Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài toán về giá trị tuyệt đối nhằm nâng cao kỹ năng giải toán cho học sinh

Kiến thức này học sinh được học ở chương trình lớp 6 đối với số nguyên, học sinh biết cách tìm giá trị tuyệt đối của số nguyên, bước đầu hiểu được ý nghĩa hình học của nó và tiếp tục học

MỤC LỤC

I PHẦN MỞ ĐẦU

II PHẦN NỘI DUNG

6 2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng skkn 3

7 3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 3

8 3.1 Một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối 4

9 3.2 Phương pháp giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối 4

10 3.3 Một số bài toán về giá trị tuyệt đối của một số 5

11 3.4 Một số bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối 12

12 4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động GD, bản thân, đồng

nghiệp và nhà trường

13

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

I PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Giá trị tuyệt đối của một số là một phạm trù kiến thức rất hẹp, tương đối trừu tượng nhưng được lặp lại nhiều lần xuyên suốt từ lớp 6 đến lớp 9 ở bậc học trung học cơ sở Kiến thức này học sinh được học ở chương trình lớp 6 đối với số nguyên, học sinh biết cách tìm giá trị tuyệt đối của số nguyên, bước đầu hiểu được

ý nghĩa hình học của nó và tiếp tục học ở lớp 7 đối với số thực Đến lớp 8, lớp 9

và các cấp học cao hơn tuy không được nhắc đến nữa nhưng bài tập về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức lại rất đa dạng như: Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối; Tìm giá trị lớn nhất, bé nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối; Khi gặp bài toán này học sinh thường lúng túng không biết cách giải

Vì vậy việc nắm vững khái niệm về giá trị tuyệt đối của học sinh ở bậc học trung học cơ sở sẽ là nền tảng cơ bản cần thiết để các em có thể tự tin khi giải loại bài tập này và tiếp thu tốt kiến thức cao hơn ở các bậc học tiếp theo

Để đáp ứng yêu cầu về đổi mới phương pháp dạy học, nhu cầu tự học, tự bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ của bản thân đồng thời giúp các em học sinh khắc phục những hạn chế và có cái nhìn tổng quát, tự tin khi giải các bài tập về

giá trị tuyệt đối Tôi quyết định chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài tập về giá trị tuyệt đối"

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Thông qua các bài toán về giá trị tuyệt đối mà phát triển tư duy lôgic góp phần củng cố và phát triển tri thức cho học sinh Các bài toán về giá trị tuyệt đối cũng nhằm củng cố, phát triển kĩ năng và vận dụng vào trong toán học và trong đời sống

3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu về các bài toán về giá trị tuyệt đối trong chương trình toán các lớp 6-7-8

4.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp thu thập số liệu

- Trao đổi với đồng nghiệp,thăm lớp dự giờ toán.Trực tiếp giảng dạy

- Phương pháp kiểm chứng : áp dụng đề tài vào giảng dạy

II PHẦN NỘI DUNG

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Luật giáo dục điều 24.2 đã ghi: “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát

huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm cuả từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm hứng thú học tập cho học sinh ”

"Hướng dẫn học sinh lớp 8 giải bài tập về giá trị tuyệt đối" là dạy suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, tương tự hoá, đặc biệt hoá trong đó phân tích và tổng hợp là nền tảng Học sinh

là chủ thể của hoạt động học, cần phải được cuốn hút vào những hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó học sinh tự khám phá những điều mình chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức đã sắp đặt sẵn Trong hoạt động dạy học theo phương pháp đổi mới, giáo viên giúp học sinh chuyển từ thói quen học tập thụ động sang học tập chủ động Muốn vậy, giáo viên cần chỉ cho học sinh biết cách học, biết cách suy luận, biết cách tự tìm lại những điều đã quên, biết cách tìm tòi để phát hiện kiến thức mới Các phương pháp thường là những quy tắc, quy trình nói chung là các phương pháp có tính chất thuật toán Học sinh cần được rèn luyện các thao tác tư duy như phân tích, tổng hợp, đặc biệt hoá, khái quát hoá, tương tự, quy lạ về quen Nắm vững các phương pháp nói trên tạo điều kiện cho học sinh có thể tự đọc hiểu được tài liệu, tự làm được bài tập, nắm vững và hiểu sâu các kiến thức cơ bản đồng thời phát huy được tiềm năng sáng tạo của bản thân

