Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân laplace và ứng dụng

Lịch sử của hướng nghiên cứu này có thể tính bằng các mốc thời gian chính như sau Từ những năm 1951 trở về trước đó đã xây dựng được tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học sư

phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Trịnh Tuân, người thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập và nghiên cứu khoa học Thầy luôn động viên và khích

lệ để tác giả vươn lên trong học tập, vượt qua những khó khăn trong

chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc

nhất đối với thầy

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư

phạm Hà Nội 2, phòng Đào tạo sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích đã

giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập

Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, các thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường THPT Tam Nông, Phú Thọ đã quan tâm, động viên và tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận văn này

Hà Nội, ngày 20 tháng 8 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Thanh Hòa

Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của Tiến sĩ Trịnh Tuân

Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện

luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn

1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BỊ 5

1.1 Một số phép biến đổi tích phân và tính chất 5

1.1.1 Phép biến đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine 5 1.1.2 Phép biến đổi Laplae

1.2 Tích chập và tích chập suy rộng 9

1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép

biến đổi teh phân 12

2_ Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi

2.1 Một số không gianhàm 17

2.2 Dinh nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép

biến đổi tích phân Laplace và đẳng thức nhân tửhóa 19

F : Phép biến đổi Fourier

Fo : Phép biến đổi Fourier ngược

F, : Phép biến ddi Fourier sine

E1 : Phép biến đổi Fourier sine ngược

F, : Phép bién ddi Fourier cosine

Fo! : Phép bién ddi Fourier cosine ngược

K : Phép bién doi Kontorovich-Lebedev

K1 : Phép biến đổi Kontorovich-Lebedev ngược

L : Phép biến đổi Laplace

lề : Phép biến đổi Laplace ngược

(f *g) : Tích chập của hai hàm f và g

(f * 9) : Tích chập có hàm trọng của hai hàm Ÿ và g

L,(R) : là tập hợp tất cả các hàm f xác định trên (—eo; +00)

sao cho ! |f(x)|da < +00

Lp7(R.) = Lạ(R,,z*e ”*dz) với chuẩn được định nghĩa như sau

If6l,;ag.) = ( Í 6)fa*e >a:)Ÿ

0

1 Lý do chọn đề tài

Phép biến đổi tích phân được ra đời từ rất sớm và đóng vai trò quan trọng trong toán học cũng như trong nhiều lĩnh vực khoa học khác, đặc biệt trong việc giải các giải các bài toán với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình tích phân và các bài toán của vật lý toán Phép biến đổi

tích phân đầu tiên là phép biến đổi Fourier được khai sinh bởi nhà toán học và vật lý nổi tiếng người Pháp là Josepl Fourier (1768-1830), tiếp

theo là sự ra đời của các phép biến đổi Laplace, Melin, Hankel

Từ những năm đầu của thế kỉ 20 đã xuất hiện một hướng nghiên cứu mới là xây dựng tích chập đối với các phép biến đổi tích phân và

ứng dụng Lịch sử của hướng nghiên cứu này có thể tính bằng các mốc

thời gian chính như sau

Từ những năm 1951 trở về trước đó đã xây dựng được tích chập đối với các phép biến đổi tích phân Fourier, Laplace, Melin (xem{[11])

Đến năm 1951 lần đầu tiên nhà toán học người Mỹ LNÑ Sneddon đã xây

dựng được tích chập suy rộng đầu tiên đối với phép biến đổi Fourier

sine, Fourier cosine (xem [11]) Dén nam 1967 nha toán học người Nga

V A Kakichev đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tích chập với hàm trọng (xem|6]) được tóm tắt bằng sơ đồ sau :

Từ đó đến nay đã có một số kết quả nghiên cứu về tích chập suy

rộng với hàm trọng, xem [12], [13], [14], [I5], [16] Sự khác biết rõ rệt

nhất của tích chập và tích chập suy rộng là trong đẳng thức nhân tử hóa của tích chập suy rộng có nhiều phép biến đổi tích phân tham gia

