Phép biến đổi laplace hữu hạn và ứng dụng (LV01642)

Lời cam đoanTrong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Phép biến đổi Laplacehữu hạn và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giảitích phức, đặc biệt là những khái niệm quan trọ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Hào

HÀ NỘI - 2015

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích,trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè và Ban Giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán - Tin trường trunghọc phổ thông Tiền Phong - Mê Linh - Hà Nội đã luôn động viên, cổ

vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập và hoànthành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thành Biên

Lời cam đoan

Trong suốt quá trình nghiên cứu luận văn “Phép biến đổi Laplacehữu hạn và ứng dụng” đã giúp tác giả tìm hiểu sâu về bộ môn giảitích phức, đặc biệt là những khái niệm quan trọng của phép biến đổiLaplace hữu hạn Qua đó cũng giúp tác giả bước đầu làm quen với côngtác nghiên cứu khoa học

Tác giả xin cam đoan luận văn được hoàn thành do sự cố gắng nỗ lựctìm tòi, nghiên cứu của bản thân dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn VănHào

Hà Nội, tháng 7 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Thành Biên

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Số phức và mặt phẳng phức 5

1.1.1 Khái niệm và tính chất cơ bản 5

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức 7

1.1.3 Một số tập hợp trong mặt phẳng phức 8

1.2 Hàm chỉnh hình 10

1.3 Tích phân phức 13

1.4 Chuỗi lũy thừa 16

1.5 Lý thuyết thặng dư 18

1.5.1 Không điểm và cực điểm 18

1.5.2 Công thức thặng dư 20

Chương 2 Phép biến đổi Laplace hữu hạn 23

2.1 Định nghĩa và một số ví dụ 23

2.1.1 Khái niệm về phép biến đổi Laplace hữu hạn 23

2.1.2 Một số ví dụ về phép biến đổi Laplace hữu hạn 27 2.2 Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Laplace hữu hạn 32

Chương 3 Một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu

hạn 37

3.1 Bài toán Cauchy 37

3.2 Bài toán dao động điều hòa đơn 38

3.3 Bài toán giá trị biên 39

3.4 Bài toán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn 40

Kết luận 43

Phụ lục 44

Tài liệu tham khảo 46

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Một trong những dấu ấn đậm nét của sự xuất hiện phép biến đổi tíchphân phải kể đến một số các công trình của nhà Toán học LeonhardEuler trong nững năm 1763 - 1769 Các nghiên cứu của ông về mặt cơbản là sử dụng phép biến đổi Laplace và biến đổi Laplace ngược đểgiải phương trình vi phân thường tuyến tính cấp hai Đến năm 1910,Bateman là người đầu tiên áp dụng phép biến đổi Laplace trong việcgiải quyết một số vấn đề của Vật lý lượng tử Bằng cách đặt

vi phân tuyến tính thường, phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, cácbài toán về xử lý mạch điện trong vật lý, Tuy nhiên phép biến đổi nàythường được sử dụng để tìm lời giải của một hệ tuyến tính nào đó tại

thời điểm t thỏa mãn điều kiện đầu t = 0 và hàm nhiễu f (t) với t ≥ 0.Trong trường hợp hàm nhiễu (hay cũng còn gọi là hàm đầu vào) là hàm

f (t) = exp(at2); a > 0 thì phép biến đổi Laplace thông thường khôngthể sử dụng trong việc tìm nghiệm của bài toán với điều kiện đầu vì biếnđổi Laplace của hàm f (t) không tồn tại Theo một số cách nhìn từ khíacạnh Vật lý, điều này là một lý do tại sao hàm f (t) không được sử dụngnhư một hàm nhiễu chấp nhận được để giải quyết những vấn đề đặt ra.Điều này thường chỉ đúng cho lời giải của bài toán ở thời điểm sau tnhưng không còn hiệu lực tại chính thời điểm t Từ thực tế này, đưa cácnhà Toán học hình thành ý tưởng giới thiệu phép biến đổi Laplace hữuhạn trong đoạn 0 ≤ t ≤ T Tính hiệu lực cũng như sự hữu ích của phépbiến đổi Laplace hữu hạn so với phép biến đổi Laplace thường cũng đãđược khẳng định trên nhiều lĩnh vực khác trong Toán học cũng như thựctiễn

Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: "Phép biếnđổi Laplace hữu hạn và ứng dụng" để thực hiện luận văn Thạc sĩToán học chuyên ngành Toán giải tích

Luận văn được cấu trúc thành 03 chương Chương 1, chúng tôi trình bàymột số kiến thức chuẩn bị Phần nghiên cứu chính được trình bày trongchương 2 của luận văn, ở đây chúng tôi trình bày một cách hệ thống vềphép biến đổi Laplace hữu hạn Chương 3 sẽ trình bày một số ứng dụngcủa phép biến đổi Laplace hữu hạn

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu hệ thống kiến thức cơ bản về phép biến đổi Laplace hữu hạnsau đó nêu ra một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một cách hệ thống về phép biến Laplace hữu hạn

và một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vựcVật lý

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phép biến đổi Laplace hữu hạn và một số ứng dụng của phép biến đổiLaplace hữu hạn để giải phương trình vi phân thường trong việc giảiquyết một số bài toán trong lĩnh vực Vật lý như: bài toán Cauchy, bàitoán cường độ dòng điện tức thời trong mạch đơn, bài toán giá trị biên,bài toán dao động điều hòa đơn

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng củangười hướng dẫn

6 Đóng góp của đề tài

Hệ thống hóa chi tiết, căn bản về phép biến đổi Laplace hữu hạn; trìnhbày một số ứng dụng của phép biến đổi Laplace hữu hạn trong lĩnh vựcVật lý

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Số phức và mặt phẳng phức

1.1.1 Khái niệm và tính chất cơ bản

Số phức là số có dạng

z = x + iy; x, y ∈ R;

trong đó i là đơn vị ảo mà i2 = −1 Ta gọi x là phần thực và y là phần

ảo, kí hiệu tương ứng bởi

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3); (z1.z2).z3 = z1.(z2.z3).

+ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng

z1.(z2 + z3) = z1.z2 + z1.z3.Với mỗi số phức z = x + iy, ta xác định modul của số phức z là

|z| = px2 + y2.Modul của số phức có các tính chất đơn giản dưới đây

(i) |z + w| ≤ |z| + |w| ; ∀z, w ∈ C,

(ii) ||z| − |w|| ≤ |z − w| ; ∀z, w ∈ C,

(iii) |Rez| ≤ |z| ; |Imz| ≤ |z| ; ∀z ∈ C

Số phức liên hợp của số phức z = x + iy được ký hiệu là ¯z = x − iy.Không khó khăn ta có thể kiểm tra được

Rez = z + ¯z

2 ; Imz =

z − ¯z2i

|z|2 = z.¯z;1

z =

¯z

|z|2 với z 6= 0

Số phức khác 0 được biểu diễn dưới dạng cực

z = r.eiθ; với r > 0, θ ∈ R

Trong biểu diễn trên θ được gọi là argument của số phức z (argumentcủa số phức z được xác định một cách duy nhất với sự sai khác một bộinguyên của 2π) và

eiθ = cosθ + i sin θBởi vì |eiθ| = 1, nên r = |z| và θ là góc hợp bởi chiều dương của trục Ox

và nửa đường thẳng xuất phát từ gốc tọa độ đi qua điểm z Cuối cùng,

ta lưu ý rằng z = r.eiθ và w = s.eiϕ thì

z.w = r.s.ei(θ+ϕ).1.1.2 Sự hội tụ của dãy số phức

Dãy số phức {zn} được gọi là hội tụ đến số phức w ∈ C và viết là

n→∞Imzn = ImwDãy số phức {zn} được gọi là dãy Cauchy nếu

|zn− zm| → 0; khi m, n → ∞

Điều đó, tương đương với mọi ε > 0 tồn tại N = N (ε) ∈ N∗ sao cho

¯

Dr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| ≤ r} Biên của đĩa đóng hoặc mở là đường tròn Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r}.Đĩa có tâm z0 = 0 và bán kính bằng 1 gọi là đĩa đơn vị, ký hiệu là

D = {z ∈ C : |z| ≤ 1} cho tập hợp Ω ⊂ C, điểm z0 ∈ Ω được gọi là điểm trong của Ω nếu tồntại r > 0 sao cho

Dr(z0) ⊂ Ω

Phần trong của tập Ω ⊂ C ký hiệu là intΩ gồm tất cả các điểm trongcủa Ω Tập Ω được gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó là điểm trong.Tập Ω được gọi là tập đóng nếu phần bù của nó C\Ω là tập mở