Để nâng cao chất lượng học tập cho học sinh đại trà, người giáo viên cần giúp học sinh hiểu nắm vững lý thuyết, có phương pháp đổi mới phù hợp với từng đối tượng học sinh

Từ một số vấn đề lý thuyết liên quan đến giá trị tuyệt đối, giáo viên khéo léo dạy cho học sinh hiểu và nắm cách giải các bài toán cơ bản, trên cơ sở đó giáo viên dần đưa vào các dạng toán phức tạp hơn nhằm kích thích tính tư duy, sáng tạo của học sinh từ đó đưa ra một quy tắc giải cho mỗi dạng cụ thể

2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ:

Giá trị tuyệt đối là một kiến thức khó đối với học sinh lớp 6; 7 Là lớp đầu cấp nên các em còn bỡ ngỡ, lúng túng trong cách học, cách làm bài tập và tư duy Tuy đã được học phần lý thuyết cơ bản song số bài tập để củng cố, khắc sâu kiến thức và bao quát hết các dạng toán lại không nhiều nên không có sức thuyết phục

để lôi kéo học sinh

Đối với học sinh trung bình, yếu kém chỉ có một số ít học sinh vân dụng được vào làm dạng toán tìm giá trị tuyệt đối của một số, một biến

Đối với học sinh khá, giỏi các em chỉ biết làm bài toán dạng cơ bản: Tìm giá trị tuyệt đối của một số, một biến; Giải phương trình dạng │f(x)│=a Nếu gặp bài toán phức tạp một chút thì có biểu hiện chán nản, né tránh

3 CÁC BIỆN PHÁP, GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:

Đứng trước thực trạng như vậy, là một giáo viên giảng dạy bộ môn toán của nhà trường tôi đã trăn trở tìm, nghiên cứu tài liệu, tiến hành khảo sát tình hình thực tế, xây dựng kế hoạch, phân loại học sinh thành ba đối tượng: Khá, giỏi; Trung bình; Yếu, kém và từng bước đưa vào áp dụng

Bước 1: Đưa ra một số vấn đề lý thuyết liên quan đến gía trị tuyệt đối Bước 2: Phương pháp giải bài toán có chứa giá trị tuyệt đối.

Bước 3: Một số dạng toán về giá trị tuyệt đối.

Bước 4: Một số bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối.

3.1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ LÝ THUYẾT LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI:

Trước khi đưa ra các dạng toán về giá trị tuyệt đối và phương pháp giải thì giáo viên phải cho học sinh hiểu sâu sắc và nhớ được định nghĩa về giá trị tuyệt đối, từ định nghĩa suy ra một số tính chất để vận dụng vào giải bài tập

a.Định nghĩa :

Định nghĩa 1:

Với a  R thì a =

Ví dụ 1: 5 =5;  12 =12; 0 =0;

*Mở rộng: A ( x) =

Định nghĩa 2:

Giá trị tuyệt đối của số nguyên a kí hiệu là a (a là số đo theo đơn vị dài)

là khoảng cách từ điểm a đến điểm gốc O trên trục số

Ví dụ: a = 2  







 2

2

a

b.Tính chất:

Từ định nghĩa suy ra các tính chất sau:

* a  0 a0

* a   a với aR

* a 0với aR Dấu “=” xảy ra  a=0

* a a với aR Dấu “=” xảy ra  a0

* a a với aR Dấu “=” xảy ra  a0

* a b a  b với a,bR Dấu “=” xảy ra  a,b0

3.2 PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI.

Cần cho học sinh vận dụng kiến thức về giá trị tuyệt đối (chủ yếu là định nghĩa về giá trị tuyệt đối của một số, một biểu thức) để đưa bài toán trên về bài toán không còn chứa giá trị tuyệt đối nữa để có thể tiến hành các phép tính đại số quen thuộc

3.3 MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ:

a Dạng 1: Tính giá trị của một biểu thức.

