Phép biến đổi tích phân hankel và ứng dụng

Tính cấp thiết của đề tài Các phép biến đổi tích phân là một công cụ toán học đem lại nhữngthành công đáng kể trong việc giải quyết nhiều bài toán về phương trình viphân, phương trình sa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan Đức Tuấn

Đà Nẵng - Năm 2019

Để có thể hoàn thành đề tài luận văn thạc sĩ một cách hoàn chỉnh,bên cạnh sự nỗ lực cố gắng của bản thân còn có sự chỉ bảo nhiệt tình củaquý thầy cô, cũng như sự động viên ủng hộ của gia đình và bạn bè trongsuốt thời gian học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới thầy giáoTS.Phan Đức Tuấn đã hết lòng quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tôi hoànthành tốt luận văn này trong thời gian qua

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các quý Thầy, Cô giáo vàBan chủ nhiệm Khoa Toán, Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng

đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu và tạo điều kiện thuậnlợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập nghiên cứu cho đến khi thựchiện đề tài luận văn

Cảm ơn các anh, chị và các bạn trong lớp Cao Học Toán Giải TíchKhóa 34 đã hỗ trợ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và nghiên cứu

Do điều kiện thời gian cũng như kinh nghiệm còn hạn chế nên luậnvăn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự chỉbảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô để tôi có thể bổ sung và hoàn thiệnluận văn một cách tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Nguyễn Thị Hồng Trang

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG 4

1.1.1 Tích phân suy rộng loại 1 4

1.1.2 Tích phân suy rộng loại 2 5

1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 6

1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằng 6

1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng 7

1.3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER 9

1.4 HÀM BESSEL 11

1.4.1 Định nghĩa 12

1.4.2 Tích phân Bessel 13

CHƯƠNG 2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL TRÊN NỬA TRỤC .15

2.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL TRÊN NỬA TRỤC VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ 15

2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ 17

2.3 ỨNG DỤNG 21

ĐOẠN HỮU HẠN 27

3.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL TRÊN ĐOẠN HỮU HẠN VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ 27

3.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ 28

3.3 ỨNG DỤNG 29

KẾT LUẬN 33

TÀI LIỆU THAM KHẢO 34

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Các phép biến đổi tích phân là một công cụ toán học đem lại nhữngthành công đáng kể trong việc giải quyết nhiều bài toán về phương trình viphân, phương trình sai phân và phương trình tích phân trên các lĩnh vực:toán học ứng dụng, vật lí toán và nhiều lĩnh vực khoa học kĩ thuật khác.Một số phép biến đổi tích phân quan trọng như biến đổi Fourier, Laplace,Hankel, Trong đó nổi bật là phép biến đổi Hankel mang tên của nhàToán học người Đức Hermann Hankel (1839 - 1873) giải quyết một số bàitoán xuất hiện từ lĩnh vực vật lý

Trong lý thuyết về các phép biến đổi tích phân tổng quát, người ta địnhnghĩa phép biến đổi tích phân T như sau:

T {f(t)} = F (s) =

t 2Z

t 1

K(t, s)f (t)dt

Trong mỗi phép biến đổi tích phân thì f (t) là hàm gốc, hàm F (s) là hàmảnh và hàm K(t, s) được gọi là nhân của phép biến đổi Nhiều bài toántrong thực tế khó có thể giải quyết, hay ít nhất là việc biểu diễn nó dướigóc nhìn đại số ban đầu Mỗi phép biến đổi tích phân là một ánh xạ mộthàm từ “miền gốc” sang “miền đích” Việc giải quyết bài toán trên miềnđích sẽ thuận lợi hơn so với giải trên miền gốc Sau đó, kết quả sẽ đượcánh xạ trở lại miền gốc ban đầu

Cũng như các phép biến đổi tích phân khác, mục tiêu của phép biến đổitích phân Hankel là chuyển các phép tính vi - tích phân trên hàm sang cácphép tính đại số ảnh Hankel của hàm Nhờ đó, phép biến đổi tích phânHankel có thể biến các phương trình vi - tích phân thành các phương trình

