Tính ổn định mũ bình phương trung bình của nghiệm của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phương pháp thứ 2 của Liapunov thông qua hàm ngẫu nhi

LỜI NÓI ĐẦU

Bất cứ hệ thống nào dù là hệ thống kỹ thuật, hệ sinh thái hay hệ thống

xã hội…, bao giờ cũng tồn tại và phát triển ở trạng thái ổn định nhất Đối với các hệ thống điều chỉnh tự động thì ổn định là chỉ tiêu cơ bản mà người ta cần quan tâm Bởi vì một hệ thống muốn sử dụng được thì trước tiên phải ổn định

Lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng trong lý thuyết định tính phương trình vi phân Vấn đề nghiên cứu tính ổn định ngẫu nhiên là một trong những bài toán quan trọng của lý thuyết ổn định của các hệ động lực ngẫu nhiên

Trong luận văn này chúng tôi tập trung nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên nhờ phương pháp thứ 2 của Liapunov thông qua hàm ngẫu nhiên Liapunov và được phát biểu theo ngôn ngữ của các phương trình ma trận Liapunov rời rạc Với mục đích đó luận văn được hình thành gồm hai chương:

Chương 1 Trình bày khái niệm ổn định của hệ phương trình vi phân và tìm điều kiện cho hệ ổn định

Trong chương này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và một số phương pháp khảo sát điều kiện ổn định của hệ phương trình vi phân và chứng minh các kết quả cho một số điều kiện ổn định của hệ phương trình vi phân

Chương 2 Trình bày khái niệm ổn định mũ của hệ phương trình sai phân và tìm điều kiện cho hệ ổn định mũ

Trong chương này đầu tiên chúng tôi giới thiệu các khái niệm ổn định

mũ, tiếp theo chúng tôi đưa ra và chứng minh các điều các điều kiện cho tính

ổn định mũ của hệ phương trình sai phân

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Phan Đức Thành Nhân đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn

và kính trọng sâu sắc đến thầy cùng các thầy cô trong khoa Toán và khoa Sau đại học trường Đại học Vinh, đặc biệt là các thầy cô trong tổ điều khiển đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2005

Tác giả

TRẦN CÔNG THÀNH

MỤC LỤC

TRANG

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN

ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

2

1.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH

1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

1.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HẰNG

CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA NGHIỆM

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN

2.1 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TẤT ĐỊNH VỚI

MA TRẬN HẰNG

2.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAU PHÂN VỚI MA TRẬN

HẰNG DẠNG TỔNG QUÁT

2.3 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG

2.4 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG DẠNG TỔNG

QUÁT

2.5 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN VỚI NHIỄU VECTƠ r - CHIỀU (1 , …,  r )

2.6 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TẤT ĐỊNH CÓ

CHƯƠNG I

MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH CỦA HỆ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương này chúng tôi giới thiệu các khái niệm cơ bản của lý thuyết ổn định và một số phương pháp khảo sát điều kiện ổn định của hệ phương trình vi phân

1.1 BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA LÝ THUYẾT ỔN ĐỊNH

Xét hệ phương trình vi phân viết dưới dạng ma trận

F ( Y t, )

dt

dY  (1) với điều kiện Y(t0) = Y0

Trong đó T

n

n

y y

y

y

Y ( , , )

n t y f y t f Y t

F( , )  [ 1( , 1), , ( , )] ;

T n dt

dy dt

dy dt

dy dt

dY

) , , ,

Định nghĩa 1.1.1 Nghiệm Z = Z(t) của hệ (1) được gọi là ổn định theo

nghĩa Liapunov (gọi tắt là ổn định) nếu với mọi  > 0, tồn tại    (t0,  )  0sao

cho mọi nghiệm Y = Y(t) thoả mãn Y(t0) Z(t0)   thì Y(t) Z(t)   với mọi t 

t 0

Định nghĩa 1.1.2 Nghiệm Z = Z(t) của hệ (1) được gọi là ổn định đều

nếu với mọi  > 0, tồn tại    (  )  0 sao cho mọi nghiệm Y = Y(t) thoả mãn

Định nghĩa 1.1.3 Nghiệm Z = Z(t) được gọi là không ổn định nếu với

 > 0 nào đó và với mọi   0, tồn tại nghiệm Y = Y(t) sao cho

Y(t0) Z(t0)   và Y(t) Z(t)  

