Về các nghiệm ψ mờ dần của hệ phương trình vi phân tuyến tính

Nói một cách hìnhtợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu cácnhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệthống thay đ

Mục lục

Trang

lời nói đầu 2

Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định 4

1.1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân 4

1.2.Tính ổn định về hệ phơng trình vi phân tuyến tính 6

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 9

1.4 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng 10

Chơng 2 Tính  - bị chặn và tính  - mờ dầncủa hệ phơng trình vi phân tuyến tính 12

2.1 Tính  - bị chặn của hệ phơng trình vi phân tuyến tính 12

2.2 Tính  - mờ dần của hệ phơng trình vi phân tuyến tính 32

kết luận 45

tài liệu tham khảo 46

Lời nói đầu

Lý thuyết ổn định đóng vai trò quan trọng trong nhiều ứng dụng thực tiễn,

là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính của phơng trình vi phân Vớinhững lí do trên lý thuyết ổn định đã và đang đợc quan tâm nghiên cứu mạnh mẽ

và đợc áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau, nhất là trong lĩnh vực kinh tế vàkhoa học kỹ thuật, trong lĩnh vực sinh thái học và môi trờng Nói một cách hìnhtợng, một hệ thống đợc gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu cácnhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệthống thay đổi nhiều so với hệ thống cân bằng đó Bài toán ổn định hệ thống đợcnhiều nhà toán học, đặc biệt là V.lyapunov nghiên cứu và đến nay đã trở thànhnột hớng nghiên cứu trong lý thuyết phơng trình vi phân, lý thuyết hệ thống vàứng dụng Đặc biệt từ những năm 60 của thế kỷ XX, ngời ta bắt đầu nghiên cứutính ổn định, ổn định hóa của hệ điều khiển

Xét hệ phơng trình vi phân trong Rn

x’ = f(t, x), t 0 ,

trong đó x = x(t) R n, f :R R n  R n là hàm vectơ cho trớc

Khi đó các khái niệm ổn định, ổn định đều, ổn định tiệm cận đ ợc trình bày

đầy đủ và chi tiết trong các tài liệu nh: Nguyễn Thế Hoàn, Phạm Phu, PhạmNgọc Bội

Trong không gian hữu hạn chiều các kết quả về tính ổn định của phơng trình

vi phân tuyến tính:

x’(t) = A(t)x(t) + f(t),

với A(t), f(t) liên tục đợc viết đầy đủ và chi tiết

Để nghiên cứu một cách tổng quát các kết quả trên ngời ta đa ra cách nhìnkhác nhằm mục đích mở rộng lớp phơng trình vi phân tuyến tính ổn định Trongkhuôn khổ luận văn này chúng tôi nghiên cứu một số vấn đề sau: Xét hệ ph ơngtrình vi phân tuyến tính thì khi đó nghiên cứu tính  - bị chặn trên R+ với hàmf(t) là  - bị chặn trên R+, và tính  - mờ dần trên R+ với hàm f(t) là  - mờdần trên R+ Với mục đích đó chúng tôi tiếp cận đề tài “ Về tính  - mờ dầnnghiệm của hệ phơng trình vi phân tuyến tính”

Luận văn đợc chia thành hai chơng

Ch

ơng 1 Một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định.

Chơng này chúng tôi hệ thống lại các kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định,nhằm phục vụ cho chơng hai, gồm:

1.1 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân

1.2 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính.

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.4 Tính ổn định của hệ phơng trình vi phân tuyến tính với ma trận hằng

Ch

ơng 2 Tính  - bị chặn và tính  - mờ dầncủa hệ phơng trình vi phân tuyến tính.

Đây là nội dung chính của luận văn, chơng này chúng tôi trình bày theo haimục sau:

2.1 Tính  - bị chặn của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

2.2 Tính  - mờ dần của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS

TS Phạm Ngọc Bội Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy - ngời

đã dành cho tác giả những sự quan tâm và giúp đỡ tận tình trong quá trình hoànthành luận văn

Qua đây tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong

tổ Giải tich, trong khoa Toán và khoa Sau Đại học trờng Đại học Vinh cùng cácbạn học viên cao học 15 – Toán, những ngời đã quan tâm, giúp đỡ tạo điều kiệnthuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Rất mong đợc sự góp ý chỉ bảo của các thầy cô giáo và bạn bè

Vinh, tháng 12 năm 2009

Tác giả

chơng 1 một số kiến thức cơ bản của lý thuyết ổn định

1.1.1 Định nghĩa    3 Hàm x x(t)   xác định và khả vi trên khoảng (a,n

b) đợc gọi là nghiệm của phơng trình (1.1) nếu

x (t) f (t, x)'  , với mọi t 0

Giả thiết f(t,x) là hàm thoả mãn các điều kiện sao cho bài toán Cauchy hệ(1.1) với điều kiện ban đầu x(t0) = x0 , t0 luôn có nghiệm duy nhất Khi đó0dạng tích phân của nghiệm đợc cho bởi công thức:

0

t 0 t

x(t) x  f (s, x(s))ds

1.1.2 Định nghĩa    1 Nghiệm x(t),(a t   của hệ (1.1) đợc gọi là ổn)

định (theo nghĩa Liapunov) khi t   (nói ngắn gọn là ổn định) nếu với mọi0

  với mọi t0 thuộc (a; ∞) tồn tại (, t0) > 0 sao cho tất cả cácnghiệm y(t) của hệ (1.1) thoả mãn điều kiện y(t ) x(t )0  0   thì xác địnhtrong khoảng [t0, ∞) và y(t)  x(t)   khi t0  t < ∞

1.1.3 Định nghĩa ([1]) Nếu số  nói trong định nghĩa (1.1.2) không phụ

thuộc vào t0, tức là  = () thì nghiệm x(t) đợc gọi là ổn định đều.

1.1.4 Định nghĩa ([1]) Nghiệm x(t),(a   của hệ (1.1) đợc gọi là ổnt )

định tiệm cận (theo nghĩa Liapunov) khi t   (nói ngắn gọn là ổn định tiệmcận ) nếu

trong đó F(t, 0)  0 Rõ ràng hệ (1.2) có nghiệm z  0 Ta gọi nó là hệ quy

đổi Khi đó sự ổn định của nghiệm x(t) nào đó của hệ (1.1) sẽ đa về nghiêncứu tính ổn định của nghiệm 0 của hệ (1.2) Do đó đối với hệ quy đổi (1.2) ta

có thể nói về sự ổn định của nghiệm tầm thờng z  0

Nghiệm tầm thờng z  0 của hệ (1.2) ổn định nếu với bất kỳ  > 0, vớimọi t0 thuộc (a; ∞) tồn tại  t ) 00  sao cho tất cả các nghiệm x(t) của hệ

(1.2) thoả mãn điều kiện x(t )   thì xác định trong khoảng [t0 0, ∞) vàx(t)   khi t0  t < ∞.

Nghiệm tầm thờng z  0 của hệ (1.2) ổn định tiệm cận nếu hệ ổn định

và với mọi t0 thuộc (a; ∞) tồn tại  = (t0) > 0 sao cho tất cả các nghiệm x =x(t), t0  t < ∞ nếu thoả mãn điều kiện x(t )   thì0

Nếu a  0 thì với mỗi  > 0, t0 ℝ+ chọn số  =  > 0 khi đó với bất kỳ

1.1.6 Bổ đề (Gronwall – Bellman) ([3]) Giả sử hàm liên tục dơng u(t) trên

(a; b) và với mọi giá trị t, s  (a; b) thoả mãn bất đẳng thức tích phân

t

1 1 1 s

u(t) u(s) f (t )u(t ) dt ,trong đó f(t) là hàm số thực liên tục và không âm trên (a; b)

Khi đó, với a < t0  t < b đánh giá sau đây đợc thoả mãn

ở đây A(t) là ma trận làm liên tục trên ℝ+ , hàm f: ℝ+  ℝn liên tục trên ℝ+.

Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) và hệ phơng trình vi phântuyến tính thuần nhất tơng ứng (1.4)

1.2.1 Định nghĩa ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi là ổn

định nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định

1.2.2 Định nghĩa ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi là ổn

định đều nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định đều

1.2.3 Định nghĩa ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính (1.3) đợc gọi là ổn

định tiệm cận nếu tất cả các nghiệm x = x(t) của nó ổn định tiệm cận

1.2.4 Định lý ([3]) Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính

(1.3) ổn định với số hạng tự do bất kỳ f(t) là nghiệm tầm thờng

0

x 0, (t   t );t   ( )của hệ thuần nhất tơng ứng (1.4) ổn định

Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử x = x(t), (t0 < t < +∞) là một nghiệm ổn

định nào đó của hệ vi phân tuyến tính (1.3) Điều đó có nghĩa là với mỗi  > 0tồn tại  > 0 sao cho với nghiệm bất kỳ y = y(t) của (1.3) khi (t0 < t < +∞) ta cóbất đẳng thức

0

y(t)   khi t   t , nếu y(t )   0

Từ đó suy ra nghiệm tầm thờng x0 0 của hệ vi phân tuyến tính thuầnnhất (1.4) ổn định theo Liapunov khi t  +∞

Điều kiện đủ: Giả sử nghiệm tầm thờng x0 0 của hệ vi phân tuyếntính thuần nhất (1.4) ổn định theo Liapunov khi t  +∞ Khi đó, nếu

y(t) x(t)   khi t   t

1.2.5 Định lý ([3]) Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính

(1.3) ổn định đều với số hạng tự do bất kỳ f(t) là nghiệm tầm thờng

x 0, (t   t ); t (a;)của hệ thuần nhất tơng ứng (1.4) ổn định đều

1.2.6 Định lý ([3]) Điều kiện cần và đủ để hệ phơng trình vi phân tuyến tính

(1.3) ổn định tiệm cận với số hạng tự do bất kỳ f(t) là nghiệm tầm thờng

x 0, (t   t ); t (a;)của hệ thuần nhất tơng ứng (1.4) ổn định tiệm cận

Việc chứng minh các định lý này, hoàn toàn tơng tự nh chứng minh

định lý trên

1.2.7 Hệ quả ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính ổn định khi ít nhất một

nghiệm của nó ổn định và không ổn định nếu một nghiệm nào đó của nghiệmkhông ổn định

1.2.8 Hệ quả ([3]) Hệ phơng trình tuyến tính ổn định khi và chỉ khi hệ phơng

trình vi phân tuyến thuần nhất tơng ứng ổn định

1.3 Tính ổn định của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất

1.3.1 Định lý ([1]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn định khi và chỉ

khi mỗi nghiệm x = x(t), (a < t0  t < +∞) của hệ đó bị chặn trên nửa trục

t0  t < +∞

Chứng minh Điều kiện đủ: Giả sử mỗi một nghiệm của (1.4) là bị chặn trên

[t0; +∞), gọi X(t) = [xik(t)] là ma trận cơ bản của hệ (1.4) chuẩn hoá tại t0

(X(t0) = I) Khi đó mỗi một hàm xjk(t) bị chặn trên [t0; ∞) nên

z(t ) 2



không thoả mãn x(t)   t [t ; )0  Điều này mâu thuẫn với giả thiết Vậy

1.3.2 Định lý ([1]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.4) ổn

định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm x = x(t) của nó dần tới khôngkhi t  +∞, tức là

hệ thức (1.8) suy ra x(t) ổn định tiệm cận Vậy hệ(1.4) ổn định tiệm cận

Điều kiện cần: Vì hệ (1.4) ổn định tiệm cận nên với nghiệm bất kỳ y(t)của hệ này tồn tại  =  (t0) > 0 sao cho nếu y(t )0  thì:0

xlim x(t) 0

1.4.1 Định lý ([3]) Hệ vi phân tuyến tính thuần nhất (1.10) với ma trận hằng

A ổn định khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j = j (A) của A đều cóphần thực không dơng tức là Re (A) 0( j 1,2, ,n)j   và các nghiệm đặc trng

có các phần thực bằng không đều có ớc cơ bản đơn ( nó ứng với các ô Joocdanchỉ có một phần tử)

1.4.2 Định lý ([3]) Hệ phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.10) với

ma trận hằng A ổn định tiệm cận khi và chỉ khi tất cả các nghiệm đặc trng j

= j(A) của A đều có phần thực âm, tức là

Chơng 2 Tính - bị chặn và tính  - mờ Dần của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

2.1 Tính  - bị chặn của hệ phơng trình vi phân tuyến tính

ℝn là không gian Euclid n - chiều Chuẩn của x = (x1, x2, , xn)T đợcxác định x max x , x , , x 1 2 n Ma trận thực A cỡ (n  n) với chuẩn

sup

Nhận thấy ma trận (t) là ma trận khả nghịch với mọi t  0

2.1.1 Định nghĩa ([5]) Hàm : ℝ+  ℝn đợc gọi là  - bị chặn trên ℝ+ nếu

(t) đo đợc và (t) (t) bị chặn trên ℝ+

2.1.2 Chú ý nếu t) c   và 1 t) c

     với 0  t < ∞ , khi đó hàmx(t) bị chặn trên ℝ+ tơng đơng với x(t) là  - bị chặn trên ℝ+

2.1.3 Định nghĩa ([5]) Hàm : ℝ+  ℝn đợc gọi là  - khả tích Lơbe trên ℝ+

nếu (t) đo đợc và (t) (t) khả tích Lơbe trên ℝ+

Giả sử P1, P2 là các phép chiếu tơng ứng của ℝn lên X1, X2 tức là

2.1.5 Bổ đề (Massera và Schaffer) ([4]) Cho h(t) là hàm không âm, khả tích

địa phơng sao cho

1 1 1

1 1 2

Ta nhận thấy C là không gian Banach với chuẩn

với chuẩn đó D, Dlà không gian Banach Thật vậy, lấy

 xn n , n 1,2,  là dãy cơ bản trong D thì  xn n là dãy cơ bản trong C Vìvậy, tồn tại hàm liên tục và bị chặn x: ℝ+  ℝn sao cho

Xét dãy, f (t) ,n 1,2, n   với f (t)n t)(x (t) A(t)x (t))'n  n là dãy cơbản trong L, với L là không gian Banach của tất cả các hàm vectơ khả tíchLơbe trên ℝ+ với chuẩn

 

n n n

t ' n n

0 t '

n 0 t 1

n 0 t 0

x’ = A(t)x, x  D Điều này chứng tỏ x là nghiệm  - bị chặn của (2.2) Ta cóx(0)  X1  X2 = {x: 0} Vậy x = 0 nên toán tử T là một - một

z(t) là nghiệm của bài toán Cauchy

z’ = A(t)z + f(t), z(0) = P2x(0)

Cho nên x(t) - z(t) là nghiệm của (2.2) với P2(x(0) - z(0)) = 0, ở đâyx(0) - z(0)  X1 Vì vậy x(t) - z(t) là  - bị chặn trên ℝ+ nên z(t) là  - bị chặntrên ℝ+ Ta có z(t)  D và Tz = f Suy ra T là toàn ánh Theo định lý Banachthì T-1 cũng là toán tử bị chặn và tồn tại hằng số K T1 1

và với nghiệm x  D của hệ (2.1) thì

Y(t)P Y (u)G(t,u)

s

1

B s

ở đây f là hàm  - khả tích Lơbe trên ℝ+, nhận thấy x(t) là nghiệm  - bị chặn

Từ định lý (2.1.6.) ta thu đợc kết quả sau:

2.1.7 Định lý Giả sử A(t) là ma trận thực cỡ n  n liên tục theo t  ℝ Khi

đó với mỗi hàm f là  - khả tích Lơbe trên  hệ (2.1) có ít nhất một nghiệm

 - bị chặn trên ℝ khi và chỉ khi có hằng số dơng K sao cho

1 1 2

1 1 1

Chứng minh Chứng minh định lý này hoàn toàn tơng tự nh chứng minh

2.1.8 Ví dụ Xét hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.2) với

1 1 2

Chøng minh Cho x(t) lµ nghiÖm  - bÞ chÆn cña (2.1) Nªn tån t¹i h»ng sè

Ta nhËn thÊy y(t) lµ nghiÖm  - bÞ chÆn cña (2.2), y(0)  X1 MÆt kh¸c,

P1y(0) = 0 th× y(0) = P2y(0)  X2 VËy y(0) = 0 nªn y(t) = 0 víi t  0

1 1 1

1

1 1 2

t

t 1 1

2.1.10 Chó ý ([5]) §iÒu kiÖn f lµ  - kh¶ tÝch L¬be trªn ℝ+ kh«ng thÓ thay

c¶ f lµ hµm tho¶ m·n ®iÒu kiÖn

t

   

