Sử dụng tam thức bậc 2 giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓATRƯỜNG THPT THIỆU HÓA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI : SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC 2 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG PHẦN CƠ HỌC LỚP 10

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT THIỆU HÓA

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI :

SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC 2 GIẢI CÁC BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT TRONG PHẦN CƠ HỌC LỚP 10

Người thực hiện : Lê Hữu Vương Chức vụ : Giáo viên

SKKN thuộc môn : Vật lí

THANH HÓA NĂM 2017

MỤC LỤC I.MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài ……… 1

2.Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng nghiên cứu ……….1

4 Phương pháp nghiên cứu ……… 2

II.NỘI DUNG 1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm……… 3

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm……… 3

3 Phương pháp tiến hành……… 3

3.1 Lý thuyết tam thức bậc hai……….3

3.2 Một số bài toán vận dụng 4

3.2.1 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất 4

3.2.1 Bài toán tìm giá trị lớn nhất 10

4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục………14

III KẾT LUÂN, KIẾN NGHỊ 1.Kết luận 15

2 Kiến Nghị 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO

I.MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài:

Trong chương trình vật lý 10, phần cơ học là phần rất quan trọng, các bài tập

cơ học rất đa dạng và khó đối với học sinh Một trong những dạng toán phức tạp và khó là bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất

Bằng thực tế giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi qua một số năm Tôi nhận thấy “bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong cơ học” là một trong những bài toán mà các em học sinh rất hay bắt gặp trong các đề thi Khi gặp bài toán này thực

tế cho thấy các em học sinh còn gặp khó khăn vì nó là một trong những dạng toán khó Để giải được các bài toán này đòi hỏi các em không những phải nắm tốt kiến thức Vật lí mà bên cạnh đó các em phải có một kiến thức toán tương đối tốt

Mặc dù đây là một dạng toán khó nhưng rất ít sách tham khảo viết và hướng dẫn cách giải dạng toán này

Với những lí do trên, tôi xin trình bày đề tài: “Sử dụng tam tức bậc 2 giải

các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10’’

2.Mục đích nghiên cứu:

Thông qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh có phương pháp mới để giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học một cách thuận lợi và nhanh gọn

Cũng qua đề tài, tôi muốn giúp học sinh biết liên hệ tốt giữa kiến thức vật lý

và phương trình toán học để hiểu sâu kiến thức, đồng thời phát triển tư duy một cách hoàn thiện hơn

Là tài liệu để các đồng nghiệp có thể tham khảo trong quá trình giảng dạy và

ôn luyện

3 Đối tượng nghiên cứu

Kiến thức Toán: Kiến thức về tam thức bâc 2

Kiến thức Vật lí: các kiến thức về động học, động lực học chất điểm trong phần cơ học lớp 10

Học sinh: lớp 10G, 10M

4 Phương pháp nghiên cứu:

Để hoàn thành được sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã kết hợp rất nhiều phương pháp nghiên cứu khác nhau

Đầu tiên tôi đọc và làm nhiều bài tập liên quan đến bài toán tìm gi trị lớn nhất và nhỏ nhất

Tiếp theo, tôi phân loại các bài toán tương ứng với các kỹ thuật khác nhau Cuối cùng, tôi hệ thống hóa mỗi kỹ thuật theo một sơ đồ lôgic nhất định Cụ thể trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi đã trình bày một cách sơ lược hai dạng bài

tập tương ứng với kỹ thuật vận dụng thuật toán cơ bản trong toán học, dùng tam

thức bậc hai để tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một đại lượng vật lý

II.NỘI DUNG

1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Nhiệm vụ nhận thức của học sinh với một khối lượng kiến thức mới và nhiều đòi hỏi các em phải tập trung tư duy cao trong bài học Với vốn kinh nghiệm giải bài tập còn ít, khả năng nhận thức của học sinh không đều, một số học sinh còn máy móc dập khuôn những lời giải có sẵn chưa phát huy tối đa năng lực giải bài tập của mình

Bên cạnh việc phải đổi mới phương pháp dạy học phù hợp với chương trình

và kiến thức sách giáo khoa mới hiện nay thì chúng ta cũng nên chú ý đến kĩ năng giải các bài tập của học sinh Cần cho học sinh thấy dược cái hay trong các bài toán Vật lí