Trong hệ phương trình vi phân (1) nếu Y = 0 và F(t,0)  0 thì nghiệm

Y(t)  0 được gọi là nghiệm tầm thường (hay còn gọi là trạng thái cân bằng)

Định nghĩa 1.1.4 Nghiệm tầm thường Z(t) = 0 được gọi là ổn định nếu

với mọi  > 0, tồn tại    (t0,  )  0 sao cho mọi nghiệm Y = Y(t) thoả mãn

Định nghĩa 1.1.5 Nghiệm Z = Z(t) của hệ phương trình (1) được gọi là

ổn định tiệm cận nếu thoả mãn các điều kiện sau

i) Z = Z(t) là nghiệm ổn định;

ii) Với mọi t  t 0, tồn tại  = (t 0 ) > 0 sao cho mọi nghiệm Y(t) thoả

mãn điều kiện Y(t0) Z(t0)   thì lim ( )  ( )  0



 Y t Z t

Định nghĩa 1.1.6 Nghiệm tầm thường Z(t) = 0 gọi là ổn định tiệm cận

nếu nó thoả mãn các điều kiện sau

1.2 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH

Xét hệ vi phân tuyến tính dưới dạng ma trận

) ( ) (t Y F t A

dt

Định nghĩa 1.2.1 Hệ vi phân tuyến tính (2) được gọi là ổn định (tương

ứng ổn định tiệm cận, không ổn định) nếu tất cả các nghiệm của hệ là ổn định

(tương ứng ổn định tiệm cận, không ổn định)

Định lý 1.2.2 Điều kiện cần và đủ để hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định với

mọi F(t) là nghiệm tầm thường X(t)  0 của hệ thuần nhất A t Y

dt

dY

) (

 ổn định

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử Z = Z(t) là nghiệm của hệ vi phân

nghiệm Z = Z(t) ổn định, có nghĩa là với mọi  > 0 tồn tại   0 sao cho với

nghiệm bất kỳ Y = Y(t) của hệ (2) thì





 ( ) ) (t Z t

Y khi Y(t0) Z(t0)   (*) Mặt khác ta có

).

( ) (

) ( ) (

t F Z t A dt dZ

t F Y t A dt dY

( ) (

Z Y t A dt

Z Y d

 sao cho nếu ||X(t0) ||   (t0,  ) thì ||X(t) ||   với mọi tt0 Như vậy,

nếu Z = Z(t) là một nghiệm nào đó của hệ vi phân tuyến tính (2) và Y(t) là

nghiệm bất kỳ của hệ đó thì từ bất đẳng thức Y(t0) Z(t0)   ta suy ra

Mệnh đề 1.2.3 Hệ vi phân tuyến tính (2) ổn định đều khi và chỉ khi

nghiệm tầm thường X  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng ổn định đều

Chứng minh Mệnh đề được chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý1.2.2

Định lý 1.2.4 Hệ phương trình vi phân tuyến tính (2) ổn định tiệm cận

khi và chỉ khi nghiệm tầm thường X  0 của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng A t Y

dt

dY

) (

 ổn định tiệm cận

Chứng minh Định lý được trực tiếp suy ra từ khẳng định hiệu giữa hai

nghiệm của hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất là một nghiệm của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng

Hệ quả 1.2.5 Các khẳng đinh sau là đúng cho hệ phương trình vi phân

1.3 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH THUẦN NHẤT

Xét hệ vi phân tuyến tính thuần nhất dưới dạng ma trận:

A t Y

dt

dY

) (

Định lý 1.3.1 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) ổn định khi và chỉ

khi mọi nghiệm Y = Y(t) (t 0 t < ) của hệ đó bị chặn với mọi t  t 0

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm bất kỳ của hệ (3) bị chặn với mọi t  t 0 Hệ phương trình (3) có nghiệm Y = Y(t) = X(t).Y(t 0 ) trong đó X(t) là nghiệm cơ bản của hệ và X(t