Điểm z ∈ C được gọi là điểm giới hạn của tập Ω nếu tồn tại một dãycác điểm zn ∈ Ω sao cho zn 6= z và lim

n→∞zn = z Chúng ta có thể kiểm

tra được rằng một tập Ω là đóng nếu nó chứa mọi điểm giới hạn của nó.Bao đóng của tập Ω là hợp của Ω và các điểm giới hạn của nó, ký hiệu

là ¯Ω Biên của Ω ký hiệu và được xác định bởi ∂Ω = ¯Ω\intΩ

Tập Ω là bị chặn nếu tồn tại số M > 0 sao cho |z| ≤ M với mọi z ∈ Ω.Nếu Ω là bị chặn, ta xác định được đường kính của nó bởi

diam(Ω) = sup

z,w∈Ω

|z − w| Tập Ω được gọi là compact nếu nó đóng và bị chặn

Định lý 1.2 Tập Ω ⊂ C là compact nếu và chỉ nếu mọi dãy {zn} ⊂ Ωđều chứa một dãy con {znk} hội tụ tới một điểm z ∈ Ω

Một phủ mở của Ω là một họ các tập mở {Uα}α∈I sao cho Ω ⊂ ∪

α∈IUα.Định lý 1.3 Tập Ω là compact nếu và chỉ nếu mọi phủ mở của Ω cómột phủ con hữu hạn

Mệnh đề 1.1 Nếu Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ ⊃ Ωn ⊃ là một dãy các tậpcompact khác rỗng trong C mà

diam(Ωn) → 0; khi n → ∞thì tồn tại duy nhất điểm ω ∈ C sao cho ω ∈ Ωn với mọi n

Chứng minh Với mỗi n chọn điểm zn ∈ Ωn Bởi vì

Ω1 ⊃ Ω2 ⊃ ⊃ Ωn ⊃ nên zn, zm ∈ ΩN với mọi m, n ≥ N Như vậy, ta thấy dãy {zn} là dãyCauchy Do đó lim

n→∞zn = w Bởi vì Ωn compact, nên ta có ω ∈ Ωn với

mọi n.

Thêm nữa, nếu tồn tại w0 ∈ Ωn với mọi n thì ta có

0 ≤ |w − w0| < diam(Ωn) → 0

Như vậy ω là điểm chung duy nhất của mọi tập Ωn

Tập mở Ω ⊂ C được gọi là liên thông nếu không thể tìm được hai tập

mở khác rỗng Ω1 và Ω2 rời nhau sao cho

Ω = Ω1 ∪ Ω2.Một tập mở liên thông trong C được gọi là một miền Tập đóng F làliên thông nếu không thể viết F = F1∪ F2 ở đó F1 và F2 là các tập đóngkhông rỗng rời nhau

1.2 Hàm chỉnh hình

Định nghĩa 1.1 Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω Hàm

f (z) được gọi là C - khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểuthức

Hàm f gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.

Ví dụ 1.1 Hàm f (z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong

Ví dụ 1.2 Hàm f (z) = 1

z là chỉnh hình trên tập mở bất kỳ D khôngchứa điểm gốc và f0(z) = − 1

Ví dụ 1.3 Hàm f (z) = ¯z là không chỉnh hình Thật vậy, ta tính thương

vi phân của hàm này như sau

h.Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấyngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0

Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉnếu tồn tại hằng số a sao cho

f (z0 + h) − f (z0) − a.h = h.ψ(h) (1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim

h→0ψ(h) = 0 Dĩ nhiên,

ta có a = f0(z0)

Nhận xét 1.1 Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm f chỉnh hìnhtrên Ω thì f là liên tục trên đó

Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũngtương tự như hàm biến thực Ta có mệnh đề sau

Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường củahàm hai biến thực Thực vậy, hàm f (z) = ¯z tương ứng như ánh xạ củamột hàm hai biến thực F : (x, y) 7→ (x, −y) Hàm này khả vi theo nghĩahàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tínhđược cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạohàm riêng của các hàm tọa độ Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại cácđạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức Để hàm f khả vi phức,ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điềukiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây Để lý giải đượcđiều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong đóhàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả vi

tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vitại điểm (x, y).

