Về tính y ổn định và tính y bị chặn của nghiệm phương trình sai phân tuyến tính

Khi đó, phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong ℝd Các kết quả cổ điển về sự ổn định của phơng trình 2trong ℝd đợc trình bày một cách hệ thống trong nhiều tàiliệu, chẳng hạn tro

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh

----

-Hoàng văn thành

Về tính Ψ ổn định và tính Ψ

-bị chặn Của nghiệm phơng trình sai

phân tuyến tính

Luận văn thạc sĩ toán học

Vinh - 2008

2.2 TÝnh  - bÞ chÆn cña nghiÖm ph¬ng tr×nh sai ph©ntuyÕn tÝnh

ℝd .24

Líi nêi ®Ìu

Lý thuyÕt ưn ®Þnh to¸n hôc lµ mĩt bĩ phỊn quan trôngcña ph¬ng tr×nh vi ph©n Ngµy nay lý thuyÕt ưn ®Þnh cểng dông trong nhiÒu ngµnh khoa hôc, kÜ thuỊt nh : vỊt lÝ,kinh tÕ, sinh th¸i m«i tríng, Lý thuyÕt ưn ®Þnh to¸n hôc

®îc t×m hiÓu, nghiªn cøu vµ ®îc ph¸t triÓn m¹nh mÏ vµo cuỉithÕ kØ XIX víi sù ®êng gêp to lín cña nhµ to¸n hôc ngíi NgaLiapunov

§ỉi víi ph¬ng tr×nh vi ph©n, Akinnyele ®· ®a ra kh¸iniÖm  - ưn ®Þnh,  - bÞ chƯn Cê nhiÒu t¸c gi¶ quan t©m

®Õn híng nghiªn cøu nµy nh Avamescu, Constantin,

Gọi J là tập hợp các số tự nhiên ℕ hoặc tập hợp các số

nguyên ℤ Xét phơng trình sai phân trong không gian ℝd

x(n+1) = F(n, x(n)),

(1)

trong đó x : J ℝd, F : J ℝd → ℝd là hàm véc tơ cho trớc Các khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệmcận đều, của phơng trình (1) đợc trình bày đầy đủ vàchi tiết trong các tài liệu của các tác giả: Kenneth S Miller,

Xaлaнaй A., Beкслep.Д (1971)

Giả sử {A(n), n  J} là một dãy ma trận vuông cấp n Khi

đó, phơng trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong ℝd

Các kết quả cổ điển về sự ổn định của phơng trình (2)trong ℝd đợc trình bày một cách hệ thống trong nhiều tàiliệu, chẳng hạn trong [3] hoặc [10] Gần đây, Y Han và J.Hong; Aurel Diamandescu đã chỉ ra một số tiêu chuẩn về sựtồn tại nghiệm  - bị chặn của phơng trình (3) trong ℝd Cáctác giả của [4], [5] chỉ xét bài toán trong ℝd và (n), n  ℤ

(hoặc (n), n  ℕ) là ma trận chéo khả nghịch, mỗi phần tửtrên đờng chéo chính lấy giá trị trong (0, +) Để tìm cáckết quả tổng quát hơn, có hai quan điểm nghiên cứu:

+) Xét phơng trình (2) trong các không gian tổng quáthơn ℝd

+) Đa ra các khái niệm ổn định tổng quát hơn kháiniệm ổn định cổ điển, nhằm mở rộng các kết quả đã có

về tính ổn định đối với phơng trình sai phân tuyến tính Một trong các hớng chính nghiên cứu phơng trình saiphân tuyến tính là tính ổn định của nghiệm phơng trình(2) và mối liên hệ giữa tính ổn định đó với sự tồn tạinghiệm của phơng trình (3)

Một phơng pháp thờng dùng để nghiên cứu sự ổn địnhcủa phơng trình sai phân là sử dụng hàm Liapunôv Ngời ta

đã chứng minh đợc rằng hầu hết các kết quả thu đợc bằngphơng pháp Liapunôv về sự ổn định của phơng trình viphân tuyến tính đều có kết quả tơng ứng về sự ổn địnhcủa phơng trình sai phân tuyến tính

Trong khuôn khổ của luận văn này chúng tôi mở rộngkhái niệm ổn định bằng việc đa vào nhiễu  Với hớngnghiên cứu đó và dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS.TS PhạmNgọc Bội, chúng tôi đi nghiên cứu một số vấn đề sau: Xâydựng khái niệm  - ổn định đều,  - ổn định mũ,  - ổn

