Giải các bài toán chứa giá trị tuyệt đối

và không thể thiếu trong chương trình toán THPT, giá trị tuyệt đối là một mảng kiến thức rất quan trọng tuy nhiên ở THPT thì các em chỉ được làm quen với những dạng toán đơn giản nên tôi

và không thể thiếu trong chương trình toán THPT, giá trị tuyệt đối là một mảng kiến thức rất quan trọng tuy nhiên ở THPT thì các em chỉ được làm quen với những dạng toán đơn giản nên tôi chọn đề tài này nhằm giúp cho học sinh hiểu sâu hơn về cách giải các bài toán chứa dấu trị tuyệt đối

Trong những năm học tập tại trường ĐH Sư Phạm Đà Nẵng, đặc biệt được sự giúp đỡ của Cô Phan Thị Quản, giảng viên trường ĐH Sư Phạm Đà Nẵng, tôi xin trình bày ở góc độ nhỏ đề tài: “Giải các bài toán chứa dấu trị tuyệt đối”

II Mục đích nghiên cứu:

- Đề tài nhằm trang bị cho học sinh một số kiến thức sâu hơn về giá trị tuyệt đối nhằm nâng cao năng lực học toán, giúp các em tiếp thu bài chủ động, sáng tạo

và làm công cụ giải quyết một số bài tập có liên quan đến giá trị tuyệt đối

- Gây hứng thú cho học sinh khi giải các bài tập về giá trị tuyệt đối

- Giúp học sinh nắm vững một cách hệ thống các phương pháp cơ bản và vận dụng thành thạo các phương pháp đó để giải các bài toán chứa dấu trị tuyệt đối

III Nhiệm vụ nghiên cứu:

- Nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giá trị tuyệt đối

- Trang bị cho học sinh các dạng toán và phương pháp giải các dạng toán liên quan đến giá trị tuyệt đối

- Chọn lọc, hệ thống một số bài tập ví dụ minh họa phù hợp với từng dạng toán

IV Đối tượng nghiên cứu:

- Đề tài áp dụng đối với các học sinh THPT và áp dụng trong các giờ luyện tập,

ôn tập thi cuối học kỳ, bồi dưỡng học sinh giỏi…

V Phương pháp nghiên cứu:

- Tham khảo, thu thập tài liệu

- Phân tích, chọn lọc tài liệu

- Tổng hợp, trình bày một cách hệ thống

VI Dự kiến kết quả đạt được của đề tài:

Đề tài này nhằm giúp học sinh hiểu sâu hơn các vấn đề về giá trị tuyệt đối, có hứng thú khi giải các bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối và tự giải quyết được một số bài tập liên quan đến giá trị tuyệt đối

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

CHƯƠNG 1: NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

2.1.2 Dạng 2: (| |)

Dựa vào đồ thị hàm số (C): ( ) suy ra đồ thị hàm số (C2): (| |)

Nhận xét: (C2): (| |) là hàm số chẵn nên (C2): (| |) nhận làm trục đối xứng

Ta có: (C2): (| |) { ( )

( )

Do đó đồ thị hàm số (C2): (| |) gồm 2 phần:

- Phần 1: là phần đồ thị (C): ( ) nằm phía bên phải

- Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua

Ví dụ minh họa:

ẽ đồ thị hàm số (C )

| | Giải:

x

y

y = x4 2∙x 2 1

1 2

nằm phía bên phải

- Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua

2.1.3 Dạng 3: | (| |)|

Dựa vào đồ thị hàm số (C): ( ) suy ra đồ thị hàm số (C3): | (| |)|

Đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta có thể vẽ theo cách như sau:

Cách 1:

Để vẽ đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta làm bước như sau:

- Bước 1: Vẽ (| |) ( ) dựa vào dạng 2

- Bước 2: Vẽ | (| |)| | ( )| dựa vào dạng 1

Cách 2:

Để vẽ đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta làm bước như sau:

- Bước 1: Vẽ | ( )| ( ) dựa vào dạng 1

- Bước 2: Vẽ | (| |)| (| |) dựa vào dạng 2

x y

Để vẽ đồ thị hàm số (C3): || | | | | ta làm bước như sau:

- Bước 1: Vẽ | | | | ( ) dựa vào dạng 2

- Bước 2: Vẽ || | | | | | ( )| dựa vào dạng 1

x y

Cách 2:

Để vẽ đồ thị hàm số (C3): || | | | | ta làm bước như sau:

- Bước 1: Vẽ | | ( ) dựa vào dạng 1

- Bước 2: Vẽ || | | | | (| |) dựa vào dạng 2

- Phần : là phần đồ thị lấy đối ứng qua

x y

2.2 CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU TRỊ

TUYỆT ĐỐI

2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Lược đồ để giải các phương trình chứa trị tuyệt đối có thể được minh họa sơ bộ theo các bước sau:

Bước : Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: Lựa chọn các phương pháp thực hiện:

Phương pháp : Biến đổi tương đương

Phương pháp : Chia khoảng

Phương pháp 3: Sử dụng các tính chất giá trị tuyệt đối

a Sử dụng một ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ

b Sử dụng một ẩn phụ chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa Phương pháp : Hàm số, bao gồm:

[ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Như vậy với phương trình dạng trên có chứa tham số chúng ta cần thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Giải và biện luận (2)

Bước 2: Giải và biện luận (3)

Bước 3: Kết luận với lưu ý tập nghiệm của phương trình ( ) là hợp 2 tập nghiệm của (2), (3)

Dạng 2: Với phương trình:

| ( )| ( ) { ( )

( ) ( ) {

( ) ( ) ( ) (I) Hoặc

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau:

| | | |

Giải: Phương trình tương đương với: [

[

( ) ( )

( ) ( )

Ta lần lượt thực hiện việc biện luận cho phương trình ( ) và (3) * Giải và biện luận (2): Với

(2) 0 = 1 vô nghiệm Với

( )

* Giải và biện luận (3): ( )

Với ta có: ( )

Ta có: ( ) [ (vì ( ) )

Kết luận: Với , phương trình có nghiệm

phương trình có 3 nghiệm

Dạng 2:

Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau:

| |

Giải: Phương trình tương đương với: {[

{[

{ ( )

[

( ) ( )

Ta lần lượt thực hiện việc biện luận cho phương trình ( ) và (3) * Giải và biện luận (2): [

[ ( ) không có nghiệm thỏa mãn ( )

( ) có nghiệm √ thỏa mãn ( )

( ) có nghiệm √ thỏa mãn ( )

* Giải và biện luận (3), nghiệm của (3) thỏa mãn (*) khi:

Khi đó chúng ta thực hiện theo các bước:

Bước : Đặt điều kiện có nghĩa cho các biểu thức trong phương trình

Bước 2: Lập bảng xét dấu các biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối , ̅̅̅̅̅ từ

đó chia trục số thành những khoảng sao cho trong mỗi khoảng đó các biểu thức dưới dấu trị tuyệt đối chỉ nhận một dấu ác định

Bước 3: Giải (hoặc biện luận) phương trình trên mỗi khoảng đã chia

Bước 4: Kết luận

II Ví dụ minh họa:

Giải phương trình

| | | | Giải:

2.2.1.3 BÀI TOÁN 3: SỬ DỤNG CÁC TÍNH CHẤT GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

I Phương pháp:

Với lược đồ thực hiện theo các bước:

Bước : Đặt điều kiện có nghĩa (nếu cần) cho các biểu thức trong phương trình Bước 2: Biến đổi phương trình về một trong bốn tính chất đã biết

Bước 3: Giải (hoặc biện luận) phương trình đại số nhận được

√ ( ) Vậy phương trình có nghiệm là:

tính chất

⃡ (√ ) √ Vậy phương trình có nghiệm là

2.2.1.4 BÀI TOÁN 4: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

I Phương pháp

Dạng 1: Đặt ẩn phụ không còn chứa biến

Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: Lựa chọn một ẩn phụ và sử dụng một ẩn phụ đó để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ, đặt điều kiện cho ẩn phụ Bước 3: Giải phương trình nhận được

