Hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS thành lộc giải các bài toán tính giá trị và so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên

Sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều.. Để giải được các bài tập nâng ca

A MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài.

Mọi con sông lớn đều bắt nguồn từ những dòng suối nhỏ, mọi bài toán khó

đều bắt nguồn từ những bài toán đơn giản hơn Đối với học sinh lớp 6, bước đầu làm quen với việc tư duy logic cao hơn về số học Việc tiếp thu môn số học bước đầu còn tương đối khó khăn Vì vậy để học sinh nâng tầm tư duy toán học hơn nữa, ngoài việc giảng dạy kiến thức trên lớp, người giáo viên cần phải khuyến khích học sinh, nhất là học sinh khá giỏi không những phải biết tìm tòi vận dụng phát triển các bài toán cơ bản mà còn phải biết cách phát triển nó thành những bài toán mới có tầm suy luận cao hơn, nhằm phát triển năng lực tư duy cho học sinh Cách dạy và học ấy mới đi đúng yêu cầu đổi mới giáo dục hiện nay Có như vậy mới tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh, khơi dậy khả năng tự lập, chủ động, sáng tạo của học sinh, nhằm nâng cao năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tế, tác động đến tình cảm, đem lại niềm say mê và hứng thú học tập cho học sinh

Vấn đề đặt ra trong giải toán là phải biết nhận dạng và lựa chọn phương pháp giải thích hợp Dạng toán về lũy thừa được đề cập trong sách giáo khoa ngay từ đầu năm lớp 6 đến lớp 9 và mỗi lớp có yêu cầu khác nhau nên làm cho người học và người dạy rất vất vả nhất là học sinh lớp 6 Sau khi các em được học về lũy thừa với số mũ tự nhiên ở chương I lớp 6 mặc dù thời lượng học rất ít nhưng các em phải giải một lượng bài tập rất nhiều

Để giải được các bài tập nâng cao về toán lũy thừa, ngoài việc nắm bắt kiến thức cơ bản có trong chương trình, học sinh còn phải nắm bắt một số kiến thức bổ sung mở rộng Những kiến thức này không được phân phối trong các tiết học nên học sinh ít được vận dụng và rèn luyện trừ khi gặp những bài toán khó

Vì vậy khi gặp những bài tập khó này học sinh sẽ cảm thấy bế tắc, chán nản từ

đó không còn thích thú học môn toán nữa

Qua các kì thi, đặc biệt là các kì thi học sinh giỏi, đòi hỏi học sinh phải có

sự linh hoạt các kiến thức đã học, uyển chuyển trong phương pháp giải Do đó phải rèn luyện cho các em có thói quen tìm tòi nhiều cách giải hay, biết xâu chuỗi bài toán, nhằm sáng tạo trong cách học, cách giải, cách tiếp cận một bài toán

Là một giáo viên dạy toán ở Trường THCS, tôi luôn mong muốn học sinh của mình không những học cách giải toán thông thường mà còn rèn luyện được một trong những phẩm chất của con người thời hiện đại: khả năng quan sát, phân tích và tính sáng tạo, linh hoạt trong tư duy; đức tính cẩn thận Với suy nghĩ như thế tôi đã tham khảo, tìm tòi và tiến hành tự nghiên cứu đề tài:

“Hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS Thành Lộc giải các bài toán tính giá trị và so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên”

II Mục đích nghiên cứu

- Nhằm rút ra một số biện pháp, phương pháp thích hợp hướng dẫn học sinh lớp 6 khi giải các bài toán về lũy thừa

- Góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi toán

- Tìm ra các phương pháp giải các bài toán về lũy thừa

- Xây dựng hệ thống bài tập theo từng dạng thức cụ thể, đảm bảo tính chính xác, khoa học, phù hợp với học sinh

- Tìm ra phương pháp giải hợp lý với từng kiểu bài cụ thể

III Đối tượng nghiên cứu

- Đề tài được thực hiện trong phạm vi năm học 2016 - 2017 trong khi dạy ôn luyện học sinh giỏi lớp 6 tại trường THCS Thành Lộc, huyện Hậu Lộc, tỉnh Thanh Hóa

- Giới hạn của đề tài: “Hướng dẫn học sinh lớp 6 trường THCS Thành Lộc giải các bài toán tính giá trị và so sánh lũy thừa với số mũ tự nhiên”

IV Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu, sách giáo khoa, sách tham khảo có liên quan

- Phương pháp điều tra

- Phương pháp thực nghiệm

- Phương pháp phân tích - tổng hợp

- Phương pháp gợi mở vấn đáp

- Phương pháp so sánh

- Phương pháp tổng quát hoá …

B NỘI DUNG

I Cơ sở lý luận:

Mục tiêu của môn Toán ở trường THCS là nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức phổ thông cơ bản và thiết thực, hình thành và rèn luyện các kỹ năng giải toán và ứng dụng vào thực tế, rèn luyện khả năng suy luận hợp lý,sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất tư duy như linh hoạt, độc lập, sáng tạo Xuất phát từ mục tiêu trên, phương pháp dạy học trong giai đoạn mới là tích cực hóa các hoạt động học tập của học sinh, rèn luyện khả năng tự học, tự phát hiện và giải quyết vấn đề của học sinh nhằm hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất tư duy cần thiết

Quá trình giải Toán chính là quá trình rèn luyện phương pháp suy luận khoa học là quá trình tự nghiên cứu và sáng tạo, không dừng lại ở mỗi bài toán đã giải hãy tìm thêm các kết quả thu được sau mỗi bài toán tưởng chừng như đơn giản

Bộ môn số học lớp 6 đặc biệt là phần lũy thừa với số mũ tự nhiên là một nội dung kiến thức hoàn toàn mới đối với học sinh Các em thường gặp rất nhiều khó khăn trong việc biến đổi để thực hiện các phép toán về lũy thừa và so sánh lũy thừa

II Thực trạng của vấn đề:

Qua theo dõi sát sao các đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán 6 của Huyện Hậu Lộc trong những năm gần đây tôi thấy nội dung vấn đề mà tôi trăn trở hầu hết năm nào cũng có trong một phần nội dung thi và chiếm từ 2 đến 3 điểm, có những năm học sinh làm tốt, song có những năm còn lúng túng trong cách giải Cũng vì thực tế như trên tôi thiết nghĩ: Để có kĩ năng giải bài tập phải qua quá trình luyện tập Tuy rằng, không phải cứ giải bài tập nhiều là có kĩ năng Việc luyện tập sẽ có hiệu quả, nếu như biết khéo léo khai thác từ một bài tập sang một loạt bài tập tương tự, nhằm vận dụng một tính chất nào đó, nhằm rèn luyện một phương pháp chứng minh nào đó

Ở trường tôi, qua công tác giảng dạy môn toán nói chung và môn số học lớp

6 nói riêng Trong những năm qua tôi thấy rằng đa số học sinh:

- Các em học thuộc lí thuyết theo kiểu học vẹt nên chưa biết vận dụng kiến thức đã học vào quá trình giải toán; chưa tìm được sợi dây liên kết giữa từng phần với nhau nên không biết làm như thế nào

- Các em thường có thói quen không tốt khi học toán là: không chịu đọc kĩ

đề bài, phân tích các yếu tố có trong bài toán mà cứ đọc xong là bắt dầu nháp lia lịa, trong khi không biết mình làm thế có mang lại hiệu quả không; cách làm đó

đã phù hợp với bài toán chưa Kết qủa là sau khi làm một hồi thì bế tắc; bài toán

nào may mắn thì ra nhưng không biết nhận dạng nó để còn làm các bài tập tương tự

- Không chịu đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau, không sử dụng hết các dữ kiện của bài toán

- Không biết vận dụng hoặc vận dụng chưa thành thạo các phương pháp suy luận trong giải toán, không biết sử dụng các bài toán giải hoặc áp dụng phương pháp giải một cách thụ động

- Không chịu suy nghĩ tìm cách giải khác nhau cho một bài toán hay mở rộng lời giải tìm được cho các bài toán khác, do đó hạn chế trong việc rèn luyện

tư duy toán học

Từ thực trạng trên trước khi tôi vận dụng đề tài này vào việc bồi dưỡng đối tượng học sinh khá - giỏi khối lớp 6, năm học 2016 – 2017 qua khảo sát kết quả như sau:

Khối

lớp Sĩ số

Số HS tự học có phát huy được tính tư duy sáng tạo

Số HS tự học chưa phát huy được tính tư duy sáng tạo

Từ những thực trạng trên, bản thân tôi đã tự xây dựng cho mình những giải pháp, biện pháp thực hiện đề tài một cách cụ thể, khoa học và hiệu quả, đem lại những kết quả khả quan để phát huy khả năng tư duy sáng tạo, góp phần nâng cao chất lượng bồi dưỡng kiến thức cho học sinh mũi nhọn

III Các giải pháp thực hiện:

Do điều kiện không cho phép sau đây tôi xin đưa ra một số bài toán số học

mà tôi sưu tầm được trong đề thi HSG Toán 6 của huyện Hậu Lộc và một số huyện lân cận các năm học trước để làm các ví dụ cũng như bài tập áp dụng

1 KIẾN THỨC CẦN ÔN TẬP VÀ MỞ RỘNG.

a) Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên

- Lũy thừa bậc n của a là tích của n thừa số bằng nhau , mỗi thừa số bằng a

thùa sô a

= a a a a (n N )

       n

n

a

- Quy ước : a1 = a a0 = 1 (a  0)

b) Các phép toán về lũy thừa

* Với a, b, m, n  N ta có các phép tính

- Nhân hai lũy thừa cùng cơ số :

am an = a m + n

- Chia hai lũy thừa cùng cơ số :

am : an = am - n (a  0, m > n)

- Lũy thừa của một tích :

(a.b)m = am bm

- Lũy thừa của một thương

(a : b)m = am : bm (b  0 )

- Lũy thừa của lũy thừa

(am)n = am.n

- Lũy thừa tầng :

m n  m n

a a

c) Tính chất về thứ tự :

- Nếu a = b thì an = bn

- Nếu an = bn thì a = b hoặc a = -b ( nếu n chẵn )

a = b ( nếu n lẻ)

- Nếu am = an thì m = n

- Nếu a > b > 0 => am > bm (m  0)

- Nếu m > n > 0 , a > 1 => am > an

- Nếu am > bn và bn > ck => am > ck

2 HAI DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 1: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC CHỨA LŨY THỪA

Loại 1 : Tính giá trị các biểu thức ở dạng biểu thức nguyên

* Phương pháp :

-Thực hiện theo thứ tự thực hiện phép tính và sử dụng các phép tính của lũy thừa

- Sử dụng các phép tính của lũy thừa kết hợp với tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng

Ví dụ 1 : Tính giá trị của biểu thức :

a) A 48 : 3 3 3  24 : 6 6 6

Hướng dẫn :

Các lũy thừa của 48 và 3 có cùng số mũ là 3 Lũy thừa của 24 và 6 có cùng số mũ là 6 vậy ta chỉ cần thực hiện theo thứ tự phép tính : Nhân , chia , cộng ,trừ

Giải :

A 48 : 3 3 3  24 : 6 6 6

48 : 33 24 : 66  163 46

   2 4 3 2 2 6 212 212 0

b) B 3 18 3 154  3

Hướng dẫn : Ta thấy trong tích thứ nhất và tích thứ hai đều có chung một thừa

số là lũy thừa của 3, nên ta dùng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng để thực hiện

Giải : B 3 18 3 15 3  2

 3 3.18 152    3 54 15 2  

 3 39 2  9.39 351 

c) C 8 24  8 23: 2 66

Hướng dẫn :

- Khi làm một số học sinh của tôi đã áp dụng sai một công thức quan trọng là a a n m a n m

 HS nhầm a n a m a n m

  (Đây là công thức sai)

- Sau khi chỉ sai cho HS tôi hướng dẫn các em

Đưa về cùng cơ số 2 hoặc cơ số 8 ,sau đó sử dụng tính chất phân phối của phép cộng đối với phép chia để thực hiện

Giải : C 8 24  8 23: 2 66

8 24 8 23  : 2 3 22

8 :8 8 : 8

Loại 2 : Tính giá trị các biểu thức có dạng phân số :

Phương pháp : Viết tử và mẫu dưới dạng tích các lũy thừa Sau đó sử dụng tính chất của phân số chia cả tử và mẫu cho cùng một lũy thừa khác không

Ví dụ 2 : Tính giá trị biểu thức

a)    

2 2

2 5.7 5 7 2.5.7

A 

Hướng dẫn :

Tử và mẫu là tích của các lũy thừa có cơ số là các số nguyên tố Ta chỉ việc viết gọn tử và mẫu bằng cách sử dụng nhân lũy thừa , tính lũy của lũy thừa ,rồi rút gọn các lũy thừa giống nhau

Giải:

   

2 2

2 5.7 5 7 2.5.7

2 5.7.5 7

2 5 7



2 5 7

2 5 7

 = 2.5 = 10

b) 9 25 81214 53 7 3

18 625 24

B 

Hướng dẫn :

- Tử và mẫu là tích các lũy thừa không cùng cơ số mà các lũy thừa này có cơ số chưa phải là số nguyên tố

- Do đó ta viết các lũy thừa thành các lũy thừa có cơ số là số nguyên tố , rồi rút gọn

Giải :

9 25 8

18 625 24

B 

     

   

3 5 2

2 9 5 3.8



28 10 21

3 5 2

2 3 5 3 2



28 10 21

27 12 21

3 5 2

3 5 2

5

25



c)

4 9 6 120 =

8 3 6



( Đề giao lưu học sinh giỏi lớp 6 huyện Hậu Lộc năm học 2016 – 2017)

Hướng dẫn : Biểu thức C có tử và mẫu là một tổng vì vậy sử dụng tính chất

phân phối viết tử, mẫu thành tích các lũy thừa sau đó rút gọn

Giải :

= 4 9 6 45 12 6 1209 11

8 3 6



(2 ) (3 ) (2.3) 2 3.5 2 3 2 3 5

12 10

11 11

=

Loại 3: Tính giá trị các biểu thức có dạng tổng các lũy thừa viết theo

quy luật

Phương pháp : - Biến đổi làm xuất hiện biểu thức khác là bội của biểu thức đó

có chứa các lũy thừa có cùng cơ số với các lũy thừa của tổng đã cho rồi cộng hoặc trừ hai biểu thức

Ví dụ 3 : Thu gọn biểu thức sau :

A  1 222 23  22015

Hướng dẫn :

- Biểu thức A là tổng các lũy thừa của 2 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị

- Nhân cả hai vế của biểu thức với 2 1 (2 1có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong

A có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp )

Giải :

A       

2A  2 2 2 2  2

2A A (2 2 2 2   2 ) 1 2 2  2 2  2

2016

Ví dụ 4 : Thu gọn biểu thức :

B  1 5356  5 105

Hướng dẫn:

- Biểu thức B là tổng các lũy thừa của 5 với số mũ hơn kém nhau 3 đơn vị

- Nhân cả hai vế của biểu thức với 53(53có cơ số bằng cơ số các lũy thừa trong

B có số mũ là khoảng cách giữa các số mũ liên tiếp )

Giải :

B  1 5 3  5 6  5  105

5 3B  5 3 5 6  5 5 9  108

125B B  (5  5  5 5 )   1 5   5  5  5 

108

124B 5  1

108

124

B 

Ví dụ 5 : Thu gọn biểu thức

1 1 1 1

C     

Hướng dẫn : - Biểu thức C là tổng mỗi số hạng là phân số có tử là 1 mẫu là lũy

thừa của 3 với số mũ hơn kém nhau 1đơn vị

- Nhân cả hai vế của biểu thức với 31hoặc nhân cả hai vế với 1

3(cơ số)

Giải : Cách 1: 1 12 13 199

3 1 1 12 13 198

C      

3 (1 1 12 13 198) 1 12 13 199

C C             

99

1

2 1

3

1 1

2 2.3

Cách 2: 1 12 13 199

2 3 4 100

C C            

100

3C  3 3  99

2 2.3

C  

Loại 4: Chứng tỏ một biểu thức chia hết, chia có dư cho một số.

Với các ví dụ tôi đưa ra dưới đây có rất nhiều hướng giải quyết nhưng do mục đích và giới hạn của đề tài là giúp các em tính giá trị của các lũy thừa với

số mũ tự nhiên, nên việc hướng dẫn các em đều hướng vào việc tính giá trị

Ví dụ 1: Chứng tỏ rẳng:

a) 5 5  5 4  5 3 chia hết cho 7.

b) 7 6  7 5  7 4 chia hết cho 11

c) 24 54 2 54 24 10 chia hết cho 72 63

d) 2 2

3n 2n 3n 2n

   chia hết cho 10

e) 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2

   chia hết cho 6

Hướng dẫn: Để chứng minh biểu thức A chia hết cho b (b 0) ta biểu diễn biểu thức A dưới dạng một tích các thừa số, trong đó có một thừa số bằng b (hoặc chia hết cho b)

Giải:

a) 55 54 53  5 53 2 5 1   5 25 5 13    5 213

Vì : 21 7 nê 5 21 7  n 3  Vậy 5 5  5 4  5 3 chia hết cho 7

b) Tương tự 7 6  7 5  7 4 = 7 55 = 7 5.11 11 4 4 

c) Ta có: 24 54 2 = 3.2 54 24 10  3 54 2.3 324.2 10  3 2 126 196

Mặt khác : 72 = 2 3 63  3 263  2 3 189 126

Ta thấy: 3 2  126 196 2 3 189 126 Vậy 24 54 2 54 24 10 chia hết cho 72 63

d) 3n 2 2n 2 3n 2n

   = 3 3n 2 3n 2 2n 2 2n 3 3n 2 1 2 2n 2 1 3 10 2 5n n

Ta thấy:3 10n có tận cùng là 0 và 2 5n cũng có tận cùng là 0

3n 2n 3n 2n

   có tận cùng là 0 nên chia hết cho 10

e) 3n 3 3n 1 2n 3 2n 2

Ví dụ 2: a) Chứng tỏ M   1 2 2 2  2 3   2 2017 chia hết cho 3

b) Biểu thức N   1 2 2 2  2 3   2 2017  2 2018 có chia hết cho 3 không?

Có chia hết cho 7 không?

Hướng dẫn:

- Biểu thức M có tất cả 2018 số hạng nếu chia thành mỗi nhóm hai số hạng thì được 1009 nhóm và mỗi nhóm đều chia hết cho 3

- Biểu thức N có 2019 số hạng nếu chia thành mỗi nhóm hai số hạng thì được

1009 nhóm chia hết cho 3 còn lại một số hạng không chia hết cho 3 (là số 1)

- Biểu thức N có 2019 số hạng nếu chia thành mỗi nhóm ba số hạng thì được

673 nhóm mỗi nhóm đều chia hết cho 7

Giải: a) M   1 2 2 2  2 3   2 2017

1 2 2 2 2 3 2 2016 2 2017 3 2 1 2 2  2 20161 2

N       

  3  2017 

1 3.2 3.2 3.2

1 3 2 2 2

3 2 2   2   3 còn 1 không chia hết cho 3 nên N không chia hết cho 3

`*N   1 2 2 2  2 3   2 2017  2 2018

1 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 2016 2 2017 2 2018

Kết luận: N không chia hết cho 3 nhưng N chia hết cho 7

DẠNG 2: SO SÁNH CÁC LŨY THỪA

Loại 1 : So sánh hai lũy thừa cùng cơ số

* Phương pháp : - Đưa các lũy thừa về cùng cơ số

- Sử dụng tính chất Nếu m > n thì a m a n ( a > 1 )

Ví dụ 1 : So sánh các số sau :

a) 2711 và 81 8

Hướng dẫn : - Các cơ số 27 và 81 đều có thể viết được dưới dạng là một lũy

thừa của 3

- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 3 rồi so sánh hai số mũ với nhau

Giải: Ta có 11  3 11 33

27  3  3

81 8  3 4 8  3 32

Vì 3 33  3 32  27 11  81 8

b) 625 và 5 125 7

Hướng dẫn : - Các cơ số 625 và 125 đều là lũy thừa của 5

- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 5 rồi so sánh

Giải : Ta có : 625 5  5 4 5  5 20

125 7  5 3 7  5 21

Vì 5 21  5 20  125 7  625 5

c) 215 và 27 49 5 8

Hướng dẫn : - Các cơ số 21 và 27 ; 49 đều viết được thành tích của hai số

nguyên tố 7 và 3

- Do đó ta biến đổi các lũy thừa trên về lũy thừa có cùng cơ số là 7 và cơ số 3 rồi

so sánh

Giải : Ta có : 2115 3.715 3 715 15

27 49 5 8    3 3 5 7 2 8 3 7 15 16

Vì 7 16  7 15  3 7 15 16  3 7 15 15

Vậy 27 49 5 8  21 5

Loại 2 : So sánh hai lũy thừa cùng số mũ

* Phương pháp : - Đưa các lũy thừa về cùng số mũ lớn hơn 0

- Sử dụng tính chất Nếu a > b thì a m b m ( m > 0 )

Ví dụ 2 : So sánh