2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10 thường xuất hiện trong các tài liệu tham khảo, trong đề thi học sinh giỏi Tuy nhiên ở các sách tham khảo thì các tác giả chưa hướng dẫn học sinh một cách cụ thể đề giải các bài toán này, cũng như chưa phân dạng để các em dễ nắm bắt.Vì thế tôi đã đưa phương pháp sử dụng tam thức bậc hai để giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất trong phần cơ học lớp 10 vào trong quá trình giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi…Tôi nhận thấy các em tiếp thu tốt, đồng thời giải được các bài toán tương tự một cách nhanh chóng, dễ dàng

3 Phương pháp tiến hành

3.1 Lý thuyết tam thức bậc 2.

Định nghĩa.

Tam thức bậc 2 (một ẩn) là đa thức có dạng f(x) = ax2 + bx + c trong đó x là biến a, b, c là các số đã cho, với a ≠ 0

Tính chất.

+ a > 0 thì ymin tại đỉnh Parabol

+ a < 0 thì ymax tại đỉnh Parabol.

+ Tọa độ đỉnh : x = - b ; y

 

+ Nếu  = 0 thì phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có nghiệm kép

+ Nếu  > 0 thì phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm phân biệt

3.2 Một số bài toán vận dụng.

3.2.1 Bài toán tìm giá trị nhỏ nhất.

Bài 1:Hai xe môtô chạy theo hai con đường vuông góc với nhau, cùng tiến

về phía ngã tư (giao điểm của hai con đường), xe A chạy từ hướng Đông sang hướng Tây với vận tốc 50 km/h; xe B chạy từ hướng Bắc về hướng Nam với vận tốc 30 km/h Lúc 8 giờ sáng, A và B cùng cách ngã tư lần lượt 4,4 km và 4 km Tìm thời điểm mà khoảng cách hai xe nhỏ nhất Tính khoảng cách này

* Phân tích đề toán:

+ Chuyển động của hai xe là chuyển động thẳng đều nên phương trình chuyển động có dạng hàm bậc nhất theo thời gian t

+ Hai xe chạy theo hai hướng vuông góc với nhau tại ngã tư, nên khoảng cách giữa hai xe sẽ được xác định theo định lí pitago của tọa độ hai xe

+ Nghĩa là, khoảng cách L giữa hai xe sẽ được biểu diễn thông qua hàm bậc hai của thời gian t

Những nhận xét này cho phép ta có thể áp dụng dạng biến đổi của tam thức bậc hai để tìm điều kiện khi Lmin

* Giải chi tiết:

Chọn hệ trục tọa độ xOy, với + trục Ox theo hướng từ Đông sang Tây;

+ trục Oy theo hướng từ Bắc về Nam;

+ gốc tọa độ O tại ng tư

Chọn mốc thời gian là lúc 8 giờ sáng

Phương trình chuyển động của mỗi xe lần lượt là

+ xe A: x = x0 + vAt = - 4,4 + 50t (km);

+ xe B: y = y0 + vBt = - 4 + 30t (km)

Khoảng cch giữa hai xe: L = x2 y2 = 3400t2  680t 35,36 (km)

áp dụng dạng biến đổi của tam thức bậc hai, ta được:

L = 3400 t 0,1  2 1,36

*Nhận xét: L  1,36  1,166 km = 1166 m

 Lmin = 1166 m  t = 0,1 h = 6 pht

Vậy: Lúc 8h 6phút sáng, khoảng cách hai xe đạt nhỏ nhất là 1166 m

Bài 2:Một cầu thủ ghi bàn thắng bằng một quả phạt đền 11 m; bóng bay vô

giữa và chạm vào mép dưới của xà ngang rồi bay vô gôn Biết xà ngang cao 2,5 m; khối lượng của quả bóng là 0,5 kg Hỏi góc bay của bóng so với mặt sân cỏ phải bằng bao nhiêu để năng lượng mà cầu thủ truyền cho bóng là nhỏ nhất Bỏ qua sức cản của không khí Lấy g = 10 m/s2

* Phân tích đề toán :

