tâm O tại A Kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O tại B và tiếp xúc với (O’) tại M Chứng minh rằng tia AM đi qua một đầu của đờng kính EF
Bài 69 cho ABC vuông tại A, đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH, nócắt AB ở M Vẽ đờng tròn tâm K đờng kính CH, nó cắt AC tại N
a) Tứ giác AMHN là hình gì ?
b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K)
c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn ngoại tiếp ABC CMR: Ax // MN
Bài 70 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B, C Tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là M Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O )
Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đờng tròn (O’) Chứng minh rằng :
a) MC2 = MA.MB
b) AC // xy
Bài 71
Cho ABC ngoại tiếp (O) Gọi D, E, F là các tiếp điểm trên các cạnh AB, BC,
CA Gọi M, N, P lần lợt là giao điểm của (O) với các tia OA, OB, OC Cmr : các điểm M,
N, P lần lợt là tâm của các đờng tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF
Bài 72
Cho (O) và (O’) cắt nhau ở A, B Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với (O’) tại D Vẽ đờng tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đờng thẳng AB tại điểm thứ hai là E CMR:
Trang 17Bài 74 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Vẽ dây BC của (O) tiếp xúc
b) Tìm tập hợp những điểm H là giao của BP và CQ
Bài 76 Cho ABC cân tại A và một dây di động AM của đờng tròn ngoại tiếp tam
giác
ấy Đờng thẳng qua B, vuông góc với AM tại A, cắt CM tại P
a) Chứng tỏ DMB = BMP
b) Chứng minh P thuộc đờng tròn cố định
IV ) góc có đỉnh bên trong - bên ngoài đờng tròn.
Bài 77 Cho ABC nội tiếp (O), Các tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I
và
cắt (O) theo thứ tự tại M và N
a) Chứng minh : MB =NC; NA = NC
b) Chứng minh : MB = MI = MC
c) Gọi K là điểm đối xứng với I qua M CMR: K là tâm đờng tròn bàng tiếp ABC
Bài 78 Cho (O), đờng kính AB vuông góc với dây CD Qua M thuộc cung AD kẻ
Trang 18Cho ABC cân tại B Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC Gọi O là một
điểm trên xy Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F Chứng minh rằng số đo cung EDF không đổi khi O di chuyển trên xy
Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ) Trên AB lấy hai điểm M, N sao cho M,
N nhìn CD dới các góc vuông CMR: SABCD = SMCD + SNCD
Bài 84
Cho ABC nội tiếp trong (O) D là điểm chính giữa cung BC Một đờng tròn thay
đổi đi qua A và D cắt các đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G Chứng minh :
a) D là điểm chính giữa cung EG
b) EF song song với một đờng thẳng cố định
Bài 85 Cho góc nhọn xAy, lấy B và C trên Ax và Ay Dựng đờng tròn qua B và C cắt
Ax tại P, Ay tại Q sao cho PQ = m ( m là độ dài cho trớc )
Bài 86
Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi TT' là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’), T và T’ là các tiếp điểm tơng ứng của (O) và (O’) Đờng thẳng OO’ cắt (O) tại B (khác A) và cắt (O’) tại C (khác A) BT cắt CT’ tại D Cmr : BCD ATT’
Bài 87 Cho ABC nhọn ; các chân đờng cao xuất phát từ A, B, C trên các cạnh BC,
CA, AB là D, E, F Cmr : trực tâm ABC trùng với tâm dờng tròn nội tiếp DEF
Bài 88 Cho ABC nội tiếp (O) BD và CE là hai đờng cao xuất phát từ B và C (d)
là
tiếp tuyến của (O) tại A CMR: d // DE
V ) tứ giác nội tiếp
Bài 89
Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P Gọi các giao điểm còn lại của chúng là A, B,
C Từ một điểm D trên đờng tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đờng tròn (PAB) và (PAC) tại M và N CMR: M, A, N thẳng hàng
Bài 90
Trang 19Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Tia OA cắt (O’) tại C Tia O’A cắt (O) tại D CMR: O, O’, B, C, D cùng nằm trên một đờng tròn.
Cho (O) và (O’) cắt nhau tại M và P Kẻ dây MA của (O) tiếp xúc với (O’) tại M
Kẻ dây MB của (O’) tiếp xúc với (O) ở M Trên tia MP lấy H sao cho PH = PM
CMR: Tứ giác MAHB nội tiếp
Bài 93 cho ABC vuông tại C Trên AB dựng hình vuông ABMN có tâm I Chứng minh rằng : CI là phân giác của góc tạo bởi AC và BC
Bài 94
Hai cạnh AB và DC của tứ giác ABCD kéo dài cắt nhau tại E, AD và BC kéo dài cắtnhau tại F Chứng minh các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED, EBC, ABF và CDF cùng đi qua một điểm
Bài 95
Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến qua A cắt các đờng tròn này tại M, N Các tiếp tuyến tại A của (O), (O’) theo thứ tự cắt BN và BM ở P và Q Chứng minh PQ // MN
Bài 96
Cho ABC vuông tại A Trên đoạn AB lấy D Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại
E và CD tại F Chứng minh rằng :
a) Tứ giác ACBF nội tiếp
b) D là tâm đờng tròn nội tiếp AEF
c) B là tâm đờng tròn bàng tiếp của AEF
Bài 97 Cho ABC đều Một nửa đờng tròn có tâm O trên cạnh AB, tiếp xúc với
AC,
BC tại K và I Kẻ một tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt các cạnh BC và AC tại M và N
Đoạn thẳng KI cắt OM và ON tại P, Q CMR: MN = 2PQ
Bài 98 Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B và C A là điểm trên (O) AB cắt
(O’) tại D, AC cắt (O’) tại E AO cắt DE tại H I là trung điểm của BC
a) Chứng minh tứ giác OIDH nội tiếp Suy ra AH DE
b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại A Chứng minh (d) // DE
Bài 99 Cho hình thang cân ABCD (AB // CD) có đờng trung bình bằng một cạnh
bên
Chứng minh ABCD có đờng tròn nội tiếp