Tính ổn định của hệ phương trình sai phân

Lý thuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp…Việc nghiên cứu của hệ

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian học tập nghiên cứu tại trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng, với những kiến thức tiếp thu được từ quý thầy cô đã giúp em cảm thấy tự tin thực hiện bài luận văn tốt nghiệp của mình Em xin gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Hải Trung, đã tận tình giúp đỡ

và động viên để em có thể hoàn thành bài luận văn này từ việc chọn đề tài đến nội dung, hình thức Và em cũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc và chân thành đến gia đình, bạn bè

đã tạo điều kiện giúp đỡ em trong thời gian vừa qua

Vì thời gian và kiến thức còn hạn chế nên mặc dù bản thân đã cố gắng hết sức nhưng bài luận văn vẫn không thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận được ý kiến đóng góp quý báu từ các Thầy cô và các bạn

Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất cả mọi người đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình

Sinh viên thực hiện

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 1

III Đối tượng nghiên cứu 1

IV Phạm vi nghiên cứu 2

V Phương pháp nghiên cứu 2

VI Tổng quan và cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 3

1.1 Ma trận chuẩn tắc 3

1.2 Khái niệm sự ổn định 3

1.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính vơi hệ số hằng 10

1.5 Phép phân tích không gian pha 12

1.6 Phương pháp Liapunov 18

1.7 Phương pháp thứ hai của Lipunov 24

1.8 Sự ổn định bởi xấp xỉ tuyến tính 26

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 32

2.1 Một loài với hai lớp tuổi 32

2.2 Một mô hình chu kỳ kinh doanh 34

2.3 Mô hình của Nicholson – Bailey 35

2.4 Nghiên cứu điển hình của loài bọ bột cánh cứng 37

KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Phương pháp sai phân và phương trình sai phân ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khoa học , kĩ thuật Sai phân có thể ứng dụng để giải gần đúng phương trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh đó lý thuyết sai phân và phương trình sai phân còn có nhiều ứng dụng khác trong giải tích, như: bài toán tính tổng, tìm số hạng tổng quát của dãy số…

Hệ phương trình sai phân được mở rộng từ phương trình sai phân Lý thuyết hệ phương trình sai phân được ứng dụng nhiều trong các lĩnh vực khác nhau của toán học, chẳng hạn như giải tích số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp…Việc nghiên cứu của hệ phương trình sai phân là một vấn đề cần thiết và được nhiều nhà toán học quan tâm Bên cạnh đó, lý thuyết ổn định là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phương trình sai phân Nó được ứng dụng ngày càng nhiều ở các kĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kĩ thuật, trong sinh thái và môi trường Vì thế nó đang được nghiên cứu và phát triển mạnh mẽ theo cả lý thuyết và ứng dụng

Bài toán ổn định hệ thống được nhiều nhà khoa học nghiên cứu, đặc biệt là nhà toán học V Liapunov và đến nay đã trở thành một hướng nghiên cứu không thể thiếu trong

lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và ứng dụng

Với mong muốn nghiên cứu về lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và các ứng dụng của nó cùng với sự gợi ý và hướng dẫn khoa học từ TS Lê Hải Trung, em quyết định chọn đề tài “ Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân” cho luận văn tốt nghiệp của mình

II Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống lại các kiến thức về lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân trong các tài liệu tham khảo khác nhau

- Nghiên cứu về hệ phương trình sai phân, tính ổn định của hệ phương trình sai phân

- Ứng dụng lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân để nghiên cứu về một loài với hai lớp tuổi, vật chủ và hệ thống kí sinh trùng, một mô hình chu kỳ kinh doanh, mô hình Nicholson – Bailey, nghiên cứu điển hình của loài bọ bột cánh cứng

III Đối tượng nghiên cứu

- Phương trình sai phân

- Hệ phương trình sai phân

- Lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

- Các ứng dụng của lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân

IV Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình, hệ phương trình sai phân và tính ổn định của hệ phương trình sai phân

V Phương pháp nghiên cứu

Các kiến thức liên quan đến việc thực hiện luận văn thuộc các lĩnh vực: Đại số tuyến tính,Giải tích, Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết hệ phương trình sai phân…

VI Tổng quan và cấu trúc luận văn

Luận văn có cấu trúc như sau:

Mở đầu

Chương 1 Tính ổn định của hệ phương trình sai phân chương này tập trung trình

bày lý thuyết ổn định của hệ chương trình sai phân và các ứng dụng của nó

Chương 2 Một số ứng dụng tính ổn định của hệ phương trình sai phân

Kết luận

Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1: TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

Trong chương này tác giả trình bày lý thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân và các ứng dụng của nó Các kiến thức trong chương này được tham khảo từ tài liệu [9].Các

ví dụ do tác giả đưa ra và phần chứng minh các định lý được trình bày chi tiết và rõ ràng hơn trong tài liệu tham khảo