Đối với dạng toán này giáo viên phải cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu thức có dấu giá trị tuyệt đối

a nếu a0;

-a nếu a<0

A(x) nếu A(x)0;

-A(x) nếu A(x)<0 3x-1 nếu 3x-10;

-(3x-1) nếu 3x-1<0

3x-1 nếu x 1-3x nếu x<

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức.

A=3x2-2x+1 với x =2

Bài giải:

Vì x =2  x=2 hoặc x=-2

*Với x=2 ta có: A=3.22-2.2+1=9

*Với x=-2 ta có: A=3.(-22)-2.(2)+1=17

*Vậy với x =2 thì : A=9; A=17

Ví dụ 2: Tìm giá trị của các biểu thức.

B=2 x  2  3 1  x tại x=4

Đối với bài toán này học sinh phải biết thay x=4 vào biểu thức B sau đó bỏ dấu giá trị tuyệt đối để tính giá trị của biểu thức B

Bài giải:

Với x=4 ta có:

B= 2 4  2  3 1  4 =2.2-3.3=4-9=-5

b Dạng 2: Rút gọn biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối.

Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh: Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối của nó (nếu biểu thức âm) Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm Dấu của

các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu

Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức A=3(2x-3)- x  8

Đối với bài toán này khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối cần phải xét hai trường hợp của biến x làm cho x-80 và x-80

Bài giải:

*Với x-80 x8 thì x  8 =x-8

Khi đó A=3(2x-3)-(x-8) A= 6x-9-x+8

A=5x-1

*Với x-80 x8 thì x  8 =8-x

Khi đó A=3(2x-3)-(8-x)

A=6x-9-8+x

A=7x-17

Vậy A=5x-1 nếu x8

A=7x-17 nếu x8

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức A= x  3  x 4

Cách 1:

Trong bài toán này biểu thức A có chứa tới hai biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối Do đó để đơn giản trong trình bày giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu

x 3 4

Ta có: x  3 =x-3 nếu x3

x  3 =3-x nếu x<3

x  4 =x-4 nếu x4

4

x  =4-x nếu x<4

Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x

*Nếu x<3 thì:

A=(3-x)-(4-x)=3-x-4+x=-1

*Nếu 3x4 thì:

A=(x-3)-(4-x)=x-3-4+x=2x-7

*Nếu x>4 thì:

A=(x-3)-(x-4)=x-3-x+4=1

Vậy A=-1 nếu x<3

A=2x-7 nếu 3x4

A=1 nếu x>4

Cách 2:

Học sinh có thể lập bảng biến đổi sau:

3

4

Vậy A = -1 nếu x<3

A = 2x-7 nếu 3x4

A = 1 nếu x> 4

c Dạng 3: Tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ở dạng toán này giáo viên cần lưu ý cho học sinh các dạng cơ bản sau:

* f x( ) a (a0)  f(x)=a với f(x) 0 hoặc -f(x)=a với f(x)<0.

Ví dụ: Tìm x biết: 2x  1  3

Bài giải:

*Nếu 2x-10 x 1

2 thì 2x 1  2x 1

Ta có: 2x-1=32x=4 x=2 (thỏa mãn điều kiện x 1

2 )

*Nếu 2x-10 x 1

2 thì 2x 1   1 2x

Ta có: 1-2x=3-2x=2 x=-1 (thỏa mãn điều kiện x 1

2 ) Vậy x{-1;2}

* f x( ) g x( )  f(x)=g(x) hoặc f(x)=-g(x).

Ví dụ : Tìm x biết: x 3, 5  4, 5  x

Bài giải:

3, 5 4, 5

 x-3,5=4,5-x hoặc x-3,5=-4,5+x

 2x=8  x=4 hoặc 0x=-1,5 (không có giá trị nào của x thỏa mãn)

Vậy x=4

* f x( )  g x( ) a

Đối với dạng toán này phải xét hai trường hợp:

*f(x) 0 thì f x( ) f x( )

* f(x) <0 thì f x( )  f x( )

Ví dụ: Tìm x biết: x 7  x 5  3(1)

Bài giải:

Xét hai trường hợp:

*Nếu x-70 x7 thì x  7 =x-7

Khi đó (1) x-7+x-5=3

 2x=15  x=15

2 (Thỏa mãn điều kiện x7)

*Nếu x-7<0 x<7 thì x  7 =7-x

Khi đó (1)  7-x+x-5=3  0x=1 (không có giá trị nào của x thỏa mãn)

Vậy  x=15

2

* f x( )  g x( ) a .

Đối với dạng bài tập này phải lập bảng xét dấu để xét hết các trường hợp xảy ra (lưu ý học sinh số trường hợp xảy ra bằng số biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cộng thêm 1)

Ví dụ: Tìm x biết: x  3  x 4 =6

Bài giải:

x   x =6 (2)

*Lập bảng xét dấu:

-*Nếu x<3 thì x  3 =3-x; 4  x =4-x

Khi đó (2)  3-x+4-x=6  -2x+7=6

( )

f x 

 -2x=-1

 x=1

2 (thỏa mãn điều kiện x<3)

*Nếu 3x4 thì x  3 =x-3; 4  x =4-x

Khi đó (2)  x-3+4-x=6  0x+1=6

 0x=5 (không có giá trị nào của x thỏa mãn)

*Nếu x>4 thì x  3 =x-3; 4  x =x-4

Khi đó (2)  x-3+x-4=6  2x-7=6

 2x=13

 x=13

2 (thỏa mãn điều kiện x>4)

Vậy x 1 13

;

2 2

 

* f x( )  g x( )  0.

Để giải bài toán này ta vận dụng kiến thức f x ( ) 0

Ví dụ: Tìm x biết: x 3  5  x  0

Bài giải:

Vì x  3 0; 5  x 0 xR

Do đó x 3  5  x  0khi và chỉ khi x-3=0 và x-5=0 hay x=3 và x=5 điều này không thể đồng thời xảy ra

Vậy không tồn tại x thỏa mãn yêu cầu bài toán

d Dạng 4: Tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối.

Để giải quyết dạng toán này giáo viên cần lưu ý cho học sinh quy tắc sau:

f(x) nếu f(x) 0

-f(x) nếu f(x)<0

Tiếp đó lần lượt giải tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức không còn chứa dấu giá trị tuyệt đối Cuối cùng tổng hợp các kết quả đạt được để có toàn bộ các giá trị của biến

Ví dụ 1: Tìm x biết: 3x  2  4(I)

Ở bài toán này cần vận dụng với a là hằng số dương

Nếu f x( )  a thì -a<f(x)<a

Bài giải:

Cách 1: 3x  2  4  -4<3x-2<4  -2<3x<6

 2

3

 <x<2

Cách 2:

*Nếu 3x-20  x 2

3 (1) thì 3x  2  3x 2 Khi đó (I) trở thành 3x-2<4 x<2 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 2

3 x<2 (3)

*Nếu 3x-2<0  x< 2

3 (4) thì 3x  2  2  3x Khi đó (I) trở thành 2-3x<4 x> 2

3

 (5)

Từ (4) và (5) suy ra 2

3

 <x< 2

3 (6)

Từ (3) và (6) suy ra 2

3

 <x<2

Cách 3: Lập bảng biến đổi 3x  2  4  3x  2  4  0

3

Nghiệm thích hợp 2

3

 <x< 2

3

2

3 x<2 Vậy 2

3

 <x<2

Ví dụ 2: Tìm x biết: x 5  7 (2)

Bài giải:

Cách 1:

*Nếu x+50 x-5 thì x 5 x 5 Khi đó (2) trở thành x+5>7 x>2 (thỏa mãn điều kiện x-5)

*Nếu x+5<0 x<-5 thì x 5  x 5.

Khi đó (2) trở thành -x-5>7 x<-12 (thỏa mãn điều kiện x<-5) Vậy x<-12 hoặc x>2

Cách 2: Lập bảng biến đổi.

x    x 5  7  0

Nghiệm thích hợp x<-12 x>2 Vậy x<-12 hoặc x>2

Qua hai ví dụ trên giáo viên chốt lại như sau:

*Nếu f x( )  a thì -a<f(x)<a

*Nếu f x( )  a thì f(x)>a hoặc f(x)<-a

Hoặc chuyển hết các hạng tử về một vế, vế kia bằng 0 sau đó lập bảng xét dấu

e Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=5 3x  2  1.

Để giải bài toán này học sinh phải vận dụng được kiến thức a 0 với aR

Bài giải:

Ta có: 3x  2  0 với aR

 5 3x  2  0 với aR

 5 3x  2  1  1 với aR

Dấu “=” xảy ra  3x-2=0 x=2

3 Vậy Min A=-1 x=2

3

Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B= x 5  x 7

Có nhiều cách để giải bài toán này

Cách 1: Lập bảng xét dấu.

Dựa vào bảng xét dấu ta có 3 trường hợp như sau:

*Nếu x<5 thì x  5 =5-x; x  7 =7-x

Khi đó B=5-x+7-x=-2x+12

Vì x<5  -2x>-10 -2x+12>2

Ta có x  5  x  7 >2

*Nếu 5x7 thì x  5 =x-5; x  7 =7-x

Khi đó B=x-5+7-x=2

*Nếu x>7 thì x  5 =x-5; x  7 =x-7

Khi đó B=x-5+x-7=2x-12

Vì x>7  2x>14 nên 2x-12>2

Do đó x 5  x 7 >2 Vậy Min B=2 5x7

Cách 2:

5

x  x-5

Dấu “=” xảy ra x-50 x5

7

x  = 7  x 7-x

Dấu “=” xảy ra 7-x0 x7

Do đó B= x 5  x 7 x-5+7-x=2

Dấu “=” xáy ra  x5 và x75x7

Vậy Min B=2 5x7

 a  b a+b (1).



A

Cách 3: Xét bài toán phụ

Chứng minh rằng: a  b ab Dấu “=” xảy ra ab0

Ta có: a a

b b

a -a

b -b

Từ (1) và (2) ta có   a  b  a+b a  b  ab a  b

Dấu “=” xảy ra ab0

Áp dụng bài toán phụ, ta có:

B= x 5  x 7 x  5  7  x  x 5  7  x

B 2 =2

Dấu “=” xảy ra (x-5)(7-x) 0

Lập bảng xét dấu:

- 5x7

Vậy Min B=2 5x7

Ví dụ 3: Tìm x để tổng sau đạt giá trị nhỏ nhất.

M= x  5  x 13  x 20  x 77  x  2005

Để giải bài toán này học sinh cần phải vận dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối

và một số tính chất sau:

A nếu A0

* -A nếu A< 0

* B B Dấu “=” xảy ra  B0

* C  C.Dấu “=” xảy ra  C0

* D 0 Dấu “=” xảy ra  D=0

Bài giải:

5

x  -(x+5)=-x-5

13

x  -(x+13)=-x-13

20

x  0

77

x  x+77

2005

 a  b -(a+b)    a  b  a+b (2).