định tiệm cận đều cho phơng trình sai phân tuyến tính

thuần nhất trong không gian ℝd và chỉ ra một số tiêu chuẩn

để chúng  - ổn định đều,  - ổn định mũ với {(n), n

0} là dãy ma trận khả nghịch với mọi n  ℕ Nghiên cứu mối

quan hệ giữa tính  - ổn định mũ với  - ổn định tiệm

cận đều; tính ổn định của phơng trình (2) và điều kiện

Perron của phơng trình (3) Nghiên cứu tính  - bị chặntrên ℤ+ với f(n) là - bị chặn trên ℤ+ hoặc f(n) là  - khả

tổng trên ℤ+; đa ra một số ví dụ minh hoạ cho các kết quả

có trong luận văn

Phơng pháp chúng tôi sử dụng để nghiên cứu là: hàmLiapunov và toán tử dịch chuyển

Với mục đích nh trên luận văn đợc chia làm hai chơng :

Chơng1 Một số kiến thức cơ bản của lí thuyết ổn

2.2 Tính  - bị chặn của nghiệm phơng trình saiphân tuyến tính trong không gian ℝd

Phần cuối của luận văn là kết luận và tài liệu thamkhảo

Luận văn này đợc hoàn thành với sự giúp đỡ tận tụy,chân thành, chu đáo, nhiệt tình của thầy giáo PGS TS PhạmNgọc Bội và của các thầy cô giáo PGS TS Trần Văn Ân, PGS

TS Tạ Khắc C, PGS TS Tạ Quang Hải, PGS TS Đinh Huy Hoàng,PSG TS Nguyễn Nhụy, TS Phan Lê Na cùng các thầy cô giáokhoa Toán và khoa Sau đại học Tác giả gửi lời cảm ơn chânthành đến thầy giáo hớng dẫn và các thầy giáo, cô giáo cùngtất cả các bạn bè, gia đình

đã động viên giúp đỡ để tôi hoàn thành luận văn này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhng luận văn không tránh

đợc những thiếu sót về cả nội dung và hình thức Vì vậy,chúng tôi rất mong nhận đợc sự góp ý chân thành của cácthầy cô và bạn đọc

Vinh, tháng 12năm 2008

Tác giả

Hoàng Văn

Thành

CHƯƠNG 1

Một số kiến thức cơ bản của lí thuyết ổn

định

Trong chơng này, chúng tôi trình bày những kiến thức

cơ bản về sự ổn định của nghiệm phơng trình sai phântuyến tính làm cơ sở cho Chơng 2 Nội dung của Chơng 1

đợc trích ra từ tài liệu tham khảo [1] Đặc biệt, chúng tôi giớithiệu một phơng pháp mà nhiều tác giả ( nh Aulbach,Nguyễn Văn Minh và Zabreiko; Phạm Ngọc Bội, ) sử dụng

để nghiên cứu tính ổn định của phơng trình sai phân làtoán tử dịch chuyển

1.1 Tính ổn định của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian ℝ d

Giả sử J là tập các số tự nhiên ℕ hoặc tập các số nguyên

ℤ và {A(n), n J} là một dãy ma trận Khi đó ta có phơng

trình sai phân tuyến tính trong ℝd

x(n+1) = A(n) x(n)

(1.1)

Nếu f là hàm từ J lên ℝd thì ta có phơng trình sai phântuyến tính không thuần nhất tơng ứng với phơng trình saiphân tuyến tính thuần nhất là

1.1.1 Định nghĩa ([1]) Giả sử J là ℕ hoặc ℤ và F là một

ánh xạ từ J ℝd vào ℝd Nghiệm của phơng trình sai phân

x(n+1) = F(n, x(n)),

(1.4)

trên J là một ánh xạ x : J ℝd sao cho đẳng thức (1.4) thoả

mãn với mọi n thuộc J Ta thờng viết nghiệm của phơng trình sai phân dới dạng dãy x ={x(n), n J}.