+ Năng lượng cầu thủ truyền cho bóng đã chuyển thành động năng ban đầu của bóng

+ Vì bỏ qua sức cản của không khí nên chuyển động của bóng là chuyển động ném xiên Khi đó, phương trình quĩ đạo, y = f(x), của bóng sẽ được biểu diễn

y

y0

x0

B

v

A v



theo hàm bậc hai của tan, với  là góc tạo bởi vận tốc ban đầu của bóng so với mặt sân cỏ

+ Khi bóng chạm xà ngang ta có được: y = h = 2,5 m và x = L = 11 m;

+ Từ việc lập luận để tồn tại giá trị của  (theo tan), ta tìm được biểu thức dạng tam thức bậc hai của 2

0

v + Với lưu ý, 2

0

v > 0 ta sẽ tìm được giá trị nhỏ nhất của Wđ0min và góc 

* Giải chi tiết:

Năng lượng mà cầu thủ truyền cho bóng đã

chuyển thnh động năng ban đầu của bóng,

Wđ0 = 2

0

1

2mv

Vì bỏ qua sức cản của không khí nên chuyển động của bóng là chuyển động của một vật được ném xiên

Chọn hệ trục tọa độ xOy, với:

+ trục Ox nằm ngang hướng về phía gôn;

+ trục Oy thẳng đứng hướng lên;

+ gốc tọa độ tại vị trí phạt 11 m

Chọn mốc thời gian là lúc quả bóng bắt đầu bay

Phương trình chuyển động của bóng theo hai trục tọa độ lần lượt là:

+ theo phương Ox: x x 0 v t0x v c0 os t

sin

y

yy v t at  v  t gt Phương trình quĩ đạo của bóng có dạng:

y

X



0 v



0x

v

0 y

v

y = f(x) = (tan)x –

2

2 2 0

gx 2v cos α

Hay: y = (tan)x - 2

0

g 2v (1 + tan2)x2. Khi bóng chạm xà ngang rồi bay vô gôn, x = L = 11 m; y = h = 2,5 m

Ta có: h = L.tan -

2 0

gL (1 tan α) 2v



 2 0

v =

gL (1 tan α)

2 L tan α h



2

gL

2 a > 0.

Nhận thấy: để tồn tại giá trị của  thì phương trình

2

1 tan α

a

L tan α h





cónghiệm tan  h

L =

5

22. Khi đó, tan2 - L.a.tan + 1 + h.a = 0

Hay, tan2 - 11a.tan + 1 + 2,5a = 0

Để thỏa mãn điều kiện ở trên thì:  = 121a2 – 4(1 + 2,5a)  0

2

5 a 121



121  0



2

5 a 121



2

509 121

 a  509 5

121 hoặc a  - 509 5

121

 < 0

(loại)

121   = 0  tan =11amin

024’

Ta lại nhận thấy: Wđ0min  v0min  amin = 509 5

121



Vậy, nếu  = 51024’ thì Wđ0min = 2

0min

1

2mv = 1 2 min

gL

Bài 3: Từ hai bến A và B trên cùng một bờ sông có hai ca nô cùng khởi

hành Khi nước chảy do sức đẩy của động cơ, chiếc ca nô từ A chạy song song với

bờ theo chiều từ A đến B với vận tốc 24km/h, còn chiếc ca nô từ B chạy vuông góc với bờ có vận tốc là 18 km/h Quãng đường AB dài 1km Hỏi khoảng cách nhỏ nhất giữa hai ca nô trong quá trình chuyển động là bao nhiêu nếu nước chảy từ A đến B với vận tốc 6 km/h Biết rằng sức đẩy của các động cơ không thay đổi

* Phân tích đề toán :

+ Khoảng cách giữa hai xe trong quá trình chuyển động thay đổi theo thời gian nên ta có thể chọn thời gian làm ẩn

+ Lựa chọn giải bài toán trong hệ quy chiếu nào (chọn hệ quy chiếu)

+ Gọi khoảng cách gữa hai xe trong quá trình chuyển động là CD Biểu diễn

độ dài đoạn CD theo t (Tìm mối quan hệ giữa CD với t)

* Giải chi tiết:

Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với bờ sông.