Bước 4: Kết luận về nghiệm cho phương trình ban đầu

Dạng 2: Đặt ẩn phụ còn chứa biến

Bước : Đặt điều kiện có nghĩa cho phương trình

Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ và sử dụng ẩn phụ đó để chuyển phương trình ban đầu thành một phương trình với một ẩn phụ nhưng các hệ số vẫn còn chứa , đặt điều kiện cho ẩn phụ

Bước 3: Giải phương trình nhận được

Bước 4: Kết luận về nghiệm cho phương trình ban đầu

Chú ý:

Phương pháp này thường được sử dụng đối với những phương trình khi lựa chọn ẩn phụ cho một biểu thức thì các biểu thức còn lại không biểu diễn được

triệt để qua ẩn phụ đó hoặc nếu biểu diễn được thì công thức biểu diễn lại quá phức tạp

II Ví dụ minh họa:

Dạng 1:

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo m:

| |

| | ( ) Giải:

( )

Ta có:

* Với , (I) vô nghiệm (1) vô nghiệm

* Với , (I) có 3 nghiệm phân biệt (1) có 3 nghiệm phân biệt:

Ví dụ 2:

Tìm m để phương trình: | | (1) có nghiệm

Giải:

Đặt | |

Ta có nên phương trình (1) trở thành: (2)

Phương trình ( ) có nghiệm khi và chỉ khi (2) có ít nhất một nghiệm

{

√ √ [

Viết lại phương trình dưới dạng:

Đặt | |, điều kiện

Khi đó, phương trình ( ) được biến đổi về dạng:

Ta có ( ) ( ) , do đó:

( ) [ [| |

| | [

{( ) ( )

[

{[

[

√ Vậy phương trình có nghiệm phân biệt: , √ , ,

2.2.1.5 BÀI TOÁN 5: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

2.2.1.5.a SỬ DỤNG TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

CMR với mọi phương trình luôn có ít nhất 4 nghiệm phân biệt

Suy ra:

( ) ( ) , (2) có ít nhất một nghiệm ( )

( ) ( ) , (2) có ít nhất một nghiệm ( ) Vậy với mọi phương trình luôn có ít nhất 4 nghiệm phân biệt

2.2.1.5.b SỬ DỤNG TÍNH CHẤT ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I Phương pháp:

Ta có các hướng áp dụng sau:

Hướng 1: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

( ) (1) Bước 2: Xét hàm số ( )

Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu và liên tục

Bước 3: Nhận xét:

* Với ( ) ( ) , do đó là nghiệm

* Với ( ) ( ) , do đó phương trình vô nghiệm

* Với ( ) ( ) , do đó phương trình vô nghiệm Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình

Hướng 2: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

( ) ( ) (2) Bước 2: Xét hàm số ( ) và ( )

Dùng lập luận khẳng định hàm số ( ) là đồng biến còn hàm số ( ) là hàm hằng hoặc nghịch biến

Xác định sao cho ( ) ( ) Bước 3: Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

Hướng 3: Thực hiện theo các bước:

Bước 1: Chuyển phương trình về dạng:

( ) ( ) (3) Bước 2: Xét hàm số ( )

Dùng lập luận khẳng định hàm số đơn điệu và liên tục

Bước 3: Khi đó: (3)

II Ví dụ minh họa:

( ) đồng biến và liên tục trên

Vậy phương trình (1) nếu có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng:

( ) ( ) |

| Đặt | |

Hướng 3:

Ví dụ 3: Giải phương trình:

| | | | ( ) Giải:

{ {

Viết lại phương trình dưới dạng:

Với phương trình có chứa tham số: ( ) ( )

Chúng ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1: Lập luận số nghiệm của (1) là số giao điểm của đồ thị hàm số (C): ( ) và đường thẳng (d): ( ) song song hoặc trùng với

Bước 2: Xét hàm số ( )

* Tìm miền ác định D

* Tính đạo hàm , rồi giải phương trình

* Lập bảng biến thiên của hàm số

* Phương trình có k nghiệm phân biệt (d) cắt (C) tại k điểm phân biệt

* Phương trình vô nghiệm ( ) ( )

II Ví dụ minh họa:

Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:

| |( ) (1) Giải:

Viết lại phương trình dưới dạng: | |( )

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đường thẳng và đồ thị hàm số | |( ) ( )

Xét hàm số: | |( ) {

Đạo hàm:

{

* Hàm số không có đạo hàm tại vì:

2.2.1.6 BÀI TOÁN 6: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ

I Phương pháp:

Hầu hết các bài toán về phương trình trị tuyệt đối chứa tham số dạng:

a Tùy theo m hãy biện luận số nghiệm của phương trình

b Tìm m để phương trình có k nghiệm phân biệt

đều có thể giải được bằng phương pháp đồ thị và phương pháp này tỏ ra rất hiệu quả, tuy nhiên ta cần nhớ các phép biến đổi đồ thị cho các dạng hàm chứa dấu trị tuyệt đối, bao gồm:

Ta có: (C2): (| |) { ( ) ( )

Do đó đồ thị hàm số (C2): | ( )| gồm 2 phần:

- Phần 1: là phần đồ thị (C): ( ) nằm phía bên phải

- Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua

Dạng 3: | (| |)|

Dựa vào đồ thị hàm số (C): ( ) suy ra đồ thị hàm số (C3): | (| |)|

Đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta có thể vẽ theo cách như sau:

Cách 1:

Để vẽ đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta làm bước như sau:

- Bước 1: Vẽ (| |) ( ) dựa vào dạng 2

- Bước 2: Vẽ | (| |)| | ( )| dựa vào dạng 1

Cách 2:

Để vẽ đồ thị hàm số (C3): | (| |)| ta làm bước như sau:

- Bước 1: Vẽ | ( )| ( ) dựa vào dạng 1

- Bước 2: Vẽ | (| |)| (| |) dựa vào dạng 2

- Phần 2: là phần đồ thị 1 lấy đối xứng qua

II Ví dụ minh họa:

Dạng 1:

Ví dụ 1: Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:

| | Giải:

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

iết lại hàm số dưới dạng: ( )

Tập ác định: * +

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) và ( )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( ) và ( )

Đồ thị: (đường liền nét)

x y

y = x + 1

-3 3

b Biện luận theo a số nghiệm của phương trình:

| |

Từ đồ thị hàm số: ( )

suy ra đồ thị hàm số |

| gồm

- Phần phía trên của đồ thị hàm số ( )

- Đối xứng phần đồ thị hàm số ( ) phía dưới qua

Biện luận:

Với , phương trình vô nghiệm

Với , phương trình có nghiệm duy nhất

Với , phương trình có hai nghiệm phân biệt

Với , phương trình có ba nghiệm phân biệt

Với , phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Đạo hàm:

Đạo hàm cấp một:

[ Đạo hàm cấp hai:

Hàm số đồng biến trên khoảng ( ) và ( )

Hàm số nghịch biến trên khoảng ( )

Hàm số đạt cực đại tại và giá trị cực đại là:

Hàm số đạt cực tiểu tại và giá trị cực tiểu là:

Đồ thị: (đường liền nét)

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

Viết lại phương trình dưới dạng:

| | | |

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị hàm số | | | | (| |) với đường thẳng

Đồ thị (| |) gồm:

- Phần bên phải Oy của đồ thị hàm số ( )

- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

Biện luận:

Với phương trình vô nghiệm

Với phương trình có hai nghiệm

Với phương trình có hai nghiệm

Với phương trình có ba nghiệm

Với phương trình có bốn nghiệm

- Bước 1: Vẽ | | ( ) dựa vào dạng 1

- Bước 2: Vẽ || | | | | (| |) dựa vào dạng 2

Dựa vào đồ thị hàm số || | | | | ta thấy để phương trình || | | | | có 4 nghiệm phân biệt thì:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ( )

iết lại hàm số dưới dạng ( )

Tập ác định: * +

Hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) và ( )

Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ) và ( )

1

b Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số ( )

| | với đường thẳng

Do đó đồ thị hàm số (C) gồm:

- Phần đồ thị ( ) phía bên phải đường thẳng

- Đối xứng phần đồ thị ( ) phía bên trái đường thẳng qua Biện luận:

Với phương trình vô nghiệm

Với phương trình có một nghiệm

Với phương trình có hai nghiệm

Với phương trình có ba nghiệm

Với phương trình có bốn nghiệm

Dạng 5:

Ví dụ 5:

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: