hinh hoc 10 chuong 2

[r]

O x

y

M x

y

1 -1

1.Định nghĩa

Lấy M trên nửa đường tròn đơn vị tâm O Xét góc nhọn  = 

xOM Giả sử M(x; y)

sin = y (tung độ) cos = x (hoành độ) tan = y tung độ

x hoành độ

(x  0)

cot =

x hoành độ

y tung độ

(y  0)

Chú ý: – Nếu  tù thì cos < 0, tan < 0, cot < 0

– tan  chỉ xác định khi   90 0 , cot chỉ xác định khi   0 0 và   180 0

2 Tính chất

0

0

0

0

0

0

0

0

sin(180 ) sin

3 Giá trị lượng giác của các gĩc đặc biệt

4 Các hệ thức cơ bản

sin

cos cos

sin tan cot 1 (sin cos 0)









2

2

2

2

1

cos 1

sin





Chú ý: 0sin 1;  1 cos 1

I GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁẳ ẳỦƠ MỘT GĨẳ ểẤT KÌ

TỪ 0

0 ĐẾN 0

180

2

2 2

3 2

2

2 2

1 2

3

3

Dạng ỊộTính giá trị lượng giác của một số gĩc đặc biệt

*Dựa vào định nghĩaờ tìm tung độ y và hồnh độ 0 x của điểm M trên nửa đường trịn đơn vị với 0

gĩc xOM  và từ đĩ tính các giá trị lượng giácặ

*Dựa vào tính chất ặHai gĩc bù nhau cĩ sin bằng nhau và cĩ cơsinờ tanờ cotan đối nhau

Bài Ị: Tính giá trị các biểu thức sauữ

cos 90  sin 90  sin 180

3sin 90 2 cos 60 3 tan 45

4 sin 45 3( tan 45 ) (2 cos 45 )

Bài Ư:Tính giá trị của các biểu thức sauữ

a) sinxcosx khi x bằng ẽ0; 450; 600 b) 2 sinxcos 2x khi x bằng ốạ0; 300

Bài Ợ:Cho  135 ãy ính sin ộ os ộ tan à cot0h t  c   v 

Bài Ủ: Cho tan giác cân ABC cĩ gĩc B bằng gĩc C bằng 150.Hãy tính các giá trị lượng giác của gĩc Aớ

Dạng Ưộẳhứng minh các hệ thức về giá trị lượng giác

*Dựa vào giá trị lượng giác của một gĩc 00 1800

*Dựa vào tính chất của tổng ố gĩc của một tam giác bằng 1800

*Sử dụng các hệ thức sin2 os2 1; tan sin ; tan 1

c

c



Bài Ộ: Chứng minh các đẳng thức sauữ

sin cos 12 sin cos

sin cos  1 3 sin cos

e) sinx cosx(1tanx)(1cotx) 1 2 sinx cosx

Bài 6 : a) Chứng minh rằng sin2x +cos2x = 1 ( 00  x  1800)

b) Chứng minh rằng 1 + tan2 x =

2 1

cos x ( Với x  900 )

c) Chứng minh rằng 1 + cot2 x =

2 1

sin x ( Với 00 < x < 1800 )

Bài 7: Cho tam giác ABC , Chứng minh rằng

a)sinAsin(BC) b)sin(A + B)sin(B + C)sin(C + A) = sinAsinBsinC

c)cos(A + C) + cos B = 0 d)tan( A – C) + tan( B + 2C) = 0

O A

B

a



b



a

b



Bài Ế:Chứng minh rằng biểu thức sau đây không phụ thuộc vào 

a A c    c  b B) sin4cos42 sin2 1

Dạng Ợộẳho biết một giá trị lượng giác của góc  tìm các giá trị lượng giác còn lại của 

Pp:Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của góc  và các hệ thức cơ bản liên hệ các giá trị đó nhưặ

c c

Bài ạ:Cho biết os 2 ãy ính sin à tan

3

Bài Ịả:Cho góc  , biết 00  900 và tan 2.Tính sin à os v c 

Bài ỊỊ: Cho góc  ,biết os 3

5

c   Hãy tính sin ; tan ; cot  

Bài ỊƯ: Cho góc  ,biết tan 2.tính cos à sin v 

Bài ỊỢ:Cho sin 1

4

  với 900  1800.Tính cos và tan

Bài ỊỦ:Cho biết một giá trị lượng giác của một gócộ tính giá trị của một biểu thứcữ

