Ký hiệu : AB ,điểm đầu A và điểm cuối B Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa B điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó JJJG Độ dài của vectơ AB được ký hiệu là AB A JJJG Như vậy : AB = AB G J[r]
Trang 1Trần Thành Minh – Phan Lưu Biên - Trần Quang Nghĩa
Ch ư ơng 1
VECT Ơ
www.saosangsong.com.vn/
SAVE YOUR TIME & MONEY SHARPEN YOUR SELF-STUDY SKILL
SUIT YOUR PACE
Trang 2§ 1 Các định nghĩa :
A Tóm tắt giáo khoa :
Vectơ là đoạn thẳng có hướng,nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn thẳng đã
chỉ rõ điểm nào là điểm đầu ,điểm nào là điểm cuối
Ký hiệu : JJJGAB ,điểm đầu A và điểm cuối B
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa
điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó
Độ dài của vectơ AB được ký hiệu là ABJJJG
Như vậy : ABJJJG = AB
Nếu không nói rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ ta ký hiệu : a b xG JG G, ,
Hai vectơ gọi là cùng phương nếu chúng nằm trên hai đường thẳng song song,
hoặc cùng nằm rên một đường thẳng
A B F
C D E G
H
• Hai vectơ ABJJJG và CDJJJG cùng hướng
• Hai vectơ EFJJJG và GHJJJG ngược hướng
Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài
aG Hai vectơ aG và bG bằng nhau ta viết aG = bG
Ta có : AB CDJJJG JJJG= ⇔ JJJG JJJGAC BD=
bG ( do tính chất của hình bình hành ABCD)
Vectơ-không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trung nhau : 0G
Như vậy vectơ-không có độ dài bằng 0 và cùng phương , cùng hướng
với mọi vectơ
Cho trước điểm A và vectơ aG thì ta đựng được điểm B duy nhất sao cho :
ABJJJG = aG
B Giải toán :
Ví dụ 1 : Cho hai điểm phân biệt A và B.Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng và bao nhiêu vectơ khác nhau?
Giải
Một đoạn thẳng duy nhất AB hoặc BA
Hai vectơ khác nhau là ABJJJG và BAJJJG
Ví dụ 2 : Cho hai vectơ JJJGAB và JJJGAC cùng phương Kết luận gì về ba điểm A, B , C
B
A
Trang 3www.saosangsong.com.vn 3
A
N
A
B M
N
A
B M
N E
F
Giải
Hai vectơ ABJJJG và JJJGAC cùng phương và có điểm A chung nên chúng nằm
trên một đường thẳng Vậy ba điểm A,B,C thẳng hàng
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC cân tại A Gọi M là trung điểm của BC và N là trung điểm của
AC
a) Ta có ABJJJG = JJJGAC đúng hay sai?
b) Các vectơ nào cùng hướng với JJJGAB? ngược hướng với BCJJJG?
c) Các vectơ nào bằng nhau?
Giải
a) Hai vectơ ABJJJG và JJJGAC không cùng phương nên chúng không bằng nhau
b) MN là đoạn nối trung điểm hai cạnh BC và AC nên MN và AB song song nhau Vậy JJJJGNM và ABJJJG là hai vectơ cùng hướng
Ba điểm B,C,M thẳng hàng nên các vectơ ngược hướng với BCJJJG là :
CBJJJG CM MBJJJJG JJJG
c) Ta có : BMJJJJG JJJJG=MC vì hai vectơ này cùng hướng và có độ dài bằng nhau Ta cũng có : CMJJJJG JJJG=MB
JJJG JJJG JJJG JJJGAN =NC CN, =NA
Ví dụ 4 : Cho hình bình hành ABCD Lấy điểm M trên đoạn AB và điểm N trên đoạn CD sao cho
AM = CN Chứng minh JJJG JJJJGAN =MC và MD BNJJJJG JJJG=
Giải
Ta có AM = CN ( theo gt)
và AM // CN ( ví AB//CD)
Do đó tứ giác AMNC là hình
bình hành
Vậy JJJG JJJJGAN =MC
Tương tự tứ giác BMDN là
hình bình hành Vậy MD BNJJJJG JJJG=
Ví dụ 5 : Cho hình bình hành ABCD Gọi M và N lần lượt là trung điểm củaAB và DC AN và
CM lần lượt cắt BD tại E và F.Chứng minh DE EFJJJG JJJG JJJG= =FB
Giải
Ta có JJJJG JJJGAM =NC nên AMCN là hình bình hành Do
đó AN // MC
Suy ra E là trung điểm của DF vì N là trung điểm của DC
và F là trung điểm của EB vì M là trung điểm của AB
Trang 4A
D
E
A
Vậy DE EFJJJG JJJG JJJG= =FB
C Bài tập rèn luyện :
1.1 : Cho hai điểm phân biệt A và B Câu nào sau đây đúng?
a) Có một đoạn AB hay BA
b) Có hai vectơ khác nhau ABJJJG và BAJJJG
c) JJJGAB = BAJJJG =AB
d) Cả ba câu đều đúng
1.2 : Cho điểm A Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
a) 4JJJJGAM = cm
b) AMJJJJG cùng phương với aG cho trước
1.3 : Cho hình bình hành ABCD và E là điểm đối xứng của C qua D Chứng
tỏ : AE BDJJJG JJJG=
1.4 : Cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp trong đường tròn tâm O đường
kính AD Chỉ ra các vectơ bằng với BCJJJG
1.5 : Cho tam giác ABC và điểm M ở trong tam giác.Gọi A’ , B’ ,C’ lần
lượt là trung điểm của BC,CA , AB và N, P, Q lần lượt là điểm đối xứng của M qua A’ , B’ , C’
a) Chứng tỏ : JJJG JJJG JJJJG JJJGAQ CN AM= ; =PC
b) Chứng tỏ ba đường thẳng AN , BP , CQ đồng qui
D.Hướng dẫn giải và Đáp số :
1.1 Cả 3 câu đều đúng
1.2 a) Điểm A cố định và độ dài AM = 4cm.Vậy tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A bán kính 4cm
b) AMJJJJG cùng phương với aG.Vậy M chạy trên đường thẳng qua A và song song với đường thẳng mang vectơ aG
1.3 E là điểm đối xứng của C qua D nên ta có DE = CD = BA và DE//BA
Do đó tứ giác ABDE là hình bình hành Vậy AE BDJJJG JJJG=
1.4.Tứ giác ABOA là hình thoi nên JJJG JJJG JJJGAO BC OD= =
1.5 Tứ giác AQBM là hình bình hành vì có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm nên
ta có : AQ MBJJJG JJJG= (1) và AM QBJJJJG JJJG= (3)
Trang 5www.saosangsong.com.vn 5
A
B' C'
M
N
P Q
Tương tự tứ giác MBNC là hình bình
hành nên CNJJJG JJJG=MB (2)
Từ (1) và (2) ta có : AQ CNJJJG JJJG=
Do đó tứ giác ACNQ là hình bình hành
Vậy hai đường chéo AN và CQ giao nhau tại trung
điểm I
Mặt khác tứ giác AMCP là hình bình hành nên
AM =PC
JJJJG JJJG
(4)
Từ (3) và (4) ta có QB PCJJJG JJJG=
Do đó tứ giác BCPQ là hình bình hành nên hai
đường chéo BP và CQ giao nhau tại trung điểm I
Vậy AN,BP và CQ đồng qui tại I
§ 2 Tổng và hiệu hai vectơ
A.Tóm tắt giáo khoa :
1.Định nghĩa tổng của các vectơ : Cho hai vectơ aG và bG Từ một điểm A tùy ý vẽ JJJGAB a=G, rồi
từ điểm B vẽ JJJG GBC b= thì vectơ JJJGAC được gọi là tổng của hai vectơ aG và bG Ký hiệu : JJJGAC a b= +G G
B
aG aG bG
C
bG A
Như vậy ta có : JJJG JJJG JJJGAB BC+ =AC với A,B,C tuỳ ý (gọi là qui tắc 3 điểm)
B bG C
aG
aG
A D
bG
ABCD là hình bình hành nên aG = JJJG JJJGAB DC= và b BCG JJJG JJJG= =AD
Như vậy JJJG JJJG JJJGAC= AB AD+ ( gọi là qui tắc hình bình hành )
2 Tính chất : a) giao hoán : a b b aG G G G+ = +