Vì X(t) bao gồm các hàm giới nội nên nó giới nội, tức là X(t) M với mọi

t  t 0 , M là một hằng số dương Suy từ Y(t) = X(t).Y(t 0 ) ta có

Y(t)  X(t).Y(t0)  X(t) Y(t0)

Do đó

||

) (

||

) (t M Y t0

2

) (

) ( ) (

0



t Z

t Z t

.

||

) (

||

||

) (

||

||

) (

||

0

0 0

t Z

t Z t

||

||

) (

||

||

) (

||

0

1 1

t Z

t Z t

Như vậy, nghiệm tầm thường Y 0  0 của hệ (3) không ổn định, do đó theo Định

lý 1 2.2 thì hệ (3) cũng không ổn định, điều này mâu thuẫn giả thiết

Vậy mọi nghiệm của hệ (3) đều bị chặn

Định lý 1.3.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (3) ổn định tiệm cận khi

và chỉ khi tất cả các nghiệm Y = Y(t) thoả mãn điều kiện

Chứng minh.Điều kiện cần: Giả sử hệ (3) ổn định tiệm cận Khi đó tất cả các nghiệm của nó, kể cả nghiệm tầm thường Y 0  0 cũng ổn định tiệm cận Do

đó, đối với nghiệm Z = Z(t) bất kỳ của hệ (3) ta có

0 ) ( lim 

||

).

( )



Z t Y t t

||

) ( ) (

0





t Y

t Y t

||Z t0 nên nghiệm Z = Z(t) thoả

mãn điều kiện lim ( )  0

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm Y = Y(t) của hệ (3) thoả mãn điều kiện

||Y t  khi T < t < 

Vì trên đoạn hữu hạn [t 0 ,T] hàm véctơ liên tục Y(t) bị chặn nên nghiệm Y(t) bất

kỳ bị chặn trên đoạn [t 0 , ) Do đó theo Định lý 1.3.1, hệ (3) ổn định và nghiệm

tầm thường của nó ổn định tiệm cận Từ đó, theo Định lý 1.2.4 ta suy ra tính ổn định tiệm cận của hệ (3)

1.4 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ VI PHÂN TUYẾN TÍNH VỚI MA TRẬN HẰNG

Xét hệ vi phân tuyến tính với ma trận hằng sau

Y A dt

dY

.

trong đó A là ma trận hằng cấp (n x n) và Y 0 = I (I là ma trận đơn vị cấp n x n)

Định nghĩa 1.4.1 Ma trận A được gọi là ổn định (hay ổn định Hurwitz)

nếu các nghiệm đặc trưng j = j (A) của ma trận A đều có phần thực âm, tức là

Rej (A) < 0 (j = 1,…,n)

Định lý 1.4.2 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4) với ma trận hằng A

ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trưng j = j (A) của A đều

cóphần thực không dương, nghĩa là Rej (A) < 0 (j = 1, …, n)

Chứng minh Để chứng minh điều kiện cần ta cần có một số kiến thức

phụ về lý thuyết ma trận nên ta chỉ chứng minh điều kiện đủ của Định lý Thật vậy, giả sử j  j ijj 1, 2, , ,p i  1 là tất cả các nghiệm đặc trưng

của ma trận A với các phần thực j âm và k = ik (k =1,…, q) là tất cả các nghiệm đặc trưng của ma trận A với phần thực bằng không

Khi đó, theo kết quả đã biết ở lý thuyết phương trình vi phân thì nghiệm bất kỳ của hệ (4) có dạng

trong đó p j (t) là hàm véctơ đa thức nào đó có bậc nhỏ hơn số bộ của j và C k

là véctơ cột hằng số Vì j < 0 nên lim J t ( ) 0

Định lý 1.4.3 Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (4) với ma trận hằng A

ổn định tiệm cận khi và chi khi tất cả các nghiệm đặc trưng j = j (A) của ma trận A đều có các phần thực âm, tức là Rej (A) < 0 (j = 1,…, n)