Vì vậy việc ứng dụng của tích chập suy rộng cũng phong phú hơn

Cùng với phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân Laplace cũng ra đời rất sớm Tích chập của phép biến đổi tích phân

Laplace cũng đã được xây dựng (xem [I1], [12)

(xø)ứ j= J rete z>U

Tích chập này thoả mãn đẳng thức nhân tử hoá

Lf * 9)(y) = (LF)(y)-(L9)(y)

Cho đến thời điểm hiện nay vẫn chưa có một kết quả nào công bố về

tích chập suy rộng đối với phép biến đổi Laplace ngoài tích chập cổ điển

đã nêu ra ở trên

Theo hướng nghiên cứu đó với mong muốn được tiếp tục được tìm

hiển tích chập suy rộng của các phép biến đổi tích phân, dưới sự hướng dan cia TS Trinh Tuan tôi đã chọn đề tài

“Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tich phan Laplace và ứng dụng ”

Luận văn được trình bày trong 52 trang A4 ngoài phần mở đầu Luận văn được chia thành 3 chương

Chương 1: Trình bày tóm tắt một số kiến thức của các phép biến đổi tich phan Fourier sine, Fourier cosine, Laplace Tích chập của các phép

biến đổi tích phân đó và sơ đồ tích chập suy rộng có ví dụ minh họa

Chương 2 và chương 3 là nội dung chính của luận văn Trong chương

2 trình bày về tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi

Laplace và nghiên cứu các tính chất của tích chập suy rộng này

Chương 3: Trình bày ứng dụng của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace để giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập

Sau mỗi chương đều có kết luận và cuối cùng là kết luận của luận văn

Để tiên cho quá trình theo dõi luận văn chúng tôi có đưa thêm phần các kí hiệu toán học dùng trong luận văn vào trước lời nói đầu

2 Mục đích nghiên cứu

+ Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đối

với phép biến đổi tích phân biến đổi Laplace Chứng minh sự tồn tại

của tích chập này trên không gian ';(R,) Từ đó nhận được đẳng thức nhân tử hóa của chúng

+ Nghiên cứu một số tính chất toán tử, tính chất đại số của các tích chập suy rộng này trên một số không gian hàm cụ thể

+ Ứng dụng tích chập này để giải đóng phương trình, hệ phương trình tích phân dạng chập

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

+ Nghiên cứu các công thức tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace

+ Trình bày được định lý tồn tại các tích chập suy rộng này và từ

đó đi chứng minh đẳng thức nhân tử hóa của chúng

+ Nghiên cứu một số tính toán tử và tính chất đại số của tích chập này trên một số không gian hàm cụ thể

+ Ứng dụng tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi Laplace giải đóng phương trình và hệ phương trình tích phân dạng chập

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến

đổi tích phân Laplace bao gồm định nghĩa, đẳng thức nhân tử hoá, tính chất và ứng dụng của tích chập này vào việc giải đóng phương trình và

hệ phương trình tích phân dạng chập

5 Phương pháp nghiên cứu

-+ Sử dụng lý thuyết tích chập và tích chập suy rộng đối với các

phép biến đổi tích phân

+ Sử dụng một số công cụ của giải tích hàm như các không gian hàm, lý thuyết toán tử

6.Đóồng góp mới

Luận văn trình bày một cách có hệ thống về tích chập suy rộng với

hàm trọng đối với phép biến đổi tích phân Laplace và ứng dụng của tích

chập suy rộng mới để giải đóng phương trình tích phân và hệ phương trình tích phân dạng chập

MỘT SỐ KIÊN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách tóm tắt lại một số

kiến thức về các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine, Fourier

cosine và Laplace, tích chập và tích chập suy rộng của các phép biến đổi

nói trên Đặc biệt là sơ đồ kiến thiết tích chập và tích chập suy rộng có hàm trọng Sau mỗi sơ đồ đó chúng tôi đều nêu một số tích chập, tích

chập suy rộng làm ví dụ minh hoạ và các tích chập này còn dùng để nghiên cứu ở chương 2, chương 3

