Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

Các số liệu, k t qu nêu trong luận văn lƠ trung thực vƠ ch a đ ợc ai công bố trong bất kỳ công trình nƠo khác.. Lê H i Trung đư tận tình h ớng dẫn tôi trong quá trình thực hiện để tôi có

Đ IăH CăĐẨăN NG

LÊ QUANG HOÀNG

VẨă NGăD NG

LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Đ IăH CăĐẨăN NG

LÊ QUANG HOÀNG

VẨă NGăD NG

Chuyên ngành :ăPh ngăphápătoánăs ăc p

Mưăs : 8460113

LU NăVĔNăTH CăSƾăPHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Ng iăh ngăd n 1 : TS LÊ HOÀNG TRÍ

Ng iăh ngăd n 2 : TS LÊ H IăTRUNG

ĐƠăN ng, 2020

L IăCAMăĐOAN

Tôi xin cam đoan đơy lƠ công trình nghiêm c u c a tôi

Các số liệu, k t qu nêu trong luận văn lƠ trung thực vƠ ch a đ ợc ai công

bố trong bất kỳ công trình nƠo khác

Tác gi

Lê Quang Hoàng

L IăC Mă N

L i đầu tiên c a luận văn tôi xin gửi l i c m n sơu sắc đ n thầy giáo

h ớng dẫn TS Lê HoƠng Trí vƠ TS Lê H i Trung đư tận tình h ớng dẫn tôi trong quá trình thực hiện để tôi có thể hoƠn thƠnh đ ợc luận văn nƠy Tôi luôn ghi nhớ vƠ tri ơn sự chỉ b o, quan tơm tận tình c a hai thầy trong th i gian thực hiện luận văn

Tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh nhất đ n tất c các giáo viên đư tận tình

d y b o tôi trong suốt th i gian học tập Đồng th i cũng xin g i l i c m n

đ n các anh chị trong lớp PP toán s cấp K36 đư nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập t i lớp

Mặc dù b n thơn tác gi đư có nhiều có gắng, nh ng vì ki n th c vƠ năng lực còn h n ch nên luận văn s không tránh khỏi những thi u sót Vì vậy tôi rất mong nhận đ ợc những Ủ ki n c a quỦ thầy cô giáo vƠ các b n đồng nghiệp để luận văn đ ợc hoƠn thiện h n

NgƠy 05 tháng 05 năm 2020 Học viên thực hiện

Lê Quang Hoàng

INFORMATION ON MASTER'S THESIS

Oficial thesis title: Linear difference equations and their applications

Major: Elementary Mathematics Methods

Full nme of Master's student: Le Quang Hoang

Supervisors: 1 Dr Le Hoang Tri

- Presenting some applications of linear difference equations such assumming terms of recurrence sequences, calculating dete1minants,calculating the limit of number sequences and solving some arithmeticproblems

The issues stated in the thesis are practical and suitable or naJor m Elementary Mathematics Methods