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử 1 ,…, m (m  n) là tất cả các nghiệm đặc trưng của ma trận A và Rej < 0 (j = 1,…, m) Khi đó, theo kết

quả của lý thuyết phương trình vi phân ta có mỗi nghiệm Y(t) của hệ phương trình (4) đều biểu diễn được dưới dạng:

1

( ) J ( )

m t j j

e t

Định nghĩa 1.5.1 Hàm V(t,X) được gọi là hàm có dấu không đổi (dấu

dương hoặc dấu âm) trong miền Z 0 nếu V(t,X)  0 (hoặc V(t,X)  0)

Định nghĩa1.5.2 Hàm V(t,X) được gọi là hàm xác định dương trong miền

Z 0 nếu tồn tại hàm W(X) sao cho V(t,X)  W(X) > 0 với X  0 và V(t,0) = W(0) =

Hàm V(t,X) được gọi là hàm xác định âm trong miền Z 0 nếu tồn tại hàm W(X) sao cho V(t,X)  W(X) < 0 với X  0 và V(t,0) = W(0) = 0

Định nghĩa 1.5.3 Hàm V(t,X) được gọi là hàm có giới hạn vô cùng bé

bậc cao khi X  0 nếu với mọi  > 0 tồn tại    (  )  0 sao cho





| ) , (

Định lý 1.5.4 Nếu đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dương

V(t,X) và có đạo hàm theo t xác định âm thì nghiệm tầm thường X  0 của hệ

đã cho ổn định

Định lý 1.5.5 Giả sử đối với hệ (5) tồn tại một hàm xác định dương

V(t,X) có giới hạn vô cùng bé bậc cao khi X  0 và có đạo hàm theo t xác định âm Khi đó nghiệm tầm thường X  0 của hệ đã cho ổn định tiệm cận

V(X) = X T HX

Khi đó V(X) > 0 và

dt

HX X d dt

dV  ( T ) Suy ra

HAX X HX A X

HAX X HX AX

T T

T T

T

T T

) (

) (

CHƯƠNG 2 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA NGHIỆM

CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN

2.1 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TẤT ĐỊNH VỚI MA TRẬN HẰNG

Trong mục này chúng ta xét tính ổn định của hệ phương trình sau

trong đó k = k 0 , k 0 + 1,…;  0 0

n

y k  y  và A là ma trận hằng.

Định nghĩa 2.1.1 Nghiệm y = 0 của hệ phương trình sai phân (1) được

gọi là ổn định mũ với p (0;1) nếu tồn tại hằng số N > 0 và 0 < p < 1 độc lập với k 0 và y 0 sao cho với mọi k > k 0 và 0 n

y  thì nghiệm y(k, k 0 , y 0 ) của hệ

phương trình đã cho thoả mãn bất đẳng thức sau

0

|| ( ,y k k y, ) || N p. k k ||y ||

Định nghĩa 2.1.2 Ma trận hằng A được gọi là hội tụ (hay ổn định

Schur) nếu các nghiệm đặc trưngi  i ( A) của ma trận A thoả mãn điều kiện

1

| ) (

| i A  (i = 1, 2, …, n)

Mệnh đề 2.1.3 Hệ phương trình sai phân (1) ổn định tiệm cận khi và chỉ

khi ma trận A hội tụ

Chứng minh Từ hệ phương trình (1) ta có

y(k) = Ay(k-1) = A.A y(k-2) = …= A k y(k 0 ) = A k y 0

Gọi i (i = 1, 2,…, n) là các nghiệm đặc trưng của ma trận A Khi đó i là nghiệm của phương trình sau det A-I =0 với I là ma trận đơn vị Khi đó tồn tại ma trận T không suy biến sao cho



0

.