Xét hệ phương trình sai phân

x của (1.3) được gọi là :

- Ổn định (S) nếu   0,n0   0,   ( ,n0)sao cho:

* 0

||x x ||  thì *

0 0 0

|| ( ,x n n x, ) x ||   , n n

- Ổn định đều (US) nếu  được chọn không phụ thuộc vào n0;

Hút (A) nếu tồn tại   ( )n0 sao cho

* 0

||x x || , thì *

0 0 limnx n n x( , , ) x

Hút đều (UA) nếu  được chọn không phụ thuộc vào n0, tức là tồn tại   0, sao cho

Ổn định tiệm cận (AS) nếu nó là ổn định và hút

Ổn định tiệm cận đều (UAS) nếu nó là ổn định đều và hút đều

Ổn định theo cấp độ mũ (ES) nếu   0,M  0,và  (0,1)sao cho

0 0

|| ( ,x n n x, ) ||M,  n n0

Hình 1.1 Hệ thống phân cấp các khái niệm ổn định

Định lí 1.1 Cho hệ phương trình:

y n m x x n R n x

Do đó  trong khái niệm ổn định không phụ thuộc n0, ta có điều ohiar chứng minh (ii)

và (iii) chứng minh tương tự (i)

Ví dụ 1.1 a, Nghiệm của phương trình x n(   1) x n( ) là

0 0 0( , , )

x n n x x

Do đó,nghiệm gốc là ổn định đều nhưng không ổn định tiệm cận

b, Nghiệm của phương trình x n(   1) a n x n( ) ( ) là

0

1

0 0 0 ( , , ) ( )

x n n x = ( )n x0,

0

1( ) (1 )

1

n n

x n n x   n x (ii) Nghiệm gốc là ổn định đều khi và chỉ khi

x n n x  n x

0

1( ) sin( 1),

n n

0

2

2 0

2 0

Cuối cùng ta kiểm tra sự ổn định của nghiệm gốc Cho  0 và n0 0,

|x | thì x n n x( , 0, 0)  , n n0 Do  được chọn phụ thuộc vào n0 nên nghiệm gốc

là ổn định nhưng không ổn định đều

Ví dụ 1.3 Xét phương trình sai phân

r n r  r r

2

(1 2 ) 2

0( ) (2 ) , (0)

 hội tụ đến điểm cân bằng (1,0) Tuy nhiên nếu 0 , 0  1

thì quỹ đạo của ( ,r0 0) sẽ là đường xoắn ốc hội tụ đến điểm (1,0)

Định lí 1.2 Một ánh xạ liên tục f trên đường thẳng thực không thể có một điểm cố định hút không ổn định

0 , ( 2)

n n n

khi có một khoảng ( , )a b chứa *

Chứng minh Giả sử cho f là một ánh xạ liên tục trên và có một điểm cố định x là hút toàn cục nhưng không ổn định Điều này dẫn đến phương trình 2

( )

f x x chỉ có một nghiệm *

xx .Do đó có hai trường hợp xảy ra:

Theo định lí 1.3 ở trường hợp (a) nghiệm *

x là ổn định tiệm cận nên bị loại Xét trường hợp (b), giả sử 2

0 0 0  f (x )  f (x ) x x .

Do đó 2

0 ( )

x n A n x n nn  (1.10) Giả sử A n( ) là ma trận không suy biến với mọi nn0 Nếu ( )n là ma trận cơ sở bất kì

của hệ (1.10), ta có

1( , )n m ( )n ( ).m

  

Định lí 1.4 Nghiệm gốc của hệ (1.10) gọi là:

(i) Ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số M dương sao cho

|| ( ) || n M với n0 0; (1.11) (ii) Ổn định đều khi và chỉ khi tồn tại hằng số M dương sao cho

x n n x  n x

(i) Giả sử đẳng thức (1.11) đúng Ta có

0 0 0

|| ( ,x n n x, ) ||M||x ||,

với nn0N Nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều

Ngược lại, giả sử rằng nghiệm gốc là ổn định tiệm cận đều nên nó cũng ổn định đều,

Kết luận được chứng minh

Hệ quả 1.1 Đối với hệ phương trình (1.10) các phát biểu sau là đúng:

(i) Nghiệm gốc là ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đều bị chặn;

(ii) Nghiệm gốc là ổn định theo cấp độ mũ khi và chỉ khi nó là ổn định tiệm cận đều

Hệ quả 1.2 Đối với hệ phương trình (1.10), mọi tính chất ổn định địa phương của nghiệm

gốc kéo theo tính chất ổn định toàn cục tương ứng

Định lý 1.5

1.4 Sự ổn định của hệ tuyến tính vơi hệ số hằng

Xét hệ phương trình

( 1) ( ).

