Biến đổi tích phân fourier và ứng dụng trong thống kê toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN NGUYỄN THỊ PHƯƠNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60460102 LUẬ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

NGUYỄN THỊ PHƯƠNG

BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ ỨNG DỤNG TRONG THỐNG KÊ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60460102

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN

HÀ NỘI- 2014

Mục lục

Lời nói đầu 3

1 Kiến thức chuẩn bị 5 1.1 Chuỗi Fourier 5

1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier 5

1.1.2 Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier 8

1.2 Tích phân Fourier 10

1.2.1 Khái niệm về biến đổi tích phân 10

1.2.2 Công thức tích phân Fourier 11

2 Biến đổi tích phân Fourier và các tính chất cơ bản 14 2.1 Định nghĩa và ví dụ 14

2.2 Biến đổi Fourier của các hàm suy rộng 20

2.3 Tính chất cơ bản của biến đổi Fourier 32

2.4 Biến đổi Fourier - cosine và Fourier - sine 44

2.5 Tổng Poisson 50

3 Ứng dụng của biến đổi Fourier trong thống kê toán học 57 3.1 Đại lượng ngẫu nhiên và các hàm cơ bản 57

3.2 Các đặc trưng số của đại lượng ngẫu nhiên 62

3.3 Một số định lý quan trọng và ví dụ 72

Kết luận 79 Tài liệu tham khảo 80

LỜI NÓI ĐẦU

Toán giải tích là một trong những chuyên ngành nghiên cứu quan trọng hàng đầu của toán học hiện đại Nó bao gồm nhiều lĩnh vực được mọi người quan tâm, nghiên cứu Và biến đổi Fourier là một trong số đó vì nó có rất nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ như trong vật lý, số học, xác suất, thống kê, hải dương học, quang học, hình học và nhiều lĩnh vực khác Ngày nay các nhà khoa học vẫn đang cố gắng khám phá ra những kết quả có tầm quan trọng nhằm nâng cao được ứng dụng của nó

Trong luận văn này chúng ta sẽ tìm hiểu về biến đổi tích phân Fourier và ứng dụng của nó trong thống kê toán học

Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo

Chương mở đầu là phần kiến thức chuẩn bị, chúng ta sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và tính chất cơ bản của nó Trong quá trình tìm hiểu về chuỗi Fourier

sẽ cho chúng ta thấy được khởi nguồn của biến đổi tích phân Qua đó ta đưa

ra khái niệm về biến đổi tích phân Fourier

Chương hai sẽ trình bày các khái niệm và các định lý quan trọng liên quan tới biến đổi Fourier Phần đầu, ta nghiên cứu định nghĩa biến đổi Fourier và các ví dụ cơ bản Tiếp theo ta sẽ nói về biến đổi Fourier của các hàm suy rộng Phần trọng tâm trong chương này chính là đi nghiên cứu về các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier, tích chập, đẳng thức Parseval Cuối cùng

ta tìm hiểu về biến đổi Fourier cosine và Fourier sine, tổng Poisson

Trong chương cuối ta sẽ đề cập tới các khái niệm về hàm đặc trưng, hàm phân bố, hàm mật độ cùng các tính chất liên quan Đồng thời đưa ra cách

tính mômen, phương sai bằng phương pháp biến đổi Fourier.

Trong quá trình thực hiện luận văn tôi đã nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình của PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Các thầy cô trong khoa Toán

- Cơ - Tin học trường Đại học Khoa học Tự Nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội đã giúp tôi có thêm nhiều kiến thức để có thể hoàn thành luận văn và khóa học một cách tốt đẹp Bên cạnh đó còn có sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô phòng Sau Đại học đã tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ, các thầy cô và các bạn trong seminar Toán Giải Tích đã

có những góp ý hữu ích để tôi hoàn thiện luận văn tốt nhất

Tôi xin chân thành cảm ơn tất cả những đóng góp quý báu ấy

Cuối cùng, tôi xin gửi lời biết ơn tới gia đình, người thân đã luôn động viên, ủng hộ tôi trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa luận