0

1

1

) , ,

Vì vậy ta có lim ( )  0



 y k

k khi và chỉ khi |i | < 1 (i = 1, …, n)

Định lý 2.1.4 Hệ phương trình sai phân (1) ổn định tiệm cận nếu tồn

tại ma trận H xác định dương, đối xứng (H = H T

> 0 n x n ) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov rời rạc (còn gọi là phương trình Sylvester)

A T HA - H = - G trong đó G là ma trận xác định dương, đối xứng tuỳ ý nào đó (G = G T

HA-H =-G thì V(y(k)) = - y T (k)G(y(k)) hay V(y(k))<0

Do đó, theo định lý Liapunov thì hệ phương trình (1) ổn định tiệm cận

Định lý 2.1.5 Nghiệm y=0 của hệ phương trình (1) ổn định mũ với

biên p (0,1) (nghĩa là khi  A  p ) nếu tồn tại ma trận H xác định dương,

đối xứng (H = H T

> 0 nxn ) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov rời rạc

sau A HA H G p

Z  1  (*) Chọn hàm Liapunov của hệ (*) là dạng toàn phương sau

k HZ k Z k HAZ A p k Z

k HZ k Z k Z p

A H p

A k Z

k HZ k Z k Z p

A H k Z p A

k HZ k Z k

HZ k

Z

k Z V k

Z V k Z V

T T

T T

T

T T

T

T T

T T

1 1

1

Do vậy hệ (1) ổn định mũ với biên p  (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác

định dương, đối xứng thoả mãn điều kiện

G H HA A p

với A và D là các ma trận hằng, D không suy biến

Định lý 2.1.6 Nghiệm y = 0 của hệ phương trình (2) ổn định tiệm cận

nếu tồn tại ma trận H xác định dương, đối xứng (H = H T

> 0 nxn ) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov rời rạc

A T HA - D T HD = - G trong đó G là ma trận xác định dương, đối xứng cấp n tuỳ ý, G có thể là ma trận đơn vị

Chứng minh Ta chọn hàm Liapunov của hệ (2) như sau

V(y(k)) = y T (k) D T Hdy(k) Khi đó V(y(k)) > 0 suy ra

k HDy D k y k

HDy k

Dy

k HDy D k y k

HDy D k y

k y V k

y V k y V

T T T

T

T T T

T T T

1 1

1

Nếu A T

HA - D T HD = - G thì V(y(k)) < 0

Định lý 2.1.7 Nghiệm y = 0 của hệ phương trình (2) ổn định mũ với

biên p  (0,1) nếu tồn tại ma trận H xác định dương, đối xứng (H = H T > nxn ) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov

0-G HD D HA A p

k Z

k HDZ D

k Z k HAZ A p k Z

k HDZ D

k Z k Z p

A H p

A k D

k HDZ D

k Z k

HDZ k

DZ

k HDZ D

k Z k

HDZ D

k Z

k Z V k

Z V k Z V

T T

T

T T T

T

T T

T T

T T T

T T T

.

1 1

1 1

Do đó hệ phương trình (**) ổn định mũ với biên p (0,1) kéo theo hệ (2) ổn định mũ với biên p  (0,1) Định lý được chứng minh hoàn toàn

2.3 TÍNH ỔN ĐỊNH MŨ BÌNH PHƯƠNG TRUNG BÌNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN NGẪU NHIÊN VỚI MA TRẬN HẰNG

Trong mục này chúng tôi sẽ nghiên cứu tính ổn định mũ bình phương trung bình của hệ phương trình sai phân có dạng như sau

Định nghĩa 2.2.1 Nghiệm x = 0 của hệ phương trình (3) được gọi là ổn

định mũ bình phương trung bình với biên p  (0,1) nếu tồn tại hằng số N và

0 < p < 1 độc lập với k 0 và x 0 sao cho với mọi k > k 0 và x 0  n

thì nghiệm

x (k, k 0 , x 0 ) của hệ thoả mãn điều kiện     2

0 2

0 0

0 ,

k x

Định lý 2.2.2 Nghiệm x = 0 của hệ phương trình (3) ổn định mũ bình

phương trung bình với biên p  (0,1), nếu tồn tại ma trận H xác định dương,

đốixứng (H=H T

>0 nxn ) thoả mãn phương trình ma trận Liapunov sau

A HA B HB H G p