Nội dung chính của chương này được dựa vào các tài liệu [2], [4],

[6], [7], [8),[11)-

1.1 Một số phép biến đổi tích phân và tính chất

1.1.1 Phép biên đổi Fourier, Fourier sine và Fourier cosine

Định nghĩa 1.1.1 (Xem/5j, [11j) Phép biến đổi Fourier của hàm ƒ€ L¡(R) là một hàm kí hiệu P`Ƒ oà được xác định bởi công thúc

O d6 F được gọi là phép biến đổi Fourier hoặc toán tử Fourier

Và F' có phép biến đổi Fourier ngược F1! được định nghĩa

Phép biến đổi Fourier ngược của một hàm được xác định bởi công thức

1 +00

Nhận zét 1.1 Vi Je**| = 1 va f € L,(R.) nén tich phan (1.1), (1.2)

hội tụ v6i moiz € R

F,F7' la cdc toén tit tuyén tinh

Dinh nghia 1.1.2 (Xem [5], [11]) Phép bién doi Fourier cosine (F.)

của một hàm ƒ thuộc LI(Ñ ) là một hàm uà được xác định bởi công thúc

Fie) = f.DG) = VJỆ [ssewftyjdy, z>ú— trải

Phép biến đổi Fourier cosine ngược (F1) của một hàm được xác định e€

bởi công thúc

-1 7) 2 i Ầ

(FR f(x) = f= [ coszu.fUu)dy, 2 > 0 T (14)

0

Định nghĩa 1.1.3 (Xem [5],/11]) Phép bién doi Fourier sine (F,) của

mot ham f thudc L,(R,) la mét ham va duoc xác định bởi công thúc

0 Phép biến đổi Fourier sine ngược (FC!) của một hàm được ác định bởi công thức

(Fo'f\(x) = VỆ ƒ sinov Foran z>Ũ (1.6)

Nhận zét 1.2 Vì | cos(zg)| < 1,|sin(z)| < 1 và f(z) € L,(R+) nên các tích phân (1.3), (1.4), (1.5), (1.6) đều hội tụ với mỗi z € R

Định lý 1.1.1 (Xem jðj) Nếu ƒ() uà g(z)€ LI(R,) thi

2 1{0./)(1⁄0)NWa) = ~ | ƒ(©lg(e + §) + alle — elas

tas [rr )(E.g) }(y)cos(xy)dy = tr ø(z +€) + g(|z — €|)]d§

Chitng minh Ta c6

FO (F.f)(F.g)} = VF ff {(Fef) (F.g)} y)cos(xy)dy (1.7)

== / cos(zu)(F.0)(0)dụ [se f(€)cos(yé)ae

=š / 7604 / cos(wy)cos(yf) (Fog) (y)dy

Dinh ly 1.1.2 (Xem [5]) Néu f(x) va g(a) € L1(R.) thi

F(PRA(P.a)y(o) == f Gla +2) + a6 — ables

Hay [ (FFD Hydeostendy => f Fale +8) + g€ = z)itg

Định lý (1.1.2) ta chứng minh tương tự như định ly (1.1.1)

1.1.2 Phép biến đổi Laplace

Định nghĩa 1.1.4 (Xem J4) Giả sử uới mỗi hàm ƒ(t) là hàm phúc của

+00

biến số thực † sao cho tích phân / ƒ(t)€"°” “dt hội tụ ít nhất uới một số

0 phite s =a+ib Ham F duoc vac định bởi công thúc sau

Khi dé F(s) duoc goi la phép bién doi Laplace ctia ham f(t) ( Hay got

la anh cia phép bién doi Laplace cia ham f(t))

Vi du 1.1.1 Cho ham f(t) = e” Khi đó

Định lý 1.1.3 (Xem/2)) New ham F(s) la anh ctia ham géc f(t) vdi

chỉ số tăng pụ Thà tích phân [re e “dt hoi tu vdi moi s = a+ ib c6 Res > po

Dinh ly 1.1.4 (Xem [4]).(Tinh gidi tích của phép biến đổi Laplaee) Nếu biến doi Laplace F(s) ctia ham géc f(t) vdi chi số tăng pạ thì hàm F(s) la ham gidi tich trong nita mat phang Res > py