b) kết hợp : ( a bG G+ + = + +) c aG G (b cG G)
c) vơi mọi aG ta có : aG + 0G = aG
d) Ta có a bG G+ = JJJGAC = AC và aG + =bG AB BC+
Mà AC ≤ AB + BC ( bất đẳng thức trong tam giác ABC)
Vậy a bG G+ ≤ aG + bG
3 Vectơ đối của một vectơ :
Vectơ đối của vectơ aG là vectơ ngược hướng với aG và có cùng độ dài với aG
Ký hiệu : - aG
Như vậy aG + ( - aG) = 0G
Trang 6A
B
A
D
Ta có ABJJJG= −JJJGBA
4 Hiệu của hai vectơ :
Hiệu của hai vectơ là tổng của vectơ thứ nhất với vectơ đối của vectơ thứ hai
Như vậy aG - bG = aG + ( - bG) A
aG aG - bG
bG
O B
Ta có JJJG JJJG JJJGAB OB OA= − với mọi điểm O , A, B
B.Giải toán :
Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và AC = 2a.Tính độ dài của vectơ tổng :
AB AC+
JJJG JJJG
và vectơ hiệu JJJG JJJGAB AC−
Giải
Theo qui tắc hình bình hành thì JJJG JJJGAB AC+ = ADJJJG với AD là đường chéo hình
bình hành ABDC.Mà góc A vuông nên ABDC là hình chữ nhựt
Do đó AD = BC Áp dụng định lý Pythagore trong tam giác
vuông ABC ta có : BC2 = AB2 + AC2 = a2 + 4a2 = 5a2
Vậy JJJG JJJGAB AC+ = JJJGAD = AD BC a= = 5
Theo qui tắc hiệu vectơ ta có :JJJG JJJGAB AC− = CBJJJG Vậy :
AB AC− = CB =BC
JJJG JJJG JJJG
= a 5
Ví dụ 2 : Cho bốn điểm bất kỳ A, B, C, D Chứng minh các đẳng thức sau :
a) JJJG JJJG JJJG JJJGAC BD AD BC b AB CD AD CB+ = + )JJJG JJJG JJJG JJJG+ = +
c) JJJG JJJG JJJG JJJGAB CD− = AC BD−
Giải
a) Theo qui tắc ba điểm ta có :
JJJG JJJG JJJGAC=AD DC+ ; BD BC CDJJJG JJJG JJJG= +
Do đó : JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGAC BD+ =AD DC BC CD+ + + = AD BC+
Vì DC CDJJJG JJJG G+ =0
b) Theo qui tắc ba điểm ta có :
AB CD+ = AD DB+ + CB BD+ =AD CB+
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
vì DB BDJJJG JJJG G+ =0
c) Theo qui tắc phép trừ ta có :CDJJJG JJJG JJJG=AD AC−
Do đó : JJJG JJJG JJJGAB CD AB− = −(JJJG JJJGAD AC− ) (= JJJG JJJGAB AD− )+JJJGAC
= JJJG JJJG JJJG JJJGDB AC+ =AC BD−
Ví dụ 3 : Cho sáu điểm A,B,C,D,E,F tùy ý Chứng minh rằng :
AC BD EF+ + =AF BC ED+ + JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Giải
Trang 7www.saosangsong.com.vn 7
A
G
D
R
F2
F1
A
D O
Theo qui tắc ba điểm ta có :
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGAC=AF FC+ ; BD BC CD EF= + ; =ED DF+
Cộng theo vế 3 đẳng thức ta được :
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJGAC BD EF+ + =AF BC ED+ +
vì FC CD FDJJJG JJJG JJJG+ = và FD DFJJJG JJJG G+ =0
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC và G là trọng tâm Chứng minh
rằng : GA GB GCJJJG JJJG JJJG G+ + =0
Giải
Vẽ hình bình hành BGCD Theo qui tắc hình bình hành ta có :
GB GC GDJJJG JJJG JJJG+ =
mà GD = 2 GM ( tính chất đường chéo )
và GA = 2GM ( tính chất trọng tâm ) nên GD = GA Do đó GAJJJG= −GDJJJG (ngược hướng) Vậy : GA GB GCJJJG JJJG JJJG G+ + =0
Ví dụ 5 : Cho hai lực F FJJG JJG1 , 2 đều có cường độ là 50N ,có điểm đặt tại O và hợp với nhau một góc
60o Tính cường độ lực tổng hớp của hai lực này
Giải
Theo qui tắc hình bình hành thì :FJJG JJG JJJG1+F2 =OR
Mà OF1 = OF2 = 50N nên OF1 RF2 là hình thoi có góc O bằng
60o và hai đường chéo OR và F1F2 vuông góc nhau tại trung
điểm H
Ta có OH = 50 3
2 (đường cao tam giác đều cạnh bằng 50 Vậy JJG JJGF1+F2 = ORJJJG = OR = 2OH = 50 3 N
Ví dụ 6 : Cho hình bình hành ABCD tâm O Chứng minh rằng :
a) BD BA OC OB b BC BD BAJJJG JJJG JJJG JJJG− = − ) JJJG JJJG JJJG G− + =0
Giải
a) Theo qui tắc phép trừ ta có :
BD BA ADJJJG JJJG JJJG− = và OC OB BCJJJG JJJG JJJG− =
mà JJJG JJJGAD BC= vì ABCD là hình bình
hành
Vậy : BD BA OC OBJJJG JJJG JJJG JJJG− = −
b) Ta có : BC BD DCJJJG JJJG JJJG− = mà DCJJJG= −JJJGBA
Vậy : BC BD BAJJJG JJJG JJJG G− + =0
Ví dụ 7 : Cho tam giác đều ABC cạnh a Tính độdài các vectơ :JJJG JJJGAB BC+ và CA CBJJJG JJJG−
Trang 8A
D O
M
C
A
D
Giải
Theo qui tắc ba điểm ta có : JJJG JJJGAB BC+ = JJJGAC
Vậy JJJG JJJGAB BC+ = JJJGAC = AC = a
Theo qui tắc phép trừ ta có : CA CBJJJG JJJG− = BAJJJG
Vậy CA CBJJJG JJJG− = JJJGBA= AB = a
C.Bài tập rèn luyện :
1.6 : Cho hình bình hành ABCD tâm O và M là điểm tùy ý Chứnh minh :
a) JJJG JJJG JJJGAB OA OB+ = b MA MC MB MD)JJJG JJJJG JJJG JJJJG+ = +
1.7 : Cho tam giác ABC vuông tại A biết AB = a và góc B = 60o Tính độ dài các vectơ tổng và hiệu : JJJG JJJGAB AC+ và JJJG JJJGAB AC−
1.8 : Cho hình bình hành ABCD.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và
BC.Chứng minh rằng :
a) JJJG JJJG JJJG GAD MB NA+ + =0 b) CD CA CBJJJG JJJG JJJG G− + =0
1.9 : Cho các vectơ aG và bG khác 0G
a)Khi nào thì ta có : a bG G+ = aG + bG
b) Khi nào thì ta có : a bG G+ = −a bG G
1.10 : Cho tam giác đều ABC cạnh a ,đường cao AH Tính độ dài các vectơ:
a) AB BHJJJG JJJG+ b) JJJG JJJGAB AC− c) JJJG JJJGAB AC+
1.11 : Cho tam giác ABC Nếu vectơ tổng JJJG JJJGAB AC+ nằm trên đường phân giác trong của n
BAC thì tam giác ABC là tam giác gì?