Vận tốc của mỗi canô đối với bờ sông

v AOv Av O  24  6  30km/h

v BO v O2 v B2  18 2  6 2  6 10 km/h

 6.1810  103

BO

B

v

v Sin

 6.610  110

BO

O

v

v Cos

10 6 6

Độ dài quãng đường hai ca nô đi

được trong thời gian t

v

AO



A

v

BO

v

ov

o

B

D

Ta có: AC v AO t 30 t

t t

t BH

CB CH

t t

Sin BD DH

t t

Cos BD BH

t AC

AB CB

t t

v

24 1 6 30 1

18 10

3 10 6

6 10

1 10 6

30 1

10 6









































Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông CHD ta có:

CD2 = CH2 + HD2

CD2 = 1  24t2 18t2

CD2 = 900t2 – 48t + 1

y = 900t2 – 48t + 1 (1)

(Trong đó CD2 = y)

Đến đây ta gặp bài toán: Tìm t dương để y đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có thể trình bày theo hai hướng

Ta có: ( 1 ) 900t 2 48t 1 - y 0





Phương trình (2) có nghiệm   '  0

   

CD km y

y

y

6 , 0 36

, 0

36 , 0

0 1

900 24

min min

2





















Hướng thứ hai: Biến đổi VP(1) về dạng A2 + B

30

24 30

24 30

24 30 2 30

2 2

2

































y

y y

t y

6 , 0 36

, 0

36 , 0 25 9

25

9 5

4 30

min min

2

































Giải bài toán trong hệ quy chiếu gắn với mặt nước.

Độ dài quãng đường mà hai canô đi được sau thời gian t lần lượt là:

AA’ = v1t = 24t

BB’ = v2t = 18t

Áp dụng định lý Pitago

Trong tam giác vuông A’BB’ ta có:

A’B’2 = A’B2 + BB’2

A’B’2 = ( AB – AA’ )2 + BB’2

A’B’2 = ( 1- 24t )2 + (18t )2

y = 900t2 – 48t + 1 (1)

Ngoài hai cách chọn hệ quy chiếu trên ta có thể giải bài toán mà hệ quy chiếu gắn với một trong hai canô.

Chọn ca nô đi từ A làm mốc khi đó

Dòng nước chuyển động ngược lại so với ca nô đi từ A với vận tốc v1

Vận tốc của ca nô B so với ca nô A là:

v21 = v v2 30km/h

1 2

t BB

S2  '  30



v

v

BB' 18

21

1







t v

v BB BB

21

1





Áp dụng định lý Pitago cho tam giác vuông AHB’ ta có:

AB’2 = AH2 + HB’2

AB’2 = ( 1-24t )2 + ( 18t )2

y = 900t2 – 48t + 1 (1)

3.2.1 Bài toán tìm giá trị lớn nhất.

Bài 1 : Một con bọ đậu ở đầu A của một thanh cứng mảnh AB có chiều dài L

đang dựng đứng cạnh một bức tường thảng đứng (như hình vẽ) Vào thời điểm mà đầu B của thanh bắt đầu trượt sang phải trên mặt sàn nằm ngang với vận tốc không đổi v thì con bọ bắt đầu bò dọc theo thanh với vận tốc u đối với thanh Trong quá trình bò lên thanh, con bọ đạt dược độ cao cực đại là bao nhiêu đối với sàn Biết đấu A của thanh luôn tì lên tường thẳng đứng

B’

’

B v

A

v

B



A

B

’’

B

v1

v2

v21 H

A

* Phân tích đề toán :

+ Chuyển động của điểm B và của con bọ là chuyển động thẳng đều

+ Biểu diễn độ cao của con bọ ( H ) theo thời gian t

+ Sử dụng tính chất tam thức bậc hai tìm Hmax

* Giải chi tiết:

Gọi t là thời gian con bọ chuyển động

+ Quãng đường con bọ chuyển động : L u t. t L

u

+ Quãng đường điểm B chuyển động:S v t

+ Độ cao mà con bọ đạt dược: H L.sin u t L v t. 2 2

L

2 2 2 4

u

H L t v t

L

y L

 H max khi yy max

Với yv x2 2 L x2 (trong đó x t 2  0)

Ta thấy y là tam thức bậc 2 có hệ số av2  0;  L4

Nên ta có ax 42

4

m

L y

v

2

L x v



Vậy độ cao cực đại con bọ đạt được là max max 2

Bài 2 :Một người đứng ở độ cao h so với mặt đất ném một hòn đá với vận

tốc ban đầu v0, theo phương hợp với phương ngang một góc  Tìm  để tầm xa trên mặt đất là lớn nhất

* Phân tích đề toán :

Đây là bài toán chuyển động của vật bị ném xiên nên chúng ta sẽ tiến hành theo các bước :

+ Chọn hệ trục xOy

v



h 

u

+ Phân tích chuyển động theo 2 phương Ox, Oy.