đại số Sử dụng các phương pháp giải phương trình của đại số, kết hợpvới phép biến đổi Hankel ngược ta sẽ tìm được nghiệm của các phươngtrình vi - tích phân ban đầu Nhiều vấn đề trong khoa học và công nghệthường đưa đến việc giải một phương trình vi phân thường, phương trìnhđạo hàm riêng, hoặc phương trình tích phân Chẳng hạn, trong bài toántính độ lệch đứng của một dầm vô hạn dẫn đến giải một phương trình

vi phân thường Khi nghiên cứu các dao động của dây, màng mỏng, sóng

âm, sóng tạo ra do thủy triều, sóng đàn hồi, sóng điện trường dẫn đến giảimột phương trình đạo hàm riêng Trong cơ học lượng tử, xung lượng củacác hạt cơ bản được biểu diễn qua phương trình tích phân Fredholm Điềunày chứng tỏ, việc tìm ra lời giải cho các phương trình vi – tích phân mớixuất hiện song hành với sự phát triển của khoa học và công nghệ

Do vậy, tôi nhận thấy việc tìm hiểu về phép biến đổi tích phân Hankel

và áp dụng vào giải các phương trình vi - tích phân là cần thiết và có ýnghĩa thực tiễn nên tôi quyết định chọn đề tài “Phép biến đổi tích phânHankel và ứng dụng ” làm đề tài nghiên cứu của mình

2 Mục tiêu đề tài

Luận văn nghiên cứu các định nghĩa tính chất và một số ứng dụngcủa phép biến đổi tích phân Hankel

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Đối tượng nghiên cứu: Phép biến đổi tích phân Hankel, phép biếnđổi Hankel ngược trên nửa trục và trên đoạn hữu hạn

- Phạm vi nghiên cứu: Luận văn tìm hiểu các khái niệm, định nghĩa,đính lý liên quan, từ đó đưa ra ứng dụng vào giải quyết một số phươngtrình và bài toán vật lí

4 Phương pháp nghiên cứu

Luận văn được nghiên cứu dựa trên các phương pháp:

- Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu

kinh điển và các bài báo mới, tổng hợp và trình bày báo cáo tổng quan.

- Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn

- Tham khảo một số bài báo đã đăng trên các tạp chí khoa học

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết và ứng dụng Có thể sử dụng luậnvăn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán và những ngườikhông chuyên toán cần các kết quả của toán để ứng dụng cho các bài toánthực tiễn của mình

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm bachương Chương 1, trình bày lại một số các kiến thức về biến đổi Fourier,hàm Bessel, tích phân suy rộng Chương 2, trình bày định nghĩa tính chất

và ứng dụng của phép biến đổi Hankel trên nửa trục Chương 3, trình bàyđịnh nghĩa tính chất và ứng dụng của phép biến đổi Hankel trên đoạn hữuhạn

CHƯƠNG1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 TÍCH PHÂN SUY RỘNG

1.1.1 Tích phân suy rộng loại 1

Định nghĩa 1.1.1 (xem [1, 3]) Cho hàm f : [a, +∞) → R khảtích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A] Tích phân suy rộng loại 1 của f trên[a, +∞) được xác định bởi

A 0

= π

2.

A 0

A 0

Định nghĩa 1.1.4 (xem [3]) Giả sử f (x) xác định trong [a; b) ,

−∞ < a < b < +∞ nhưng không bị chặn tại điểmb và trên mọi [a, b − η],

Tương tự, nếu hàm f (x) xác định trên (a, b] và không bị chặn tại a, khitích phân trên mọi [a + η′, b] với 0 < η′ < b − a thì

1.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Các kết quả chính trong mục này xem [4]

1.2.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 hệ số hằngĐịnh nghĩa 1.2.1 Phương trình có dạng

Do đó, nghiệm tổng quát của phương trình (1.5) là

Xét phương trình vi phân bậc hai thuần nhất với hệ số hằng:

gọi là phương trình đặc trưng của phương trình (1.9) Đa thức bậc hai

F (r) = r2 + pr + q được gọi là đa thức đặc trưng của phương trình (1.9)Giải phương trình (1.10) ta nhận được các nghiệm r1, r2 Có thể xuất hiện

3 trường hợp sau:

Trường hợp 1: r1= r2 ∈ R, nghiệm tổng quát của (1.8) là

y = C1er1 x+ C2er2 x với C1, C2 là hằng số (1.11)Trường hợp 2: r1 = r2 = r ∈ R, nghiệm của (1.8) là

y = C1y1 + C2y2 = e (1.12)Trường hợp 3: r1, r2 ∈ C, nghiệm tổng quát của (1.8) là

Phương trình đặc trưng là r2 − 8r + 16 = 0 có nghiệm kép r1 = r2 = 4

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho tìm được dưới dạng:

1.3 PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER

Các kết quả chính trong mục này xem [7]

Định nghĩa 1.3.1 Phép biến đổi Fourier của hàm f (x) kí hiệu là

F {f(x)} = F (k), k ∈ R, và được định nghĩa bởi tích phân sau

trong đó f (x) khả tích tuyệt đối trên (−∞, +∞)

Phép biến đổi ngược của phép biến đổi Fourier được kí hiệu làF−1{F (k)} =

f (x), được định nghĩa bởi

= √12π exp



−k24a

Ví dụ 1.3.3 Tìm phép biến đổi Fourier của

f (x) =



1 − |x|a

H

với a ∈ R cố định Vì thế hàm Heaviside H(x − a) bị gián đoạn tại x = a.

dx

1

Z

0

ddx

"

sin2 akx2

ak 2

2

#dx

= √a

2π

sin2 ak2

ak 2

Tương tự ta cũng có phép biến đổi Fourier 3-chiều và nghịch đảo của

Các kết quả chính trong mục này xem [6]

Nếu ν không là số nguyên

1.4.2 Tích phân Bessel

Với t−n = J−n(x) Ta có,

exp

x2



t − 1t

exp(−ix sin θ),thay t = e−iθ vào (1.31),

eiθ − e−iθ = 2i sin θ(−1)neinθ + e−inθ = 2 cos nθ, n lẻ

= −2i sin nθ, n chẵn. (1.33)Suy ra

einθdθ = 2π, khi đó r = 0 và triệt tiêu khi r là số nguyên, phép

nhân của (1.34) với einθ và lấy tích phân theo biến θ từ 0 đến 2π được

Khi Jn(x)là số thực, ta có thể biểu diễn thành

CHƯƠNG2 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL TRÊN

NỬA TRỤC

2.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL TRÊN NỬATRỤC VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ

Các kết quả chính trong mục này xem[7]

Ta định nghĩa phép biến đổi Hankel và nghịch đảo của nó từ biến đổiFourier trong không gian hai chiều (1.22) và (1.23)

exp [−iκr cos(θ − φ)] f(r, θ)dθ (2.3)

Giả sử f (r, θ) = exp(inθ)f (r), và dùng phép biến đổi θ − φ = α − π2 đểrút gọn (2.3) về dạng

2) + i(nα − κr sin α)idα,

H −1 n

he

Ví dụ 2.1.3 Phép biến đổi Hankel bậc 0 của

f (r) = (a2 − r2)H(a − r)

Trong đó, H(r) là hàm bậc thang đơn vị Heaviside

e

f (κ) = H0

r(a2 − r2)H(a − r)J0(κr)dr



κn(a2 + κ2)−(n+32 ).2.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ

Nhờ tính chất của hàm Bessel, ta được

Dựa vào phần đầu của công thức (2.14) triệt tiêu khi r → 0 và r → ∞,

và phần đạo hàm trong tích phân (2.14) thay thế bởi (2.15) Khi đó côngthức (2.14) được viết lại là

fn−1(κ) +fen+1(κ)i

=  κ

2n

 h(n − 1)fen+1(κ) − (n + 1)fen−1(κ)i

fn+2(κ)

.(2.18)



rdfdr

được cho bởi rf′(r) và rf (r) triệt tiêu khi r → 0 và r → ∞

Chứng minh Theo định nghĩa ta có:



rdfdr



rdfdr

Nhận xét 2.2.1 Khi n = 0 và n = 1

H0

1r

ddr



rdfdr



= −κ2fe0(κ), (2.22)

H1

1r

ddr



rdfdr

Ta xác định phép biến đổi Hankel bậc không với biến r như sau:

eu(κ, t) =

∞

Z

0

J0(κr)u(r, t)dr (2.26)

Ta có

∇2u = 1

r

ddr



rdudr

′

r

= 1r

du

dr + r

d2udr



= 1r

dudr

eu(κ, 0) = f (κ),e uet(κ, 0) = eg(κ). (2.30)(2.29) là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai hệ số hằng theo biến t,Phương trình đặc trưng:

u2 + c2κ2 = 0 → u = ±(cκ)i

áp dụng (1.13) ta có nghiệm tổng quát của phép biến đổi này là

eu(κ, t) = C1cos(cκt) + C2sin(cκt), (2.31)và

e

ut(κ, t) = −cκC1sin(cκt) + cκC2cos(cκt), (2.32)

theo (2.30) , suy ra C1 = f (κ)e và C2 = eg(κ)

cκ .Vậy,

eu(κ, t) = f (κ)cos(cκt) + (cκ)e −1eg(κ)sin(cκt) (2.33)Phép biến đổi Hankel ngược cho ta nghiệm của bài toán

u(r, 0) = f (r); 0 < r < ∞ (2.38)

Áp dụng phép biến đổi Hankel bậc 0 (2.26) vào hai vế (2.37) và từ kết quả

(2.28) ta có

H0{ut} = H0

κ

trong đó, k là biến số của phép điến đổi Hankel

(2.39) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 1 hệ số hằng,được viết lại theo (1.6) là

duee

Áp dụng phép biến đổi Hankel ngược ta được

Dựa vào bảng giá trị của tích phân đối với hàm Besel, ta được



I0

rl2κt

(2.45)

trong đó, I0(x) là hàm Bessel đã chỉnh sửa và I0(0) = 1

Lưu ý rằng, khi l = 0, J0(0) = 1 và tích phân (2.45) trở thành

exp



−(r

2 + l2)4κt

f (r) = 1

2π

δ(r)

r ,trong đó δ(r) là hàm delta Dirac

Như vậy, nghiệm cuối cùng để nguồn nhiệt tập trung tại r = 0 là

exp



−r

2 + l24κt

dl

với điều kiện biên

Sử dụng phép biến đổi Hankel H0{u(r, z)} = u(k, z)e để giải bài toán này

u(k, 0) = f (k),e due

dz = 0 trên z = 0 (2.55)

(2.56)Nghiệm bị chặn của (2.54) là

eu(k, z) = (A + zB)exp(−kz), (2.57)với A, B là hằng số tích phân được xác định bởi công thức (2.55) khi

A = f (k); B = ke f (k)e

Do đó, nghiệm (3.38) được viết thành

eu(k, z) = (1 + kz)exp(−kz) (2.58)Phép biến đổi Hankel ngược cho ta nghiệm hình thức

CHƯƠNG3 PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN HANKEL TRÊN

ĐOẠN HỮU HẠN

3.1 ĐỊNH NGHĨA PHÉP BIẾN ĐỔI HANKEL TRÊN ĐOẠNHỮU HẠN VÀ MỘT SỐ VÍ DỤ

Các kết quả trong mục này xem [7]

Định nghĩa 3.1.1 Phép biến đổi Hankel bậc n trên đoạn hữu hạncủa hàm f (r) kí hiệu bởi Hn{f(r))} = fen(fi) được định nghĩa như sau:

ne

Tổng được xác định trên tất cả nghiệm dương Jn(ak) = 0

Phép biến đổi Hankel hữu hạn bậc0 và nghịch đảo của nó được định nghĩa

ne

Tương tự, phép biến đổi Hankel bậc 1 và phép biến đổi nghịch đảo của nó

J1(aki) − 2a

2

k2 i

J0(aki),

rút gọn ki trong J0(aki) = 0, ta được

H0(a2 − r2)

= 4a

ki3J1(aki). (3.9)3.2 MỘT SỐ TÍNH CHẤT TOÁN TỬ

Phép biến đổi Hankel hữu hạn có những tính chất sau:

Hn{f′(r)} = 2nki [(n − 1)]Hn+1{f(r)} − (n + 1)Hn−1{f(r)}], (3.10)trong đó, f (r) là hàm hữu hạn tại r = 0, n ≥ 1