1.12 : Cho hình vuông ABCD cạnh a Tính độ dài các vectơ :
a) JJJG JJJGAC AB− b) AB ADJJJG JJJG+ c) JJJG JJJGAB BC+
1.13 : Cho hai lực FJJG JJG1 , F2 lần lượt có cường độ 60N và 80N , có điểm đặt tai O và vuông góc nhau Tính cường độ lực tổng hợp của chúng
D.Hướng dẫn giải và đáp số :
1.6 a) Theo qui tắc ba điểm ta có :OA AB OBJJJG JJJG JJJG+ =
b) Ta có MA MB BAJJJG JJJG JJJG= + và MC MD DCJJJJG JJJJG JJJG= +
Vậy MA MC MB MDJJJG JJJJG JJJG JJJJG+ = + vì BA DCJJJG JJJG G+ =0 ( 2 vectơ đối )
1.7 Tam giác ABC vuông tại A có góc B = 60o là nửa tam
giác đều BC = 2AB = 2a và AC = a 3
a) Vẽ hình bình hành ABDC ta có :
AB AC+ = AD
JJJG JJJG JJJG
và AD = 2 AM
Vậy AB ACJJJG JJJG+ = JJJGAD = AD = 2AM = 2a
b) Theo bài hiệu thì ta có : AB ACJJJG JJJG− = CBJJJG = Bc = 2a
Trang 9www.saosangsong.com.vn 9
A
D M
N
A
A B
C
D
F2
1.8 a) Ta có JJJG JJJG JJJGNA AD ND+ =
Tứ giác MBND là hình bình hành nên :MB DNJJJG JJJG= = −JJJGND
Vậy JJJG JJJG JJJG GAD MB NA+ + =0
b) Ta có CD CA ADJJJG JJJG JJJG− = mà JJJGAD= −CBJJJG
Vậy CD CA CBJJJG JJJG JJJG G− + =0
1.9 a) Từ điểm A kẻ JJJG GAB a= và BC bJJJG G= thì ta có :
a b ACG G JJJG+ = Do đó a bG G+ = aG + bG ⇔ JJJGAC = JJJGAB + JJJGAC
hay AC = AB + BC Điều này xảy ra khi A, B , C thẳng hàng theo thứ tự này Vậy hai vectơ aG và bG cùng hướng
b) Từ điểm A kẻ JJJG GAB a= và JJJG GAD b= và xét hình bình hành ABCD
Theo qui tắc hính bình hành ta có : a b ACG G JJJG+ =
Theo qui tắc hiệu vectơ ta có :a b DBG G JJJG− =
Do đó a bG G+ = −a bG G ⇔ JJJGAC = DBJJJG hay AC = BD
Điều này xảy ra khi ABCD là hình chữ nhựt Vậy AC vuông góc với BD hay hai vectơ aG và
bG vuông góc
1.10
a) Ta có AB BHJJJG JJJG+ = AHJJJG
Tam giác ABC đều cạnh a nên đường cao
2
a
Vậy độ dài ( AB BHJJJG JJJG+ ) bằng AH = 3
2
a
b)Ta có JJJG JJJGAB AC− = CBJJJG
Vậy độ dài (JJJG JJJGAB AC− ) bằng BC = a
c)Vẽ hình bình hành ABDC thì ta có JJJG JJJGAB AC+ = ADJJJG
Mà AD = 2AH = 3
Vậy độ dài (JJJG JJJGAB AC+ ) bằng AD = 3
1.11 Tam giác ABC cân tại A
1.12 a) Ta có JJJG JJJGAC AB− = BCJJJG Vậy độ dài (JJJG JJJGAC AB− ) bằng BC = a
b) Ta có AB ADJJJG JJJG+ =JJJGAC
Vậy độ dài ( AB ADJJJG JJJG+ ) bằng AC = a 2
c) Ta có : JJJG JJJGAB BC+ = JJJGAC Vậy độ dài (JJJG JJJGAB BC+ ) bằng AC = a 2
1.13 Vectơ hợp lực là tổng của hai vectơ JJG JJGF1 , F2
F1 vuông góc với F2 nên vectơ tổng là đường chéo của
hình chữ nhựt
OF1RF2 Ta có FJJG JJG JJJG1+F2 =OR
Trang 10E F
M
Mà OR = F1F2 = 602 +802 =10 10
§3.Tích vectơ với một số
A.Tóm tắt giáo khoa :
1 Định nghĩa : Tích của vectơ aG≠0G với số thực k ≠ 0 là một vectơ , ký hiệu là kaG, cùng hướng với aG nếu k > 0 , ngược hướng với aG nếu k < 0 và cò độ dài
bằng k aG
3
EF = − CD
JJJG JJJG