+ Biến đổi ra biểu thức tầm bay ( L) xa rồi sử dụng tính chất của tam thức bậc 2 tìm L max

* Giải chi tiết:

+ Chon hệ trục tọa độ xOy như hình vẽ Gốc O ở mặt đất

+ Chuyển động của vật chia thành hai thành phần :

Theo Ox : x (v c0 os )  t (1)

0

1 ( sin )

2

y h  v  t gt (2)

+ Khi chạm đất thì x L lúc này

0 os

L t

v c 



0

2 os

gL

y h L

v c





2

1

1 tan os

c    

2

  (3) ; phương trình phải có nghiệm với

tan 

Lúc này phương trình (3) có

ax 0

tan

2

m



0

tan

2

v

v gh

 

 thì tầm bay xa cực đại

Bài 3 : Một người đứng tại điểm A trên bờ hồ Người này muốn đến điểm B

trên mặt hồ nhanh nhất Cho khoảng cách từ điểm B đến bờ là d, khoảng cách từ điểm A đến H là S như hình Biết rằng người này chạy trên bờ thì vận tốc là v1, khi bơi thì có vận tốc là v2 (v2 < v1 ) Hãy xác định phương án chuyển động của người đó

* Phân tích đề toán :

h y

 0

V

B

+ Ta thấy có hai phương án chuyển động của người này.

Phương án 1: Bơi thẳng từ A đến B

Phương án 2 : Chạy trên bờ 1 đoạn AD

sau đó bơi từ D đến B

+ Chúng ta sẽ giả sử phương án thứ 2, tiến hành giải rồi biện luận cho từng phương án

* Giải chi tiết:

Giả sử người đó chọn phương án chạy trên bờ một đoạn AD ( AD = S - x ), sau đó bơi từ D đến B

Thời gian người đó bơi từ A đến B : t =

2 2







 t =

2 2

 Đặt P = v1

2 2

2

1 2

P

v v

 Từ (1)  P + v2x = v1 d2x2 (v12 v )x22 2 2pv x v d2  12 2 p20

Để có nghiệm (với 0  x < S) thì '  0

p v v v d  v d  v p v p 0

v (v d  v d p ) 0  p (v  v )d

Vậy Pmin = d 2 2

1 2

1 2

v d x





+ Nếu x  S thì bài toán vô nghiêm tức là không tồn tại điểm D  chọn phương án bơi thẳng từ A đến B

+ Nếu x < S thì người đó phải chạy một đoạn AD = S - 22 2

1 2

v d

v  v trên bờ rồi bơi từ D đến B



d

H D

B

x

4 Hiệu quả sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục

Trong năm học vừa qua tôi đã áp dụng đề tài này vào chương trình học của lớp10 Tôi nhận thấy các em học sinh đã rất hứng thú khi áp dụng đề tài này tự mình giải nhanh được những bài toán khó Đề tài này đã góp phần nâng cao khả năng trực quan hoá tư duy của học sinh và lôi cuốn được nhiều học sinh tham gia vào quá trình giải bài tập cũng như giúp một số học sinh không yêu thích hoặc không giỏi môn vật lý cảm thấy đơn giản hơn trong việc giải các bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Qua đó nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn vật lý ở trường THPT Thiệu Hóa, tạo động lực thúc đẩy sự tiến bộ, hiệu quả trong sự nghiệp giáo dục…

Cụ thể thông qua khảo sát chất lượng học sinh sau khi được hướng dẫn

phương pháp “Sử dụng tam tức bậc 2 giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất nhỏ

nhất trong phần cơ học lớp 10’’ tôi thu được kết quả như sau:

 Kết quả so sánh đối chứng.

* Kết quả khảo sát trước khi thực hiện đề tài

số