Định lý 1.4 (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f (z) là C - khả

vi tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann

Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và ¯z : [c, d] → C được gọi làtương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến

[a, b] sao cho t0(s) > 0 và ¯z(s) = z (t(s)) Điều kiện t0(s) > 0 đảm bảohướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b Họcủa tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định mộtđường cong trơn γ ⊂ C Đường cong γ− là đường cong thu được từ γbằng cách đổi hướng Một dạng tham số hóa của γ− được xác định nhưsau

z− : [a, b] → R2

z−(t) = z(b + a − t)

Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu

t 6= s thì z(t) 6= z(s) (trừ ra khi s = a và t = b) Ta thường gọi đườngcong đơn và kín là một chu tuyến Một chu tuyến γ giới hạn một miềntrong mặt phẳng phức C được gọi là miền đơn liên và thường được kýhiệu bởi Dγ

Ví dụ 1.4 Xét đường tròn Cr(z0) tâm tại z0, bán kính r

Cr(z0) = {z ∈ C : |z − z0| = r} Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số

Định nghĩa 1.2 Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phươngtrình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ Tích phân của hàm fdọc theo γ được xác định bởi

(ii) Nếu γ− là đường cong ngược hướng với γ thì

γ

f (z)dz

≤ sup

z∈γ

|f (z)| length(γ)

Định lý 1.6 Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và

γ là một đường cong trơn từng khúc nằm trong Ω có điểm đầu là ω1 vàđiểm cuối ω2, thì

1.4 Chuỗi lũy thừa

Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Chúng ta có nhận xét rằng nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại điểm z0 nào đó, thì

nó cũng hội tụ với mọi z trong đĩa |z| ≤ |z0| Việc tìm miền hội tụ củachuỗi lũy thừa được xác định bởi định lý dưới đây

Định lý 1.7 (Cauchy - Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa

∞

P

n=0

anzn Khi

đó, tồn tại số 0 ≤ R ≤ +∞ sao cho

(i) Nếu |z| < R thì chuỗi hội tụ tuyệt đối

(ii) Nếu |z| > R thì chuỗi phân kỳ

Hơn nữa, nếu ta sử dụng quy ước 1/0 = ∞ và 1/∞ = 0, thì số R đượctính bởi công thức

Hệ quả 1.3 Chuỗi lũy thừa khả vi vô hạn lần trong đĩa hội tụ của nó.Đạo hàm của chuỗi lũy thừa là một chuỗi lũy thừa thu được bằng cáchlấy đạo hàm của từng số hạng của chuỗi đã cho.

Một hàm f (z) xác định một tập con mở Ω được gọi là giải tích (hoặc

có khai triển chuỗi lũy thừa) tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại chuỗi lũy thừa

1.5.1 Không điểm và cực điểm

Định nghĩa 1.3 Điểm z0 được gọi là không điểm của hàm f (z) nếu

f (z0) = 0

Định lý 1.9 Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một tập con mởliên thông Ω, có một không điểm tại z0 ∈ Ω và không đồng nhất bằngkhông trong Ω Thế thì, tồn tại một lân cận U ⊂ Ω của z0 và một hàmchỉnh hình g không đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương

lớn nhất n sao cho

f (z) = (z − z0)ng(z); với mọi z ∈ U

Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc n (hoặcbội n) tại điểm z0 Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z0 làkhông điểm đơn

Định nghĩa 1.4 Điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập củahàm f (z) nếu tồn tại một lân cận thủng {z ∈ C : 0 < |z − z0| < R} củađiểm z0 sao cho tại lân cận này hàm f chỉnh hình nhưng không chỉnhhình tại z0

Ví dụ 1.5 Hàm f (z) = 1

z − 1 nhận điểm z = 1 là điểm bất thường côlập

Định nghĩa 1.5 Điểm bất thường cô lập z0 được gọi là

(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim

Hàm số f (z) = e1z nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì

lim

z→0f (z) = lim

z→0 y=0,x>0

e1z = lim

x→0 −e1x = 0

Định lý 1.10 Nếu f (z) có một cực điểm tại z0 ∈ Ω, thì trong mộtlân cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và sốnguyên dương n lớn nhất sao cho

f (z) = h(z)

(z − z0)n.

Số nguyên dương n trong Định lý 1.10 được gọi là bậc (hoặc bội) củacực điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 Nếucực điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn

Định lý 1.11 Nếu f có cực điểm bậc n tại z0, thì

z=z0f Như vậy res

z=z0f = a−1