3





b) tan  2 Tính B

sin cos

sin 3 cos 2 sin





1 Góc giữa hai vectơ

Cho a b, 0 Từ một điểm O bất kì vẽ OA a OB b , 

  

Khi đó   

a b, AOB với ẽ0  

AOB  180

0

Chú ý:

+ a b, 



 = 90 0  a b

+ a b, 



 = 0 0  a b,



 cùng hướng + a b, 



 = 180 0  a b,





ngược hướng + a b,  b a, 

2 Tích vô hướng của hai vectơ

 Định nghĩaữ a b  a b cosa b, 

Đặc biệtặ a a  a2  a2

 Tính chấtữ Với a b c, ,



  bất kì và kR, ta có:

II TÍẳH VÔ HƯỚNG ẳỦƠ HƠI VEẳTƠ

+ a b.b a.; a bca b.a c  ; .

ka.bk a b.a.kb



2

ab a  a bb

2

ab a  a bb

a b  ab ab

+ a b.> 0  a b, 





nhọn + a b.< 0  a b, 





tù

a b





= 0  a b, 





vuông

3 Biểu thức toạ độ của tích vơ hướng

 Cho a = (a1, a2), b = (b1, b2) Khi đĩữ a b a b1 1a b2 2





 a a2 a2

cos( , )











 Cho

A x( ;y ), B x( ;y ) Khi đĩữ

AB (x x )2(y y )2

Dạng 1:Xác định gĩc giữa Ư vectoộ

Bài 1: Cho tam giác đều ABC có trọng tâm G Tính góc giữa

a) AB



và AC





và BC



  và BC



d) GB



và GC





và AC



Bài 2: Cho hình vuơng ABCDớtínhữ

c  AC BA  AC BD c  AB CD

Dạng Ư:Tính tích vơ hướng của hai vectơ

 Áp dụng cơng thức của định nghĩaữ a b  a b c osa b, 

 Dùng tính chất phân phốiữa b c.  a b a c

      

Bài Ợ.Cho tam giác ABC vuơng tại Aộ AB ắ aộ BC ắ ĩaớ Tính các tích vơ hướngữ

a) AB AC . b) AC CB .  c) AB BC . 

Bài Ủ.Cho tam giác ABC đều cạnh bằng aớ Tính các tích vơ hướngữ

a) AB AC . b) AC CB .  c) AB BC . 

Bài Ộ Cho tam giác ABC cĩ AB ắ ạộ BC ắ ồộ AC ắ ờớ

a) Tính AB AC

 

, rồi suy ra giá trị của gĩc Aớ b) Tính CACB

 

c) Gọi D là điểm trên CA sao cho CD ắ ọớ Tính CD CB

 

Bài Ấ.Cho hình vuông ABCD cạnh aớ Tính giá trị các biểu thức sauữ

a) AB AC . b) (ABAD)(BDBC)

   

c) (ACAB)(2ADAB)

   

d) AB BD . e) (ABACAD)(DADBDC)

     

HD: a) a2 b) a2 c) a2

2 d) a2

Bài Ừ Cho tam giác ABC có AB ắ ĩộ BC ắ ốộ CA ắ ọớ

a) Tính AB AC

 

, rồi suy ra cosAớ b) Gọi G là trọng tâm của ABC Tính AG BC

 

c) Tính giá trị biểu thức S ắ GAGB GB GC GC GA  

     

d) Gọi AD là phân giác trong của góc 

BAC (D  BC) Tính AD



theo AB AC , , suy ra AD

HD: a) AB AC. 3

2

 

 

, cosA 1

4

  b) AG BC. 5

3



 

c) S 29

6

 

d) Sử dụng tính chất đường phân giác DB AB DC

AC



  