Định lý 1.1.5 (Xemj4j).(Mellin) Cho hàm ƒ(f) là hàm gốc uới chỉ số

tăng pạ tà F(s) là ảnh của nó Khi đó tại mọi điểm t ma f(t) lien tuc,

hàm ƒ(f) được biểu diễn theo công thúc

được gọi là phép toán tích chập Kí hiệu :(*)

Giả sử K là một toán tử tuyến tính từ không gian tuyến tính U(X) vào đại số V(Y)

K:U(X) ¬ V(Y)

Tích chập của hai hàm ƒ € U¡(X),gø € U;(X) đối với phép biến đổi K

là một hàm, kí hiệu (ƒ x ø) sao cho đẳng thức nhân tử hóa sau đây được thỏa mãn

K(f *g)(y) = (Kƒ)()(Kø)(0)

Khi đó U(X) cùng với phép nhân chập như trên xác định một đại số

Cho đến nay hầu hết các phép biến đổi tích phân đã được xây dựng

tích chập chang hạn như phép biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier

sine, phép biến đổi Fourier cosine, phép biến đổi Hilbert, phép biến đổi

Stieltjes, phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Mellin, phép biến đổi

F.(f*9)(y) = (Feu) Fea)(v) (1.11)

Vi du 1.2.2 (Xem [11], [12]).Cho f,g € L¡(R,) Tích chập đối với phép

biến đổi tích phân Laplace (1.9) cia hai ham ƒ và ø được xác định bởi

(+5) (z) = [ie —9)ø(u)dụ, x >0 (1.12)

Tích chập này giao hoán được và thuộc không gian L;(R.), đồng thời thoả mãn đẳng thức nhân tử hóa

Tuy nhiên trước những năm 50 của thế kỉ trước, các tích chập đã

được biết đến là các tích chập không có hàm trọng Đến năm 1967, V.A

Kakichev đã đưa ra phương pháp kiến thiết tích chập đối với phép biến

đổi tích phân K với hàm trọng +(ø), kí hiệu (¿ * 2) và thoả mãn đẳng

thức nhân tử hóa (ƒ * ø)(0) = +(w)(K f)(w)(Kø)(0)

Nhờ phương pháp này một số tích chập với hàm trọng đã được

xây dựng và nghiên cứu ( xem [6])

Vi du 1.2.3 (xem|[6], [12]).Cho f,g € L,(R,) Tich chap có hàm trọng

+i() = sing của hai hàm f va ø đối với phép biến đổi tích phân Fourier

sine (Ƒ;) (1.5) được xác định như sau

Chú ý rằng cho đến nay tích chập đối với phép biến đổi tích phân

Fourier sine của hai hàm ƒ và g vẫn chưa được xây dựng khi không có

hàm trọng +() tham gia vào

Ví dụ 1.2.4 (Xem [6]).Cho ƒ,ø € L¡(R,) Tích chập có hàm trọng

+s() = cosu của hai hàm ƒ và ø đối với phép biến đổi tích phân Fourier

cosine (#„) (1.3) được xác định như sau

Các tích chập (1.10), (1.12), (1.14), (1.16) đều có một đặc điểm

chung là trong đẳng thức nhân tử hóa chỉ có một phép biến đổi tích phân tham gia Do đó các tích chập này không phải là các tích chập suy rộng, điều đó ít nhiều làm hạn chế ứng dụng của nó Năm 1998, V.A.Kakichev

và Nguyễn Xuân Thảo đã xây dựng được sơ đồ kiến thiết tổng quát nhất của tích chập suy rộng với hàm trọng đối với ba phép biến đổi tích phân bất kì(xem|8]) Trong phần tiếp theo chúng tôi sẽ trình bày một số tích

chập suy rộng như những ví dụ minh hoạ cho sơ đồ tích chập suy rộng (1.18) đồng thời các tích chập này còn được sử dụng trong chương 2, chương 3