Khi n = 1, ta có phép biến đổi Hankel của đạo hàm là

Ví dụ 3.3.1 (Sự rung động của một màng tròn) Dao động đối xứng

tự do của một màng tròn mỏng bán kính a bị chi phối bởi phương trìnhsóng

u = f (ke i);



duedt



t=0

= eg(ki) (3.20)(3.19) là phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp 2 hệ số hằngtheo biến t, tương tự (2.3.1) ta tìm được nghiệm tổng quát là

eu(ki, t) =f (ke i) cos(ctki) + eg(ki)

cki

sin(ctki) (3.21)

Phép biến đổi ngược cho nghiệm tầm thường

Xét một cách tổng quát phép biến đổi Hankel với điều kiện biên

n(aki). (3.26)Theo tính chất của phép biến đổi Hankel ta được

= −ki2fen(ki) − aki

h [f

′(a) + hf (a)]Jn′(aki), (3.28)

do đó, kết quả (3.28) suy ra f′(a) + hf (a) từ điều kiện biên

Ví dụ 3.3.2 (Phân phối nhiệt độ trong một hình trụ tròn dài) Tìmnghiệm của một phương trình dẫn nhiệt đối xứng

với điều kiện biên và điều kiện ban đầu là

u(r, t) = f (t), r = a, t > 0, (3.30)u(r, 0) = 0, 0 ≤ r ≤ a (3.31)Ứng dụng của phép biến đổi Hankel hữu hạn được định nghĩa bởi

eu(ki, t) = H0{u(r, t)}

e

ut + κki2 = κakiJ1(aki)f (t),e

a

X∞ i=1

a

X∞ i=1

J0(rki)

kiJ1(aki)exp(−κki2t) (3.37)

Nghiệm này đại diện cho phân phối nhiệt độ ổn định và nhiệt độ không

ổn định phân rã về 0 khi t → ∞ Do đó, nhiệt độ ổn định đạt được tronggiới hạn khi t → ∞ .

Ví dụ 3.3.3 (Phân phối nhiệt độ làm mát của hình trụ tròn) Giải

bài toán dẫn nhiệt đối xứng cho một hình trụ tròn dài vô hạn bán kính

r = a với nhiệt độ không đổi ban đầu T0 và xi lanh được làm mát bằngbức xạ nhiệt từ bề mặt giới hạn của nó ở r = a đến môi trường bên ngoài

ở nhiệt độ 0 theo quy luật làm mát của Newton thỏa mãn điều kiện biên

u(r, 0) = T0 tại t = 0 với 0 < r < a,

Áp dụng phép biến đổi Hankel bậc 0 ta có

due

dtκki2u = 0,e t > 0e

kiJ0′(aki) + hJ0(aki) = 0, kiJ1(aki) = hJ0(aki),

ta thu được nghiệm chính thức

u(r, t) =

2hT0

a

X∞ i=1

J0(rki) exp(−κtki2)(k2

i + h2)J0(aki) .

KẾT LUẬN

Trong luận văn này em đã trình bày một số nội dung về phép biếnđổi tích phân Hankel trên nửa trục và trên đoạn hữu hạn Đồng thời cũngđưa ra ứng dụng về phép biến đổi này vào một số bài toán trong lĩnh vựcVật lí Tuy nhiên do kiến thức chưa đủ rộng và sâu nên nội dung thực hiệncòn nhiều hạn chế và sai sót Rất mong được sự góp ý và xây dựng củaquý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Văn Khuê (1997), Toán cao cấp, Nhà xuất bản Giáo dục.[2] Chu Thị Lan (2016), Phép biến đổi Hankel và áp dụng, Luận văn thạc

sĩ Toán học, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

[3] Nguyễn Duy Tiến (2001), Bài giảng Giải tích, Tập 1, Nhà xuất bảnĐại học Quốc gia Hà Nội

[4] Nguyễn Đình Trí (2011), Toán học cao cấp , Tập 3, Nhà xuất bảnGiáo dục

Tiếng Anh

[5] A Dernek and O Yurekli (2009), “Identities for the Hankel transformand their applications”, Journal of Mathematical Analysis and Appli-cations, No 354, pp 165-176

[6] Alan Jeffrey (2000), Handbook of Mathematical Formulas and grals, United States of America

Inter-[7] L Debnath and D Bhatta (2007), Integral Transforms and their plications, Taylor and Francis Group