VÝ dô sau sÏ minh ho¹ cho nhËn xÐt trªn:

2.1.11 VÝ dô ([5]) XÐt hÖ ph¬ng tr×nh vi ph©n tuyÕn tÝnh (2.2) víi A(t) = O2.Th× Y(t) = I2 lµ ma trËn c¬ b¶n cña ph¬ng tr×nh (2.2) chuÈn ho¸ t¹i 0

2.1.13 §Þnh lý ([8]) Gi¶ sö ma trËn c¬ b¶n Y(t) chuÈn ho¸ t¹i 0 cña hÖ (2.2)

 - bÞ chÆn trªn ℝ+ nÕu vµ chØ nÕu cã c¸c h»ng sè d¬ng K1 vµ  sao cho

1 1 2

Y(t)P Y (t)f (t) Y(t)P Y (t)f (t) A(t)x(t) f (t)

với f  C Ngoài ra tồn tại hằng số dơng r không phụ thuộc vào f sao cho

y’ = A(t)y; y(0) = -P1x(0)

Nghiệm y(t) là  - bị chặn xác định trên X1 Nhng z = x + y là nghiệm

- bị chặn của hệ (2.1) với

P z(0) P x(0) P x(0) 0.1  1  12 

Vậy z(0)  X2 Nên nghiệm z(t) là  - bị chặn của hệ (2.1) với z(0)X2

Chứng minh tính duy nhất: Cho x(t) và y(t) là nghiệm  - bị chặn của

hệ (2.1) với x(0)  X2, y(0)  X2 Vậy x - y là nghiệm  - bị chặn của hệ (2.2)

và x(0) - y(0)  X2 Nhng x(0) - y(0)  X1 Ta có x(0) = y(0),

vậy x = y (đpcm)

Tf = x, với x là nghiệm  - bị chặn của hệ (2.1) với x(0)  X2 Ta chứng minh

T liên tục Thật vậy

Giả sử xn = Tfn, fn  f và xn  x Cố định t, ta có

t n n

0 t 1

n n

0

t 1

n Cn

0 t

1

n n

0

t

1

n Cn

t

'

n 0 t

n n n

0 t 0

x(t) x(0) lim(x (t) x (0))

lim A(s)x (s) f (s) dsA(s)x(s) f (s) ds

Y(t)P Y (s)G(t,s)

t t)G(t,s)x(s) s)x(s) ds r,

Từ tính liên tục thì (2.14) vẫn đúng trong trờng hợp t = s

Vì x là nghiệm không tầm thờng của hệ (2.2) nên x(s) = Y(s)x(0)

Chọn x(0) = ,   ℝn Với t1 tuỳ ý, từ (2.14) suy ra

0

1 t

1 t

(2.15)Chọn x(0) = ,   ℝn Với t0 tuỳ ý, từ (2.14) suy ra

1 0

1 t

(t)Y(t)P Y (s)1 1 1(s) rK 1 e  (t s) 1

1 1 1

2.1.14 Chú ý: Hoàn toàn tơng tự ta có định lý sau:

2.1.15 Định lý: Giả sử ma trận cơ bản Y(t) chuẩn hoá tại 0 của hệ (2.2) thảo

- bị chặn trên  nếu và chỉ nếu có các hằng số dơng K 1 và  sao cho

1 1 (s t) 2

Vậy hệ phơng trình vi phân tuyến tính (2.1) đã cho là -bị chặn trên ℝ+

2.1.17 Định lý ([7]) Giả sử:

1 Nghiệm cơ bản chuẩn hoá tại 0 của hệ (2.2) thoả mãn điều kiện:

1 1 (t s) 1

1 1 (s t) 2

t 1 x t

Vậy hàm y(t) là nghiệm của hệ phơng trình (2.2).

Từ giả thiết 1 lim (t)Y(t)Pt 1 0

   nên tồn tại hằng số dơng N sao cho

0

(t)Y(t)P Y (s)  (s) (s)f (s) ds

1 1 2

(s t) 0

Mặt khác, P1y(0) = 0 Ta có y(t) Y(t)y(0) Y(t)P Yy(0)  2

Nếu P y(0) 02  , từ bổ đề 2 ([7]) suy ra

t

thuẫn Vậy P y(0) 02  nên y(t) 0 với t 0