1.2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng đối với các phép biến

đổi tích phân

Nam 1998, V.A.Kakichev va Nguyén Xuan Thao (xem[8]) đã cho kết quả xây dựng tích chập suy rộng với ham trọng đối với 3 phép biến

đổi tích phân và được tóm tắt như sau:

Xét các phép biến đổi tích phân

Ky : U;(X;) > V(Y),j= 1,2,3

Fw) = (KAN) = f kiln )A(edey VY)

Ở đó U;(X,) là các không gian tuyến tinh, V(Y) là đại số

Định nghĩa 1.2.2 Tích chập tổng quát đối uới các phép biến đổi tích

phân K,,Ky,K3 vdi ham trong y, ctia hai ham f va g là biểu thức (¿? ?) sao cho thỏa mãn:

Tương tự có các tích chập tổng quát với hàm trọng:

(7Ÿ ø), thỏa đẳng thức nhân tử hóa:

K; (ƒ Ÿø) (0) = +s(0)(Kif)(0)ag)(0) (1.19)

(7Ÿ ø) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa

Ks (27 ?) (y) = ya(y) (Ai f(y) (Keg) (y)

đối với các phép biến đổi tích phân khác nhau sau đây ta xét một số ví dụ:

Ví dụ 1.2.5 (Xem[§])Cho ƒ,ø € F;(R.) Tích chập suy rộng đối với

phép biến đổi tích phân Fourier cosine (F,) (1.3) va Fourier sine (F,)

(1.5) của hai hàm ƒ và ø, kí hiệu (ƒ * g), được xác định bởi công thức

Trong những năm gần đây nhờ kĩ thuật [8] cũng đã có một số kết

quả công bố trên các tạp chí trong nước và quốc tế về tích chập suy

rộng đối với các phép biến đổi tích phân Fourier sine, Fourier cosine vA Kontorovich-Lebedev (xem [12], [13, [14], [15], [16] )

Nhận sét 1.3 Các tích chập suy rộng (1.20) và trong các kết quả [12], [13, [14], [15], [16] hoàn toàn khác biệt rõ ràng so với các tích chập (1.10),

(1.12), (1.14) ở chỗ là trong đẳng thức nhân tử hoá của chúng có nhiều

phép biến đổi tích phân tham gia Các tích chập này không có tính chất

giao hoán và kết hợp

Trong quá trình làm luận văn chúng tôi sử dụng thêm tích chập

suy rộng đối với phép biến đổi Fourier sine và Fourier cosine Đây cũng

chính là tích chập suy rộng đầu tiên được I.N Sneddon công bố năm

1951 (xem [11])

Ví dụ 1.2.6 (Xem [11I]) Cho f,g € L¡(R,) Tích chập suy rộng đối

phép bién déi tich phan Fourier sine (F,)(1.5) va Fourier cosine (F,) (1.3) của hai hàm f và ø, kí hiệu (ƒ * g), duoc xdc định bởi công thức sau

1

1

(ƒ *ø)(z) = = | 10s — |) — g( + w)|du, >0 (1.22)

KET LUAN CHUONG I

Trong chương 1 chúng tôi đã trình bày một số kiến thức của các

phép biến đổi tích phân dùng trong luận văn đó là phép biến đổi tích

phân Fourier sine, Fourier cosine, Laplaee, sơ đồ xây dựng tích chập với hàm trọng và tích chập suy rộng với hàm trọng của các phép biến đổi

tích phân Đồng thời trình bày một số ví dụ về tích chập và tích chập

suy rộng liên quan đến các phép biến đổi tích phân này Qua đó chúng

tôi cũng muốn nhấn mạnh sự khác biệt rõ ràng giữa tích chập và tích

chập suy rộng

Tích chập suy rộng với hàm trọng

đối với phép biến đổi tích phân

Laplace

Sử dụng kĩ thuật xây dựng tích chập suy rộng với hàm trọng của 3

phép biến đổi tích phân K¡, K;¿, K;¿ (xem [7]) Trong chương này chúng

tôi trình bày các tích chập suy rộng với hàm trọng đối với phép biến đổi Laplace Chứng minh sự tồn tại của tích chập (2.1), (2.2) trong một

số không gian hàm cu thé do 1A L, (R,), L2°(R,) va tit do nhan được

đẳng thức nhân tử hoá của chúng Dồng thời nghiên cứu một số tính

chất toán tử, tính chất đại số của các tích chập này trên một số không

gian hàm cụ thể Nội dung chính của chương dựa vào tài liệu [15]