Kewords: Linear diference equations, linear diference equations with

constant coeficients, applications of linear diference equations

Supervisors' confirmation

M CăL C

L IăCAMăĐOAN i

L IăC Mă N ii

M CăL C iii

M ăĐ U 1

1 LỦ do chọn đề tƠi 1

2 M c đích vƠ nhiệm v nghiên c u 2

3 Đối t ợng vƠ ph m vi nghiên c u 2

4 Ph ng pháp nghiên c u 2

5 ụ nghĩa khoa học vƠ thực tiễn c a đề tƠi 3

6 Tổng quan vƠ cấu trúc luận văn 3

CH NGă1 KI NăTH CăCHU NăB 4

1.1 Định nghĩa vƠ một số tính chất c b n 4

1.1.1 Sai phơn hữu h n c a hƠm số một bi n số thực 4

1.2 Phơn lo i nghiệm c a ph ng trình sai phơn 10

1.2.1 Định nghĩa ph ng trình sai phơn 10

1.2.2 Nghiệm tổng quát 12

1.2.3 Nghiệm riêng 13

CH NGă2 PH NGăTRỊNHăSAIăPHÂNăTUY NăTệNH 14

2.1 Một số khái niệm 14

2.1.1 Hệ độc lập tuy n tính, hệ ph thuộc tuy n tính 14

2.2 Định th c Casorati 17

2.3 Ph ng trình sai phơn tuy n tính thuần nhất 18

2.3.1 Ph ng trình sai phơn tuy n tính thuần nhất cấp n 18

2.3.2 Ph ng trình sai phơn tuy n tính thuần nhất với hệ số hằng 24

2.4 Ph ng trình sai phơn tuy n tính không thuần nhất 26

2.4.2 Ph ng trình sai phơn tuy n tính không thuần nhất hệ số hằng với v

ph i đặc thù 35

CH NGă3 M TăS ă NGăD NG 40

C A PH NG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH 40

3.1 Dưy truy hồi Tổng các số h ng c a dưy truy hồi Công th c tính tổng từng phần 40

3.1.1 Dưy truy hồi 40

3.1.2 Tổng các số h ng c a dưy truy hồi, công th c tính tổng từng phần 42

3.2 ng d ng c a ph ng trình sai phơn để tính định th c 45

3.3 Tính giới h n c a dưy số 51

3.4 Gi i các bƠi toán số học 55

K TăLU N 62

DANHăM CăTẨIăLI UăTHAMăKH O 63

M ăĐ U 1.ăLỦădoăch năđềătƠiăăăăăăăă

Trong đ i sống thực t cũng nh trong khoa học kỹ thuật có rất nhiều hiện t ợng đ ợc mô t d ới d ng ph ng trình sai phơn tuy n tính NgoƠi ra,

ph ng trình sai phơn tuy n tính còn lƠ một công c giúp gi i các bƠi toán vi phơn, tích phơn, đ o hƠm, tính định th c cấp n, tính giới h n dưy số, bƠi toán

số học…

Việc gi i một ph ng trình sai phơn m c tiêu lƠ tìm ra công th c c a hƠm

ch a đ ợc bi t thỏa mưn mối quan hệ đ ợc đ a ra tr ớc đó Thông th ng

k t qu s lƠ một họ các nghiệm đ ợc mô t bằng ph ng trình toán, sai lệch bằng một hằng số C nƠo đó HƠm nƠy s đ ợc bi t chính xác khi có thêm điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên

Trong các ng d ng thực t , nhiều bƠi toán nh tính lưi suất %, bƠi toán theo quy luật… đôi lúc không dễ dƠng để tìm ra công th c c a nghiệm, với giá trị c a thực tiễn khi ấy ng i ta chỉ quan tơm tới giá trị c a hƠm t i các giá trị c thể c a các bi n độc lập

tr ng trung học phổ thông cũng nh trong các kỳ thi học sinh giỏi toán xuất hiện nhiều bƠi toán hay vƠ khó về dưy số, giới h n, số học, tích phơn truy hồi, ph ng trình hƠm, với l i gi i có thể ng d ng các ki n th c c a

ph ng trình sai phơn tuy n tính Chính vì vậy mƠ nhiệm v tìm hiểu những

ng d ng c a ph ng trình sai phơn tuy n tính trong các bƠi toán phổ thông lƠ một yêu cầu cấp thi t vƠ quan trọng

Nhằm hiểu thấu đáo h n về ph ng trình sai phơn tuy n tính vƠ d ới

sự h ớng dẫn, gợi Ủ c a thầy giáo TS LÊ H I TRUNG, tôi quy t định chọn

đề tƠi “Ph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăvƠă ngăd ng” cho luận văn th c

sĩ c a mình

2.ăM căđíchăvƠănhi măv ănghiênăc u

- Tìm hiểu các ki n th c c b n về ph ng trình sai phơn vƠ ng d ng

- Hệ thống vƠ phơn lo i một số bƠi toán có thể gi i đ ợc bằng cách sử d ng

ki n th c về ph ng trình sai phơn

- ng d ng gi i các bƠi toán thực t , xơy dựng ph ng trình sai phơn để tìm

ra k t qu

3.ăĐ iăt ngăvƠăph măviănghiênăc u

- Các ki n th c c b n dưy số, sai phơn, ph ng trình sai phơn…

- Các bƠi toán ph ng trình sai phơn tuy n tính

- Các bƠi toán có thể gi i đ ợc bằng cách sử d ng ki n th c về ph ng trình sai phân