Giả sử J1 là một tập hợp con của J, ta gọi dãy {x(n), n J 1}

là nghiệm của phơng trình (1.4) trên J 1 nếu dãy này thoả mãn

(1.4)

1.1.2 Định nghĩa ([1]) Nghiệm { } của phơng trình (1.4) đợc gọi là ổn định đều trên J theo Liapunôv nếu với mỗi > 0 tồn tại δ = δ(ε) >0 sao cho mỗi một nghiệm {x(n), n J 1 } bất kì của phơng trình (1.4) trên J 1 =

[n0; +∞) với n 0 nào đó thuộc J, nếu thoả mãn

thì

với mọi n J 1

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Nghiệm { } của phơng

trình (1.4) đợc gọi là ổn định tiệm cận đều trên J nếu nó

ổn định đều trên J và tồn tại một số δ 0 > 0 sao cho với mỗi

tồn tại một số T =T( ) > 0 chỉ phụ thuộc vào sao cho

δ 0 với n 0 nào đó thuộc J thì

với mọi n > n 0 + T

thuộc J.

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Phơng trình (1.4) đợc gọi là ổn

định đều (tơng ứng ổn định tiệm cận đều) trên J nếu

mọi nghiệm của phơng trình (1.4) là ổn định đều (tơng

Nhận thấy rằng với k n m thì X(k, n)X(n, m) =X(k, m) Nghiệm x ={x(n), n J} của phơng trình (1.1) có tính chất : nếu x(m) = u thì x(n) = X(n, m)u với n m.

1.1.6 Nhận xét ([1]) Phơng trình sai phân (1.2) ( nói

riêng khi f 0 nó trở thành phơng trình (1.1)):

a) ổn định đều khi và chỉ khi nghiệm x 0 của

ph-ơng trình sai phân tuyến tính (1.1) ổn định đều

b) ổn định tiệm cận đều khi và chỉ khi nghiệm x 0

của phơng trình sai phân tuyến tính (1.1) ổn định tiệmcận đều

Chứng minh Thật vậy, nếu phơng tình (1.2) ổn định đều

thì hiển nhiên nghiệm x 0 của nó ổn định đều.

Ngợc lại nếu nghiệm x 0 của (1.1)ổn định đều và

và là các nghiệm của phơng trình sai

phân (1.2) trên J thì là một nghiệm

của (1.1) trên J Từ sự ổn định của nghiệm z 0, ta suy ra

với mọi ε >0, tồn tại δ > 0 sao cho

thì với mọi .Vì thế suy ra sự ổn định đều của một nghiệm bất kì củaphơng trình(1.2)

Hoàn toàn tơng tự cho trờng hợp ổn định tiệm cận

đều

1.1.7.Định lí ([1]) a) Phơng trình (1.1) ổn định đều

trên J khi và chỉ khi mọi nghiệm của nó trên mỗi tập hợp J 1 =

[k, +∞), k J bị chặn.

b) Phơng trình (1.1) ổn định tiệm cận đều trên J khi

a) Giả sử J = ℤ, gọi L = {v : ℤ → ℝd | }, với

chuẩn Ta lập toán tử T : L L nh sau

(Tv)(n) = A(n-1)v(n-1) với mọi n ℤ.

Nhận thấy L là không gian Banach và theo điều kiện (1.3)

thì T L[L], không gian các toán tử bị chặn của L

b) Giả sử J = ℕ, gọi D = {v : ℕ → ℝd | } với

chuẩn Ta lập toán tử S : D D nh sau

toán tử tuyến tính liên tục P Kết quả sau đây cho bởi

Aulbach, Nguyễn Văn Minh và Zabreiko

1.2.2 Định lí ([1]) a) r σ (T) = inf{q> 0|

b) Phơng trình (1.1) ổn định tiệm cận đều trên J khi

và chỉ khi r σ (T) < 1 (khi J = ℤ) hoặc r σ (S) < 1 (khi J = ℕ).

c) Nếu r σ (T) > 1 (khi J = ℤ) hoặc r σ (S) > 1 (khi J = ℕ) thì phơng trình (1.1) không ổn định đều

(1.5)

cũng ổn định đều.

1.2.6 Hệ quả ([1]) Nếu {A(n), n J} là dãy ma trận hằng thì

a) Phơng trình (1.1) ổn định đều trên J khi và chỉ khi

b) Phơng trình (1.1) ổn định tiệm cận đều trên J khi

Trong Chơng 2, chúng tôi trình bày những kết quả đã

đạt đợc sau một thời gian nghiên cứu gồm: tính  - ổn định

đều,  - ổn định mũ,  - ổn định tiệm cận cho phơng

trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong không gian ℝd

và chỉ ra một số tiêu chuẩn để chúng  ổn định đều, 

-ổn định mũ với { (n), n 0} là dãy ma trận khả nghịch với

mọi n  ℕ; Mối quan hệ giữa tính  - ổn định mũ với  - ổn

định tiệm cận đều; Tính ổn định của phơng trình sai

phân tuyến tính thuần nhất và điều kiện Perron của phơngtrình sai phân tuyến tính không thuần nhất tơng ứng; Tính

 - bị chặn của nghiệm phơng trình sai phân tuyến tính

2.1 Tính Ψ- ổn định của phơng trình sai phân tuyến tính trong không gian ℝ d

Giả sử không gian ℝd với chuẩn và là mộtdãy các ma trận Khi đó ta có phơng trình sai phân tuyếntính thuần nhất trong ℝd là

Khi đó ma trận  (n) là khả nghịch với mỗi n ℕ

2.1.1 Định nghĩa([2]) a) Phơng trình (2.1) đợc gọi là 

- ổn định đều trên ℕ nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) > 0

sao cho mỗi một nghiệm bất kì {x(n)}của phơng trình (2.1) trên [n 0 ; +∞), với n 0 tuỳ ý thuộc ℕ nếu thoả mãn

thì với mọi n thuộc ℕ.

b) Phơng trình (2.1) đợc gọi là  - ổn định mũ trên ℕ nếu tồn tại các số K và q: K > 0, 0 < q <1 sao cho nếu {x(n),

n ℕ } là nghiệm bất kì của phơng trình (2.1) thì

Chứng minh Nhận thấy nghiệm x = {x(n), n ℕ } của

ph-ơng trình (2.1) thoả mãn x(n) = X(n, m)x(m) với mọi n m

0.

Giả sử phơng trình (2.1)  - ổn định đều Khi đó tồn

tại δ > 0 sao cho x(n) là nghiệm bất kì của (2.1), nếu

0, u ℝd, ta xét dãy sao cho x

nghịch với mọi m ℕ) Khi đó rõ ràng nên(2.5) thoả mãn

Vậy ta có (2.6), nghĩa là

Suy ra

.(2.7)

Khi u = 0 thì hiển nhiên bất đẳng thức (2.7) đúng Vậy bất

đẳng thức (2.7) đúng với mọi u ℝd, suy ra họ ma trận

bị chặn tại mỗi u ℝd Theo nguyên lí bịchặn đều, ta suy ra họ ma trận bị chặn.Vậy (2.4) đợc chứng minh

Ngợc lại, giả sử có (2.4) Nếu ε là số dơng bất kì, ta chọn

Lập ánh xạ S : C Ψ → CΨ xác định bởi

(Sv)(n) = .

Ta gọi S là toán tử dịch chuyển của C Ψ Chú ý rằng điều kiện

(2.3) đảm bảo cho Sv CΨ và S L[C Ψ] không gian các toán

tử tuyến tính bị chặn của CΨ Ta kí hiệu chuẩn của S là |S| Ψ

2.1.4 Định lí ([2]) Phơng trình (2.1) là  - ổn định

(2.8)

minh đẳng thức

(2.9) Nhận thấy với n k 0, nên

.

Vậy

(2.10) Với x ℝd, kí hiệu v x là dãy Khi đó

Giả sử phơng trình (2.1)  - ổn định mũ Khi đó tồn tại

các số K và q sao cho K > 0, 0 < q <1 sao cho nếu {x(n), n

ℕ} là nghiệm bất kì của phơng trình (2.1) thì

có nghiệm x(n) thuộc C, ta nói rằng phơng trình (2.2) thoả

mãn điều kiện Perron

Chú ý rằng trong trờng hợp riêng, các dãy { (n), n 0} và {-1

(n), n 0} bị chặn (nói riêng khi {  (n), n 0} là dãy ma

trận đơn vị ) thì điều kiện Perron ở đây chính là điềukiện Perron cổ điển

Sau đây ta chứng minh mỗi quan hệ giữa tính  - ổn

định mũ của phơng trình (2.1) với điều kiện Perron của

Chứng minh Kí hiệu là tập hợp con của C gồm tất cả các

dãy {x(n) , n ≥ 0 ׀ x(0)= 0} Nhận thấy rằng tập hợp với

ý nghĩa hình học của Bổ đề này là giải thức của làmột hình tròn xoay tâm là gốc toạ độ

Chứng minh Để chứng minh Bổ đề (2.1.9) ta chỉ cần chứng

minh rằng phổ bất biến với mọi phép quay quanh gốctoạ độ

, với mọi ℝ.(2.17)

Trớc hết ta chứng minh cho α 2π , ( là tập hợp số

hữu tỉ) Tức là , trong đó p ℕ, q ℤ

với mọi n thuộc ℤ Suy ra

Vì là toán tử tuyến tính liên tục và nên

.

Nếu là số thực bất kì khi đó tồn tại dãy {α n} 2π sao

cho α n → α Theo chứng minh trên với mọi n ℤ.

Do đóng trong nên suy ra Thật vậy, giả

sử z 0 là số phức tuỳ ý thuộc thì dãy

hội tụ về trong nên z

phần phân biệt phẳng Phổ của chiếm phần “trong’’

và giải thức của chiếm phần “ngoài’’

Chứng minh Theo Bổ đề 2.1.9, toàn bộ đờng tròn

không nằm trong Kí hiệu , với I là toán tử

Un = .(2.20)

Bây giờ ta chứng minh Định lí 2.1.8

Với mỗi f C, kí hiệu là dãy thuộc nh sau

Nhận thấy phơng trình (2.2) thoả mãn điều kiện Perron khi

và chỉ khi với mỗi , tồn tại sao cho . Điều

đó tơng đơng với toán tử khả nghịch hay 1 ( ) Từ

Bổ đề 2.10 suy ra điều kiện Perron thoả mãn cho phơng

Chú ý Điều kiện Perron cổ điển là trờng hợp riêng của

Định lí 2.1.8 khi dãy {  (n) , n 0} là dãy ma trận đơn vị.

2.1.11 Định nghĩa Phơng trình (2.1) đợc gọi là  - ổn

định tiệm cận đều trên ℕ nếu mỗi một nghiệm bất kì

{x(n)} của phơng trình (2.1) là  - ổn định đều trên ℕ và tồn tại một số δ 0 > 0 sao cho với tồn tại một số tự nhiên T

= T(ε) > 0 chỉ phụ thuộc vào ε sao cho nếu với

n 0 nào đó thuộc ℕ thì với mọi n n 0 + T thuộc

a(0) = b(0) = c(0).

2.1.13 Định lí Phơng trình (2.1)  - ổn định tiệm cận

đều trên ℕ nếu và chỉ nếu nó  - ổn định mũ trên ℕ.

Chứng minh Nếu phơng trình (2.1)  - ổn định mũ, với bất

kỳ n 0 ℕ và

x = {x(n)} là một nghiệm tuỳ ý của phơng trình (2.1) thì

tồn tại các số K và q

sao cho K > 0, 0 < q < 1 thoả mãn điều kiện

Ngợc lại nếu (2.1)  - ổn định tiệm cận đều Giả sử

là một nghiệm bất kì của phơng trình (2.1)

mà x(m) = α Khi đó ta kí hiệu giá trị x(n) là x(n ; m, ) Ta

Từ điều kiện ổn định của phơng trình (2.1), trong chứng

minh Định lí 2.1.3 ta có với mọi n,

k

Vậy .(2.21)

Từ định nghĩa V n, ta có

(2.22)

Từ sự ổn định tiệm cận đều của phơng trình (2.1)suy ra tồn tại dãy số sao cho Vì vậy

Giả sử x = (x 1 , x 2 , x d ) T ℝd, không gian ơclit d chiều thì chuẩn của x là Chuẩn của matrận M cỡ là

Giả sử  i : ℤ+ → (0; +∞), i = 1, 2, ,d và giả sử  =diag[12 d]

Khi đó ma trận (n) là khả nghịch với mỗi n ℤ+ = {1, 2,

tồn tại M > 0 sao cho với mọi n ℤ+)

2.2.2 Định nghĩa ([5]) Một dãy : ℤ+→ ℝd đợc gọi là  khả tổng trên ℤ+ nếu (n) l1 và l1 Nghĩa là

và

Giả sử f : ℤ+→ ℝd là  - khả tổng Khi đó ta có phơngtrình sai phân tuyến tính không thuần nhất

x(n+1) = A(n)x(n) + f(n),

(3.1)

trong đó {A(n)} là dãy ma trận bị chặn và phơng trình sai

phân tuyến tính thuần nhất tơng ứng là