Ta qui ước 0 aG = 0G và k0G=0G
2 Tính chất : Với mọi vectơ aG, bG và mọi số thực k, l ta có :
a) (k a bG G+ =) ka kbG+ G
b) (k + l) aG= kaG+ laG
c) k(laG) = (k.l) aG
d) 1aG = aG ; (- 1) aG = - aG ; kaG = 0G ⇔ k = 0 hay aG = 0G
3 Điều kiện để hai vectơ cùng phương :
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ aG và bG (bG ≠ 0G) cùng phương là có một
số thực k để aG= kbG
4 Điều kiện để ba điểm thẳng hàng :
Điều kiện cần và đủ để ba điểm A, B, C thẳng hàng là có số thực k sao choJJJGAB k AC= JJJG
B Giải toán :
Dạng 1: CM một đẳng thức vectơ
Ví dụ 1 : Gọi I là trung điểm của đoạn AB.Chứnh minh rằng với mọi điểm M ta luôn có :
2
MA MB+ = MI
JJJG JJJG JJJG
Giải
Theo qui tắc ba điểm ta có : MA MI IAJJJG JJJG JJG= + và MB MI IBJJJG JJJG JJG= +
Do đó : MA MBJJJG JJJG+ =2MI IA IBJJJG JJG JJG+ +
Mà IA IBJJG JJG G+ =0 vì I là trung điểm của AB
Vậy MA MBJJJG JJJG+ =2MIJJJG
Ví dụ 2 : Cho tam giác ABC,trọng tâm G
Trang 11www.saosangsong.com.vn 11
A
G
M
A
P M
N
a) Chứng minh rằng GA GB GCJJJG JJJG JJJG G+ + =0
b) Chứng minh rằng MA MB MCJJJG JJJG JJJJG+ + =3MGJJJJG với mọi điểm M tùy ý
Giải
a) Gọi I là trung điểm của BC ta có :GB GCJJJG JJJG+ =2GIJJG (theo bài 1)
mà GAJJJG= −2GIJJG (tính chất trọng tâm)
Vậy GA GB GCJJJG JJJG JJJG G+ + =0
b) Theo qui tắc ba điểm thì với mọi điểm M
ta có : MA MG GAJJJG JJJJG JJJG= + ; MB MG GB MC MG GCJJJG JJJJG JJJG JJJJG JJJJG JJJG= + ; = +
Vậy MA MB MCJJJG JJJG JJJJG+ + =3MG GA GB GCJJJJG JJJG JJJG JJJG+ + + =3MGJJJJG
( vì theo câu a ta có GA GB GCJJJG JJJG JJJG G+ + =0)
Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC.Lần lượt lấy các điểm M, N, P trên các đoạn
AB,BC và CA sao cho AM = 1
3AB , BN =
1
3BC ; CP =
1
3CA Chứng minh : JJJG JJJG JJJJG GAN BP CM+ + =0
Giải
Ta có :
BN = BC ⇔ AN AB− = BC
JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
(1)
CPJJJG= CAJJJG ⇔ BP BCJJJG JJJG− = CAJJJG (2)
AM = AB ⇔ CM CA− = AB
JJJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG
(3) Công theo vế (1) ,(2) ,(3) ta được :
1
3
AN BP CM+ + − AB BC CA+ + = AB BC CA+ +
JJJG JJJG JJJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG JJJG
Mà JJJG JJJG JJJG GAB BC CA+ + =0 Vậy JJJG JJJG JJJJG GAN BP CM+ + =0
Dạng 2: CM 3 điểm A, B, C thẳng hàng
Ta chứng minh JJJGAB k AC= JJJG
Ví dụ 4. Cho ba vectơ a b cG G G, , thỏa 0 (1)
a b c
a b c
⎧ + + =
⎪
⎨
⎪⎩
G G G G
Chứng minh aG và bG cùng phương với cG
Giải
Công theo vế hai đẳng thức trên ta được :
3aG+5cG G=0 5
3
⇔ = −G G Vậy aG cùng phương với cG
Từ (1) suy ra : bG = - aG- cG = 5 2
3c cG G− =3cG Vậy bG cùng phương với cG
Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD.Gọi I là trung điểm của CD.Lấy điểm M trên đoạn BI sao