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng bản luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của quý thầy cô

và các bạn

Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Nguyễn Thị Phương

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Phần đầu của luận văn tôi sẽ trình bày lại một cách ngắn gọn kiến thức

về chuỗi Fourier và biến đổi tích phân

1.1 Chuỗi Fourier

1.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier

Trước hết luận văn sẽ nhắc lại về chuỗi Fourier và một số tính chất quan trọng của nó

Trong giáo trình giải tích các hàm số một biến, chúng ta đa được làm quen với khái niệm chuỗi Fourier của hàm khả tích và xem xét sơ bộ tính hội

tụ của nó

Định nghĩa 1.1.1 Chuỗi hàm dạng

a0

2 +

∞

X

n=1

(ancos nx + bnsin nx) , (1.1)

trong đó a0, an, bn (n = 1, 2, ) là các hằng số, được gọi là chuỗi lượng giác Giả sử f (x) là hàm liên tục trong khoảng (−∞, +∞), tuần hoàn với chu

kỳ 2π Ta xác định các hệ số a0, an, bn (n = 1, 2, ) theo công thức:

a0 = 1 π

Z π

−π

an = 1 π

Z π

−π

f (x) cos(nx)dx, (1.3)

bn = 1 π

Z π

−π

f (x) sin(nx)dx (1.4)

Khi đó chuỗi lượng giác (1.1) với các hệ số được xác định theo công thức (1.2),(1.3),(1.4) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) và ký hiệu

f (x) ∼ a0

2 +

∞

X

n=1

(ancos nx + bnsin nx) (1.5)

Chú ý rằng vì f (x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π nên trong các công thức (1.2), (1.3), (1.4) có thể thay tích phân từ −π đến π bằng cách tích phân trên đoạn có độ dài 2π bất kỳ

Nếu f (x) là hàm chẵn thì từ các công thức (1.2), (1.3), (1.4) ta có bn = 0(n = 1, 2, ) còn

a0 = 2 π

Z π 0

f (x)dx,

an = 2

πf (x) cos(nx)dx, (n = 1, 2, ).

Khi đó

f (x) ∼ a0

2 +

∞

X

n=1

ancos nx

Nếu f (x) là hàm lẻ thì a0 = 0, an = 0(n = 1, 2, ) còn

bn = 2 π

Z π 0

f (x) sin(nx)dx, (n = 1, 2, )

Khi đó

f (x) ∼

∞

X

n=1

bnsin nx

Tiếp theo ta sẽ đề cập chuỗi Fourier theo Định nghĩa 1.1.2 dưới đây

Định nghĩa 1.1.2 [7] Cho f (x) là hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả tích trên đoạn [−π, π] Khi đó các hệ số được xác định bởi

ˆ

f (n) = 1

2π

Z π

−π

f (x)e−inxdx, n ∈ Z, (1.6)

được gọi là hệ số Fourier của hàm f (x) Chuỗi hàm

+∞

X

n=−∞

ˆ

được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x)

Thông thường ta ký hiệu hệ số Fourier của ˆf (n) là cn và chuỗi Fourier của hàm f (x) được viết dưới dạng

f (x) ∼

+∞

X

n=−∞

Nếu chuỗi Fourier của hàm f hội tụ về đúng hàm f (x) thì

f (x) =

+∞

X

n=−∞

cneinx

Trường hợp tổng quát, nếu f : [a, b] → C và tuần hoàn với chu kỳ L = b − a thì hệ số Fourier và chuỗi Fourier được xác định như sau:

ˆ

f (n) = 1

L

Z b a

f (x)e−2πinx/Ldx,

f (x) ∼

+∞

X

n=−∞

ˆ

f (n)e2πinx/L

(1.9)

Định nghĩa 1.1.3 Cho hàm f khả tích và tuần hoàn với chu kỳ 2π Với mỗi số tự nhiên N, tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của f được xác định bởi

SN(f )(x) =

N

X

n=−N

ˆ

f (n)einx

Tiếp theo ta trình bày về tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier

1.1.2 Tính duy nhất và hội tụ đều của chuỗi Fourier

Đầu tiên ta sẽ nói về tính duy nhất của chuỗi Fourier

Giả sử f và g là hai hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu kỳ 2π

và có hệ số Fourier lần lượt là ˆf và ˆg được xác định theo công thức (1.6)

ˆ

f (n) = 1

2π

Z π

−π

f (x)e−inxdx,

ˆ g(n) = 1

2π

Z π

−π

g(x)e−inxdx, n ∈ Z

Nếu ta có hàm f = g thì ˆf (n) = ˆg(n) với mọi n ∈ Z Nhưng ngược lại, nếu các hệ số Fourier ˆf (n) = ˆg(n) thì chưa chắc f = g Ví dụ

f (x) = x3+ 2 6= g(x) = x + 2 trên [−π, π],

nhưng ta lại có

Z π

−π

f (x)dx =

Z π

−π

g(x)dx = 4π

Định lý 1.1.1 [7] Giả sử f là hàm khả tích trên [−π, π], tuần hoàn với chu

kỳ 2π và ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z Khi đó, nếu f liên tục tại x0 thì f (x0) = 0

Hệ quả 1.1.1 [7] Nếu f liên tục trên [−π, π] và ˆf (n) = 0 với mọi n ∈ Z thì

f = 0

Từ những kết quả trên ta có định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier như sau

Định lý 1.1.2 Giả sử f và g là hai hàm liên tục trên [−π, π] và có hệ số Fourier lần lượt là ˆf (n) và ˆg(n) được xác định theo (1.6)

ˆ

f (n) = 1

2π

Z π

−π

f (x)e−inxdx,

ˆ g(n) = 1

2π

Z π

−π

g(x)e−inxdx, n ∈ Z

Khi đó, ta có

f = g khi và chỉ khi ˆf (n) = ˆg(n)

Tiếp theo ta nhắc lại một số kết quả về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier Định lý 1.1.3 [7] Giả sử f là hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn với chu

kỳ 2π và f (x) ∼ P∞

n=−∞f (n)eˆ inx có các hệ số thỏa mãn P∞

−∞| ˆf (n)| < ∞ thì chuỗi Fourier hội tụ đều đến hàm f , tức là

SN(f )(x) ⇒ f (x), khi N → ∞

Chứng minh Ta nhắc lại rằng nếu một dãy của hàm liên tục hội tụ đều thì giới hạn của nó cũng liên tục Ta có

| ˆf (n)einx| = 1

2π

Z π

−π

f (x)einxdx

≤ 1 2π

Z π

−π

|f (x)||einx|dx = | ˆf (n)|

Theo giả thiếtP∞

n=−∞| ˆf (n)| < ∞ nên theo dấu hiệu Weierstrass thì SN(f )(x) hội tụ đều đến hàm liên tục g(x) và suy ra

g(x) =

∞

X

n=−∞

ˆ

f (n)einx = lim

N →∞

∞

X

n=−∞

ˆ

f (n)einx

Hơn nữa, hệ số Fourier của hàm g(x) đúng bằng ˆf (n) do đó ˆf (n) = ˆg(n) hay ˆ

f (n) − ˆg(n) = 0 Khi đó, áp dụng Hệ quả 1.1 cho hàm liên tục f − g ta được

f − g = 0 hay f = g Vậy

SN(f )(x) ⇒ f (x), khi N → ∞

Định lý được chứng minh

Định lý 1.1.4 Nếu f là hàm tuần hoàn với chu kỳ 2π và khả vi, liên tục cấp k trên [−π, π], tức là f ∈ C[−π,π]k Khi đó ta có đánh giá cho các hệ số Fourier

ˆ

f (n) = O(1/|n|k) khi |n| → ∞,

Tài liệu tham khảo

[1] D.I Kazakevits (2005), Cơ sở Lý thuyết Hàm ngẫu nhiên và ứng dụng trong Khí tượng Thủy văn (Người dịch: Phạm Văn Huấn, Nguyễn Thanh Sơn, Phan Văn Tân), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội

[2] Vũ Viết Yên (2009), Bài tập Lý thuyết xác suất, NXB Đại học Sư phạm [3] Joseph Beyene (2001), Use of the fast Fourier transform in exact statis-tical inference, University of Toronto

[4] R N Bracewell (1986), The Fourier transform and its applications, Mc-Graw Hill

[5] K Chandrasekharan (1989), Classical Fourier transforms, Springer-Verlag, New York

[6] Lokenath Debnath and Dambaru Bhatta (2007), Integral transforms and their applications, Taylor and Francis group

[7] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an intro-duction, Princeton university Press, Princeton and Oxford