4.ăPh ngăphápănghiênăc u

Với đề tƠi: “ph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăvƠă ngăd ng”ăchúng tôi s

sử d ng ph ng pháp nghiên c u lỦ thuy t trong quá trình thực hiện đề tƠi, c thể:

+ Thu thập, tổng hợp, hệ thống các tƠi liệu liên quan đ n nội dung đề tƠi trong luận văn

+ Phơn tích, nghiên c u các tƠi liệu để thực hiện đề tƠi luận văn

+ Trao đổi, th o luận, tham kh o Ủ ki n c a ng i h ớng dẫn, c a các chuyên gia vƠ c a các đồng nghiệp

5.ăụănghƿaăkhoaăh căvƠăthựcăti năc aăđềătƠi

Đề tƠi có giá trị về mặt lỦ thuy t Có thể sử d ng luận văn nh lƠ tƠi liệu tham kh o cho sinh viên ngƠnh toán, giáo viên phổ thông vƠ các đối t ợng quan tơm đ n các ki n th c ph ng trình sai phơn tuy n tính vƠ ng d ng

6.ăTổngăquanăvƠăc uătrúcălu năvĕn

Luận văn có cấu trúc nh sau:

M ăđ u

Ch ngă1: Ki n th c chuẩn bị

Ch ngă2: Ph ng trình sai phơn tuy n tính

Ch ngă3: Một số ng d ng c a ph ng trình sai phơn tuy n tính

CH NGă1

KI NăTH CăCHU N B

Trong ch ng nƠy, tôi trình bƠy các ki n th c c b n về sai phơn vƠ

ph ng trình sai phơn, bao gồm các khái niệm, tính chất c a sai phơn, nghiệm

c a ph ng trình sai phơn cần cho ch ng 2 vƠ ch ng 3

1.1.ăĐ nhănghƿaăvƠăm tăs ătínhăch tăc ăb nă

1.1.1 Saiăphơnăhữuăh năc aăhƠmăs ăm tăbi năs ăthực

Một cách tự nhiên ta s mặc định hƠm y t  lƠ xác định t i các điểm mƠ ta

ti n hƠnh xem xét Chú Ủ rằng trong lỦ thuy t vi phân thì h chính lƠ số gia c a

đối số, còn ( )y t chính lƠ số gia c a hƠm số t i điểm t Trong luận văn nƠy số

h còn có tên gọi lƠ b ớc Sai phơn hữu h n cấp cao đ ợc xác định b i biểu

Víăd ă1.1.2 Cho hƠm số bậc hai 2

T ínhăch tă1.1.1 Giá trị ny t( ) dễ dƠng biểu thị qua giá trị c a hƠm y t( ) t i

các điểm t t,   h, ,t nh Ta đ ợc công th c sau đơy:

y t  C y t kh



Chứng minh Ta ch ng minh công th c trên bằng ph ng pháp quy n p toán

học Thật vậy với n1 công th c (1.3) có d ng y t( ) y t( ) y t( h),

chính lƠ công th c (1.1) Với n công th c (1.3) có d ng: 2

2( ) ( ) 2 ( ) ( 2 )

( ) ( ( )) ( ( 1) ( ))

n

n k

n

n k k n k

n k k

n k

Vậy sai phơn cấp hai c a hƠm số 3

y t C y t



Vậy công th c (1.4) đ ợc ch ng minh

Víăd ă1.1.5 Với n  2 kiểm tra công th c m c (1.4) có đúng với n  2 không

Lời giải Từ công th c m c (1.4) ta đ ợc:

Chứng minh N u cconst suy ra     c c c 0 Vậy cconst thì   c 0

Víăd ă1.1.6.ăCho hƠm số y t ( )  2020 Tính sai phơn cơp một  y t ( )

Lời giải Ta có

( ) ( ) ( ) 2020 2020 0

y t y t h y t

Vậy  y t ( )  0với hƠm số y t ( ) lƠ hƠm hằng

Tínhăch tă1.1.4 Sai phơn cấp n c a đa th c bậc m lƠ:

đa th c bậc n lƠ hằng số Thì nên sai phơn cấp n  1 tr lên thì nó bằng không

Víăd ă1.1.7 Cho hƠm số 2

Vậy tính chất 1.1.4 đúng với ví d nƠy

Tínhăch tă1.1.5 Sai phơn mọi cấp c a hƠm số lƠ một toán tử tuy n tính Ta

có công th c:

n n n n

Vậy công th c (1.5) đư đ ợc ch ng minh

Víăd ă1.1.8 Cho hƠm số 2

( ) 1; ( ) 2.

y t   t z t   t không dùng công th c tính chất 1.1.5 hưy tính 2

chất 1.1.5 đúng với sai phơn cấp hai toán tử tuy n tính nƠy

Tínhă ch tă 1.1.6 N u y t  xác định trên tập số nguyên vƠ h  1, kí hiệu

( ); 0;1; 2

k

t  y k k thì:

1 1 1

n

k n k

Vậy công th c (1.6) đ ợc ch ng minh

1.2 P hơnălo iănghi măc aăph ngătrìnhăsaiăphơn

Đ nhănghƿaă1.2.2 HƠm số liên t c y t ( ) đ ợc gọi lƠ nghiệm c a ph ng trình (1.7) trên tập , n u thay nó vƠo ph ng trình thì ta nhận đ ợc đẳng th c đúng trên 

Víăd 1.2.2 HƠm số 3 t

y  lƠ nghiệm c a ph ng trình y t ( 2) – 9 ( ) 0  y t  trên R Thật vậy ta thay y  3t vƠo v trái c a ph ng trình cuối ta đ ợc:

có ph i lƠ nghiệm c a ph ng trình (1.9) hay không

1.2.2 Nghi mătổngăquátă

Đ nhă nghƿaă 1.2.3 Gi i ph ng trình sai phơn cấp n, đ ợc k t qu lƠ một

đẳng th c t ng đ ng d ng:

y t ( )   ( , t C C1, 2, , Cn) (1.1 0 )

trong đó C C 1 , 2 , , Cn là n hằng số tự do, khi đó (1.8) đ ợc gọi lƠ nghiệm tổng

quát c a ph ng trình sai phơn đó

1( ) ( 1)

nghiệm tổng quát c a ph ng trình (1.11) với C C 1 , 2 lƠ các hằng số tùy Ủ

Thậy vậy thay hƠm số ( ) 1 ( 4) t

y t    vƠo ph ng trình sai phơn cấp hai

Do đó y t ( ) 1 ( 4)    t lƠ một nghiệm riêng c a ph ng trình cuối

Víă d ă 1.1.7.ă Từ ví d 1.2.5 ta lấy C 1  3, C 2  2 khi đó hƠm số

     có là một nghiệm riêng c a ph ng trình (1.11) không

2.1.1 H ăđ căl pătuy nătính,ăh ăph ăthu cătuy nătính

Đ nhănghƿaă2.1.1 Các hƠm số 1( ), t 2( ), , t n( ) t đ ợc gọi lƠ độc lập tuy n tính trên tập  , n u từ đẳng th c:

Đ nhă nghƿaă 2.1.2 Các hƠm số 1( ), t 2( ), , t n( ) t đ ợc gọi lƠ ph thuộc tuy n tính trên tập  , n u tồn t i bộ số C C 1 , 2 ,  , Cn không đồng th i bằng không sao cho đẳng th c sau thỏa mưn:

đư cho ph thuộc tuy n tính

Tínhă ch tă 2.1.1 N u trong các hƠm 1( ), t 2( ), , t n( ) t có hàm là không thì các hƠm đư cho ph thuộc tuy n tính

Chứng minh Gi sử trong các hƠm 1( ), t 2( ), , t n( ) t có hàm (t) 0

Vậy các hƠm đư cho1( ), t 2( ), , t n( ) t ph thuộc tuy n tính

Tínhăch tă2.1.2 Các hàm 1( ), t 2( ), , t n( ) t là ph thuộc tuy n tính khi vƠ chỉ khi có một hƠm biểu thị d ới d ng tổ hợp tuy n tính c a các hƠm còn l i

Chứng minh. N u một hƠm biểu thị tuy n tính qua ( 1)n hƠm còn l i thì

hệ lƠ ph thuộc tuy n tính

C C C   C   Do đó hệ đư cho ph thuộc tuy n tính

 N u hệ lƠ ph thuộc tuy n tính thì có một hƠm lƠ biểu thị tuy n tính qua các hƠm còn l i

Do đó hƠm 1 biểu thị tuy n tính qua các hƠm còn l i

Tínhăch tă2.1.3 N u trong các hƠm 1( ), t 2( ), , t n( ) t có k hƠm ph thuộc tuy n tính ( k  n ), thì các hàm (n hƠm) lƠ ph thuộc tuy n tính

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta có thể coi nh k hƠm số đầu tiên

c a 1( ), t 2( ), , t n( ) t lƠ ph thuộc tuy n tính Trong tr ng hợp

ng ợc l i ta chỉ cần đánh l i số th tự c a các hƠm đư cho Khi đó theo định nghĩa ta có:

Theo định nghĩa 1( ),t 2( ), ,t n( )t lƠ ph thuộc tuy n tính

đ ợc gọi lƠ định th c Casorati cấp n c a các hƠm 1( ), t 2( ), , t n( ) t

Víă d ă 2.2.1 Cho các hƠm số sau: 2 2

1 t , 2 t 1, 3 t 2.

        Khi đó ta có định th c Casorati cấp ba nh sau:

ụ nghĩa c a định th c Casorati trong lỦ thuy t ph ng trình sai phân có ý

nghĩa giống nh định th c Wronski trong lỦ thuy t ph ng trình vi phơn

Đ nhălí 2.2.1 (Dấu hiệu cần để các hƠm ph thuộc tuy n tính) N u các hƠm

1( ), t 2( ), , t n( ) t

   lƠ ph thuộc tuy n tính trên  thì định th c

Casorati c a chúng bằng không trên 

Chứng minh Các hàm 1( ), t 2( ), , t n( ) t lƠ ph thuộc tuy n tính thì

1 1 0 2 2 0 0

( ) ( ) ( ) 0 ( 1) ( 1) ( 1) 0

(2.4

không đồng th i bằng không Từ đơy ta có đ ợc điều ph i ch ng minh

2.3 P h ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăthu nănh t

2.3.1.ăPh ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăthu nănh tăc păn

lƠ ph ng trình sai phơn tuy n tính cấp hai không thuần nhất Từ ph ng trình (2.7) n u v ph i bằng không hay ( 2) 1 ( 1) 3 ( ) 0

ph ng trình nƠy lƠ ph ng trình sai phơn tuy n tính thuần nhất cấp hai

Đ nhă lí 2.3.1 (Tiêu chuẩn độc lập tuy n tính c a các nghiệm TTTN) Các

nghiệm z t z t1( ), 2( ), , z ( )n t c a ph ng trình (2.6) lƠ độc lập tuy n tính trên

Z khi vƠ chỉ khi định th c Casorati c a chúng khác không trênZ

Chứng minh Điều kiện đ c a định lỦ đ ợc khẳng định ngay c đối với

những hƠm không ph i lƠ nghiệm c a TTTN Điều nƠy đ ợc suy ra từ định lỦ 2.2.1 Ta đi ch ng tỏ điều kiện cần c a định lỦ cho tr ng hợp nghiệm c a TTTN

Gi sử z 1 ( ) t , z 2 ( ) t ,  , z tn( ) lƠ độc lập tuy n tính trên Z vƠ tồn t i *

t  để Zcho K t( )*  Xét hệ ph ng trình tuy n tính thuần nhất với n ph ng trình 0

1 2 (C , C , , Cn) lƠ nghiệm không tầm th ng đó

Từ tính duy nhất nghiệm c a bƠi toán Cauchy ta nhận đ ợc *

Điều nƠy mơu thuẩn với gi thi t độc lập tuy n tính c a hệ đư cho

Đ nhă lí 2.3.2 (Neumann) Định th c Casorati c a bất kỳ n nghiệm c a

ph ng trình (2.6) đều thỏa mưn ph ng trình :

n c a vƠ thay vƠo đó lƠ (cột) v ph i c a (2.10) Ta ch ng tỏ rằng ph ng

trình cuối (2.11) thực chất lƠ một cách vi t khác c a (2.9) Ta đi biểu diển 

và  qua định th c Casorati Ta có: n

Đ nhănghƿaă2.3.2 Bất kỳ n nghiệm độc lập tuy n tính c a TTN (2.6) đ ợc gọi

Chứng minh Ta cần chỉ ra sự thỏa mưn hai điều kiện trong định nghĩa c a

nghiệm tổng quát Đối với mọi giá trị C i hƠm số  

1

( )

n

i i i

C z t

z t



 lƠ nghiệm c a (2.6), điều nƠy đ ợc suy ra trực ti p từ tính tuy n tính c a ph ng trình

Gi sử ( )lƠ nghiệm c a bƠi toán Cauchy đối với (2.6) với các điều kiện

(2.12)

Định th c c a hệ (2.12) chính bằng K t 0 B i K t 0 0  nên hệ đư cho tr ớc

mọi giá trị c a v ph i chỉ có duy nhất một nghiệm 0 0

    vƠ cũng chính lƠ nghiệm c a (2.7) ( tổ hợp tuy n tính

c a các nghiệm z 1 (t) , z 2 (t) ,  , zn( t) Từ (2.11) cho ta  ( ) t thỏa mưn các điều

kiện ban đầu ( )t0  , z0 (t0   , …, 1) z1 (t0  n 1) zn  1. Do tính duy

nhất nghiệm c a bƠi toán Cauchy nên ( )t  z t( ), nh th

1 1

( ) ( ) n n( ),

z t  C z t   C z t từ đơy ta đư ch ng minh đ ợc định lí nƠy

H ăqu ă2.3.1: Ph ng trình tuy n tính thuần nhất cấp n không thể có nhiều

h n n nghiệm độc lập tuy n tính

Chứng minh Thật vậy ta lấy bất kỳ n nghiệm c a TTN N u nh n 1

nghiệm đầu tiên lƠ ph thuộc tuy n tính thì hệ nghiệm đư cho lƠ ph thuộc

tuy n tính N u nh n nghiệm đầu tiên lƠ độc lập tuy n tính thì theo định lỦ về

nghiệm tổng quát c a TTN, khi đó zn1( )t có thể biểu diễn đ ợc d ới d ng tổ

hợp tuy n tính c a z 1 ( ) t , z 2 ( ) t ,  , z tn( ) , suy ra z1( ) t , z2( ) t ,  , zn( ) t , zn1( t ) ph

thuộc tuy n tính

2.3.2 ăPh ngătrìnhăsaiăphơnătuy n tínhăthu nănh tăv iăh ăs ăhằng

Xét ph ng trình sai phơn tuy n tính thuần nhất với hệ số hằng bậc n:

P x  x a x  a đ ợc gọi lƠ đa th c đặc tr ng c a ph ng

trình (2.13) Nghiệm c a đa th c đặc tr ng đ ợc gọi lƠ số đặc thù Do t  0

khi  0 nên L(t)0 khi vƠ chỉ khi  lƠ nghiệm c a ph ng trình đặc

tr ng Để Ủ rằng từ điều kiện an  0 ta có 0 không lƠ số đặc thù c a

ph ng trình đặc tr ng (2.13)