, AD 54

5



Dạng 3:Chứng minh các đẳng thức về vecto có liên quan đến tích vô hướngộ

 Sử dụng tính chất phân phối của tích vô hướng đối với phép cộng các vectoớ

 Dùng quy tắc ố điểmặ ABBCAC hay quy tắc hiệuặABOB OA

Bài Ế.Cho bốn điểm Aộ Bộ Cộ D bất kìớ Chứng minhữ DABC DB CA DC AB   0

     

Bài ạ.Cho tam giác ABC với ba trung tuyến ADộ BEộ CFớ Chứng minhữ

BC AD CA BE AB CF 0

     

Bài Ịả.Cho hai điểm Mộ N nằm trên đường tròn đường kính AB ắ ĩRớ Gọi I là giao điểm của hai

đường thẳng AM và BNớ

a) Chứng minhữ AM AI AB AI ,BN BI BA BI

       

b) Tính AM AI BN BI 

   

theo R

Bài ỊỊ.Cho tam giác ABC có trực tâm Hộ M là trung điểm của BCớ Chứng minhữ

1

4



 

Bài ỊƯ Cho hình chữ nhật ABCDộ M là một điểm bất kìớ Chứng minhữ

a) MA2 MC2 MB2 MD2

   

   

(O là tâm của hình chữ nhậtđớ

Dạng Ủ Chứng minh sự vuông góc của Ư vectơộ

 Sử dụng tính chất của tích vô hướngặ aba b 0

   

Bài ỊƯ.Cho tam giác ABC có góc A nhọnớVẽ bên ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân

đỉnh A là ABD và ACEớGọi M là trung điểm của BCớChứng minh rằngữAM vuông góc với DE

Bài ỊỢ Cho hình chữ nhật ABCD có ABavà ADa 2.Gọi K là trung điểm của cạnh AD.Chứng minh rằngữBK  AC

 

Bài ỊỦứCho tam giác ABC cân AB AC.Gọi H là trung điểm của cạnh BCộD là hình chiếu vuông góc của H trên cạnh ACộ M là trung điểm của đoạn HDớChứng minh rằngữAM BD

 

Bài ỊỘ.Cho tứ giác ABCD có ĩ đường chéo AC và BD vuông góc với nhau và cắt nhau tại MớGọi

P là trung điểm của cạnh ADớChứng minh rằngữMPBCMA MC MB MD

   

Dạng Ộ:Tính độ dài của một vectơặ tính khoảng cách giữa Ư điểm

 Cho 2 vectơ a a a1; 2 và bb b1ậ 2ớ Ta có ữ ớ a b a b1ớ1a b2ớ 2

 Cho vectơ uu u1; 2.Ta cóữu  u12u22

 Cho 2 điểm Ax A;y A,B x B;y B.Ta có ữAB AB  x Bx A2y B y A2

Bài ĐềớCho tam giác ABC có AB ắ ĩộ AC ắ ọộ A ắ ềẽ0 M là trung điểm của BCớ

a) Tính BCộ AMớ b) Tính IJộ trong đó Iộ J được xác định bởiữ IA IB2  0, J B2J C

    

HD: a) BC = 19 , AM = 7

2

b) IJ = 2 133

3 Bài Đồớ Cho tam giác ABC có AợĐậ –1), B(5; –3), C(2; 0)

a) Tính chu vi và nhận dạng tam giác ABCớ b) Tìm toạ độ điểm M biết CM2AB3AC

  

c) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCớ Bài ĐờớCho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8)

a) Tính AB AC

 

Chứng minh tam giác ABC vuông tại Aớ b) Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABCớ c) Tìm toạ độ trực tâm H và trọng tâm G của tam giác ABCớ d) Tính chu viộ diện tích tam giác ABCớ

e) Tìm toạ độ điểm M trên Oy để Bộ M, A thẳng hàngớ f) Tìm toạ độ điểm N trên Ox để tam giác ANC cân tại Nớ g) Tìm toạ độ điểm D để ABDC là hình chữ nhậtớ

h) Tìm toạ độ điểm K trên Ox để AOKB là hình thang đáy AOớ i) Tìm toạ độ điểm T thoả TA2TB3TC0

    k) Tìm toạ độ điểm E đối xứng với A qua Bớ l) Tìm toạ độ điểm I chân đường phân giác trong tại đỉnh C của ABC