2.1 Một số không gian hàm

e L¡(RÑ) là tập hợp tất cả các hàm ƒ xác định trên (—oo; +œ) sao cho

J |f (x)\dx < +00

17

Và L¡ (Ñ) là một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định :

+00

Illi = f Leelee

L¡(R,) là tập hợp tất cả các ham ƒ xác định trên (0;-+œ) sao cho

J |ƒ (z)|dz < +œ Và L¡ (R,) là một không gian định chuẩn với

chuẩn được xác định : fle = J |f(x)| dx

L, (R,) là tập hợp tất cả các hàm ƒ xác định trên (0; +o) sao cho

/ |ƒ (z)|“dz < +œ Và L„(R,) là một không gian định chuẩn với

chuẩn được xác định : IIf llr, -(ju [f(a)|? dz)

L, (R,,e%”) là tập hợp tất cả các hàm ƒ xác định trên (0; +oo) sao

Oo / |f (x)? edz < +00,p > 1 va L, (R,,e*”) 1a một không gian định chuẩn với chuẩn được xác định : |/ÌÌL„ ) = ( / |f (x)? e"'de)" L°”(R,) là tập hợp tất cả các ham f xác định trên (0; +oe) sao

0 / [f (a) 2%e7?"dax < +o0,r 31,8 >0,a>—1 va Le (R,) 1a không gian định chuẩn với chuẩn được xác định :

1

s2 = ( Mr G)Y a°e zá)

0

2.2 Định nghĩa tích chập suy rộng với hàm trọng

đối với phép biến đổi tích phân Laplace và đẳng

thức nhân tử hóa

2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1 (Xem [15j) Tích chập suy rộng uới ham trong

yy) = eM siny, wp > 0 của hai hàm ƒ 0à g đối uới phép biến đổi tích phan Fourier sine va Laplace dugc xaéc dinh nhu sau

yy) = eM siny, > 0 ctia hai hàm ƒ oà g đối tới phép biến đổi tích

phan Fourier cosine va Laplace dugc xác định như sau

Dinh ly 2.2.1 (Xem [15]) Gia st f(x) va gựz ) là hai hàm thuộc không

gian L\Ị(Ñ,) Khi đó tích chập suy rong (f *g Da) thudc L,(Ry) va thod man đẳng thức nhân tử hóa

%

(Ữ * 9)q))Ú) = € "siny(F.f)()(L4)(0) Vụ >0 (2.3)

va ta co

IUf* Dalley < Wille Ulla.)

Hơn nữa, tích chap suy rong (f * Day thuộc Cg(R.) bà thỏa mãn đẳng

fro z)|dz < ma fia )l# = IIflli,s 2 llølÌx,s

Mà ƒ,ø€ L¡(R,) nên i |(ƒ *8)ạj(e)ldz < +00 Vay

0

va

Ife aa nw <Mflvey Ile,

Đây giờ ta sẽ chứng minh tích chập (ƒ * ø)¿) thoả mãn đẳng thức nhân

(Fede) = 55 f, Fare “et [eos(a = 1 = uly + cose = 1+ u)y]

— teos(z- +1—1)y+cos(+ 1+ wy) }dudvdy

2

= ƒ(u)g()e~**Usinz.simg.cosudududy

7T R}

Day là đẳng thức kiểu Parseval (2.4)

Từ (2.8) và (2.9) ta có được đẳng thức nhân tử hóa

IF * 9) eyllee.y SMF lee U9llese

Hơn nữa, tích chập suy rộng (ƒ * g)¿y thudc Co(R,) va thoa man đẳng thúc Parscuals

|(f*ø9)s <ẩIj [nan (u)g(v)dudv|