Ta đi tìm nghiệm không tầm th ng c a ph ng trình d ới d ng z t( )t,

trong đó lƠ nghiệm c a ph ng trình đặc tr ng sau:

n  p1n1  pn 0, (2.15)

khi đó có 3 tr ng hợp x y ra:

Tr ngăh pă1 Ph ng trình (2.15) có đúng n nghiệm thực    1 , 2, n

Khi đó ph ng trình (2.13) có nghiệm tổng quát lƠ:

z t C



Víăd ă2.3.3 Gi i ph ng trình:

 ( 2) – 5 ( 1) 6 ( ) 0 2.16

Tr ngă h p 2 Khi trong các nghiệm c a ph ng trình đặc tr ng (2.15)

ngoƠi các nghiệm thực đ n còn có nghiệm ph c Ta gi sử đó lƠ nghiệm

2.4 P h ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăkhôngăthu nănh t

2.4.1 Ph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăkhôngăthuơnănh t c păn

Xét ph ng trình sai phơn tuy n tính không thuần nhất cấp n

( ) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( 2) n( ) ( ) ( ), (2.18)

Ly t  y t   n p t y t    n p t y t     n p t y t  f t

Tínhăch tă2.4.1 Hiệu bất kỳ hai nghiệm riêng c a ph ng trình (2.18) cũng

lƠ nghiệm c a ph ng trình thuần nhất tr ng ng (2.19)

Tínhă ch tă 2.4.2 Tổng c a nghiệm riêng ph ng trình (2.18) với nghiệm

riêng c a ph ng trình thuần nhất t ng ng (2.19), là nghiệm riêng c a

nghiệm riêng c a SPKTT

Gi sử v ph i c a (2.18) biểu diễn đ ợc d ới d ng tổng hữu h n c a các

số h ng

1 ( ) ( ) k i i



 lƠ nghiệm riêng c a (2.18)

1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k

Y t Y t



 lƠ nghiệm riêng c a (2.18)

Vậy tính chất đư đ ợc ch ng minh

Đ nhă lý 2.4.1 N u Y t là nghiệm riêng c a ph ng trình (2.18), còn

t Y t C z t



với CilƠ các hằng số tùy Ủ

Chứng minh (  ) Ta cần ch ng minh cho sự thỏa mãn hai điều kiện trong định nghĩa c a nghiệm tổng quát Với bất kỳ các nghiệm c thể 0

i i

C C hàm

0 0

1

y ( ) ( ) ( ),

n

i i i

t Y t C z t



  lƠ nghiệm c a SPKTT b i tính chất

2.4.2 Bây gi ta lấy bất kỳ một nghiệm riêng *

( )

Y t c a ph ng trình không thuần nhất Theo tính chất 2.4.1 Hiệu *

( ) ( )

Y t  Y t lƠ nghiệm c a ph ng trình thuần nhất t ng ng (2.19), do đó theo nghiệm tổng quát c a TTN ( ph ng trình sai phơn tuy n tính thuần nhất) tồn t i duy nhất bộ giá trị * *

Đ nhă líă 2.4.2 (Lagrange) Gi sử z t z t1( ), 2( ), ,z tn( )lƠ hệ nghiệm c s c a (2.19), khi đó nghiệm riêng c a (2.18) có thể tìm đ ợc d ới d ng

Chứng minh Đặt Y t  , đ ợc cho b i công th c (2.22) vào v trái c a

ph ng trình (2.18) với chú Ủ rằng Y t lƠ nghiệm c a ph ng trình nƠy, n u

nh các hƠm C t kk( ), 1,n thỏa mưn các ph ng trình trong (2.23) thì ta có:

Ta xem xét ti p các tổng còn l i, vƠ chúng nhận giá trị bằng 0 do các ph ng