Định lí 1.6 Các phát biểu sau đây là đúng

modun nhỏ hơn 1 có khối Jordan tương ứng là đường chéo;

(ii) Nghiệm gốc của (1.15) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu( )A  1.

Chứng minh (i) Cho 1

1 2 , ( , , , r)

i n i n

i

n

n i n i

C J

Như vậy với điều kiện (1.17) nghiệm gốc của hệ phương trình x n(   1) Ax n( ) là ổn

định tiệm cận Bây giờ chúng ta sẽ xét trường hợp mà trong các giá trị riêng của A, tồn tại những giá trị riêng có modun lớn hơn 1

Cho  là một giá trị riêng của A có bội m và  1, 2, ,m là các vectơ riêng tương ứng với  Khi đó, với mỗi i, 1 i m

i i

J J

J

  với J s có giá trị riêng trong s,J u

có giá trị riêng trong u Ta đã biết vectơ riêng tổng quát i, 1 i  của J s có dạng

1

1 2 ( , , , , 0, 0, , 0)T

(ii) Chứng minh tương tự (i)

1.5 Phép phân tích không gian pha

Trong mục này ta sẽ nghiên cứu tính ổn định của hệ tuyến tính cấp hai với hệ số hằng

1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

( 1) ( ) ( )( 1) ( ) ( )

J P AP là dạng Jordan của A Khi đó J có một trong các dạng sau

1 2

1 2

0 , 0

y n P x n , hay

x n( ) Py n( ) (1.20) thì hệ (1.18) trở thành

y n(   1) J y n( ). (1.21)

Nếu

0(0)

x x ,

là điều kiện ban đầu của hệ (1.18) thì

1

0 0 (0)

là điều kiện ban đầu tương ứng của hệ (1.21)

TH (a)  1 2 , J có dạng

1 2

0,0

( ) lim 0 ( )

n

y n

y n

  Nếu |1| | 2| thì:

2 1

( ) lim ( )

n n

2 1

( ) lim 0 ( )

1

1 2 2

cos sin1

( )

sin cos( )

n n

 Nếu |1| 1, ta có điểm trung tâm là ổn định tiệm cận;

 Nếu |1| 1, ta có điểm trung tâm là không ổn định;

 Nếu |1| 1, ta thu được một điểm trung tâm có quĩ đạo là đường tròn có bán kính

2 2

0 10 20

r  y y nên nó ổn định

Hình 1.2

Hình 1.3

Hình 1.4

Ví dụ 1.5 Minh họa không gian pha của hệ

1 1( 1) ( ) ,

1 tan (0.5)

   so với trục x1 Trục y2 xoay bởi góc 1

2 tan ( 0.5)

    so với trục x2

Hình 1.5

1 1

x n Ax n A  

Các giá trị riêng của A là 1   1 3 ,i 2   1 3 i

Véctơ riêng tương ứng với 1 là 1 3 3 0 .

Hình 1.7 mô tả quĩ đạo của 1 ; 0 ,

(ii) V x( )  0 với mọi xB x r , ,xx r,  0,trong đó B x r , y k| y x r

là hình cầu mở tâm x bán kính r trong k

Hình cầu B 0,r được kí hiệu là B r 

Định lí 1.8 (Định lí ổn định Liapunov) Nếu V là một hàm Liapunov của (1.23) trong một

lân cận H của điểm cân bằng xvà V xác định dương tại xthì xlà ổn định Nếu thêm

Nhưng V x m( ( 1)) V x( )0  ( ), điều này là mâu thuẫn Như vậy x là ổn định

Để chứng minh x là ổn định tiệm cận, giả sử x0B x(  , ), khi đó

( ) ( , ), 0

x n B x   n Nếu x n( ) không hội tụ tới x thì nó có một dãy con x n( )i  hội

tụ tới y k Cho EB x(  ,1)là một lân cận mở của yvới xE. Đặt

V x( )i V x n( ( )),i i

Định lí 1.9 Nếu V là một hàm Liapunov trên tập x k| x với   0,V x( )  

Ví dụ 1.7 Xét phương trình sai phân cấp hai:

2

( 1)( 1) , , 0

   nên theo định lí (1.9), tất cả các nghiệm đều

bị chặn Hơn nữa  V 0 tại tất cả các điểm trên trục y2 nên không xác định được tính

ổn định tiệm cận của hệ phương trình này Tình huống này là điển hình trong hầu hết những vấn đề của ứng dụng khoa học và kĩ thuật Do đó, yêu cầu đặt ra là phải phân tích được tốt hơn và chính xác hơn, từ đó dẫn đến nguyên tắc bất biến Lasalle

Một số khái niệm

(i) Cho tập con k

G , x là một điểm giới hạn của G nếu tồn tại một dãy  x i

trong G sao cho x i x khi i  ;

(ii) Bao đóng G là tập hợp của G và tất cả các điểm giới hạn của G;

(iii) Xét phương trình x n(   1) f x n( ( )) (1.23), quĩ đạo dương O(x0) được xác định

O x( 0 ) x n( , 0,x0 ) |n .

Vì ta chỉ xét quĩ đạo dương nên O(x0) còn được kí hiệu là O x( );0

(iv) Tập giới hạn dương (x0)là tập tất cả các điểm giới hạn dương của x0 sao cho  (x0 ) y k | ( )x n i y khi n i  , n i  

(v) Một tập hợp A được gọi là bất biến chắc chắn nếu

O x( )0   A, x0 A

Dễ dàng thấy rằng O x( )0 và ( )x0 đều là bất biến chắc chắn

Định lí 1.10 Cho 0 k

phát biểu sau đây là đúng

i

n

0 ( ) ( )

Chứng minh Cho x n( )là một nghiệm bị chặn của (1.23) với x(0)x0 và x n( )bị chặn ở trong G Theo định lí 1.10 ta có    (x0) G.

Do đó, nếu y( )x0 thì x n( )i y khi n i   , n i  .

  Hơn nữa, do tính liên

tục của V nên V x n( ( ))i V y khi n( ) i  

Như vậy, V y( ) c hay V( ( )) x0 c, do đó 1

0 (x ) V ( ).c

0( ) 0, ( )

    nên ( )x0 E Nhưng do (x0) là bất biến nên ( )x0 M Như

0 ( ) ( ) ( )

Gọi x là điểm cân bằng, ta có

1 2 1 2 1 2 ( ( ), ( )) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) 1

2

a a

  cũng tuần hoàn với chu kì 2 Do đó nghiệm gốc không thể là ổn định tiệm cận

Tuy nhiên, nó ổn định theo định lí 1.24

Định lí 1.12 Nếu V là xác định dương trong một lân cận của điểm gốc và tồn tại dãy con  a i ,a i  0 với V a( )i 0 thì nghiệm gốc của (1.23) là không ổn định

Chứng minh Cho  V 0với xB( ), x 0, (0)V  0. Ta sẽ chứng minh định lí bằng phản chứng

Thật vậy, giả sử nghiệm gốc là ổn định Khi đó, cho   thì tồn tại   sao cho

0

x  thì x n( , 0,x0) ,n  Vì a i 0, chọn x0 a j với j nào đó mà V x( )0 0 và

0

x  Do O x( 0) B( ) B( ) là tập đóng và bị chặn (compact) Vì miền xác định của

nó là compact nên V x n( ( )) cũng compact, do đó bị chặn trên, mà V x n( ( )) tăng nên

   điều này là vô lí Vậy nghiệm gốc không ổn định

Kết luận của định lí cũng đúng nếu Vxác định âm và V a( )i 0

1.7 Phương pháp thứ hai của Lipunov

Từ Định lí 1.6 ta thấy rằng điều kiện để một hệ phương trình sai phân ổn định tiệm cận là ( )A  1. Điều kiện này yêu cầu phải tính toán giá trị riêng của A Nhưng với

phương pháp thứ 2 của Liapunov ta sẽ không cần phải tính giá trị riêng đó Trước hết,

ta cần nhắc lại định nghĩa của một ma trận xác định dương

Xét dạng toàn phương V x( ) đối với một ma trận thực đối xứng cấp k k B ,  (b ij)

min max

min ,1( ) max ,1

Định lí 1.13 Nghiệm gốc của hệ x n(   1) Ax n( ) là ổn định tiệm cận nếu và chỉ nếu với

mọi ma trận đối xứng xác định dương C, phương trình (1.30) có nghiệm duy nhất B là đối xứng và xác định dương

Chứng minh Giả sử nghiệm của hệ x n(   1) Ax n( ) là ổn định tiệm cận Cho C là một

ma trận đối xứng xác định dương Ta sẽ chứng minh rằng phương trình Liapunov (1.30)

1.8 Sự ổn định bởi xấp xỉ tuyến tính

Phương pháp tuyến tính hóa là phương pháp lâu đời nhất của lí thuyết ổn định Nhà toán học Liapunov và Perron đã khởi đầu cho phương pháp tuyến tính hóa với lí thuyết ổn định của hệ phương trình sai phân Trong mục này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp của Perron với hệ phương trình sai phân không tuyến tính

1 1 1

1 2

1 2 0

1 2

( , 0) ( , 0) ( , 0)

( , 0) ( , 0) ( , 0) ( , ) ( , 0)

|

( , 0) ( , 0) ( , 0)

k

k y